最新1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐格子、原胞)
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1-1 第一章 晶体的结构(布拉伐 格子、原胞)
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角
守恒
2
3
非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。
• 由矢量（格矢）
•
Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子
M P
a2 Q a1
16
易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 拉伐格子
k
i
j
31
面心立方
a1 a2 a3
k j
a1
a 2
( ˆj
kˆ )
a1
a 2
( kˆ
ˆi )
a3
a 2
( ˆi
ˆj )
i
32
简单六角（hc）
a
a3
c
a2
a1
jk i
a 1 a ˆi
a2
a 2
( ˆi
3 ˆj)
a 3 c kˆ
33
晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
a3
a2
a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物
晶体
24
25
例：二维六方格子
思 考 ： 布 拉 伐 格 子
26
?
例：Honeycomb structure（蜂巢结构）
思
考
：
布
拉
f
e
伐 格
a
d
子
b
c
?
判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点2？7
12
描写晶体的对称性
• 点对称性——周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间)
倒格子 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论
从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的
5
准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
原子的正方堆积
简单立方结构单元
7
体心立方堆积
体心立方结构单元
8
空间点阵——晶体的数学抽象
• 将固体理想化，简化，抽象化 • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、
的程度 • 最大配位数=12（密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小
38
二维Kepler填装问题
1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 三维的证明？？？？ 上限：77.97%(1958)
77.84%(1988) 密堆积：74.04%
绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
Be2O3晶体内部结构
Be2O3玻璃内部结构
4
多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
一些重要的例子：
• 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc • 简单六角结构：sh
28
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2 a1
k j
i
a 1 a ˆi a 2 a ˆj a 3 a kˆ
29
体心立方：Body-centred cubic（bcc）
39
密堆积
Up
Down
六角密排 立方密排
ABAB…
ABCABC
…
40
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。
•底心立方（简立方上下面中心各加一点）
•侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习题
41
• 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏，
也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 • 三维 • 二维 • 一维
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
34
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2
k j
i
a1
35
体心立方：Body-centred cubic
a3 a2
k j
a1
i
36
面心立方：Face-centred cubic
a3 a2
k j
i
a1 37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密
以完全相同的方式在空间排列而成
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点(格点)：代表基元的几何点 • 点阵(格子)：结点的总和
晶体结 点 构 阵 基元
结构 具体
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 上晶体结构，基元将填满所有空 间，没有重叠，也没有遗漏
• 思考：基元形状？
用没有大小的 几何点来代表 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵
a1
a2
k
a3
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
a2
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
j
a3
a ( ˆi ˆj kˆ ) 2
i 是否Bravais格子？
30
bcc基矢的另一种选取： a 1 a ˆi
a 2 a ˆj
a3
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
P
a3 a1
a2
格点P的位矢：
Pa1a22a3
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积的区域
• 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维Wigner-Seitz原胞
22
原胞体积
a1•(a2a3)
晶体特征
• 物理：固定熔点，长程有序，解理性 • 几何：凸多面体，晶棱平行，晶面面积、夹角
守恒
2
3
非晶体：在微米量级范围内，三维空间方向上原子无序排
列构成的固体，非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程 中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中原子（分子）间 的结合是无规则的。
• 由矢量（格矢）
•
Rl=l1a1 + l2a2 + l3a3
给出的所有端点的集合组成布拉伐格子，这里
a1, a2, a3: 基矢（可以有多种选择，一般选择最短） l1, l2, l3: 整数
15
二维布拉伐格子
M P
a2 Q a1
16
易混淆：简单格子、复式格子
• 简单格子：基元中只含有一个原子的晶体=布 拉伐格子
k
i
j
31
面心立方
a1 a2 a3
k j
a1
a 2
( ˆj
kˆ )
a1
a 2
( kˆ
ˆi )
a3
a 2
( ˆi
ˆj )
i
32
简单六角（hc）
a
a3
c
a2
a1
jk i
a 1 a ˆi
a2
a 2
( ˆi
3 ˆj)
a 3 c kˆ
33
晶胞（结晶学原胞）
• 结晶学上常用的重复单元 • 反映点阵对称性 • 原胞体积的整数倍
a3
a2
a1
23
原胞
• 可以只有一个原子 • 多个原子：如金刚石 • 十几个、上百个、成千个原子，如碳管、生物
晶体
24
25
例：二维六方格子
思 考 ： 布 拉 伐 格 子
26
?
例：Honeycomb structure（蜂巢结构）
思
考
：
布
拉
f
e
伐 格
a
d
子
b
c
?
判断根据：能否用 基矢表示所有的点 并且只有这些点2？7
12
描写晶体的对称性
• 点对称性——周期性 • 不同空间
r空间（实空间） 布拉伐格子 原胞
k空间(相空间)
倒格子 布里渊区
13
晶格和晶体结构
• 布拉伐格子，晶格
• 重要的例子 • 原胞 • 晶体结构
14
布拉伐格子
• 晶体周期性的数学抽象
• 布拉伐格子：一个无限的分立的列阵。无论
从这个列阵中的那一点去观察，其周围点的分 布和排列方位都是完全相同的
5
准晶体：1984年Shechtman等人用快速冷却方法制备的
AlMn准晶体，用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之间的 物质结构。
6
最简单、最常见的晶格结构
原子的正方堆积
简单立方结构单元
7
体心立方堆积
体心立方结构单元
8
空间点阵——晶体的数学抽象
• 将固体理想化，简化，抽象化 • 晶体：完全相同的基本结构单元（基元）规则地、重复地、
的程度 • 最大配位数=12（密堆积）！？ • Kepler填装问题：如何排列使空隙最小
38
二维Kepler填装问题
1892年被挪威数学家 Axel Thue证明。 三维的证明？？？？ 上限：77.97%(1958)
77.84%(1988) 密堆积：74.04%
绝大多数数学家相信而所有物理学家都知道
Be2O3晶体内部结构
Be2O3玻璃内部结构
4
多晶体：由两个以上的同种或异种单晶组成的结晶物质。
其中各单晶通过晶界结合在一起的。多晶由成千上万的晶粒构 成，晶粒的尺寸大多在厘米级至微米级范围内变化，多晶没有 单晶所特有的各向异性特征。
液晶：一些晶体当加热至某一温度时转变为介于固体与液体
之间的物质，在一维或二维方向上具有长程有序。当继续加热 至温度时，转变为液体。
一些重要的例子：
• 简单立方结构：sc • 面心立方结构：fcc • 体心立方结构：bcc • 简单六角结构：sh
28
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2 a1
k j
i
a 1 a ˆi a 2 a ˆj a 3 a kˆ
29
体心立方：Body-centred cubic（bcc）
39
密堆积
Up
Down
六角密排 立方密排
ABAB…
ABCABC
…
40
思考题：分析下列结构是否布拉伐格子？请画出原胞并给出基矢。
•底心立方（简立方上下面中心各加一点）
•侧心立方（简立方四个侧面中心各加一点） •棱心立方（简立方十二个棱中心各加一点）
习题
41
• 复式格子：基元中含有一个以上的原子的晶体 （相同或不同原子）
复式格子可以看成由几个布拉伐格子套构而成
17
原胞
• 最小的重复单元，包含一个格点 • 用格矢平移原胞，将填满整个空间，没有遗漏，
也没有重叠 • 选取方法可以不只是一种，但体积相同 • 三维 • 二维 • 一维
18
最小重复单元
19
原胞的多重选择
34
简单立方：Simple cubic (sc)
a3 a2
k j
i
a1
35
体心立方：Body-centred cubic
a3 a2
k j
a1
i
36
面心立方：Face-centred cubic
a3 a2
k j
i
a1 37
配位数
• 离某一粒子最近的粒子，称为该粒子的最近邻 • 配位数：最近邻的粒子数，描写粒子排列紧密
以完全相同的方式在空间排列而成
9
晶格
10
原胞的选取
11
• 结点(格点)：代表基元的几何点 • 点阵(格子)：结点的总和
晶体结 点 构 阵 基元
结构 具体
• 基元平移（没有转动）地放在点阵 上晶体结构，基元将填满所有空 间，没有重叠，也没有遗漏
• 思考：基元形状？
用没有大小的 几何点来代表 基元，这种点 在空间排列成 阵列——点阵
a1
a2
k
a3
ห้องสมุดไป่ตู้
a1
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
a2
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
j
a3
a ( ˆi ˆj kˆ ) 2
i 是否Bravais格子？
30
bcc基矢的另一种选取： a 1 a ˆi
a 2 a ˆj
a3
a 2
( ˆi
ˆj
kˆ )
P
a3 a1
a2
格点P的位矢：
Pa1a22a3
思考：有没有一种原胞，它的选取是唯一的？
20
Wigner-Seitz原胞
• 以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面， 这些中垂面所包含最小体积的区域
• 对称性原胞，与基矢的选择无关，与相应的布 拉伐格子有完全相同的对称性
21
例子：二维Wigner-Seitz原胞
22
原胞体积
a1•(a2a3)