新人教A版必修一 基本不等式 教案

基本不等式

1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．

2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．

知识梳理

1．基本不等式a ＋b 2≥ab

(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .

(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号．

2．几个重要不等式

(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )；

(2)a b ＋b a ≥ 2 (a ，b 同号)；

(3)ab ≤(

a ＋

b 2)2(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22 ≥ (a ＋b 2)2

. 3．基本不等式求最值

(1)两个 正数 的和为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其积最大．

(2)两个 正数 的积为 定值 ，当且仅当它们 相等 时，其和最小．

利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．

热身练习

1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D)

A ．a 2＋b 2>2ab

B ．a ＋b ≥2ab

C.1a ＋1b >2ab

D.b a ＋a b

≥2

A 、C 中，a ＝b 时不成立，

B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.

2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D)

A ．ab ≤a 2＋b 22

B ．ab ≤(a ＋b 2)2

C.a 2＋b 22≥a ＋b 2

D.2ab

a ＋

b ≥ab

易知A ，B 成立，

对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b

2，故C 成立．

对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．

由以上分析可知，应选D.

3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)

A ．225

B ．450

C ．500

D ．900

设矩形的长为x ，宽为y ，

则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，

所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2

＝225，即S max ＝225.

当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A.

4．设函数f (x )＝2x ＋1

x －1(x <0)，则f (x )(A)

A ．有最大值

B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减函数

f (x )＝－[(－2x )＋(－1

x )]－1≤－22－1， 当且仅当x ＝－2

2时，等号成立，

所以函数f (x )有最大值，所以选A.

5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y

b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为

8 .

因为直线x a ＋y

b ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， 所以1a ＋2

b ＝1，

所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋b a ≥4＋24a

b ·b a ＝8， 当且仅当b

a ＝4a

b ，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．

故2a ＋b 的最小值为8.

利用基本不等式判断大小关系

下列不等式一定成立的是

A ．x 2＋1>2x (x ∈R )

B ．sin x ＋

1sin x

≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1

>2(x >0) D ．x ≥1x

(x >0)

对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．

对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；

对于C ，x 2＋1＋1x 2

＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．

对于D ，当0

，故D 不正确．

C

运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．

1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)

A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x

≥2 B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x

的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1

x

≥2 D ．当0

对于A ，当0

对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x

的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)； 对于C ，当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1

x ＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；

对于D ，当0

利用基本不等式求最值

(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5

的最大值． (2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y

＝1，求x ＋y 的最小值．

(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x

)＋3 ≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x ＝15－4x

，即x ＝1时，取等号． 故当x ＝1时，y max ＝1.

(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y

＝1， 所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x

＋9x y ＋10≥6＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y

＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

(方法二)由1x ＋9y

＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)， 可知x >1，y >9，从而

x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －y －＋10＝16，

所以当且仅当x －1＝y －9＝3，

即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.

(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．

(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．

2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32

. (2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1

≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)