弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用

解：计算梁的支反力
R A RB 0 5 100 1 6 80KN
将梁分为 AC、CD、DB三段 。AC和DB上无荷载，CD段 有向下的均布荷载。 剪力图


q
C E
1.6 1 2

B
D

A
0.2
AC段：水平直线 Q1 = RA = 80 KN CD段： 向右下方的斜直线


q
mA
P=50KN
q 20KN
m
M=5KN.m
K B
A
E C
0.5
D
M A右 mA 96.5KN m
M E mA R A 1 15.5KN m
1
RA
1
3
1
RB
M C 96.5 811.5 50 0.5
0
81KN 31KN
x
+
M D 96.5 81 2.5 50 1.5
RB
剪力图 AE段：水平直线 QA右= QE左 = RA = 81KN ED段：水平直线 QE右 = RA - P =31KN R
A
P=50KN
q 20KN
mA
A E C D
m
M=5KN.m
B
K
1
0.5 1
3
1
RB
DK段：向右下方倾斜的直线
QK= - RB = - 29KN
81KN 31KN
KB段：水平直线
EB：水平直线 (—） QB右 P2 2 KN
Q A右 7 KN QC左 3KN
QC右 1KN
RA
P1 2KN
m 10 KN .m
q 1KN m
RB
P2 2KN
A
QD 3KN
c
4m 4m
D
B
E
Q = - 3KN
4m
3m
QB右 2 KN
F点剪力为零,令 其距A点为x
若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得
M B M A a Q( x )dx
b
式中，MA，MB分别为在 x=a , x=b 处两个横截面 A 及 B上的
弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图 的面积。
例题 计算 下图中的梁 C、 E 两横截面上的 剪力和弯矩。 解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
2
QB Q A a q( x )dx M B
b
M A a Q( x )dx
b


在AC段中 Qc = 80KN，剪力图 为矩形，MA =0
0.2
1
q
C E
1.6

B
D

A
2
M C M A a Q( x )dx
c
M A Q AC
80KN (b)
0 80 0.2 16KN m
dQ(x) dx
= q(x)
发生在全梁或梁段的界面。
在集中力作用处剪力图有
dM(x) = Q(x) dx d M(x)
2
突变，其突变值等于集中
力的值。弯矩图的相应处 形成尖角。
dx
2
= q(x)
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的 值，但剪力图无变化。
表 一、 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征
对图形进行校核 在集中力作用的 C，D 两点 剪力图发生突变，突变值
RA
A
1
P
C
2
P
D
3
RB
B
23.6
P=25.3KN 。 而弯矩图
有尖角。在AC段剪力为正值 。 在CD和DB段，剪力为负值 。
27
+
1.7
最大弯矩发生在剪力改变处，
负号的C点截面处。说明剪 力图和弯矩图是正确的。
4.72
+
例题
一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。
向下的均布 荷载 q<0 无荷载 集中力 P C 集中力偶 m
一段梁上 的外力情 况
C
剪力图的特征
向下倾斜的 直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C

弯矩图的特征
或
+
一般斜直线
或
下凸的二次 抛物线
在C处有尖角
或
在C处有突变 m 在紧靠C的某 一侧截面
最大弯矩所在 截面的可能位 在Q=0的截面 置
在剪力突变 的截面
点的横截面上。 +
单位：KN.m
M max 48KN m
例 作梁的内力图
RA
P1 2KN
m 10 KN .m
q 1KN m
RB
P2 2KN
A
c
4m 4m
D
B
E
4m
3m
解：支座反力为
R A 7 KN
RB 5KN
RA
将梁分为AC、CD、 DB、BE 四段
A
P1 2KN
处荷载集度的大小
d M(x)
dx
2
2
= q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点
处剪力的大小。
q(x)、Q（x）图、 M（x）图三者间的关系
梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 dQ(x)
dx
Q(x)图为一向右下方倾斜的直线
= q(x)
dM(x) = Q(x) dx d M(x) dx
2 2
P2 2KN
M D左 16
M max M F 20.5
A
c
4m
F
D
B
E
M D右 6
M B 6 ME 0
4m
4m
6
3m
+
20 6
16 20.5
分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系
dQ( x ) q( x ) dx
若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则
31KN.m
29KN
DK段：向上凸的二次抛
0KN
m
M=5KN.m
K B
M K RB 1 m
29 1 5 34KN.m
RA
A
E C
0.5
D
1
1
3
1
RB
在 Q=0 的截面上弯矩有
1 16 80( 1 0.2 ) 48KN .m 2
+
80KN
例题 用简易法作 所示组合梁的 剪力图和弯矩图。 解：
P=50KN
已求得支座反力为
q 20KN
mA
A E C D
m
M=5KN.m
RA=81KN
RB=29KN mA=96.5KN.m
K
B
1
0.5 1
3
1
RA
将梁分为AE，EC， CD，DK，KB五段。
QB左= - RB = - 29KN
(b)
+
29KN
P=50KN
mA
q 20KN
m
M=5KN.m
B
设距 K 截面为 x的截面上 剪力 Q=0 。即
RA
A
E C 0.5 1
D
K
1
3
1
RB
Q x R B qx 0
81KN
x
x
RB 1.45m q
31KN
+
29KN
弯矩图 AE，EC，CD梁段均 为向下倾斜的直线
7KN 3KN
+
F
2KN
1KN
Qx R A qx P1 0
X=5m X =5m
+
3KN
弯矩图 AC：( )
RA
P1 2KN
m 10 KN .m
q 1KN m
RB
P2 2KN
q 2 4 Mc RA 4 20 2
MA0
A
CD：(
)
4m 7KN
c
4m
D
B
E
M D左 7 P2 3RB m 16
m 10 KN .m
q 1KN m
RB
P2 2KN
c
4m 4m
D
B
E
剪力图
4m
3m
Q A右 R A 7 KN AC：向下斜的直线（）
QC左 R A 4q 3KN
QD P2 RB 3KN
CD：向下斜的直线 ( ) QC右 R A 4q P11KN DB：水平直线 (—） Q =P2 -RB=- 3KN
例题 一简支梁受两个力P作用如图 a 所示。
已知 P= 25.3KN，有关尺寸如图所示。 试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。 解：求梁的支反力。由平衡 方程 mB=0 和 mA=0
RA
A
P
C
200
P
D
115
RB
B
得
R A 23.6 KΝ
RB 27 KN
将梁分为AC，CD，DB三段。 每一段均属无外力段。
RA
A
1
P
C
2
P
D
3
RB
B
C、D、B各点处横截面上的弯矩。
200
115
1265
MA0
M C R A 200 4 72KN m
4.72
M D RB 115 3 11KN m
+
MB 0
最大弯矩发生在 C 截面
单位：KN.m
M max 4 72KN m
M max M F 20.5
4m
3m
DB：( )
M D右 7 P2 4 RB 6
M B 3 P 2 6
3KN
+
F
2KN
1KN
+
BE：() M E 0
X =5m
3KN
MA0
M c 20
RA
P1 2KN
m 10 KN .m
q 1KN m
RB
DB段： MB = 0
80KN
MA0
M C R A 0.2 16KN.m


q
1 2

B D

A C 0.2
1 2
M D RB 0 2 16KN m
1 2 1 q (1 02) 48KN m M E RA 2
E
1.6
MB = 0
全梁的最大弯矩梁跨中E
a dQ( x ) a q( x )dx
b b
Q(b ) Q( a ) a q( x )dx
b
QB Q A a q( x )dx
b
式中，QA，QB分别为在 x=a , x=b 处两各横截面A及B上的剪力。 等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。
dM ( x ) Q( x ) dx
1265
剪力图 每段梁的剪力图均为水平直线 AC段：Q1 = RA =23.6KN
RA
A
1
P
C
2
P
D
3
RB
B
200
115
CD段：Q2= RA-P = -1.7KN DB段：Q3 =- RB = - 27KN
23.6
1265
最大剪力发生在DB段中的 任一横截面上
+
1.7
Qmax 27 KN
27
弯矩图 每段梁的弯矩图均为斜直线。且 梁上无集中力偶。故只需计算A、
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用
弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系 设梁上作用有任意分布荷载 其集度 q = q(x)
y P m x
规定：q(x)向上为正。
将 x 轴的坐标原点取在
q(x)
梁的左端。
y
P
假想地用坐标为 x 和 x+dx的
两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段。 m-m截面上内力为Q(x)， M(x) x+dx 截面处 则分别为
m
m
n
n
m
x
q(x)
x
dx
m
Q(x)
n
M(x)+dM(x)
Q(x)+dQ(x), M(x)+dM(x) 。 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化
M(x)
C
m
q(x)
n
Q(x)+dQ(x)
m
n
M(x)+dM(x)
写出平衡方程
Y= 0 Q(x) - [Q(x)+dQ(x)] + q(x)dx = 0
= q(x)
Q(x)
o
x
梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0
剪力图为一条水平直线 弯矩图为一斜直线 dQ(x) dx = q(x)
dM(x) = Q(x) dx
d M(x) dx
2 2
= q(x)
Q(x)
o
x
o
x
o
x
M(x)
M(x)
梁上最大弯矩可能发生在
Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力


q
1 2

B D

MA0 M C R A 0.2 16KN.m
CD段：
0.2
A C
1 2
E
1.6
M D RB 0 2 16KN m
其极值点在Q=0的中点E处的
80KN
横截面上。
1 2 1 q (1 02) 48KN m M E RA 2
+
1 2

B D

A C 0.2
1 2
QC R A 80 KN
E
1.6
Q D R B 80 KN
DB段：水平直线
QB左 RB 80 KN QB右 0
最大剪力发生在 CD 和 DB
80KN
+
Qmax 80 KN ( , ) 段的任一横截面上。
80KN
弯矩图 AC段：
QB Q A a q( x )dx
b
MB
M A a Q( x )dx
b
QC Q A a q( x )dx
c
Q A 0 R A 80 KN


q
C E
1.6 1

B
D

QE QC c q( x )dx
e
A
0.2
QC q CE
80 100(1 0.2) 0
+
80KN
QB Q A a q( x )dx M B
b
M A a Q( x )dx
b


在CE段中，剪力图为三角形 QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1
q
C E
1.6

B
D

A