高中数学-反证法练习

高中数学-反证法练习A 级 基础巩固一、选择题1．设a 、b 、c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( C )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2[解析] 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a>－6，但(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a)＋(b ＋1b)＋(c ＋1c)≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾．2．(·湖北期中)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a( D )A ．都大于6B ．至少有一个不大于6C ．都小于6D ．至少有一个不小于6[解析] 设a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a都小于6，则a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a＜18，利用基本不等式可得a ＋4b ＋b ＋9c ＋c ＋16a≥2a ·16a＋2b ·4b＋2c ·9c＝8＋4＋6＝18，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数a ＋4b ，b ＋9c ，c ＋16a至少有一个不小于6，故选D ．3．(·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( C )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．4．(·济南高二检测)设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( B )A ．0B ．13C ．12D ．1[解析] 三个数a 、b 、c 的和为1，其平均数为13，故三个数中至少有一个大于或等于13．假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与已知矛盾．5．设a 、b 、c ∈R ＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR >0”是P 、Q 、R 同时大于零的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 若P >0，Q >0，R >0，则必有PQR >0；反之，若PQR >0，也必有P >0，Q >0，R >0．因为当PQR >0时，若P 、Q 、R 不同时大于零，则P 、Q 、R 中必有两个负数，一个正数，不妨设P <0，Q <0，R >0，即a ＋b <c ，b ＋c <a ，两式相加得b <0，这与已知b ∈R ＋矛盾，因此必有P >0，Q >0，R >0．6．若m 、n ∈N *，则“a >b ”是“a m ＋n＋bm ＋n>a n b m ＋a m b n”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] am ＋n＋bm ＋n－a n b m－a m b n＝a n(a m－b m)＋b n(b m－a m)＝(a m－b m)(a n－b n)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a m>b ma n >bn 或⎩⎪⎨⎪⎧a m <b ma n <bn，不难看出a >b ⇒/ a m ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m ，am ＋n＋bm ＋n>a m b n＋b m a n⇒/ a >b ．二、填空题7．(·思明区校级期中)用反证法证明某命题时，对于“已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＞100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25”．正确的反设为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25．[解析] 根据反证法的步骤，则应先假设a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 故答案为a 1，a 2，a 3，a 4都不大于25． 8．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋ (7)＝0．但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．[解析]假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0．但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．三、解答题9．(·吉林高二检测)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[解析]假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．10．(·深圳高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[解析]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0，由f(0)为奇数，即c为奇数，f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，又an2＋bn＝－c为奇数，所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．所以f(x)＝0无整数根．B级素养提升一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( C ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C ．2．(·龙岩期中)“已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )，求证：|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不小于12．”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是( B )A ．假设|f (1)|≥12且|f (2)|≥12B ．假设|f (x )|<12且|f (2)|<12C ．假设|f (1)|与|f (2)|中至多有一个不小于12D ．假设|f (1)|与|f (2)|中至少有一个不大于12[解析] 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．假设|f (1)|＜12且|f (2)|＜12，故选B ． 二、填空题3．(·嘉峪关校级期中)已知x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 中至少有一个大于1，在反证法证明时假设应为x ≤1且y ≤1．[解析] ∵x ，y 中至少有一个大于1， ∴其否定为x ，y 均不大于1，即x ≤1且y ≤1， 故答案为x ≤1且y ≤1．4．(·天心区校级模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n)时，若已证假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( B )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立[解析] 若已证假设n ＝k (k ≥2，k 为偶数)时命题为真，因为n 只能取偶数，所以还需要证明n ＝k ＋2成立．故选B ． 三、解答题5．如图所示，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为BC 边上的高，AM 是BC 边上的中线，求证：点M 不在线段CD 上．[证明] 假设点M 在线段CD 上，则BD <BM ＝CM <CD ，且AB 2＝BD 2＋AD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，所以AB 2＝BD 2＋AD 2<BM 2＋AD 2<CD 2＋AD 2＝AC 2，即AB 2<AC 2，所以AB <AC ．这与AB >AC 矛盾，故假设错误．所以点M 不在线段CD 上．6．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，x ∈[－1,1]，证明：b <－2时，在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．[证明] 假设不存在x ∈[－1,1]使|f (x )|≥12．则对于x ∈[－1,1]上任意x ，都有－12<f (x )<12成立．当b <－2时，其对称轴x ＝－b2>1，f (x )在x ∈[－1,1]上是单调递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝1－b ＋c <12，f1＝1＋b ＋c >－12.⇒b >－12与b <－2矛盾．∴假设不成立，因此当b <－2时在其定义域范围内至少存在一个x ，使|f (x )|≥12成立．C 级 能力拔高已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． [解析] (1)由题意可知，1－a 2n ＋1＝23(1－a 2n )．令c n ＝1－a 2n ，则c n ＋1＝23c n ．又c 1＝1－a 21＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即c n ＝34·(23)n －1，故1－a 2n ＝34·(23)n －1⇒a 2n ＝1－34·(23)n －1．又a 1＝12>0，a n a n ＋1<0，故a n ＝(－1)n －11－34·23n －1． b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝[1－34·(23)n ]－[1－34·(23)n －1]＝14·(23)n －1． (2)用反证法证明．假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r >b s >b t ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14(23)s －1＝14(23)r －1＋14(23)t －1，两边同乘以3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r 3t －s．由于r <s <t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。