高中物理解题方法例话:5三角函数法
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5三角函数法
三角函数配角法求极值是数学中常用的技巧之一,即将三角函数式中的自变量进行配角整理画成两角和的正弦或余弦,便能得到函数的极值。当得出的式中不是典型的函数类型时,可通过等效变换进行转化。利用三角函数公式把所列的方程简化,变成仅含有单个三角函数的式子,然后利用单个三角函数的性质解决问题θθθ2sin 2
cos sin A
A y =
=当2
4
A Y 有极大值
时π
θ=
。 [例题1]已知底边AB 长恒为L 的光滑斜面,斜面倾角可变,物块从斜面顶端C 由静止释放,求倾角为多大时物块滑到底端所用的时间最短?最短为多少?
解析:由几何关系得斜面长θ
cos L
S =
下滑的加速度θsin g a =,下滑的时间
θ
θθ2sin 4cos sin 22g l g l
a s t =
==
,所以当倾角
g
L
e 42sin 450小值
有最大值此时时间有最时θθ= [例题2]一辆有1/4光滑圆弧的小车停在粗糙的水平地面上,质量为m 的小球从静止开始由车顶滑下,且小车始终保持静止状态,求小球运动到什么位置时财面对小车的摩擦力最大?最大值为多少?
解析:设圆弧半径为R 。当小球运动到重力与半径夹角为时,速度为v ,根据机械能守恒定律
θcos 2
12
mgR mv =,根据牛顿第二定律R
mv mg N 2
cos =-θ
联立解得θcos 3mg N =
小车处于平衡状态所以静摩擦力θθθθ2sin 2
3
sin cos 3sin mg mg N f =
== 所以当12sin 450
有最大值时e θθ=,此时地面对小车的静摩擦力有最大值,mg f 2
3max =
当物理方程中含有x b x a cos sin +的形式时,可将式子变形为
)cos sin (
2
2
2
2
22x b
a b x b a a b a ++
++
令2
2
cos b
a a +=ϕ则2
2
sin b
a b +=
ϕ
则
()()
x b a x x b a x b
a b x b
a a
b a ++=++=++
++ϕϕϕsin cos sin sin cos )
cos sin (
22222
2
2
2
22当()1sin =+x ϕ时,上式极
大值为22b a +
[例题3]如图所示质量为m=5kg 的物块置于粗糙的水平 地面上,物块与地面间的摩擦因数为
3
1,若使物块匀速运动,求所施加最小力
F 的大小和方向?
解析:设所加力与水平面的夹角为,由平衡条
件0
sin 0cos =-+=-mg F N N F θμθ竖直方向水平方向 解
得
)
cos 1sin 11(
1sin cos 2
2
2
2
22θμ
μ
θμ
μμθ
μθμ++
++=
+=mg
mg F
令
2
2
11sin μ
ϕ+=
则
2
2
1cos μ
μ
ϕ+=
,所以
()
()
θϕμμθϕθϕμμ++=
++=sin 1sin cos cos sin 12222mg
mg
F ,
所以当当()1sin =+θϕ时,即时之和为与0
90θϕ,力F 有极小值为
N mg
F 2512
min =+=
μμ,此时2
311sin 2
2=
+=
μϕ,所以0
60=ϕ,则030=θ所以最小力25N ,与水平面的夹角为030=θ斜向上
[例题4]如图所示,山高为h ,山顶A 到山下B 处的水平距离为s ,现要修一条水道ACB ,其中AC 为斜面,若不计一切摩擦,则斜面AC 的倾角θ为多大时,方可使物体由A 点静止释放后滑到B 点历时最
短?最短时间为多长?
解析:由于物体从倾角为θ的斜面上静止释放后做的是初速度为零、加速度为θsin g 的
匀加速直线运动,进入水平面后将做匀速直线运动,于是有
21sin 2
1
sin t g h θθ= 1sin t g v θ= 2cot vt h s =-θ
消去1t 、2t 、v 可把t 表示为θ函数
θ
θ
sin cos 2.
22-+
=
g h gh
s t 上述函数的复杂性将使得春极值点与极值的求解较为困难,可作如下处理,将其转换成典型的函数类型进而求解。
相应的方程及所得函数如前,取θθsin /)cos 2(-=x 整理可得2cos sin =+θθx
这是典型的“θθθcos sin )(b a f +=”函数类型, 由此可得2)sin(12=++αθx 于是有3sin /)cos 2(≥
-=θθx
可见:当θ=60°时,时间最短,最短时间为g
h gh
s t 232min +
=