垂直于玄的直径

即：如果CD过圆心，
且垂直于AB，则
AE=BE，
A
AC=BC, AD=BD
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C
O
E
B
D
已知：在⊙O中，CD是直径，AB 是弦，CD⊥AB。
求证：AE＝BE，A⌒C＝BC⌒，A⌒D＝BD⌒。
验证
C
证明：垂直于弦AB的直径CD所在的
直线是⊙O的对称轴。把圆沿着直径 CD折叠时，A点和B点重合，AE和
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
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C
•O A EB
D (6)
• 例 如图，已知AB是⊙O 的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm, PO=5 cm则⊙O的半径等于 cm
7
解：连AO，过O点作OC⊥AB于C
∴AC=BC=1/2AB=5cm
∵BP==4cm
0
∴CP=1 cm
A 18.7 D
B
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 18.72 (R 7.2)2.
R R-7.2
O
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. 第17页/共23页
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
D
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垂径定理及其推论的图式
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
直径平分弦
直径垂直于弦=> 直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）=> 直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧 => 直径垂直于弧所对的弦
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下列图形是否具备垂径定理的条件？
是
·O
BE重合，A⌒C、⌒AD分别与B⌒C、BD重
E
合。因此⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
B
⌒⌒
D
AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD，即直
径CD平分弦AB，并且⌒平分AB及ACB
叠合法
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结论：
• 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平
分弦所对的两条弧。
即：如果CD过圆心，且垂直于AB， C
则 AE=BE O
垂径三角形
C
有哪些等量关系？
d+h=r
O
rd
E
r2 d 2 (a)2 2
A
h
B
在a，d，r，
h中，已知其中任
意两个量，可以
D
求出其它两个量
a
．
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• 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助 线。
• 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角 形的问题。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
OD
(1) B
C
•O
A
B
(2) D
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C
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
5
P
A 5C 1
B
在Rt△OPC中，PO=5 cm， CP=1 cm ∴OC2=52-12=24
在Rt△OAC中，AO2= AC2+ OC2
=25+24=49
∴AO=7 cm
不是
是
C
c
C
不是
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
注意：定理中的两个
B
条件（直径，垂直于
弦）缺一不可！
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E
A
O
Leabharlann BaiduO EB D
A
O
E
C
D
B
1、如图，AB是圆的弦，利 用一个三角板，你能确定这 条弦的中点吗？
A
2、如图，点C是圆的任 意一个点，利用一个三 角板，你能画出一条弦 AB，使点刚好是这条弦 的中点吗？
如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设知 AB 37.4,CD 7.2,
37.4
C
AD 1 AB 1 37.4 18.7, 7.2
22 OD OC DC R 7.2.
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赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
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37.4m
7.2m
C
A
E
B
O
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1300多年前,我国隋朝建造的赵州石 拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧 所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到 弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的 半径(精确到0.1m).
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B ●C
练习
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB 的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： OE AB
A
E
B
AE 1 AB 1 8 4
2
2
·
在Rt△AOE中
O
AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
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AC= BC,
A
B
E
D
AD= BD
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
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垂径定理 C
将题设与结论
调换过来，还
这五条进行排列
成立吗？
组合，会出现多
O
少个命题？
E
A
B
CD是直径，AB是弦， D CD⊥AB
AE＝BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
“知二推三”
①直径过圆心 ②垂直于弦
题设
思考： 问题1、图中有相等的线段吗？有相等的 劣弧吗？如果有，你能找到多少对？
相等的线段有： OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
C B
AC=BD, BC=AD,
O
问题2.AB作怎样的变换时，
AC=BC, AD=BD ？ A
D
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结论：当CD⊥AB时，
AC=BC, AD=BD
③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧
结论
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垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
C
A
B O
D
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思 1.图中有哪些相等的量？
考 2.AB作怎样的变换时，
?
AC=BC, AD=BD ？
3.将弦AB进行平移时,以上结论是否C
仍成立？
4.当弦AB与直径CD不
垂直时,以上结论是否 仍成立？
A
O
B
A A
EE BB
D
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猜想 ：垂直于弦的直
径平分弦，并且平分
弦所对的两条弧。