中山大学岭南(大学)学院七月夏令营推免数学试题

中山大学岭南（大学）学院七月夏令营推免数学试题

一、微积分部分

1（10分）.求极值：1220lim 1a a a dx x a +→++⎰

2（15分）.在点A （1，-2）邻域内对f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5进行Taylor 展开

3（15分）.应用一阶导数求最值的经济应用题，是个分段函数，还是很简单的，纸片实在太小，所以没写下来

二、线性代数部分

4（10分）.求f(x 1,x 2,x 3)=x 1+x 2-e x1-e x2+2e x3-23x e 的极值

5（10分）.若A 2=A ，而A 不是单位矩阵，证明A 必定是奇异矩阵。

6（10分）.若 21121214x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，求X 三、概率论部分

7（10分）.X 具有对称的密度函数p(x),即p(x)=p(-x),则对于F(x),a>0证明：

（1）F(-a)=1-F(a)= 01()2

a p x dx -⎰ （2）p{lxl

（3）p{lxl>a}=2-2F(a)

8（20分）.设（X,Y ）二维连续，具有密度函数p(x,y)

（1）令Z=X-Y ,证明Z 的密度函数是f(z)= (,)p x x z dx +∞-∞-⎰

（2）设g(·)是奇函数，证明若X ，Y 独立同分布，则E[g(x-y)]=0