积分中值(函数平均值)精编版

是
27
27
kc3a（3 其中
k
为比例常数）
.
7
2．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长
10 米和 6 米，高为20米，较长的底边与水面相 齐.闸门的一侧所受的水压力是 1.4373107(N ) .
3．函数 y 2x ex 在 0 , 2 上的平均值
是 1 3e2 .
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时，计算电场力 F 对
它所作的功．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
解 取r 为积分变量， 积分区间是 [a,b],
q
•o
a
1
•
r r dr
b
r
在[a,b]上任取小区间[r, r dr],
得功元素
dw
kq r 2 dr,
所求功为 w
abkrq2 dr
取x为积分变量，x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
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o
x x dx
5
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
这一薄层水的质量为 32 dx
o
x
功元素为 dw gx 32 dx,
x dx
dw 9.8x 103 32 dx
5
x
即 dw 8.82 104 xdx
一元函数积分学
在[2a,3a]上任取小区间[x, x dx],
面积元素 dA (6a 2x)dx,
压力元素
dF x(6a 2x)dx
薄板一侧所受的压力
o
y
2a a
2a B(2a,2a)
A(3a,0)
3a
F x(6a 2x)dx 2a
x
[3ax2
7 a3.
2 3
x 3 ]32aa
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
【授课时数】
总时数：2 学时。
【学习目标】
1、会求变力沿直线所作的功、液体静压力； 2、会用定积分求连续函数的平均值。
【重、难点】
重点：用元素法求变力沿直线所作的功和液体的
静压力，由定积分的元素法引出。
难点：正确使用定积分的元素法求变力沿直线所
作的功和液体的静压力，由实例讲解方法。
该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所
受的压力．
解 建立坐标系如图所示，
o
y
直线AB的方程
2a
y 0 x 3a , 2a 0 2a 3a
即
y 6a 2x
2a B(2a,2a) a
A(3a,0)
以x为积分变量 ，积分区间是[2a,3a].
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
在一个周期上功率的平均值（简称平均功率）.
解 设电阻为 R ， 则电路中的电压为
u iR Im Rsint,
功率
p
ui
I
2 m
R
s
in
2
t,
一个周期区间 [0, 2 ],
平均功率
p 1 2
2
0
I
2 m
R
s
in
2
tdt
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
p 1 2
2
0
I
1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
b
1
a
lim
x0
n i 1
f ( xi1 )x,
y
b
1
a
b
a
f
(
x
)dx
连续函数的平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
性质7（定积分中值定理）
若函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间
R
因而 W mgR.
发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有
mgR 1 mv2 2
r
mH
v 2gR 2 9.86371103
R
11.2(km/ s)
Mo
这就是第二宇宙速度．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
二、液体的压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p h ，
一元函数积分学
一、变力沿直线所作的功
由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中
有一个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与
物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s
时，力F 对物体所作的功为W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那 么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.
kq
1b r a
kq
1 a
1 b
.
若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为
w
a
kq r 2 dr
kq
1 r a
kq a
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第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 2] 一圆柱形 蓄水池高为 5 米，底半 径为 3 米，池内盛满了 水.问要把池内的水全 部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图，
一元函数积分学
小结
利用“微元法”思想求变力作功、水压力 和连续函数平均值等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
练习题
1．若一物体按规律 x c t 3作直线运动，媒
质的阻力与速度的平方成正比，则物体由 x 0
移至 xa 时，克服媒质阻力所作的功
y0 y1 y2 yn1 ; n
（3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值为
y lim y0 y1 y2 yn1 ,
n
n
y lim y0 y1 y2 yn1 b a
n
ba
n x
讨论方法：分割、求和、取极限.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
（1）分割：把区间[a,b]分成n 等分
a x0 x1 x2 xn1 xn b, 每个小区间的长度 x b a ;
n
（2）求和： 设各分点处的函数值为y0 , y1, y2 , , yn
函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值近似为
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 6] 求函数 f (x) 2x2 3x 3 在区间［1,4］
上的平均值.
解 y 1 4 (2x2 3x 3)dx 4 1 1
1[2 33
x3
3 2
x2
3x]14
19 . 2
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 7] 求纯电阻电路中正弦交流电i Im sint
桶的底半径为 R，水的密度为 ，计算桶的一端侧面上所受
的压力．
解 在一端侧面建立坐标系如图，
取x为积分变量，积分区间是 [0, R], 在积分区间上任取小区间[ x, x dx]，
小矩形片上各处的压强近似相等
p x
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
o
x
x dx
x
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
这里 是水的密度．若有一面积为 A 的平面薄板水平
地放置在水深为 h 处，则该薄板一侧所受的水压力为 F p A．
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点
处压强 p 不相等，那么平板一侧所受的水压力就不
能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 4] 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设
一元函数积分学
一端侧面的压力元素为
dF 2x R2 x2dx
一端侧面上所受的压力
F
R
2x
R2 x2 dx
0
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2
x2
3
R 0
2
3
R3.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 5] 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直
地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且
[a, b]上至少存在一个点 ，使得
积分中值公式
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a).
(a
b)
几何解释：
y
y f (x)
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a,b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
2 m
R
sin
2
tdt
Im2R
2
2
sin2td (t )
0
I R 2
2
m
4 0
(1
cos 2t)d(t)
Im2R
4
t
sin 2
2
t
2
0
Im2R 2 4
Im2R 2
ImUm . 2
(Um Im R)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电
流、电压的峰值的乘积的二分之一．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
3
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
三、函数的平均值
实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描述这 个班学生身高的概貌.
y y1 y2 yn n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温的变 化是连续的）.
入手点：连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的平均值.
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例 1] 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场
中距离原点为 r 的地方，那么电场对它的作用力的大小
为
F
k
q r2
（k
是常数），当这个单位正电荷在电场中从
H R
GMr2 mdr
GMm
1 R
1 H
使飞船脱离地球引力场，即相当于
把飞船发射到无穷远处，所需作功
W lim GMm 1 1 GMm
H
R H
R
r
mH
R
Mo
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
在地球表面地球对物体的引力就是重力
即
mg
GMm R2
,
则有 mgR GMm ,
一元函数积分学
【授课小结】
通过本课题学习，学生应该达到： 1．会求变力所作的功和液体的静压力； 2．会求函数的平均值．
【课后练习】
P067习题3.8 .
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
用元素法求一个量的一般步骤：
1）选取一个积分变量，确定积分区间；
2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲， 得所求量的微分元素（简称微元）；
3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.
这种方法通常叫做元素法（或微元法）．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
w 58.82 104 xdx
0
8.82
104
x2 2
5
0
3.462106 (J)．
第三章
课题十九 定积分在物理上的应用
一元函数积分学
[例3] 使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙 速度，计算第二宇宙速度.
解 与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发
发射到距地心H处需作的功
WH