最新1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
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固体物理简答题
第一章1.何为布拉伐格子，简单晶格、复式格子？并举例说明哪种晶体是简单格子，哪种晶体是复式格子？了解常见的几种晶体结构。
布拉伐格子：由332211a l a l a l ++确定的空间格子。
简单晶格：每一个原胞有一个原子。
复式格子：每一个原胞含有两个或更多的原子。
举例：（1）简单晶格：具有体心立方晶格结构的碱金属和具有面心立方晶格结构的Au,Ag,Cu 晶体都是简单晶格。
（2）复式格子：NaCl 晶格，CsCl 晶格，金刚石，ZnS,Si,Ge 等晶体结构：面心立方单胞原子数4，配位数12体心立方单胞原子数2，配位数8CsCl 单胞原子数2，配位数8金刚石单胞原子数8，配位数4NaCl 单胞原子数na4cl4共8个，配位数62简述晶体、非晶体和准晶体的特点。
晶体：原子排列是十分有规律的，主要体现是原子排列具有周期性，或称为是长程有序的。
非晶体：不具有长程有序的特点,短程有序。
准晶体：有长程取向性，而没有长程的平移对称性。
3晶格点阵与实际晶体结构有何区别和联系？晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝实际晶体结构4结晶学原胞和固体学原胞有何不同？（何为单胞和原胞？二者有何不同？）结晶学原胞（单胞）：为了同时反映晶格的对称性，常取最小重复单元(原胞)的一倍或几倍作为重复单元。
固体学原胞（原胞）：一个晶格中最小重复单元，反映晶格的周期性。
不同：结晶学原胞除了要考虑晶体结构的周期性外，还要反映晶体的对称性。
它的结点既可以在顶角上也可以在体心或者面心处。
固体物理学原胞只要求反映晶格周期性的特征，结点只在顶点上，内部和面上皆不含其他结点。
而且，固体物理学原胞只含一种原子。
5根据晶体的对称性进行分类，有多少种点群、空间群、布拉伐格子？32种点群，230个空间群，14种布拉伐格子，7大晶系321,,b b b 6倒格子定义，倒格子与正格子的关系有哪些？倒格子定义：以关系：是正格基矢123()a a a Ω=⋅⨯ 7布里渊区的定义及特点，举例说明常见的布拉伐格子的布里渊区形状？定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称作布里渊区。
晶体结构讲义
两种等价C原子
全部Na+之间是等价的，全部Cl-之间也等学习价材料 两个面心立方晶格沿体对角线平移1/144
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格 简单晶格 —— 基元是一个原子 复式晶格 —— 基元是一个以上原子
晶体结构 = 点阵〔数学几何点〕 + 基元〔物理〕
学习材料 15
1-3 晶格的周期性
7
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的地域为维格纳-赛兹原胞 对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的布拉伐 格子有完全相同的对称性
特点：
1.仅包含一个格点，体积与
惯用原胞相等
2.保存了晶格全部的对称性
3.平常很少用，在能带理论
28/ 2288
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶体根本特点：各向异性
晶列
在布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线 系上，这些直线系称为晶列。
晶列的特点
〔1〕一族平行晶列把全部格点包含 无遗
〔2〕在一平面中，同族的相邻晶列 之间
距离相等
学习材料
29
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
(hcp)…
点阵
基元
晶体
晶体结构 = 点阵〔学数习学材料几何点〕 + 基元〔物理〕
6
1-3 晶格的周期性
1.3.1 晶格周期性的描述：原胞和基矢
原胞 (Primitive cell)：晶格的最小周期性单元。又称初基晶胞。 基矢：原胞的边矢量 单胞 (Unit cell)：晶体学中，为了反映晶格的对称性，选取较
1.3.4 布拉伐格子(Bravais lattice)
晶体结构章节要求1掌握晶体的特征晶格周期性的描述
第一章晶体结构（一）章节要求1、 掌握晶体的特征晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢 的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常 见晶格结构及其代表晶体。
2、 掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与 确定方法。
3、 掌握倒格子和布里源区的概念，正空间和倒空间的联系和转换,会计算倒格子体积等量4、 熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
5、 熟悉晶体衍射理论，会推导劳厄定理和布拉格定理的等价关系6、 理解基于衍射理论的晶体结构计算方法匕4.金刚石结构（二）章节结构 1.长程有序•晶体共性2•自限性和晶面角守恒定律 3. 各向异性 4. 固定熔点 5. 非晶体与准晶体厂1.简单立方晶体结构（sc ）2. 体心立方晶体结构（bcc ）•常见晶体结构3.密堆积-六角密排（hcp ）'面心立方（ccp ）•晶体结构模型化研究：晶体结构 =晶格+基元(转化为晶格研究)-分类：简单格子；复式格子晶格 丿组成：原胞与原胞基矢；晶胞；常见晶体结构的原胞或晶胞描述方法：晶列和晶面指数；晶面和密勒指数广1.晶体的对称性 2•晶体的对称操作和对称元素四•晶体的宏观对称性 S 3.点群和空间群4.七大晶系和十四种布拉菲格子五.晶体结构计算1.布拉格定理2.劳厄定理 3.两者等价(2)倒格子1.倒矢量，倒格矢和倒格子2. 倒矢量和倒格矢的性质1. 布里渊衍射条件⑶布里渊区 Y2.布里渊区：一维，二维，简立方，面心立方，体心立方3. 布里渊区的性质(4)基于衍射理论的晶体结构计算(三)基础知识-、晶体的共性定义内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
1、长程有序一一晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序 排列，称为晶体的长程有序。
晶体可以分为单晶体和多晶体，多晶体是由许多单晶体构成的。
单晶体，在整体范围内原子排列都是规则的。
固体物理_第一至第七章总复习详解
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总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
总复习
第二章 晶体结合 一、原子的负电性
负电性＝常数（电离能＋亲和能） 电离能：让原子失去电子所必需消耗的能量 亲和能：处于基态的中性气态原子获得一个电子所放出的能量
负电性大的原子，易于获得电子。 负电性小的原子，易于失去电子。
二、晶体结合的基本类型及其特性
1、离子结合：正负离子之间的库仑相互作用，强键
总复习
一维单原子链
重要结论：
试探解为： xn Aei(tnaq)
色散关系：
w2 2 (1 cosqa)
m
2
m
sin( qa ) 2
m
sin( qa ) 2
中心布里渊区范围： q
a
a
振动模式数目（格波数目）：N
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格波
总复习
• 格波：晶体中所有原子共同参与的一种 频率相同的振 动，不同原子间有振动
总复习
第一章 晶体结构
一、晶体的宏观特性：周期性、对称性、方向性（各向异性）
二、晶体的微观结构
1. 空间点阵（布拉伐格子） 基元、布拉伐格子、格点、单式格子、复式格子 晶体结构＝基元＋空间点阵 布拉伐格子（B格子）＝空间点阵 复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
2.原胞 初基原胞、基矢、威格纳－赛兹原胞（W－S原胞，对称
位相差，这种振动以波 的形式在整个
晶体中传播，称为格波
xn Aei(tnaq)
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3. 一维双原子链 总 复 习
mM 2n-2
2n-1 2n
2n+1 2n+2 2n+3
Ⅰ. 体系：N个原胞，每个原胞中包括2个原子 (m1=M, m2=m, M>m)。
晶体结构
晶体结构和布拉菲格子的区别
晶体结构和布拉菲格子的区别
基矢 原胞 晶胞（单胞）
初基元胞 点阵的基本 平移矢量。
有多种取法。
12面体
14面体
布拉伐格子 晶向 晶面
标志？
互质的整数（h1h2h3）-----晶面指数
若以单胞的棱a，b，c为坐标系对应的指数（h1h2h3）----miller index
33 23
13
32 22 12
31
33 11
21 31 13;32 12 32 0
11
23 21 21 0
同样若沿Z轴作对称操作-转动900
0 1 0 A 1 0 0
0 0 1
A1A
22
0
0
11
0
13
11
0
0
22
13
0
0 31 33
31 0 33
7晶系14种Bravais Lattice介绍
可以证明，由于对称性的要求，共有14种Bravais Lattice， 分为7个晶系（点阵只有7种点群）。 对称操作群{D/t} D--点（宏观）对称操作; t--平移对称操作. 点阵点群-------{D/t=0}7个7个晶系 点阵空间群-------{D/t}14个14 lattices
绪论
������ 固体物理是研究固体的结构和其组成粒子之间的相互作用 及运动规律，以阐明其性能和用途的学科。
固体的分类 晶体（晶态）：原子按一定的周期规则排列的固体（长程有序)。 非晶体（非晶态）：原子排列没有明确的周期性（短程有序)。
最新firstPPT课件
(中文版第8版, 或直接看英文原版） • 方俊鑫，陆栋. 《固体物理学》（上）, 上海科
学技术出版社. • 阎守胜.《固体物理基础》, 北京大学出版社.
绪论
一、固体物理学的研究对象
固体的结构及其组成粒子（原子、离子、分子、电子 等）之间相互作用与运动规律，以阐明其性能和用途。
固体物理是固体材料和器件的基础学科，是新材料、 新器件的生长点。
first
窥天地之奥而达造化之极。 ——李时珍
为学之道，莫先于穷理；穷理 之要，必在于读书；读书之法，莫 贵于循序而致精；而致精之本，则 又在于居敬而持志。——朱熹
主要参考书
• 黄昆，韩汝琦.《固体物理》,高教出版社. • Charles Kittel. Introduction to solid state physics.
晶格动力学 晶格热力学
理想晶格
固 体 物
电子理论
实际晶格理论 能带理论（包括电磁场中的电子运动） 金属中的自由电子气
理
功函数、接触电势等
输运理论 ：电子与晶格的相互作用
固体物理分论 半导体、磁学、超导、非线性光学
本课程学习内容
1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶格结构。 2、固体的结合力（四种） 3、晶格动力学 4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由电子气） 5、介绍一些典型固体材料的性质
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1 2
A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
学技术出版社. • 阎守胜.《固体物理基础》, 北京大学出版社.
绪论
一、固体物理学的研究对象
固体的结构及其组成粒子（原子、离子、分子、电子 等）之间相互作用与运动规律，以阐明其性能和用途。
固体物理是固体材料和器件的基础学科，是新材料、 新器件的生长点。
first
窥天地之奥而达造化之极。 ——李时珍
为学之道，莫先于穷理；穷理 之要，必在于读书；读书之法，莫 贵于循序而致精；而致精之本，则 又在于居敬而持志。——朱熹
主要参考书
• 黄昆，韩汝琦.《固体物理》,高教出版社. • Charles Kittel. Introduction to solid state physics.
晶格动力学 晶格热力学
理想晶格
固 体 物
电子理论
实际晶格理论 能带理论（包括电磁场中的电子运动） 金属中的自由电子气
理
功函数、接触电势等
输运理论 ：电子与晶格的相互作用
固体物理分论 半导体、磁学、超导、非线性光学
本课程学习内容
1、描述晶体周期性的基本方法，典型的晶格结构。 2、固体的结合力（四种） 3、晶格动力学 4、晶体中电子运动规律（能带理论，自由电子气） 5、介绍一些典型固体材料的性质
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
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41
2
1
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4
4
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A类碳原子的 共价键方向
B类碳原子的 共价键方向
第1章 晶体结构
第1章 晶体结构
根据布拉格定律，入射X光被晶面反射， 当波程差是X光波长整数倍时，相邻晶面 的反射线互相加强。
则面间距为
1.54 Å
=2.34 Å θ=19.2°
θ d111
第1章 晶体结构
P64 习题1.11
求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面 指数与衍射强度的关系。
【解】 出发点：结构因子的通用公式
S f e hhkl
m
i 2 n hu j kv j lwj
aj
（1）
j 1
第1章 晶体结构
金刚石的惯用原胞中，在以下位置有8个全同原子
代入结构因子的表达式（1）中
F
Shhkl fa (1+ei hk ei hl ei kl
金刚石结构的惯用原胞
结构因子的表达式变为
F =fa (1+eihk eihl eikl )
i hkl
Shhkl F e 2
F
衍射强度:
2
Ihhkl Shhkl
Shhkl
2
F2
|1
i hkl
e2
|2
2F 21 Fra bibliotekcos
布拉菲格子
第1章 晶体结构
习题1.1 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各
晶体的结构以及惯用原胞、 初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾；
表1-4 常见NaCl结构的晶体及其晶格常数
第1章 晶体结构
<解答>：
KCl的晶体结构:与NaCl一样,布拉菲格子是面心 结构(fcc).
惯用原胞中的原子
i
3 j ,
固体物理1 晶体的结构图文
复排列而成的。
所有晶体的结构可以用空间点阵来描述，这种晶格的每个 阵点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元，基元在空 间周期性重复排列就形成晶体结构。
1.基元、格点和晶格
(a)
(b)
(c)
(1)基元
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
平均每个晶胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格 (1)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。基元由一 个Cl-和一个Cs+组成。
222222????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlbnkanhkx222222????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlbnkanhkx2222????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhbnkanhky2222????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlanhkz??????????????????????????nlcknkbknhakzyx??????12222????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhanh??与对应的衍射方向表示成
所有晶体的结构可以用空间点阵来描述，这种晶格的每个 阵点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元，基元在空 间周期性重复排列就形成晶体结构。
1.基元、格点和晶格
(a)
(b)
(c)
(1)基元
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个
基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，
平均每个晶胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格 (1)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布喇菲晶
格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个原胞包含1个格点，每个晶胞包含1个格点。基元由一 个Cl-和一个Cs+组成。
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固体物理：1-晶体结构-1
1 4
a1
1 4
a2
1 4
a3
晶列、晶向、晶面、及其指数标记
在布拉伐格子中作一簇平行的直线，这些平行直线 可以将所有的格点包括无遗。
—— 在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等 —— 每一簇晶列定义了一个方向 —— 晶向
沿晶向到最短的一个格点的位矢
l1a1 l2a2 l3a3
晶向指数 [l1, l2 , l3 ]
Graphene, 石墨烯（2010 Nobel Prize）
布拉维格子（Bravais lattice）
晶体可以看作是在布拉维点阵（Bravais Lattice）的 每一个格点上放上一组基元（Basis )
原胞(元胞，初基元胞) primitive cell
和一个给定格点的最近邻格点的数量为配位数 z
原子球排列为：AB AB AB ……
Be、Mg、Zn、Cd
各种晶格的堆积比
金刚石晶格结构(diamond)
碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个 原子，分别位于四个空间对角线的 1／4处
NaCl晶体的结构 (sodium chloride)
CsCl晶体的结构(cesium chloride)
CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的 长度套构而成
闪锌矿结构 (zinc blende) ZnS
立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
钙钛矿结构 (perovskite）
钙钛矿型的化学式可写为ABO3 —— A代表二价或一价的金属 —— B代表四价或五价的金属 —— BO3称为氧八面体基团, 是钙钛矿型晶体结构的特点
晶体结构1
固体物理基础第1章-晶体结构
ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体？ 研究固体的思路？复杂到简单
为什么从研究晶体开始？ 原胞的选取唯一吗？
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格：包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成：NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相 同的，就是他们的结构完全相同！
数学方法抽象描写：不区分物理、化学成分，每个原子都是不可区分
的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体：实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点 • 晶格（点阵）：格点（结点）的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有？个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞
第一章 晶体结构_9700783
固体物理第一章
2.空间点阵（布喇菲点阵）
空间点阵学说认为：晶体内部结构可概括为一些相 同的点子，在空间有规则地作周期性的无限分布， 而这些相同的点，可代表原子、离子、分子或其集 团的重心。这些点子的总体称空间点阵，是晶体结 构周期性规则排列的数学抽象。 基元（basis）：重复排列的具体基本结构单元称为 基元。
固体物理第一章
2
§1-2几种简单的晶体结构 一、简立方结构(simple cubic,sc)
a1 ai a 2 aj a 3 ak
二、体心立方结构(body-centered cubic，bcc)
Po (polonium，钋)，每个原胞包含 一个原子。结晶学和固体物理学原 胞体积同为 a3 晶体中一个原子的最近邻原子数目 称为配位数(Coordination number) 。
固体物理第一章
一 、 晶 体 的 对 称 性 与 对 称 操 作 (symmetry operation) 如果一个物体经过一定动作后又能回复原来 的状态，物体上每一点的新位置，与开始 时另一个点在这个位置上的情况完全重合， 则这个物体是对称的 则这个物体是对称的。 对称操作或对称变化 ----- 使物体回复原来状 态的几何变换。 对称元素(symmetry element)------ 在对称变换 中所凭借的几何元素（点、线、面） 。
三、面心立方结构(face-centered cubic，fcc)
结晶学原胞基矢分别为： a a i , b aj , c ak , a 3 固体物理学原胞中含有一个原子，结晶学原胞 中两个。配位数为8，如金属Li, Na, K, Rb, Cs, Mo, W 等。
维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞——以晶格中某一 格点为中心，做其与近邻格点连线的垂直平分面， 这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于 该点的WS原胞。 不涉及对基矢的任 何选择 与相应的 何选择，与相应的 布拉菲格子有完全 相同的对称性
2.空间点阵（布喇菲点阵）
空间点阵学说认为：晶体内部结构可概括为一些相 同的点子，在空间有规则地作周期性的无限分布， 而这些相同的点，可代表原子、离子、分子或其集 团的重心。这些点子的总体称空间点阵，是晶体结 构周期性规则排列的数学抽象。 基元（basis）：重复排列的具体基本结构单元称为 基元。
固体物理第一章
2
§1-2几种简单的晶体结构 一、简立方结构(simple cubic,sc)
a1 ai a 2 aj a 3 ak
二、体心立方结构(body-centered cubic，bcc)
Po (polonium，钋)，每个原胞包含 一个原子。结晶学和固体物理学原 胞体积同为 a3 晶体中一个原子的最近邻原子数目 称为配位数(Coordination number) 。
固体物理第一章
一 、 晶 体 的 对 称 性 与 对 称 操 作 (symmetry operation) 如果一个物体经过一定动作后又能回复原来 的状态，物体上每一点的新位置，与开始 时另一个点在这个位置上的情况完全重合， 则这个物体是对称的 则这个物体是对称的。 对称操作或对称变化 ----- 使物体回复原来状 态的几何变换。 对称元素(symmetry element)------ 在对称变换 中所凭借的几何元素（点、线、面） 。
三、面心立方结构(face-centered cubic，fcc)
结晶学原胞基矢分别为： a a i , b aj , c ak , a 3 固体物理学原胞中含有一个原子，结晶学原胞 中两个。配位数为8，如金属Li, Na, K, Rb, Cs, Mo, W 等。
维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞——以晶格中某一 格点为中心，做其与近邻格点连线的垂直平分面， 这些平面所围成的以该点为中心的最小体积是属于 该点的WS原胞。 不涉及对基矢的任 何选择 与相应的 何选择，与相应的 布拉菲格子有完全 相同的对称性
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
描写晶体的对称性
• 点对称性 点对称性——周期性 周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 空间（实空间） 布拉伐格子 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间) 空间(相空间) 倒格子 布里渊区 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格 格子，
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子 布拉伐格子
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点 格点 ：代表基元的几何点 结点(格点 代表基元的几何点 格点)： • 点阵(格子 ：结点的总和 点阵 格子)： 格子
晶体结构= 点阵+ 基元
结构 具体
用没有大小的 几何点来代表 基元， 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵 阵列 点阵
12
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 基元平移（没有转动） 晶体结构， 上 晶体结构，基元将填满所有空 没有重叠， 间，没有重叠，也没有遗漏 • 思考：基元形状？ 思考：基元形状？
30
a1 a2 a3
k
bcc基矢的另一种选取： a = aˆ i 1 a = aˆ j
2
a ˆ ˆ ˆ a3 = (i + j + k ) 2
P
格点P的位矢：
a3 a1 a2
P = −a1 − a2 + 2a3
i
j k
31
面心立方
a ˆ ˆ a1 = ( j + k ) 2 a ˆ ˆ a1 = (k + i ) 2 a ˆ ˆ a 3 = (i + j) 2
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？ 思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
第一章 晶体的结构3月12日
基元（Basis）
➢ 基元可以是一个粒子，也可以是由若干 个粒子所组成的粒子集团。基元内所含 的粒子数＝晶体中原子的种类数
➢基元的几何代表点称为格点（lattic Site）
➢ 格点在空间的分布，所形成空间点阵称 为布拉菲点阵。
布喇菲空间点阵（Bravais lattice）1850年
晶体的内部结构可以看成有一些相同的点（结点）在空 间作规则的周期性的无限分布。（布喇菲点阵是一个没有 边界的无穷大点阵，其中所有的格点是等价的）
晶体结构＝基元＋布拉菲点阵
二维周期排列的结构及点阵的实例
Cu o
Cu o
Cu o
Cu o
o
o
o
o
晶
Cu o
Cu o
Cu o
Cu o
体
o
o
o
o
结
构
Cu o
Cu
o
Cu
o
Cu o
o
o
o
o
Cu o o
Cu o Cu o
o
o
Cu o o
基元
Cu o o
二维周期排列的结构及点阵的实例
Cu o
Cu o
Cu o
基矢的大小：所选 方向最短的周期 基矢量的选取不是 唯一的！
基矢：重复单元的边长。(a1, a2, a3) 点阵中任意两格点之间的位置矢量：
Rl = l1 a1 + l2 a1 + l3 a3
空间格子、原胞（Unit Cell）
a3
a3
a2 a1
a1
a2
原胞的体积：
a1 • a2 a3
原胞（固体物理学原胞）：以一个结点为顶点，以三个不同方 向的周期为边长的平行六面体。
第一章晶体结构
NaCl结构
每个原胞中含两个或多 个原子，且原子不等价
复式晶格
简单晶格
举例 简立方晶格， 体心立方晶格， 面心立方晶格等
特征：每个原胞中只含一 个原子，且所有原子等价
复式晶格
举例 金刚石， 六方密排， 闪锌矿结构等 特征：每个原胞中含两个 或多个原子，且原子不等 价
复式晶格与简单晶格结构有何联系？
• 1.4金刚石结构(Diamond) • 1.5化合物的晶格结构(NaCl,CsCl,C……)
基本概念
晶格(lattice)是指晶体中原子排列的具体形式。
具有不同晶格是指原子规则排列的形式不同；
具有相同晶格是指原子排列形式相同而原子 间距不同。
1.1 简立方晶格
结构特征
原子球占据立方 体的8个顶点； 配位数为6； 立方体边长a定 义为晶格常数。
3、 六角密排与立方密排密堆结构图示
• 第一步：将全同小球 平铺成密排面（A 层）； 第二步：第二层密排 面的球心对准A层的 球隙，即B层； A 第三步：第三层密排 B 面放在B层的球隙上， 可形成两种不同的晶 格，即六角密排和立 方密排结构。 六角密排
•
•
立方密排（面心 立方）(A-B-C)
(-A-B-)
•
S原子 Zn原子
§1-2晶格的周期性(periodicity)
主要内容
• （一）原胞与基矢(primitive cell and unit vitor) • （二）晶胞(crystal unit cell) • （三）简单晶格与复杂晶格(crystal lattice) • （四）布拉伐格子(Bravais lattice)
的对称性高于平行六面体原胞。
（二）晶胞（晶格学单胞 crystal unit cell) 1、定义：晶体学通常选取较大的周期单元来研
1.2-布喇菲格子-原胞和晶胞-1.3-密堆积PPT优秀课件
这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性 平移，就可以充满整个晶格，形成晶体。
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
a3 a2 a1
9
a3 a2 a1
如图:对于三维晶格 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
则以 a1,a2,a3 为棱的平行六面体是晶格体积的最
小重复单元，即原胞
原胞的体积为 a 1•(a 2a 3)
a 2
a 2
i jk
a 3
a 2
i
jk
平均每个晶胞包含2个格点。
原胞的体积 Ωa1a2a312a3
晶胞的体积 V 2
18
复式格子(complex crystal lattice) (a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
cc
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移 1/4的长度套构而成,其晶胞为面心立方。由面心立方 晶胞的中心到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线 的中点各加一个原子就得到了金刚石晶格结构。
10
2.说明： 1). 对于同一晶格，原胞的取法不唯一，但无论如何 选取，原胞均有相同的体积，每个原胞平均只包含一 个格点。
2). 格点对应基元，如果基元由n个原子组成，则每 个原胞包含n个原子。 3). 原胞反映了晶格的周期性，如：平移对称性。
(rR n) (r)
4). 由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反映晶格 的周期性，而不能反映晶格的对称性。
第二节、布拉菲格子 原胞和晶胞
1
1. 晶体结构的周期性
(a)
(b)
(c)
(a)、(b)、(c)为二维晶体结构示意图
三者各自有相同的基本结构单元，且在平面内作周期 性分布
2
1).基元、布拉菲空间点阵、格点和晶格
第一章 晶体的结构
第一章晶体的结构固体材料是由大量的原子（离子或分子）组成的（1cm3体积中大约有1023个原子），这些原子在空间的排列方式称为固体的结构。
根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可以分为晶体、准晶体和非晶体三类。
晶体的结构特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性；准晶体的原子排列也呈现出有序结构，但是没有周期性，即不具有平移对称性；非晶体的原子排列由于近邻原子之间的相互作用，具有一定的短程有序性，但总体上没有规则，属无序结构。
本章首先简单回顾晶体的共性；然后，从晶格的周期性出发，阐述晶体中原子排列的几何规则性。
§1.1 晶体的共性人们最早认识晶体是从观察外部形态开始的。
把具有天然的而不是经人工加工的规律的几何外形的固体称为晶体。
如：石英，锆石英，食盐等，但许多物质，虽然不具有明显的规则多面体外形，却具有晶体性质，也就是说，这种规则的多面体并不能反映晶体的实质，它只是晶体内部某种本质因素的规律性在外表上的一种反映，直到上世纪初，1912年劳厄（德国物理学家）第一次成功茯得晶体对X射线的衍射线的图案，才使研究深入到晶体的内部结构，才从本质上认识了晶体，证实了晶体内部质点空间是按一定方式有规律地周期性排列的。
所以，定义内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
一种晶体的物理性质与组成晶体的元素有关，不同原子构成的晶体，其性质有很大的差别。
有的是良好的导电体，如Al、Cu等；有的则是优良的绝缘体，如Al2O3等。
即使是同种原子构成的晶体，如果结构不同，其性质会有很大的不同，比如金刚石与石英。
不同的晶体除了具有各自的特性外，还具有一些共同的性质。
一、长程有序晶体最突出的特点是长程有序。
晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序排列，称为晶体的长程有序。
晶体可以分为单晶体和多晶体，多晶体是有许多单晶体构成的。
对于单晶体，在整体范围内原子排列都是规则的。
《固体物理基础》晶体的结构
B
0
aA
[ 001]
[ 010]
等效晶向（等效方向）： l m n
等效方向： 100
[ 100]
[ 001]
[10 0 ]
[ 010]
等效晶面：{hkl}
等效晶面：{100}
(001) (010)
(100)
§ 1.4 晶体的宏观对称性
一、点对称操作
对称操作： 若一个空间图形经过一空间操作（线性变换），
晶体的对称轴定理： 晶体中只有1，2，3，4和6五种对称轴
C
AE mAB
mZ
2AB cos AC AB
A
BE
cos m
2
D
m 2 2 1 0 1
3600 1800 1200 900 600
n 1 2 3 4 6
晶体中八种独立的对称要素 ➢ 旋转对称轴 Cn （纯旋转）
C1 (1)
C2 (2)
Bravais格子（14种）
P：简单Bravais格子 C：底心Bravais格子 I：体心Bravais格子 F：面心Bravais格子 R：三方Bravais格子 H：六方Bravais格子
P
Triclinic
P
C
Monoclinic
P
C
I
F
Orthorhombic
R
P
I
Rhombohedral
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
一、正格子与倒格子
正格子与倒格子之间的关系
二、布里渊区
定义
在倒格子中，以某一倒格点为原点，从原点出 发作所有倒格矢的垂直平分面，这些平面把倒格子 空间分成许多部分，形成各个布里渊区。
第一章 晶体的结构 3.20
*如果沿晶向方向的最短格矢为
R l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3
该晶向可记为[l1 l2 l3]。
例如，图中OA晶列的晶向
指数为[311],如果l1 =1, l2= -2, l3 =1, 则晶向表示为 1 2 1 。
(1) 通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一晶列 都有一族平行的晶列与之对应； (2) 平行晶列组成晶列族，晶列族包所有的格点； (3) 晶列上格点分布是周期性的； (4) 晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (5) 在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
• 晶面指数（密勒指数）
*设某一晶面在基矢a1、a2、a3方向的截距为ra1、 sa2、ta3 ，交点为A1、 A2、A3，将系数r、s、t的 倒数简约成互质的整数h1 、h2、h3 ，即
1 1 1 : : h1 : h2 : h3 r s t
则该晶面族的晶面指数，
O
A3
n
N
a3
d
a2
A2 A1
1.2 对称性和布拉菲格子的分类
1.2.1 点群 1.2.2 7个晶系 1.2.3 空间群和14个布拉菲格子 1.2.4 单胞或惯用单胞 1.2.5 二维情形 1.2.6 点群对称性和晶体的物理性质
* 所有的格点周围环境相同，在几何上是完全等价的， 常以此判断某一个点阵是否为布拉菲格子
* 布拉菲格子是一个无限延展的理想点阵。平移任一格
矢Rl ，晶格保持不变，是实际晶体的一个理想的抽象 * 任何一个格矢可由另外两个格矢的和来表示 R l = Rm+ Rn
6. 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶 体结构，即布拉菲格子，如多种金属。
rj x j a1 y j a2 z j a3
R l1 a1 l 2 a 2 l 3 a 3
该晶向可记为[l1 l2 l3]。
例如，图中OA晶列的晶向
指数为[311],如果l1 =1, l2= -2, l3 =1, 则晶向表示为 1 2 1 。
(1) 通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一晶列 都有一族平行的晶列与之对应； (2) 平行晶列组成晶列族，晶列族包所有的格点； (3) 晶列上格点分布是周期性的； (4) 晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (5) 在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
• 晶面指数（密勒指数）
*设某一晶面在基矢a1、a2、a3方向的截距为ra1、 sa2、ta3 ，交点为A1、 A2、A3，将系数r、s、t的 倒数简约成互质的整数h1 、h2、h3 ，即
1 1 1 : : h1 : h2 : h3 r s t
则该晶面族的晶面指数，
O
A3
n
N
a3
d
a2
A2 A1
1.2 对称性和布拉菲格子的分类
1.2.1 点群 1.2.2 7个晶系 1.2.3 空间群和14个布拉菲格子 1.2.4 单胞或惯用单胞 1.2.5 二维情形 1.2.6 点群对称性和晶体的物理性质
* 所有的格点周围环境相同，在几何上是完全等价的， 常以此判断某一个点阵是否为布拉菲格子
* 布拉菲格子是一个无限延展的理想点阵。平移任一格
矢Rl ，晶格保持不变，是实际晶体的一个理想的抽象 * 任何一个格矢可由另外两个格矢的和来表示 R l = Rm+ Rn
6. 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶 体结构，即布拉菲格子，如多种金属。
rj x j a1 y j a2 z j a3
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5
准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
原子的正方堆积
简单立方结构单元
7
体心立方堆积
体心立方结构单元
8
空间点阵——晶体的数学抽象
• 将固体理想化，简化，抽象化 • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、
a1
a2
k
a3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
a2
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
j
a3
a ( ˆi ˆj kˆ ) 2
i 是否Bravais格子？
30
bcc基矢的另一种选取： a 1 a ˆi
a 2 a ˆj
a3
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
P
a3 a1
a2
格点P的位矢：
Pa1a22a3
34
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2
k j
i
a1
35
体心立方：Body-centred cubic
a3 a2
k j
a1
i
36
面心立方：Face-centred cubic
a3 a2
k j
i
a1 37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密
39
密堆积
Up
Down
六角密排 立方密排
ABAB…
ABCABC
…
40
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。
•底心立方（简立方上下面中心各加一点）
•侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习题
41
12
描写晶体的对称性
• 点对称性——周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间)
倒格子 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论
从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的
a3
a2
a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物
晶体
24
25
例：二维六方格子
思 考 ： 布 拉 伐 格 子
26
?
例：Honeycomb structure（蜂巢结构）
思
考
：
布
拉
f
e
伐 格
a
d
子
b
c
?
判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点2？7
• 由矢量（格矢）
•
Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子
M P
a2 Q a1
16
易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 拉伐格子
• 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏，
也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 • 三维 • 二维 • 一维
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
k
i
j
31
面心立方
a1 a2 a3
k j
a1
a 2
( ˆj
kˆ )
a1
a 2
( kˆ
ˆi )
a3
a 2
( ˆi
ˆj )
i
32
简单六角（hc）
a
a3
c
a2
a1
jk i
a 1 a ˆi
a2
a 2
( ˆi
3 ˆj)
a 3 c kˆ
33
晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
Be2O3晶体内部结构
Be2O3玻璃内部结构
4
多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
的程度 • 最大配位数=12（密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小
38
二维Kepler填装问题
1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 三维的证明？？？？ 上限：77.97%(1958)
77.84%(1988) 密堆积：74.04%
绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积的区域
• 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维Wigner-Seitz原胞
22
原胞体积
a1•(a2a3)
一些重要的例子：
• 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc • 简单六角结构：sh
28
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2 a1
k j
i
a 1 a ˆi a 2 a ˆj a 3 a kˆ
29
体心立方：Body-centred cubic（bcc）
以完全相同的方式在空间排列而成
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点(格点)：代表基元的几何点 • 点阵(格子)：结点的总和
晶体结 点 构 阵 基元
结构 具体
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 上晶体结构，基元将填满所有空 间，没有重叠，也没有遗漏
• 思考：基元形状？
用没有大小的 几何点来代表 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐 格子、原胞)
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角
守恒
2
3
非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。
准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
原子的正方堆积
简单立方结构单元
7
体心立方堆积
体心立方结构单元
8
空间点阵——晶体的数学抽象
• 将固体理想化，简化，抽象化 • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、
a1
a2
k
a3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa1
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
a2
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
j
a3
a ( ˆi ˆj kˆ ) 2
i 是否Bravais格子？
30
bcc基矢的另一种选取： a 1 a ˆi
a 2 a ˆj
a3
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
P
a3 a1
a2
格点P的位矢：
Pa1a22a3
34
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2
k j
i
a1
35
体心立方：Body-centred cubic
a3 a2
k j
a1
i
36
面心立方：Face-centred cubic
a3 a2
k j
i
a1 37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密
39
密堆积
Up
Down
六角密排 立方密排
ABAB…
ABCABC
…
40
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。
•底心立方（简立方上下面中心各加一点）
•侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习题
41
12
描写晶体的对称性
• 点对称性——周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间)
倒格子 布里渊区
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晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
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布拉伐格子
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论
从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的
a3
a2
a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物
晶体
24
25
例：二维六方格子
思 考 ： 布 拉 伐 格 子
26
?
例：Honeycomb structure（蜂巢结构）
思
考
：
布
拉
f
e
伐 格
a
d
子
b
c
?
判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点2？7
• 由矢量（格矢）
•
Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
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二维布拉伐格子
M P
a2 Q a1
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易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 拉伐格子
• 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成
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原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏，
也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 • 三维 • 二维 • 一维
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最小重复单元
19
原胞的多重选择
k
i
j
31
面心立方
a1 a2 a3
k j
a1
a 2
( ˆj
kˆ )
a1
a 2
( kˆ
ˆi )
a3
a 2
( ˆi
ˆj )
i
32
简单六角（hc）
a
a3
c
a2
a1
jk i
a 1 a ˆi
a2
a 2
( ˆi
3 ˆj)
a 3 c kˆ
33
晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
Be2O3晶体内部结构
Be2O3玻璃内部结构
4
多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
的程度 • 最大配位数=12（密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小
38
二维Kepler填装问题
1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 三维的证明？？？？ 上限：77.97%(1958)
77.84%(1988) 密堆积：74.04%
绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积的区域
• 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维Wigner-Seitz原胞
22
原胞体积
a1•(a2a3)
一些重要的例子：
• 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc • 简单六角结构：sh
28
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2 a1
k j
i
a 1 a ˆi a 2 a ˆj a 3 a kˆ
29
体心立方：Body-centred cubic（bcc）
以完全相同的方式在空间排列而成
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点(格点)：代表基元的几何点 • 点阵(格子)：结点的总和
晶体结 点 构 阵 基元
结构 具体
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 上晶体结构，基元将填满所有空 间，没有重叠，也没有遗漏
• 思考：基元形状？
用没有大小的 几何点来代表 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵
1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐 格子、原胞)
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角
守恒
2
3
非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。