大学物理 旋转矢量
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大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法
振动方程 x0.15cos5tmxAcost
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
大学物理规范作业A(本一)振动解答
2
（ D）
根据
1 2 E kA , 2
15 Ek E E P E 16
Ek 15 所以 ： E 16
3
3.已知一简谐振动x1=4cos(10t+3π /5),另有一个 同方向简谐振动x2=6cos(10t+φ );若令两振动合成 的振幅最小,则φ 的取值应为:
( A)
3
,
7 ( B) , 5
7
三、计算题
1.作简谐振动的小球，速度最大值vm=3cm/s，振幅A=2cm , 若令速度具有正最大值的时刻为t=0，求（1）振动周期； （2）加速度最大值；（3）振动表达式。
x A cos(t ) 解：设振动方程为：
dx ⑴速度为 v A sin(t ) dt
x2 y2 1 2 。 2 A1 A2
由振动方程得 1 4 ,
2
4
所以 2 1 2 将其代入合振动轨迹方程：
x 2 y 2 2 xy 2 2 1 cos sin 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 x2 y2 质点的轨迹方程： 2 2 1 A1 A2
大学物理规范作业
总（07） 振 动
1
一、选择题 1.一质点作简谐振动，周期为T。当它由平衡位置 向x轴正向运动时，从二分之一最大位移到最大位 移处，这段路程所需要的时间为：
( A) T / 4 , ( B) T / 6, ( C) T / 8 , ( D) T / 12
（B）
分析： 当质点从二分之一最大位移处运动到最大 位移处时，旋转矢量转过的角度为：
vm 0.03 1.5rad / s A 0.02
（ D）
根据
1 2 E kA , 2
15 Ek E E P E 16
Ek 15 所以 ： E 16
3
3.已知一简谐振动x1=4cos(10t+3π /5),另有一个 同方向简谐振动x2=6cos(10t+φ );若令两振动合成 的振幅最小,则φ 的取值应为:
( A)
3
,
7 ( B) , 5
7
三、计算题
1.作简谐振动的小球，速度最大值vm=3cm/s，振幅A=2cm , 若令速度具有正最大值的时刻为t=0，求（1）振动周期； （2）加速度最大值；（3）振动表达式。
x A cos(t ) 解：设振动方程为：
dx ⑴速度为 v A sin(t ) dt
x2 y2 1 2 。 2 A1 A2
由振动方程得 1 4 ,
2
4
所以 2 1 2 将其代入合振动轨迹方程：
x 2 y 2 2 xy 2 2 1 cos sin 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2 x2 y2 质点的轨迹方程： 2 2 1 A1 A2
大学物理规范作业
总（07） 振 动
1
一、选择题 1.一质点作简谐振动，周期为T。当它由平衡位置 向x轴正向运动时，从二分之一最大位移到最大位 移处，这段路程所需要的时间为：
( A) T / 4 , ( B) T / 6, ( C) T / 8 , ( D) T / 12
（B）
分析： 当质点从二分之一最大位移处运动到最大 位移处时，旋转矢量转过的角度为：
vm 0.03 1.5rad / s A 0.02
大学物理B(Ⅱ)旋转矢量
2
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
t 0.667s
x
A
00 7.5 A 2
A v
t0
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示，求振动周
期.
t(s) t 0
A A2 0 A x
t 7.5
2π T T
t 7.5s
T 18s
例 已知谐振动的 A 、T ，求 1）如图简谐运动方
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向 Ox轴负方向运动（如图）.试求
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
A/2 t ta
A 0 A x
t0
π ( π) 2π
3 33
tb
T
2π
T 3
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
1-1 简谐运动方程及旋转矢量
热力学基础 f ( P,V , T ) C
气体动理论 k N 0
量子物理
E = h
xPx h
1 2 1 mv f(v)dv kT 2 2 h E , p h
第九章
振动
Chapter 9 Vibration
String theory: Theory of everything
2. 简谐运动的运动学分析 运动方程 x A cos(t )
（1）描述简谐运动的基本物理量 A——振幅
ω——角频率
T——周期 ν——频率 ωt +φ——相位
A A
x
T
o
t
初相：表示物体在初 始时刻的振动状态。
v A sin( t )
a A cos(t )
l
FT m
g l
o
Acos(t )
问题：
P
Simple Harmonic Motion (SHM)
5. 简谐运动的两个实例——单摆和复摆 （2）复摆 5
o
d 2 转动正向 2 sin 0 dt
2
lc
*
C
P
（ C点为质心）
mglc J
3. 旋转矢量法
简谐运动 平衡位置 振幅 角频率 初相 相位 位移 旋转矢量 圆心
A
t
o
x
半径 角速度
初始角度 t时刻的夹角
半径在x轴上的投影
例1 已知某简谐运动的振动曲线如图所示， 位移的单位为cm，时间单位为s，则此简谐振 动的
振幅 A= 角频率
2 cm
4 rad s 1 3
大学物理规范作业(本一)15解答
A2 = A A1
利用旋转矢量法,如图示, 可得第二个谐振动得振幅为10cm, 与第一个谐振动的位相差为
10
A2
A1
3
A 合 20
π 10 3
6
π
2
3.质量为m 劲度系数为k的弹簧振子在t=0时位于最大 3.质量为m,劲度系数为k的弹簧振子在t=0时位于最大 质量为 t=0 k 位移x=A x=A处 该弹簧振子的振动方程为x=_________ t ) x=_________; 位移x=A处,该弹簧振子的振动方程为x=_________; A cos( m π m 时振子第一次达到x=A/2处;t = ____________时振子第一次达到x=A/2处 在t1=____________时振子第一次达到x=A/2 2 π π m 3 k ____________时振子的振动动能和弹性势能正好相等 时振子的振动动能和弹性势能正好相等; (____________时振子的振动动能和弹性势能正好相等; n + ) 2 4 k 3π m ______________时振子第一次以振动的最大速度 t3=______________时振子第一次以振动的最大速度 k k 2 沿轴正方向运动. vm=___________沿轴正方向运动. ___________沿轴正方向运动 A m k 解:依题意 ω = ,0 = 0 m k 弹簧振子的振动方程: = A cos(ωt + 0 ) = A cos( x t) 振子第一次到达x=A/2处时位相变化=π/3,有:
π
则O点振动方程为 y 0 = A cos(ω t + ) 2 入射波波动方程为:
2
π
x π 2πx π y1 = A cos[ω (t ) + ] = A cos(ωt + ) u 2 λ 2
1.2旋转矢量与振动的相
1A : A 0.12 m 2 1 2 : S T 3 :
当t＝０时，x０＝０.06m， 带入表达式
x x0 0.12cos 0.06
1 cos 2
,
3
17
第1章 振 动
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相
另一个初始条件：当t＝０时，质点向x轴正向运动
v0 0 x A coswt v A sinwt
即： 当t＝０时，
v0 A sin 0
3
sin 0 3
x 0.12 cos t m 或x 0.12 cos t SI 3 18 3 振动 第1章
A2
O
x1
x
x A1
反相
T
A2 o - A2 -A1
t
x2
此种情况称为两振动反相（振动步调完全相反）
第1章 振 动
12
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相
Q2 t 0
3若 2 1 0
X2先于x1到达平衡位置、 负的最大等 称为： X2超前于x1， x1 落后于 X2
x
x
o
a
若此时 矢量末端在m点：则当t ，x , v 0
第1章 振 动
8
大学 物理学
1.2
旋转矢量与振动的相 m
x
A A2
a
b
v0
t
tb
a
o
A
v
A
p1 x o Ap2t A
2 n
v0
可以证明：当矢量处于x轴上面，则v<0；反之则v>0 由x~t图象可知：当处于b点时，v<0 所以此时矢量末端在m点
大学物理旋转矢量
极坐标表示法
极坐标与平面角
旋转矢量在极坐标系中由一个起点、一个长度和一个平面角唯一确定。平面角表示矢量旋转的方向和角度。
旋转矢量的运算
在极坐标系中，可以通过加减、数乘等运算得到新的旋转矢量。
直角坐标表示法
直角坐标与平面矢量
旋转矢量在直角坐标系中由三个分量唯一确定，这三个分量表示矢量在x、y、z轴上的投影。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并指出实验的局限性和未来改进的方向 。
THANKS
感谢观看
旋转矢量的积分
当一个旋转矢量在某区间内进行积分时，其 结果为该区间内所有点处的切线方向与该区 间内所有点处的速度方向一致的点所组成的
线段。
04
旋转矢量在物理中的应用
角动量守恒定律
角动量定义
物体的转动惯量和转动半径的乘积称为角动量。
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量保持不变。
旋转矢量表示
旋转矢量的应用领域
物理学
旋转矢量在物理学中广泛应用于描述物体的 旋转运动，如刚体的转动、电磁场的旋涡等 。
工程学
在机械工程、航空航天等领域，旋转矢量可以用于 分析物体的动态平衡、稳定性等问题。
电子技术
在电子技术中，旋转矢量可以用于描述信号 的相位、频率等参数，以及进行数字信号处 理。
02
旋转矢量的表示方法
03
旋转矢量的运算规则
加法运算规则
平行四边形法则
当两个旋转矢量相加时，以两个矢量的末端 为起点，分别画出平行四边形的两个相邻边 ，连接对角线，得到的结果是两个旋转矢量 相加后的矢量。
三角形法则
当两个旋转矢量相加时，以一个矢量的起点 为起点，画另一个矢量的平行线，得到的结 果是两个旋转矢量相加后的矢量。
大学物理-旋转矢量
3.初始条件
t 0 x0 A v0 0
A A cos cos 1
x o A
y
x
A
A
o
xo
A
物理学教程 （第二版）
l
t
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
4.初始条件
x
t 0
o
x0 0
v0 0
0 A cos cos 0
/ 2 , 3 / 2
y
x
3 A
o
2
x
以 o为 原点 旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x Acos(t )
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
y vm t π
2
t
0
an
a v
m 0.01kg o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
A
x
物理学教程 （第二版）
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
用旋转矢量表示简谐运动初相
1.初始条件 t 0 x0 A v0 0
t 0 x0 A v0 0
A A cos cos 1
x o A
y
x
A
A
o
xo
A
物理学教程 （第二版）
l
t
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
4.初始条件
x
t 0
o
x0 0
v0 0
0 A cos cos 0
/ 2 , 3 / 2
y
x
3 A
o
2
x
以 o为 原点 旋转矢 量A的端点
x 在 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x Acos(t )
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
y vm t π
2
t
0
an
a v
m 0.01kg o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（2）由起始位置运动到 x 0.04m 处所需要
A
x
物理学教程 （第二版）
vm A an A 2
x Acos(t )
v A cos(t π )
2
a A2 cos(t )
第五章 机械振动
5 – 2 旋转矢量
用旋转矢量表示简谐运动初相
1.初始条件 t 0 x0 A v0 0
北京化工大学 普通物理学 1-3旋转矢量
2 ϕ =π − = π 3 3
π
∆ϕ = ω∆t
1 – 3
旋转矢量
第1章 机械振动 章
例3：已知两个简谐振动曲线如图所示，其中 为振 ：已知两个简谐振动曲线如图所示，其中A为振 幅，x1 的相位比 x2 的相位超前 。
x
x1
A
A − 2
x2
t
1 – 3
旋转矢量
第1章 机械振动 章
x2
∆ϕ
0
x
3 ∆ϕ = π − = π 4 4
由旋转矢量图可知
1 – 3
旋转矢量
第1章 机械振动 章
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； 速度；
解
x = A cos(ωt + ϕ ) = A cos( ω t )
A
x 1 cos( ω t ) = = A 2 π 5π ωt = 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 ω t = 3
∆t = t 2 − t1 =
∆ϕ
x a A
A2
ω
b
v
π ∆ϕ = 3
tb
o
t
−A
−A
0
∆ϕ A ta A
2
x
π 3 1 ∆t = T = T 2π 6
1 – 3旋转矢量第1章 机械振动 章2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 对于两个同频率的简谐运动， 的简谐运动 们时间步调上的差异。（解决振动合成问题 步调上的差异。（解决振动合成问题） 们时间步调上的差异。（解决振动合成问题）
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
大学物理12机械振动2
x = A cos(ωt + ϕ )
A
x x−t 图
T
ω v = − A ω sin( ω t + ϕ )
π = Aω cos(ωt +ϕ + ) 2 2 a = − A ω cos( ω t + ϕ )
= Aω cos(ωt +ϕ + π)
2
T=
2π
取ϕ = 0
− Aω
v v −t图 Aω o T
l = l0 1− (v / c)2
在飞船B上测得飞船 相对于飞船 的速度： 在飞船 上测得飞船A相对于飞船 的速度： 上测得飞船 相对于飞船B的速度
v = l / ∆t = (l0 / ∆t) 1−(v / c)
解得：v = l0 / ∆t 1 + (l0 / c∆t )
2
2
= 2.68 ×10
8
∆φ > π 3π 称振动（ ）落后于振动（ ） φ2 −φ1 > 0 例：φ2 −φ1= 2 称振动（2）落后于振动（1） 2π − ∆φ
分别作出四种情况的矢量图! 分别作出四种情况的矢量图!
2 4
∆ϕ21 = (ω t + ϕ2 ) - (ω t + ϕ1) = ϕ2 - ϕ1
φ2 −φ1 < 0 例：φ2 −φ1= − 3π称振动（2）超前振动（1） 2π + ∆φ 称振动（ ）超前振动（ ）
90
v am
ω
0
ω t+ϕ
·
x
1、用旋转矢量方法确定初相位ϕ： 、 要求条件： 的关系， 要求条件：已知 x0 与A的关系，初速度的方向。 的关系 初速度的方向。 例1： 已知一物体做简谐振动。1）x0=(1/2)A且向位移的 ： 已知一物体做简谐振动。 ） 且向位移的 且向位移的正方向运动。 负方向运动； ） 且向位移的正方向运动 负方向运动； 2）x 0= 0且向位移的正方向运动。试求 两种情况下的初相。 两种情况下的初相。 ϕ = π/3
A
x x−t 图
T
ω v = − A ω sin( ω t + ϕ )
π = Aω cos(ωt +ϕ + ) 2 2 a = − A ω cos( ω t + ϕ )
= Aω cos(ωt +ϕ + π)
2
T=
2π
取ϕ = 0
− Aω
v v −t图 Aω o T
l = l0 1− (v / c)2
在飞船B上测得飞船 相对于飞船 的速度： 在飞船 上测得飞船A相对于飞船 的速度： 上测得飞船 相对于飞船B的速度
v = l / ∆t = (l0 / ∆t) 1−(v / c)
解得：v = l0 / ∆t 1 + (l0 / c∆t )
2
2
= 2.68 ×10
8
∆φ > π 3π 称振动（ ）落后于振动（ ） φ2 −φ1 > 0 例：φ2 −φ1= 2 称振动（2）落后于振动（1） 2π − ∆φ
分别作出四种情况的矢量图! 分别作出四种情况的矢量图!
2 4
∆ϕ21 = (ω t + ϕ2 ) - (ω t + ϕ1) = ϕ2 - ϕ1
φ2 −φ1 < 0 例：φ2 −φ1= − 3π称振动（2）超前振动（1） 2π + ∆φ 称振动（ ）超前振动（ ）
90
v am
ω
0
ω t+ϕ
·
x
1、用旋转矢量方法确定初相位ϕ： 、 要求条件： 的关系， 要求条件：已知 x0 与A的关系，初速度的方向。 的关系 初速度的方向。 例1： 已知一物体做简谐振动。1）x0=(1/2)A且向位移的 ： 已知一物体做简谐振动。 ） 且向位移的 且向位移的正方向运动。 负方向运动； ） 且向位移的正方向运动 负方向运动； 2）x 0= 0且向位移的正方向运动。试求 两种情况下的初相。 两种情况下的初相。 ϕ = π/3
大学物理公式总结(全面_易懂)
1.单缝的夫琅禾费衍射 1.单缝的夫琅禾费衍射
E
B
●
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
a sin θ = ± 2 k
λ
a
P
C
A
x
θ
λ
f
2
a sin θ = ± ( 2 k + 1) 2 k = 1, 2 ,3 ..... 明条纹衍射角条件
λ
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
同时又满足单缝衍射暗纹条件， 同时又满足单缝衍射暗纹条件， 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级
d 所缺级次 k = k′ a k ′ = ± 1 , ± 2 , ± 3 ,... 光栅光谱 d sin θ = k λ k = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 ,...
机械振动总结
简谐振动的基本规律 1、动力学特征： 2、运动学特征：
{
v v F = −kx x = Acos(ω +ϕ) t v = − A ω sin( ω t + ϕ )
a = − A ω 2 cos( ω t + ϕ )
1 2 E p = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2
3.能量特征： 1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 1 2 E = kA 2
合成
x = A cos(ωt + ϕ )
{
{
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
E
B
●
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
a sin θ = ± 2 k
λ
a
P
C
A
x
θ
λ
f
2
a sin θ = ± ( 2 k + 1) 2 k = 1, 2 ,3 ..... 明条纹衍射角条件
λ
2 k = 1, 2 ,3 ..... 暗条纹衍射角条件
同时又满足单缝衍射暗纹条件， 同时又满足单缝衍射暗纹条件， 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级 这样的主极大是不存在的把这一现象称作缺级
d 所缺级次 k = k′ a k ′ = ± 1 , ± 2 , ± 3 ,... 光栅光谱 d sin θ = k λ k = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 ,...
机械振动总结
简谐振动的基本规律 1、动力学特征： 2、运动学特征：
{
v v F = −kx x = Acos(ω +ϕ) t v = − A ω sin( ω t + ϕ )
a = − A ω 2 cos( ω t + ϕ )
1 2 E p = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2
3.能量特征： 1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 1 2 E = kA 2
合成
x = A cos(ωt + ϕ )
{
{
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 ) A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 tgϕ = A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
大学物理 旋转矢量(一)
大学物理旋转矢量（一）引言概述：在大学物理的学习中，旋转矢量（一）是一个重要的知识点。
旋转矢量是描述物体在空间中旋转运动的工具，它具有方向和大小，并可以表示绕定轴进行的旋转。
本文将围绕旋转矢量展开讨论，依次讲解旋转矢量的基本概念、旋转轴和角速度、刚体的定点转动、角动量和力矩、以及旋转的动力学方程。
一、旋转矢量的基本概念1. 旋转的定义与描述2. 旋转角度的表示方法3. 旋转矢量的含义与性质4. 旋转矩阵的使用及推导5. 旋转矢量与坐标系的转换二、旋转轴和角速度1. 旋转轴的定义与求解2. 旋转轴的方向确定方法3. 角速度的概念与计算4. 角速度的单位及数值表达5. 转动矢量与角速度的关系三、刚体的定点转动1. 定点转动的定义与特点2. 转动惯量的概念与计算3. 定点转动的动力学方程4. 定点转动的动力学矢量关系5. 刚体定点转动现象的实例分析四、角动量和力矩1. 角动量的概念与性质2. 角动量的计算与单位3. 力矩的定义与计算4. 力矩的性质与作用5. 角动量和力矩的关系及应用五、旋转的动力学方程1. 旋转的动力学定律与原理2. 牛顿第二定律在旋转运动中的应用3. 旋转的动力学方程的推导过程4. 动力学方程与运动学方程的对应关系5. 旋转动力学方程实际问题的解析解和数值解总结：通过本文的介绍，我们对大学物理中的旋转矢量有了更深入的认识。
我们了解到旋转矢量的基本概念、旋转轴和角速度的计算方法、刚体的定点转动特性、角动量和力矩的关系，以及旋转的动力学方程的应用。
这些知识将有助于我们理解旋转运动的本质和规律，为进一步的学习和研究打下了基础。
根据简谐运动方程当t=0时有旋转矢量法
dx v (0.06m s 1 ) sin( / 2 / 3) 0.094 m s 1 dt
d2x 2 2 2 a ( 0 . 06 m s ) cos( / 2 / 3 ) 0 . 0513 m s dt 2
(2)质点从x=-0.03m运动到平衡位置 的过程中，旋转矢量从图14-13(b)中 的位置M转至位置N，矢量转过的角 度（即相位差）Δφ=5π/6。该过程所 需时间为
3 4 ( 4) x ( 2.0 10 2 m ) cos[( 4s 1 ) t ] 3 (3) x ( 2.0 10
2
m ) cos[( 4s )t
1
2
]
14-13 一物体沿x轴简谐运动，振幅为0.06m，周期 为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x 轴正向运动。 求（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度； （2）物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动，到达平 衡位置，至少需要多少时间？
(2)
将式（1）代入式（2）得
k2 x F k1 x1 2
而x= x’1 +x’2, ，则得到
(3)
由式（3）得ห้องสมุดไป่ตู้x1 F / k1, x 2 F / k2 )
k1k2 F x kx k1 k2 式中 k k1k2 /(k1 k2 ) 为常数，则物体作简谐运
旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢 量图，如图所示，它们所对应的初相分别为 4 2 ω 3 1 0; 2 ; 3 ; 4 .
2 3 3
振幅A、角频率ω、初相φ均确定后， -A/2 则各相应状态下的运动方程为 o A/2 1 x 2 1 (1) x (2.0 10 m) cos[(4s )t ] 4 2 1 ( 2) x (2.0 10 m ) cos[( 4s )t ]
d2x 2 2 2 a ( 0 . 06 m s ) cos( / 2 / 3 ) 0 . 0513 m s dt 2
(2)质点从x=-0.03m运动到平衡位置 的过程中，旋转矢量从图14-13(b)中 的位置M转至位置N，矢量转过的角 度（即相位差）Δφ=5π/6。该过程所 需时间为
3 4 ( 4) x ( 2.0 10 2 m ) cos[( 4s 1 ) t ] 3 (3) x ( 2.0 10
2
m ) cos[( 4s )t
1
2
]
14-13 一物体沿x轴简谐运动，振幅为0.06m，周期 为2.0s，当t=0时位移为0.03m，且向x 轴正向运动。 求（1）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度； （2）物体从x=-0.03m处向x轴负方向运动，到达平 衡位置，至少需要多少时间？
(2)
将式（1）代入式（2）得
k2 x F k1 x1 2
而x= x’1 +x’2, ，则得到
(3)
由式（3）得ห้องสมุดไป่ตู้x1 F / k1, x 2 F / k2 )
k1k2 F x kx k1 k2 式中 k k1k2 /(k1 k2 ) 为常数，则物体作简谐运
旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢 量图，如图所示，它们所对应的初相分别为 4 2 ω 3 1 0; 2 ; 3 ; 4 .
2 3 3
振幅A、角频率ω、初相φ均确定后， -A/2 则各相应状态下的运动方程为 o A/2 1 x 2 1 (1) x (2.0 10 m) cos[(4s )t ] 4 2 1 ( 2) x (2.0 10 m ) cos[( 4s )t ]
大学物理 旋转矢量(两篇)2024
引言概述：在大学物理学中，旋转矢量（二）是一个重要的概念。
它在描述物体旋转和角动量时发挥着关键作用。
本文将详细阐述旋转矢量的相关内容，包括其定义、性质以及在实际应用中的应用案例等。
正文内容：一、旋转矢量的定义1.旋转矢量的概念和来源2.旋转矢量的数学表示和坐标系选择3.旋转矢量的物理意义和几何解释4.旋转矢量与旋转矩阵的关系5.旋转矢量的性质和基本运算法则二、旋转矢量的旋转定理1.旋转矢量的定义和旋转方向2.旋转定理的几何解释和物理意义3.旋转定理的数学推导和证明4.旋转定理的应用案例：刚体的旋转运动5.旋转定理的实验验证和实际应用三、旋转矢量的角动量1.角动量的定义和物理性质2.角动量的计算方法和表达式3.角动量守恒定律和旋转矢量的关系4.角动量的变化和影响因素5.角动量对物体运动轨迹的影响和解释四、旋转矢量的应用案例1.旋转矢量在力学和动力学问题中的应用2.旋转矢量在电磁学和光学问题中的应用3.旋转矢量在量子力学和粒子物理学问题中的应用4.旋转矢量在天体力学和宇宙学问题中的应用5.旋转矢量在工程和技术领域中的实际应用五、旋转矢量的拓展与发展1.旋转矢量的局限性和扩展性2.旋转矢量在现代物理学和数学中的发展趋势3.旋转矢量在计算机图形学和虚拟现实领域中的应用4.旋转矢量的研究方法和实验手段5.旋转矢量相关学科和概念的比较和关联总结：旋转矢量作为大学物理学的重要内容，在描述物体旋转和角动量时具有不可替代的作用。
本文从旋转矢量的定义、性质和旋转定理开始，详细阐述了其在实际应用中的案例和应用领域。
同时，展望了旋转矢量的拓展与发展，以及与其他学科和概念的比较与关联。
通过对旋转矢量的深入研究和理解，有助于我们更好地理解物体的旋转规律和角动量的变化，为解决各种实际问题提供了强有力的工具和方法。
引言概述：旋转矢量是大学物理中一个重要概念，它在描述物体或系统的旋转运动中起到了关键作用。
本文将从基本概念出发，分析旋转矢量的定义、性质和应用，并探讨其在物理学中的重要性。
大学物理第三讲：8.1.3旋转矢量法
瞬时对应
1、旋转矢量A的长度为简谐振动的振幅 2、φ为t=0时的相位（初相位） 3、（ωt+φ)为t时刻的相位 4、旋转矢量A作逆时针匀速运动（ω角速度）
5、旋转矢量A的末端在参考坐标轴上的投影点的运动即代表质 点做简谐振动。
二、旋转矢量的长处
1、用旋转矢量A来表示简谐振动的位移
x Acost 当 0时 x t曲线
x/cm
t/s
o
9
三、应用举例
已知两个同方向，同频率的简谐振动如下：
x1 5cos10t / 2 x2 5cos10t
A 50cm
5 / 4或 3 / 4
用计算法求它们合振动的振幅和初相位。
已知：A1 A2 5cm；
x/cm
1 / 2;2
t/s
o 求：1合振动的振幅：A A12 A22 ;
16
谢谢大家！ 欢迎大家多提宝贵意见！
2015.10.10
17
18
合振动的初相位：2 ?
8-18 已知两个同方向、同频率的简谐振动如下： x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI
（1）求它们合振动的振幅与初相位；
（2）另有一个同方向简谐振动 x3 7 102 cos(10t )SI
问值为何值时， x1 x2的振幅最大？ 问值为何值时， x2 x3的振幅最小？
0.05sin 3 0.06sin
5
0.05cos 3
5
0.06 c os
arctan2.5 1.19rad 6813
5
5
12
（2）已知：
x1 5102 cos(10t 3 / 5) SI x2 6102 cos(10t / 5) SI
11-1简谐振动旋转矢量表示法
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
第十一章 振 动
3
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
ω
t =t
ωt + ϕ
v A
x
o
x = A cos(ωt + ϕ )
以 o 为原 v 点旋转矢量 A 的端点在 x 轴 上的投影点的 运动为简谐运 动.
x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) x2 = A2 cos(ωt + ϕ 2 )
∆ϕ = (ωt + ϕ 2 ) − (ωt + ϕ1 )
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
第十一章 振 动
10
大学物 理学
1111-1 简谐振动的旋转矢量表示法
∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1
∆ϕ = 0 同步
∆ϕ = ±π 反相 ∆ϕ为其它
简谐运动， （1）对同一简谐运动，相位差可以给出 ） 同一简谐运动 两运动状态间变化所需的时间． 两运动状态间变化所需的时间．
x1 = A cos(ωt1 + ϕ )
x2 = A cos(ωt 2 + ϕ )
∆ϕ = (ωt2 +ϕ) −(ωt1 +ϕ)
∆t = t2 −t1 = ∆ϕ
ω
第十一章 振 动
x = 0.104m v = −0.188m / s 2 a = −1.03m / s
A
− 0.12 −0.06
t 时刻
x/m
0.12
起始时刻
15
o
π − 3
0.06
A
第十一章 振 动
ω
大学物 理学
大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法
大学物理学教学中初相位的求解——旋转矢量法
初相位的求解作为理论物理学中一个重要的内容经常被大学物理学教学中提及，相比较传统的三角函数法，旋转矢量法作为一种新的数学计算方式正逐步在各个大学物理教学中得到应用，本文将以此方式进行初相位的求解及应用。
旋转矢量法是一种计算变换位置、旋转之间关系的重要方法，可以把旋转视为矢量，这种矢量可以是旋转轴向量乘以旋转角度的形式。
在计算初相位时，可以利用旋转矢量的相加、相减，从而得出相应的位置、角度变换及旋转信息，从而解决初相位求解问题。
旋转矢量法具体应用于初相位求解时如下：
（1）以坐标系0-A，以A点为原点，以X轴为横轴，以Y轴为纵轴。
（3）从A点到B点的位移量为Rb，定义α角为旋转量，此旋转的旋转轴向量为：
U=(X`Y`Z`)。
（5）根据位移量Ra和α角，计算出旋转矢量：〖R_b〗^α=(X^`Y^`Z^`)。
（6）由计算出的旋转矢量〖R_b〗^α和位移量Ra，求出从A点到B点的旋转量Φ：Φ=〖R_a〗^α+Ra，Φ即为A点到B点的初相位。
（9）根据计算出的β角得出从A点到B点的旋转量γ：γ=β- α。
以上就是应用旋转矢量法求出初相位的步骤，3D旋转的运算角度可以根据同理求出。
传统的三角函数法只能表示2D的运算，而旋转矢量法则不仅可以求出2D的运算，还可以求出3D的运算，可以用来解决复杂的初相位求解问题。
总之，旋转矢量法作为一种基于几何的运算方式，其优点可以体现在于它融合几何和代数在一起，能够有效解决复杂多轴的位移、角度变换及旋转运算的问题，可以有效求解初相位问题。
从而为进一步的理论物理数学研究打下基础。
大学物理(工科) 4—1 简谐运动、旋转矢量简谐运动的合成
2
tan1( v0 ) 注意: 确定 的象限 x0
二、简谐运动的描述
x Acos(t )
1.解析法(由振动表达式)
A, T, , x, v, a
2.曲线法(由振动曲线)
x
x Acos(t )
A
►确定振幅A；
o
►确定周期T，ω；
►确定φ
-A
T
t
•根据图像判断速度的正负用斜率 •利用初始条件确定几个φ，再利用速度正负判断保留φ
3、掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；
4、理解机械波产生的条件. 掌握由已知质点的简谐 运动方程得出平面简谐波的波函数的方法. 理解波函 数的物理意义. 了解波的能量传播特征及能流、能流密 度概念.
匀速直线运动
直线运动
匀变速直线运动
学
变速直线运动
过 的
变加速直线运动
运
动 形
平抛运动
式
抛体运动
例4.2: 已知一简谐振动的曲线如图所示，写出振动方程。
x （cm）5
6
2
3
p
O 1
t（s）
解: 已知振动方程表达式为：x Acos(t )，v Asin(t )
► 定振幅: A=0.06m
►定初相
x0 0.06cos 0.03
cos 0.5
利用斜率判断0时刻速度方向 0 0
晶格点阵
§4—1 简谐运动、旋转矢量、简谐运动的能量
一、简谐运动动力学 1.模型
2.定义 ►受力：F=-kx
►动力学微分方程：
d2 dt
x
2
2
x
0
令 2 k
m
►运动方程： x(t)=Acos( t + )
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l
o
A A cos
cos 1
A
y
x
A
o
x o
A
t
第五章 机械振动
4.初始条件 t0 x0 0 v0 0
5 – 2
旋转矢量
x
o
物理学教程 （第二版）
l
0 A cos cos 0
y
x
A
/ 2 , 3 / 2
oA
3 2
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
旋转矢量法
2π T
当
t 0
时
A
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x0 A cos
第五章 机械振动
x0
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
2π T
A
t t
时
以 o为 原点旋转矢
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
2 1
为其它
(t 2 ) (t 1 )
0 同步
π 反相
超前
落后
x
x
x
o
t
第五章 机械振动
o
t
o
t
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 1 簧的劲度系数 k 0.72N m ，物体的质量 m 20g .
（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05 m 处停 下后再释放，求简谐运动方程； A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度； （3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
2π π 1 s T 2
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
A 0.08 m
t 0, x 0.04m
π v0 0 3
0.08 0.04
2π π 1 s T 2
代入 x
0.04 0.08cos
A cos(t ) π 3
A
π 3
x/m
0.08 π ) 3
0.04 π x 0.08 cos( t 2
o
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
0.04 0.08
x/m
π π x 0.08 cos( t ) 2 3
t 1.0s 代入上式得
x A cos(t )
6.0s 1
A x
2 0
v
2 0 2
o
0.0707m
π 4
x
A＇
由旋转矢量图可知 π 4
π x A cos(t ) 0.0707 cos( 6.0t ) 4
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
t
量 A的端点
o
x
x0
x
在
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x A cos(t )
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动.
第五章 机械振动
旋转
x5 – 2Fra bibliotekAo
v A sin t
A 2
x
0.26m s
第五章 机械振动
1
（负号表示速度沿 Ox 轴负方向）
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程. 解
旋转矢量
x
o
物理学教程 （第二版）
l
A
y
2
A
x
/ 2 , 3 / 2
o
x o
t
v0 A sin 0, sin 0 取 / 2
第五章 机械振动
3.初始条件
t0 x0 A v0 0
5 – 2
旋转矢量
x
A
物理学教程 （第二版）
x o
t
v0 A sin 0, sin 0 取 3 / 2
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
讨论
相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间. (t 2 ) (t1 )
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
用旋转矢量表示简谐运动初相 1.初始条件 x t0 o A x0 A v0 0
l
A A cos
cos 1
第五章 机械振动
A
o
y
x
A
0
x
o
t
2.初始条件 t0 x0 0 v0 0 0 A cos cos 0
5 – 2
2
x 0.069 m
F kx m x 1.70 103 N
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
（2）由起始位置运动到 x 0.04 m 处所需要 的最短时间.
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
法一 设由起始位置运动到 x 0.04 m 处所 需要的最短时间为 t
第五章 机械振动
o
A
x
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
A （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的 2 速度；
解
x A cos(t ) A cos(t )
A
x 1 cos( t ) A 2 π 5π t 或 3 3 π 由旋转矢量图可知 t 3
π π 0.04 0.08 cos( t ) 2 3
t 0.667 s
第五章 机械振动
5 – 2 解法二
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
t
时刻
π 3
t
o
起始时刻
π 3
0.04 0.08
x/m
0.08 0.04
π t 3
第五章 机械振动
π 1 s 2
t 0.667 s
x/m
o
第五章 机械振动
0.05
5 – 2 解 （1）
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
x A cos(t )
1
k 0.72N m m 0.02kg
6.0s
1
A 0.05 m
由旋转矢量图可知
0
x A cos(t )
0.05 cos 6.0t m
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
y vm
t
0
an
π t 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t )
π v A cos( t ) 2
a A cos(t )
2
第五章 机械振动
5 – 2
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动，其振 幅为 0.08 m ，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04 m 处，向 Ox 轴负方向运动（如图）.试求 （1） t
1.0s
时，物体所处的位置和所受的力；
v
0.08 0.04
x/m
0.04 0.08
o
解
A 0.08 m
x A cos(t1 ) x A cos(t2 )
t t 2 t1
x
A
A2
a
b
π 3
Ab
o
A
v
t
A
0 A
x
π 3 1 t T T 2π 6
2
Aa A
第五章 机械振动
5 – 2
旋转矢量
物理学教程 （第二版）
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）