基本不等式及其应用

( A)x2 y2, x y (B)x2 y2 , 2xy
(C)x y, 2xy (D)x y, 2 xy
❖ 练3.已知x<0,求x 4 的最大值（D ） x
( A)1
( B ) 2
(C )3
( D )4
❖ 练4.已知a,b R且a b 4，则下列各式恒 成立的是（D ）
(A) 1 1 ab 2
❖ 基对本任不意正等数式a2、b，有 a b 2 ，ab
当且仅当a=b时等号成立。
练一练
❖ 练1.如果a、b R ，且ab 0 ，那么下列 不等式中正确的是D（ ）
( A )a2 b2 2ab ( B )a b 2 ab
(C)1 1 2 a b ab
(D)b a 2 ab
❖ 练2.若 0 x 1,0 y 1, 且 x y， 求x2 y2 ，x y ，2xy ，2 xy 中的最大数 和最小数分别为C（ ）
对任意实数a和b，有 a2 b2 2a，b
当且仅当a=b时等号成立。
思考：你能给出基本不等式1的证明吗？
证明： Q a2 b2 2ab (a - b)2 0, （作差法）a2 b2≥2ab.
当a b时 (a b)2 0 当a b时 (a b)2 0
所以，当且仅当 a b时，a2 b2 2ab
CD ab
ab a b 2
当且仅当DO与DC重合，即a=b时，等号成立。 几何平均数
算数平均数
例1
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❖ 已知 x 0，求 x 的1 最小值。
x
解: x 0
x 1 2 x 1 2 利用基本不等式2
x
x
当且仅当x 1 即x 1时等号成立 x
当x 1时，x 1 取到最小，最小值为2 x
探新 D
大正方形ABCD的面积
S=＿a2＿+＿＿b2
a2 + b2
四个直角三角形的面积之
和S1=＿2＿ab＿＿
b
如图S与S1有怎样的不等
G
F
C
关系？
S S1即 a2 b2 2ab A
aH E
当小正方形EFGH退化成 一点时，S=S1。即，当 D 且仅当a=b时，等号成立。
C A
B
B
基本不等式1
❖ 勾股定理 证明方法
❖ 赵爽弦图
忆旧 D
❖ 大正方形ABCD的
面积S=＿c＿2 ＿＿
c
❖
四个直角三角形的 面积之和S1=2＿ab＿
b
G
F
C
＿＿
(b a)2 A
❖ 小正方形EFGH的
aH E
面积SS 2=S＿1 ＿S2＿＿
❖ 由c2 图 2ab (b a)2
c2 a2 b2 勾股定理
则
B
ab
解：不正确。反例 a 1且b 1时不符。
小贴士：当
ab 0
时， b a
a b
2 成立。
ab 0 b 0, a 0 由基本不等式2
ab
b a 2 b a 2当且仅当 a=b等号成立。
ab
ab
归纳小结
❖ 对基任本意不实等数式a1和b，有a2 b2 2ab ， 当且仅当a=b时等号成立。
等号成立。
变式
替换后得到：( a )2 ( b )2≥2 a b
即：a b≥2 ab
基本不等式2
对任意正数a、b，有 a b 2 ，ab
当且仅当a=b时等号成立。
基本不等式2几何证明
ADB 90
AO OB
DO 1 AB a b
2
2
ACD～DCB AC CD
CD BC CD2 AC BC
已知 x 0 ，求例x1（1 的变最）大值。
x
解: x 0
利用基本不等式2
x
1 x
(x)
(
1 x
)
2
(x) ( 1 ) 2 x
当且仅当x 1 即x 1时等号成立 x
当x 1时，x 1 取到最大，最大值为 2 x
❖ 已知 ab ，0 试判断例b2 a 是 否2 正确。并说
明理由。
(C) ab 2
(B) 1 1 2 ab
(D) a2
1 b2
1 4
❖ 练5.若 a b 0，则下面不等式正确的是
(C )
(A) 2ab a b ab ab 2
(B) a b 2ab ab 2 ab
(C) 2ab ab a b
ab
2
(D) ab 2ab a b ab 2