2019-2020学年高二数学双测2.3 抛物线单元测试(B卷提升篇)(浙江专用)(解析版)

2.3 抛物线 单元测试(B 卷提升篇)（浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2019·四川成都外国语学校高二期中（理））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以， 所以抛物线焦点坐标为，故答案选2．（2018·上海高二期末）抛物线2x my =上的点到定点()0,4和定直线4y =-的距离相等，则m 的值等于（ ）A ．116B ．116-C ．16D ．16-【答案】C【解析】根据抛物线定义可知，定点(0,4)为抛物线的焦点，且0m >， ∴44m =，解得：16m =. 故选：C.3．（2019·上海市民立中学高二期末）平直角坐标系内，到点()1,1A 和直线:230l x y +-=距离相等的点的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】A【解析】因为点(1,1)A 位于直线:230l x y +-=上，所以动点的轨迹为过A 点与直线:230l x y +-=垂直的直线．4．（2019·内蒙古高二月考（理））点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-的距离和的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．3D ．21+ 【答案】D【解析】由y 2＝4x 得p ＝2，2P =1，所以焦点为F （1，0），准线x ＝﹣1， 过P 作PN 垂直直线x ＝﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN |＝|PF |，连接F 、A ，有|F A |≤|P A |+|PF |，所以P 为AF 与抛物线的交点，点P 到点A （0，﹣1）的距离与点P 到直线x ＝﹣1的距离之和的最小值为|F A |2=，所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-的距离和的最小值是21+.故选D ．5．（2019·浙江高二期中）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F 和准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA =-2FB ，则|AB |=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0）和准线l ：x =-1，作图如下：∵FA =2FB -，可得|F A |：|AB |=2：3，|FD |：|BC |=2：3，因为|FD |=2，所以|BC |=3，|FB |=3故选：C ．6．（2019·辽宁高二期中）设抛物线2y 4x =-的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为33，那么||PF =（ ）. A ．23 B ．43 C ．73 D ．4 【答案】B【解析】如图所示：因为抛物线方程为24y x =-，所以焦点(1,0)F -，准线l 的方程为1x =， 因为直线AF 的斜率为33， 所以直线AF 的方程为3(1)3y x =+， 当1x =时，233y =，所以A 点的坐标为， 因为PA l ⊥，A 为垂足，所以P 点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P 点坐标为1(3-， 所以141()33PF PA ==--=， 故选：B. 7．（2019·甘肃高二期中）已知F 为抛物线2y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】 抛物线的准线为1:4l x =-，过,A B 作准线的垂线，垂足为,E G ，AB 的中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为MH ，因为,A B 是该抛物线上的两点，故,AE AF BG BF ==， 所以3AE BG AF BF +=+=，又MH 为梯形的中位线，所以32MH =，故M 到y 轴的距离为315244-=，故选C.8．（2019·福建高二月考）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN ⊥l ，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若|MD ，则抛物线方程是（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】B【解析】画出图像如下图所示，由于直线MF 的斜率为3，故π3MFA ∠=，由于MN l ⊥，故π3FMN ∠=，根据抛物线的定义得MN MF =，故三角形MNF 是等边三角形.由于O 是BF 的中点，//BN OD ，所以D 是NF 中点，而3MD =，根据等边三角形的性质可知2MN MF NF ===，在直角三角形ODF 中，π1,3DF DFO =∠=，所以122p OF ==，解得1p =，故抛物线方程为22y x =. 故选：B.9．（2019·福建高二期中）已知F 是抛物线x 2=y 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ）A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C【解析】抛物线x 2=y 的焦点F （0，14）准线方程y =-14， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF |+|BF |=y 1+14+y 2+14=3解得y 1+y 2=52， ∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54， 故选：C ．10．（2019·黑龙江双鸭山一中高三月考（理））已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1B1 CD【答案】B【解析】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点， 所以()()0,1,0,1A F -， 则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P±， 2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率2212222c c e a a ====-+，故选B. 第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2019·浙江高二期中）若M 是抛物线24x y =上一点，且5,MF O =为坐标原点，则该抛物线的准线方程为_______.线段MO = _______, 【答案】1y =- 42【解析】由抛物线24x y =，可得抛物线的开口向上，且2p =，所以抛物线的准线方程为12p y =-=- 设00(,)M x y ，根据抛物线的定义可得00152p MF y y =+=+=，解得04y =， 把点0(,4)M x 代入抛物线的方程，得204416x =⨯=，解得04x =±，即点(4,4)M ±，所以22(4)442MO =±+=．12．（2019·辽宁高二期中）图1是抛物线型拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽42米，建立如下图2所示的直角坐标系，则抛物线的解析式为________;水面下降1米后，水面宽是 _______米.【答案】24x y =- 3【解析】设这条抛物线的解析式为22(0)x py p =->，由已知抛物线经过点(22,2)-，可得82(2)p =-⨯-，解得2p =，所以抛物线的解析式为：24x y =-；当3y =-时，即212x =，解得23x =±所以当水面下降1米后，水面的宽度为故答案是：24x y =-；13．（2018·上海市复兴高级中学高二期末）P 为抛物线2:4C y x =上一动点，F 为C 的焦点，平面上一点(3,)A m ，若PF PA +的最小值为4，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】23,23m【解析】 抛物线2:4C y x =的准线方程为：:1l x =-,设PB l ⊥,垂足为B .设P 点坐标为2(,)4y y .根据抛物线的定义有PF PA PB PA +=+,当P 线段AB 上时, PF PA +有最小值,最小值为4,符合题意,此时有203,[4y y m m ≤≤=⇒∈-. 故答案为：23,23m14．（2019·浙江诸暨中学高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭9 【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点， 119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．15．（2019·浙江高二期末）如图，已知抛物线C ：28y x =，则其准线方程为_______；过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，若||3AF =，则BF =_______.【答案】2x =- 6【解析】依题意抛物线的方程为28y x =，故22p =，所以准线方程为2x =-.由于3AF =，根据抛物线的定义，32A p AF x =+=，1A x =，代入抛物线方程，求得22A y =.所以直线AB 的斜率为2202212-=--，方程为()2222242y x x =--=-+.代入抛物线方程并化简得2540x x -+=，解得4B x =，根据抛物线的定义可知4262B p BF x =+=+=. 16．（2018·浙江高二期末）抛物线2x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为P .若该抛物线上的点M 满足2MP MF =，则点M 的纵坐标为__________． 【答案】14【解析】 由题意，点M 在抛物线2x y =上，设点M 的坐标为2(,)a a ，又抛物线2x y =的焦点为1(0,)4F ，准线方程为14y =-，则1(0,)4P - 因为2MP MF =，所以222211()2()44a a a a ++=+-， 解得12a =，所以点M 的坐标为214a =. 17．（2014·浙江高三月考（文））已知抛物线的焦点F 恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F,则该双曲线的离心率________.【答案】【解析】由题意焦点，交点，代入双曲线的方程得，又 ，化简得，，，故答案是.三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知点F 为抛物线C ：x 2=2py （P ＞0）的焦点，点A （m ，3）在抛物线C 上，且|AF |=5，若点P 是抛物线C 上的一个动点，设点P 到直线x -2y -6=0的距离为d ．（1）求抛物线C 的方程；（2）求d 的最小值．【答案】（1）x 2=8y （2【解析】（1）由抛物线的定义得，|AF |=3+2p =5． 解得p =4，所以抛物线C 的方程为x 2=8y ．（2）设直线x -2y -6=0的平行线：x -2y +c =0，⇒2208x y c x y-+=⎧⎨=⎩，得2440x x c --= 故△=16+16c =0⇒c =-1． 所求d19．（2019·辽宁高二期中）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是y 轴，直线l 与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 中点M 的纵坐标为2，且||||6AF BF +=.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）设抛物线的焦点为F ，若直线l 经过焦点F ，求直线l 的方程.【答案】（1）24xy =；（2）y 12x =±+； 【解析】 （1）由题意可设抛物线C 的标准方程为：22(0)x py p =>，设()()1122A x y B x y ，、，，则124y y +=∵12 6AF BF y y p +=++=，∴2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =（2）由已知得k 一定存在且0k ≠;故可设直线l 的方程为：1y kx =+，则联立直线l 与抛物线方程，整理可得：22y (24)10k y -++=由韦达定理得，24212120241k k y y k y y ⎧=+>⎪+=+⎨⎪=⎩∴212y +y 24k =+=4解得：k=±2，故所求直线方程为y 12x =±+. 20．（2019·黑龙江实验中学高二期中）已知F 为抛物线C ：y 2=2px （P ＞0）的焦点，过F 垂直于x 轴的直线被C 截得的弦的长度为4．（1）求抛物线C 的方程．（2）过点（m ，0），且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为AB ，若点F 在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．【答案】（1）y 2=4x （2）1m -3＜＜．【解析】（1）由条件得2p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ，（2）设直线方程为y =x -m ，代入y 2=4x 得y 2-4y +4m =0，△=16-16m ＞0，m <1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4，y 1y 2=4m∵F （1，0），∴FA =（x 1-1，y 1），FB =（x 2-1，y 2），∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴∠AFB 为钝角，即FA •FB ＜0，⇒（x 1-1）（x 2-1）+y 1y 2＜0，即x 1x 2-（x 1+x 2）+1+4m ＜0， ∴212()16y y -[（y 1+y 2）+2m ]+1+4m ＜0， ∴m 2+2m -3＜0，解得1m -3＜＜．21．（2019·浙江高三期中）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M 是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB 的面积分别为12,S S .(1)若1MF =，求点M 的坐标(用含有p 的代数式表示)；(2)若1225S S =，求直线OM 的斜率( O 为坐标原点). 【答案】(1) 2122p M p p ⎛-- ⎝ (2) 2 【解析】(1)设(),M x y ，则12p x +=，所以12p x =-， 所以22122p y p p p ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以2122p M p p ⎛-- ⎝ (2)设()00,M x y ，因为FMNA 是平行四边形，所以对角线,AM FN 互相平分，所以,A M 两点的纵坐标互为相反数，所以()00,A x y -，02,02p N x ⎛⎫- ⎪⎝⎭设()11,B x y ，因为1225S S =，所以01025y y y =+ 所以2001139,28y y y x p== 因为// MF AB ，所以AB MF k k =， 所以20975248o y p x p-=又2002y px =，解得00,x p y ==，所以OM k 22．（2018·上海市通河中学高二期末）已知动圆过定点(1,0)P ，且与定直线:1l x =-相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）试过点P 且斜率为M 相交于A B 、两点.问：ABC ∆能否为正三角形？ （3）过点P 作两条斜率存在且互相垂直的直线12l l 、，设1l 与轨迹M 相交于G H 、，2l 与轨迹M 相交于点D E 、，求GD EH ⋅的最小值.【答案】（1）24y x = （2）不能,理由见解析 （3）16【解析】（1）因为动圆过定点(1,0)P ，且与定直线:1l x =-相切所以动圆圆心M 到定点(1,0)P 与到定直线:1l x =-的距离相等由抛物线定义可知,动圆圆心的轨迹是抛物线该抛物线以(1,0)P 为焦点,以:1l x =-为准线所以动圆圆心的轨迹M 的方程为24y x =（2）ABC ∆不能为正三角形.理由如下:过点P 且斜率为AB 方程为)1y x =-则)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理化简可得231030x x -+=直线与曲线M 相交于A B 、两点.解方程组可得A B 、两点的坐标为(1,,3,33A B ⎛- ⎝⎭因为C 在l 上,所以设()1,C y -,且ABC ∆能为正三角形 则AC BC AB ==,即满足BC AB AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩当BC AB =时,由两点间距离公式得()()2222131333y ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解方程可得y=-当AC AB=时,由两点间距离公式得2222111333y⎫⎛⎛⎫⎛⎫++=-+⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解方程可得y=±因为两个方程的解不相同,所以不存在这样的C点,使ABC∆为正三角形即ABC∆不能为正三角形.（3）因为过点P作的两条斜率存在的直线12l l、设直线1l的斜率为k,则1l的方程为()1y k x=-,1l与轨迹M相交于G H、,设()()1122,,,G x y H x y由()214y k xy x⎧=-⎨=⎩整理化简可得()2222240k x k x k-++=则21212224,1kx x x xk++==因为直线12l l、互相垂直,则直线2l的斜率为1k-,其方程可设为()11y xk=--,2l与轨迹M相交于点D E、,设()()3344,,,D x yE x y由()2114y xky x⎧=--⎪⎨⎪=⎩整理化简可得()222410x k x-++=则2343424,1x x k x x+=+=所以GD EH⋅()()GP PD EP PH=+⋅+GP EP GP PH PD EP PD PH=⋅+⋅+⋅+⋅因为直线12l l、互相垂直则0,0GP EP PD PH⋅=⋅=则GD EH⋅GP PH PD EP =⋅+⋅ GP PH PD EP =⋅+⋅由抛物线定义可知12341,1,1,1,GP x PH x PD x EP x =+=+=+=+ 所以GP PH PD EP ⋅+⋅()()()()12341111x x x x =+++++ 1212343411x x x x x x x x =+++++++ 22224111241k k k +=++++++ 22448k k =++由基本不等式可知22448816k k ++≥=当且仅当2244k k=,即1k =±时取等号.即GD EH ⋅的最小值为16。