第十六讲 窄带随机过程统计特性
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2.5 窄带随机过程
可见， 服从均匀分布。
第2章
随机过程
结论：
其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位 t 的一维分布 t 是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与 是统计独立 一个均值为零，方差为 2 的窄带平稳高斯过程 ξ(t) ，
的，即有下式成立：
f (a , ) f (a ) f ( )
s (t ) a (t ) sin (t )
第2章
随机过程
2.5.1同相和正交分量的统计特性 t 的统计特性可由 a t , t 或c t , s t 的统计特性
确定。反之亦然。 1. 数学期望 2 设窄带过程是平稳高斯窄带过程，且均值为0，方差为 。 对式（2.5 - 2）求数学期望: E[ (t )] E[c (t )]cos ct E[s (t )]sin ct （2.5-5） 因为已设ξ(t)平稳且均值为零，那么对于任意的时间t，都有E ［ξ(t)］=0，所以由式（2.5-5）可得
E[ c (t )] 0 E[ s (t )] 0
（2.5-6）
第2章
随机过程
2. 自相关函数
R (t, t ) E[ (t ) (t )]
E{[ c (t ) cosc t s (t ) sin c t ]
[ c (t ) cosc (t ) s (t ) sin c (t )]}
第2章
随机过程
另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都
是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有
t t1 0 时, (t1 ) c (t1 )
t t2 时, (t2 ) s (t2 ) 2c
5.7窄带随机过程包络和初相的特性
T0 Tc
T0 1 / c
在一个高频周期T0内，a(t)的变差均方值远小于其均方值。
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窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
利用切比雪夫不等式： P
X − E[ X ]
2 X 2
P
a(t + T0 ) − a(t)
E[[a(t
+ ) 2
− a(t)]2 ]
c2T02E[a2 (t)] 2
对于窄带随机过程，在一个高频周期内， a(t) 变化的概率趋于0，
即a(t) 为慢变化的随机过程。
同理， b(t) 也为慢变化的随机过程。
窄带随机过程包络和初相的特性
包络：
A(t) = a 2 (t) + b2 (t) 1/ 2 b(t)
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
cos = 1− 2sin2 ( / 2) ，且 | sin |
1− cos
= 2 sin2
2
2
2
2
=
2 2
2
Ra
(0)
−
Ra (
)
=
1
2
− Sa ()[1− cos ]d
1
2
c −c
Sa
()
2
2
2
d
1 c2 2 2 2
Hale Waihona Puke 窄带随机过程a(t)和b(t)的特性
证明：（以a(t)为例）
a(t) 的功率谱满足： Sa () = 0 c 0,c 0
E[[a(t + ) − a(t)]2 ] = 2[Ra (0) − Ra ( )]
随机过程的统计特性中小学PPT教学课件
FX ( x1, x2; t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
国；
•我国的杂交水稻更是举世闻名； •我国水稻的栽培技术也是突出的。
2021/2/12
42
2、分布与区划
Ⅰ.华南双季稻作带（区）：本区位于南岭以南。双季稻为主，品种 有早、中、晚籼稻。
Ⅱ.华中单双季稻作区：本区位于南岭以北，秦岭淮河以南。双季稻 为主，品种早、中籼。
Ⅲ.西南高原单双季稻作区：本区位于云贵高原和青藏高原。稻麦 （蚕豆）两熟，双季稻或单季稻、低地多籼稻，高地多粳稻。
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
主 讲 内 容 ： 6学时
●概述
●生长发育
●种稻的土肥水条件
●栽培技术
2021/2/12
34
●概 述 ▲水稻生产在国民经济中的地位
▲水稻的分布与生产概况
▲栽培稻的起源和类型
e j1x1 j2x2
f X ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
定义为随机过程X(t)的二维特征函数。
fX (x1, x2;t1,t2 )
1
4 2
X
(1,2;t1, t2 )e j1x1 j2x2d1d2
随机过程的特征函数与矩函数之间的 关系为：
称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。
若 FX ( x1, x2;t1, t2 ) 对x1,x2的偏导数 存在，则定义
fX
(x1, x2;t1, t2 )
2 FX
(x1, x2;t1, t2 ) x1x2
国；
•我国的杂交水稻更是举世闻名； •我国水稻的栽培技术也是突出的。
2021/2/12
42
2、分布与区划
Ⅰ.华南双季稻作带（区）：本区位于南岭以南。双季稻为主，品种 有早、中、晚籼稻。
Ⅱ.华中单双季稻作区：本区位于南岭以北，秦岭淮河以南。双季稻 为主，品种早、中籼。
Ⅲ.西南高原单双季稻作区：本区位于云贵高原和青藏高原。稻麦 （蚕豆）两熟，双季稻或单季稻、低地多籼稻，高地多粳稻。
nX ( n
,
t)
| 0
相关函数与二维特征函数之间的关系为：
RX
(t1, t2 )
2X
(1,2 ; t1, t2 ) 12
|12 0
主 讲 内 容 ： 6学时
●概述
●生长发育
●种稻的土肥水条件
●栽培技术
2021/2/12
34
●概 述 ▲水稻生产在国民经济中的地位
▲水稻的分布与生产概况
▲栽培稻的起源和类型
e j1x1 j2x2
f X ( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
定义为随机过程X(t)的二维特征函数。
fX (x1, x2;t1,t2 )
1
4 2
X
(1,2;t1, t2 )e j1x1 j2x2d1d2
随机过程的特征函数与矩函数之间的 关系为：
第6章 窄带随机过程
xˆ
2
(
t
)dt
x
2
(t
)dt
lim 1 T xˆ 2 (t)dt lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
T 2T T
上 海 大 学 通 信 学 院
上 海 大 学 通 信 学 院
3
2016/10/28
上
海 三、窄带随机过程的性质
大
学
通 问题：若已知Z(t)的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性RZ ( ) 信 （讨论平稳窄带过程），则其B(t)和 (t ) 或X(t) 和Y (t)
性质4．
RX
(
)
1
0 GZ ()cos[( 0 ) ]d
性质5． RX ( ) RY ( )
性质6．
RXY
(
)
1
0 GZ ()sin[( 0 ) ]d
性质7． RY X ( ) RXY ( ), RXY ( ) RXY ( )
上
海
大 学
性质8． RXY (0) E[X(t)Y(t)] 0, RY X (0) 0
(
f
)，奇函数
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
1
2016/10/28
上
海 大
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余
学 的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( f )，即可。
通
信 学
若只取正频域频谱
S ( f )，则
S
(
f
)
S (
f
)，即S ( f ) 不满
院 足共轭对称性，且 S ( f ) 时域复信号。
s( t )
h( t )
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
高斯 同一时刻不相关
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
六.窄带随机过程
(2)
ˆ x(t ) 的希尔伯特变换为 x(t )
ˆ H [ x(t )] x(t )
两次希尔伯特变换相当于连续两次 900 相移，结果 正好是 1800反相
9 2013-7-21
1.2 希尔伯特变换性质(3)
(3)
y(t ) v(t ) * x(t ) 的希尔伯特变换为
ˆ ˆ ˆ y (t ) v (t ) * x (t ) v (t ) * x (t )
1 x (t ) d
反变换
ˆ x( ) ˆ x(t ) H [ x(t )] d t ˆ 1 x(t ) d
1
1
ˆ 1 x(t ) d
5
2013-7-21
CZ1Z2 E (Z1 mZ1 )* (Z2 mZ2 )
15 2013-7-21
1.3 复随机过程
若X与Y分别是实随机变量，定义
Z (t ) X (t ) jY (t )
为复随机变量 均值： 方差:
mZ (t ) mX (t ) jmY (t )
DZ (t ) DX (t ) DY (t )
H ( )
一个典型的确定性窄带信号可表示为 窄带系统
白噪声
X (t )
Y (t )
x 系统示意图 或宽带噪声 ( t ) a ( t ) cos[ 0 t ( t )]
x(t ) y(t ) a(t ) ——幅度调制或包络调制信号
窄带噪声
0
窄带系统传递函数
(t ) ——相位调制信号
1.1 希尔伯特变换
窄带随机过程《通信原理》
窄带随机过程
1．窄带随机过程的定义
若随机过程ξ(t)的谱密度集中在中心频率f c附近相对窄的频带范围Δf内，即满足
条件，且f c远离零频率，则称该ξ(t)为窄带随机过程。
2．窄带随机过程的表示
①一般正弦表达式
窄带随机过程的样本的波形如同一个包络和相位随机缓变的正弦波。
即
式中，及分别为窄带随机过程ξ(t)的随机包络和随机相位；为正弦波的中心角频率。
②三角函数展开式
式中，ξc(t)是ξ(t)的同相分量；ξs(t)是ξ(t)的正交分量，则
3．窄带随机过程的统计特性
（1）ξc(t)和ξs(t)的统计特性
一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)：
①它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)同样是平稳高斯过程；
②ξc(t)和ξs(t)的均值为零，方差相同；
③在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。
（2）的统计特性
一个均值为零、方差为的窄带平稳高斯过程ξ(t)：
①包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布；
②就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即。
窄带随机过程
0
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
0 为高频载波。
窄带随机过程----- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波
ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)
0
0
0
0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z(t ) 。
t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
sˆ(t) H[s(t)] 1 s( ) d
t
s(t) H 1[sˆ(t)] 1 sˆ( ) d sˆ(t) * 1
t
1
全通滤
| H( )|
波器
H ( )
0
90
1
0
f
0
f
0
90
表达式(二)： Z(t) X (t)cos 0t Y (t)sin0t
其中：
X (t ) B(t )cos (t ) Y (t ) B(t )sin(t )
B(t ) X 2 (t ) Y 2 (t ), tan (t) Y (t) / X (t)
由于 cos 0t 与sin0t 正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布 余弦波加窄带高斯过程
§6.1 窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的，
它们远小于其中心频率 ，0 这种系统只允许输入信号靠近
6.窄带与正弦波加窄带随机过程
于是， 由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rsc(0)=Rcs(0)=0
(3.5 - 15)
于是，由式（3.5 - 9）及式（3.5 - 10）得到
Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)
(3.5 - 16)
即σ2ξ=σ2c=σ2s
(3.5 - 17)
பைடு நூலகம்
这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因
3.5 窄带随机过程
•窄带过程: 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出. •窄带系统: 是指其通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。 •窄带随机过程 实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通 过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪 声又是随机的，则称它们为窄带随机过程. •窄带噪声的波形:
再取使cosωct=0的所有t
(3.5 - 9)
Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ (3.5 - 10)
其中应有
Rs(t, t+τ)=Rs(τ) Rsc(t, t+τ)=Rsc(τ)
由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过 程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。
由式（3.5 - 1）至(3.5 - 4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)， φξ(t)或ξc(t),ξs(t))的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计 特性则可确定aξ(t),φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。
3.5.1 窄带过程的同相和正交分量的统计特性
设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差 为σ2。下面将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均 值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。
窄带平稳随机过程
❖ 窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同相 分量正交
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
❖ 其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
❖ 形式
x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
❖ 包络
R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
正交且功率相同。
白噪声
❖ 定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
❖ 高斯白噪声经过带通系统
n t nc t cosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
t
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 的高斯随机变量2，因此它们独立
（窄带高斯过程的性质），则
令
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
则 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
nc r cos , ns r sin
I0
x
2
0
1
2
exp x
cos
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
4.3窄带随机过程的基本特点
果 带 程 单 功 谱 关 称 , 5. 如 窄 过 X (t)的 边 率 是 于ω0对 的 那 A (t)和 S (t)的 相 函 和 功 谱 为 , 么C A 互 关 数 互 率 恒 零 两 低 过 正 ,即: 个 频 程 交 RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = 0 SAC AS (ω) = SAS AC (ω) = 0
2 2 2 σA =σA =σX
C S
16
4. A (t)与 S (t)的 相 函 为 函 ,且 : A 互 关 数 奇 数 有 C RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = RAC AS (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) A 在 一 刻 A (t)与 S (t)正 ,即: 同 时 , C 交 RAC AS (0) = RAS AC (0) = 0
6
RAC (t , t + τ ) = E[{ X (t ) cos(ω0t ) + X (t ) sin(ω0t )} { X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ ) + X (t + τ ) sin(ω0t + ω0τ )}]
= R X (τ ) cos(ω0t ) cos(ω0t + ω0τ ) + R X (τ ) sin(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) cos(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) sin(ω0t ) cos(ω0t + ω功率谱是关于
ω 0 对称 , 则有 : S A
C
AS
(ω ) = S AS AC (ω ) = 0
2 2 2 σA =σA =σX
C S
16
4. A (t)与 S (t)的 相 函 为 函 ,且 : A 互 关 数 奇 数 有 C RAC AS (τ ) = RAS AC (τ ) = RAC AS (τ ) SAC AS (ω) = SAS AC (ω) A 在 一 刻 A (t)与 S (t)正 ,即: 同 时 , C 交 RAC AS (0) = RAS AC (0) = 0
6
RAC (t , t + τ ) = E[{ X (t ) cos(ω0t ) + X (t ) sin(ω0t )} { X (t + τ ) cos(ω0t + ω0τ ) + X (t + τ ) sin(ω0t + ω0τ )}]
= R X (τ ) cos(ω0t ) cos(ω0t + ω0τ ) + R X (τ ) sin(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) cos(ω0t ) sin(ω0t + ω0τ ) + R XX (τ ) sin(ω0t ) cos(ω0t + ω功率谱是关于
ω 0 对称 , 则有 : S A
C
AS
(ω ) = S AS AC (ω ) = 0
第5章 _窄带随机过程
综合： 零均值窄带平稳高斯过程 X (t ) 的同相分量 Ac (t ) 和正交分量 As (t ) 也是具有相同方差的零 均值平稳高斯过程。 5.1.2 包络和相位的概率密度 反过来， X (t ) 可用两个分量来描述： 幅度
A(t ) = Ac2 (t ) + As2 (t ) ，相位
Φ(t ) = arctan
n(t ) 是均值为零、方差为 σ 2 的高斯随机信号，得 n(t ) 的概率密度函数： f n (t ) = 1 2πσ e
− n2 2σ 2
5‐ 5 / 7
又 n(t ) = X (t ) − a cos ωt ，带入上式即可得到 X (t ) 的概率密度函数：
f X (t ) =
1 2πσ
S m (t ) 的功率谱密度 Ps ( f ) 与其自相关函数 Rs m (τ ) 是一对傅立叶变换对。则有：
5‐ 6 / 7
1 Ps (ω) = FT [Rs m (τ )] = FT [ Rm (τ )cos(ω cτ )] 2 1 = [Pm (ω) ∗ Pc (ω)] 2
其中 Pm ( f ) 是 m(t ) 的功率谱密度， Pc (ω) 是 cos(ω cτ ) 的频谱， 又因为 Pc (ω) = π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 所以 1 1 Ps (ω) = i Pm (ω) * π[δ(ω − ω c ) + δ(ω + ω c )] 2 2π 1 = [Pm (ω − ω c ) + Pm δ(ω + ω c ] 4 1 1 功率 P = Rs m (0) = Rm (0)cos 0 = 2 2 1 ∞ 1 ∞ 1 或则 P = Ps (ω)d ω = dω = [Pm (ω − ω c ) + Pm (ω + ω c )] ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞ 2 XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
窄带随机过程
一. 非线性变换系统信噪比的计算
1、同步检波器
s(t)+n’(t)
s(t)+n (t) d(t)
窄带中放
低通滤波器
sD(t)
cos2fct 同步振荡器
Gn'
f
1 2
N0
s(t) a(t) cos 2fct
SNRo
a2 t
f Nc
2 SNRI
一. 非线性变换系统信噪比的计算
2、包络检波器
s(t)+n(t)
2、窄带随机过程的准正弦振荡表示
任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为：
X (t) A(t) cos[0t (t)]
其中 A(t), (t) 都是慢变化的随机过程。
莱斯(Rice)表示： X (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
AC (t) A(t) cos (t) 同相分量 AS (t) A(t) sin (t) 正交分量
H () 2
2
1
0
0
X (t)
A
B
带通滤波器
包络检波器
N (t )
Hale Waihona Puke H () 2 21
0
0
RY ( ) RX ( ) RNC ( ), GY ( ) GX ( ) GNC ( )
GNC () | H () |2
GN () | H () |2
N0 2
N0 2
1
1
|
| 0
0,
,
0
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
4.3 窄带随机过程的基本特点及解析表示
RAC AS RAS AC 0
即： AC t 与
S AC AS S ASA 0
C
AS t 处处正交
结论：
X(t)宽平稳，期望为0的实窄带随机过程, Ac(t),As(t) 低频过程
性质： （1）Ac(t),As(t) 期望为0，低频、平稳过程，且 联合平稳 （2）自相关函数，功率谱密度相同
RAc () RAs () S Ac () S As ()
（3）Ac(t),As(t)与X(t)平均功率同，方差同
（4）Ac(t),As(t) 互相关函数为奇函数
互谱密度相反
（5）同一时刻Ac(t),As(t)正交
(6)若X(t)单边功率谱关于ω0对偶，则两低频Ac(t),As(t) 过程始终正交（互谱密度，互相关函数横为0）
直接得到困难
X (t )
A(t ) (t )
AC (t ) AS (t )
展开成另一种表达形式(莱斯表示式):
X t A t cos 0 t t
A t cos t cos 0t A t sin t sin 0t
1．均值：零均值
ˆ t sin t 0 E A t E X t cos t X 0 0 C
ˆ t cos t 0 E A t E X t sin t X 0 0 S
4.3.2 平稳窄带随机过程的特点
这节讨论的X(t)是任意的宽平稳、数学期望为零的 实窄带随机过程。
对窄带过程取希尔伯特变换
X t AC t cos 0 t AS t sin 0 t ˆ X ( t ) AC t sin 0 t AS t cos 0 t
第5章 窄带随机过程
而且带宽 满足 <<0 ，则称此随机过程为 2 C 窄带平稳随机过程。
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
二. 窄带随机过程的表示方法
1、窄带随机过程的莱斯(Rice)表示式
任何一个实平稳窄带随机过程Y(t)都可以表示为：
Y ( t ) A ( t ) c o s t A ( t ) s i n t C 0 S 0
0 0
正 交 滤 波 器
H() 1
/2 0 ( ) 0 /2
相频特性为：
二. 希尔伯特（Hilbert）变换的性质
证明：
证明：
（8）偶函数的希尔伯特变换是奇函数， 奇函数的希尔伯特变换是偶函数。
（9）解析过程的性质 若X(t)平稳，则 Xˆ ( t ) 也平稳，且联合平稳
R )R ( ) ˆ( X X
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R 0 )R 0 ) ˆ( X( X
R X Xˆ ( ) 是奇函数。
ˆ ( R ( ) R ) ˆ X X X
R ( 0 ) R ( 0 ) 0 ˆ ˆ X X X X
表明同一时刻X(t)与其希尔伯特变换正交。
ˆ A ( t ) X ( t ) s i n t X ( t ) c o s t
ˆ A ( t ) X ( t ) c o s t X ( t ) s i n t C 0 0
S 0 0
2 2 A 1 A c t s t f ( A , A ) f ( A ) f ( A ) 2 e x p 2 A A c t s t A c t A s t cs c S 2 2
5.1 希尔伯特变换 5.2 窄带随机过程的统计特性 5.3 窄带正态随机过程包络和相位的分布 5.4 信号处理实例—通信系统的抗噪性能分析
窄带随机过程
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5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
上一页一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
窄带随机过程
n0 Pξ (ω ) = , w / Hz 2
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值，所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2．带限白噪声 定义： 白噪声限制于（-f0,f0）之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号，假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c；ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
由Pξ (ω ) R(τ )
因为R(τ )在τ = 0才有值，所以白噪声只与τ = 0相关
(三)
∴ R(τ ) =
宽 带 过 程
n0 δ (τ ) 2
2．带限白噪声 定义： 白噪声限制于（-f0,f0）之内
白噪声 n0/2 n0/2
R(τ ) = f 0 n0 S a (ω 0τ )
FT
1 H [ f (t )]= f (t ) πt
H [a (t )Cosω c t ]
j ω ←→ Sgn [A(ω ω c ) + A(ω + ω c )] 2 2π
FT
1 jA(ω + ω c ) ω < 0 X H ( jω ) = 2 1 2 jA(ω ω c ) ω > 0
X(w)
△f
0
fc
f
1 xH (t ) = F [X H ( jω )] = 2π
1
{∫
∞ j 0 2
A(ω ω c )e dω + ∫
jωt
j ∞ 2
0
A(ω + ω c )e jωt dω
}
因为是窄带信号，假设a(t)带宽为(-W,W)
ω c +W j ω c +W j 1 j ωt = A(ω ω c )e dω + ∫ A(ω + ω c )e jωt dω ω c W 2 2π ∫ω c W 2 分别令ω ' = ω ω c；ω ' = ω + ω c
R(τ)
带限白噪声
Pξ(w) n0/2
1/2f0
-f0
f0
r (t ) = ACos (ω c t + θ ) + n(t )
第十六讲 窄带随机过程统计特性
其中： Ac (t) A(t) cos (t)
As (t) A(t) sin (t)
A(t) Ac2 (t) As2 (t)
(t) tg 1 Ac (t) As (t)
4
2、莱斯表示窄带随机过程统计特性
• Rc ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0 Rs ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0
• Rcs ( ) Rcs ( ) Rcs (0) 0
即 Ac (t)、 As (t) 在同一时刻是相互正交的。
6
• 若Y(t)具有对称形式的功率谱
Rcs ( ) 0
即 Ac (t)、 As (t) 是相互正交的随机信号。
Rc ( ) Ra ( )
RY ( ) Rc ( ) cos0
7
3、复信号表示统计特性
0; t 0
的线性滤波器，求滤波器输出的功率谱密度。
11
计算机作业
假定一具有抽样序列｛X(n)｝的白噪声随机过程X(t)通过一 脉冲响应为
(0.95)n; n 0 h(n)
0; n 0
的线性滤波器，绘出输入输出信号的均值、方差、相关函数 及功率谱密度。
12
计算机作业
如果信号X(t)的表达式为：
RA%() 2[Rc () jRcs ()]
GA%() 2[1 sgn( 0 )]GY ( 0 )
RY~ ( ) RA~ ( )e j0
GY%() GA%( 0 ) 2[1 sgn()]GY ()
若Y(t)具有对称形式的功率谱
RY~ ( ) 2Rc ( )e j0
RY ( ) Rc ( ) cos0
若Y(t)平稳，则AC(t)、AS(t)平稳； AC(t)、 AS(t)的相关函数相等，方差相等，功率谱密度相等； RY(0)=RS(0)=RC(0)，表明低频过程AC(t)、AS(t)和窄带过程 Y(t)平均功率相等。
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X (t) cos(2 47t) cos(2 219t) n(t)
其中0t 10，以每秒1000个抽样速率对X(t)进行抽样， 用Matlab求出该信号的功率和功率谱密度 脉冲响应为
GX ( f ) 1
的白噪声随机过程X(t)通过一
et ; t 0 h(t)
X (t) sin c(100t) cos(200*200t)
1、绘出信号及其幅度频谱曲线； 2、当f0＝200Hz时，求出其低通等效信号并绘出其幅度频谱、
信号的同相、正交分量及包络； 3、当f0＝100Hz时，求出其低通等效信号并绘出其幅度频谱、
信号的同相、正交分量及包络。
13
RA%() 2[Rc () jRcs ()]
GA%() 2[1 sgn( 0 )]GY ( 0 )
RY~ ( ) RA~ ( )e j0
GY%() GA%( 0 ) 2[1 sgn()]GY ()
若Y(t)具有对称形式的功率谱
RY~ ( ) 2Rc ( )e j0
RY ( ) Rc ( ) cos0
0; t 0
的线性滤波器，求滤波器输出的功率谱密度。
11
计算机作业
假定一具有抽样序列｛X(n)｝的白噪声随机过程X(t)通过一 脉冲响应为
(0.95)n; n 0 h(n)
0; n 0
的线性滤波器，绘出输入输出信号的均值、方差、相关函数 及功率谱密度。
12
计算机作业
如果信号X(t)的表达式为：
8
计算机作业
按如下线性概率密度传输一个1000个均匀随机数的集合。
f
(
x)
x / 2;
0;
0 x2 other
1、计算该序列均值、方差与理想均值方差的误差大小， 改变序列个数重新计算；
2、绘出该序列的直方图和概率密度函数。
9
计算机作业
如果信号的持续时间为10，且该信号是频率分别为单位 功率47Hz、219Hz正弦信号及白噪声之和
若Y(t)平稳，则AC(t)、AS(t)平稳； AC(t)、 AS(t)的相关函数相等，方差相等，功率谱密度相等； RY(0)=RS(0)=RC(0)，表明低频过程AC(t)、AS(t)和窄带过程 Y(t)平均功率相等。
5
• Rcs ( ) RY ( )sin0 RˆY ( )cos0 Rsc ( ) RY ( )sin0 RˆY ( )cos0
主要内容： 窄带随机过程统计特性
窄带随机信号的表示方法 莱斯表示窄带随机过程统计特性 复信号表示统计特性
计算机作业
1
5.3 窄带随机过程统计特性 1、窄带随机信号表示
•复信号表示
设Y(t)为窄带信号，Yˆ (t) 为其希尔伯特变换
Y~(t) Y (t) jYˆ(t) Y (t) Re[Y~(t)]
2
•莱斯(Rice)表示，或称正交分量表示法
Y (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
其中：
AC (t) Y(t)cos0t Yˆ(t)sin0t AS (t) Y(t)sin0t Yˆ(t)cos0t
同相分量 正交分量
3
•准正弦表示
Y (t) A(t) cos[0t (t)] A(t) cos(t) cos0t A(t)sin (t)sin 0t AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
其中： Ac (t) A(t) cos (t)
As (t) A(t) sin (t)
A(t) Ac2 (t) As2 (t)
(t) tg 1 Ac (t) As (t)
4
2、莱斯表示窄带随机过程统计特性
• Rc ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0 Rs ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0
• Rcs ( ) Rcs ( ) Rcs (0) 0
即 Ac (t)、 As (t) 在同一时刻是相互正交的。
6
• 若Y(t)具有对称形式的功率谱
Rcs ( ) 0
即 Ac (t)、 As (t) 是相互正交的随机信号。
Rc ( ) Ra ( )
RY ( ) Rc ( ) cos0
7
3、复信号表示统计特性
其中0t 10，以每秒1000个抽样速率对X(t)进行抽样， 用Matlab求出该信号的功率和功率谱密度 脉冲响应为
GX ( f ) 1
的白噪声随机过程X(t)通过一
et ; t 0 h(t)
X (t) sin c(100t) cos(200*200t)
1、绘出信号及其幅度频谱曲线； 2、当f0＝200Hz时，求出其低通等效信号并绘出其幅度频谱、
信号的同相、正交分量及包络； 3、当f0＝100Hz时，求出其低通等效信号并绘出其幅度频谱、
信号的同相、正交分量及包络。
13
RA%() 2[Rc () jRcs ()]
GA%() 2[1 sgn( 0 )]GY ( 0 )
RY~ ( ) RA~ ( )e j0
GY%() GA%( 0 ) 2[1 sgn()]GY ()
若Y(t)具有对称形式的功率谱
RY~ ( ) 2Rc ( )e j0
RY ( ) Rc ( ) cos0
0; t 0
的线性滤波器，求滤波器输出的功率谱密度。
11
计算机作业
假定一具有抽样序列｛X(n)｝的白噪声随机过程X(t)通过一 脉冲响应为
(0.95)n; n 0 h(n)
0; n 0
的线性滤波器，绘出输入输出信号的均值、方差、相关函数 及功率谱密度。
12
计算机作业
如果信号X(t)的表达式为：
8
计算机作业
按如下线性概率密度传输一个1000个均匀随机数的集合。
f
(
x)
x / 2;
0;
0 x2 other
1、计算该序列均值、方差与理想均值方差的误差大小， 改变序列个数重新计算；
2、绘出该序列的直方图和概率密度函数。
9
计算机作业
如果信号的持续时间为10，且该信号是频率分别为单位 功率47Hz、219Hz正弦信号及白噪声之和
若Y(t)平稳，则AC(t)、AS(t)平稳； AC(t)、 AS(t)的相关函数相等，方差相等，功率谱密度相等； RY(0)=RS(0)=RC(0)，表明低频过程AC(t)、AS(t)和窄带过程 Y(t)平均功率相等。
5
• Rcs ( ) RY ( )sin0 RˆY ( )cos0 Rsc ( ) RY ( )sin0 RˆY ( )cos0
主要内容： 窄带随机过程统计特性
窄带随机信号的表示方法 莱斯表示窄带随机过程统计特性 复信号表示统计特性
计算机作业
1
5.3 窄带随机过程统计特性 1、窄带随机信号表示
•复信号表示
设Y(t)为窄带信号，Yˆ (t) 为其希尔伯特变换
Y~(t) Y (t) jYˆ(t) Y (t) Re[Y~(t)]
2
•莱斯(Rice)表示，或称正交分量表示法
Y (t) AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
其中：
AC (t) Y(t)cos0t Yˆ(t)sin0t AS (t) Y(t)sin0t Yˆ(t)cos0t
同相分量 正交分量
3
•准正弦表示
Y (t) A(t) cos[0t (t)] A(t) cos(t) cos0t A(t)sin (t)sin 0t AC (t) cos0t AS (t) sin 0t
其中： Ac (t) A(t) cos (t)
As (t) A(t) sin (t)
A(t) Ac2 (t) As2 (t)
(t) tg 1 Ac (t) As (t)
4
2、莱斯表示窄带随机过程统计特性
• Rc ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0 Rs ( ) RY ( )cos0 RˆY ( )sin0
• Rcs ( ) Rcs ( ) Rcs (0) 0
即 Ac (t)、 As (t) 在同一时刻是相互正交的。
6
• 若Y(t)具有对称形式的功率谱
Rcs ( ) 0
即 Ac (t)、 As (t) 是相互正交的随机信号。
Rc ( ) Ra ( )
RY ( ) Rc ( ) cos0
7
3、复信号表示统计特性