第8章 群体间的差异比较——卡方检验

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4000.5 32 2 8 χ2＝85 P＜0.001
卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假设检验方法，主要 用于分类变量，根据样本数据推断总体的分布与期望分布是否 有显著差异，或推断两个分类变量是否相互关联或相互独立。
卡方检验的原假设H0是：观测频数与期望频数没有差别。
卡方检验的一般原则：
只要有数量型的变量出现，就应该采用可以提示其数量性质 的统计工具（如 t 检验、方差分析、秩和检验等）来分析。
卡方检验更适用于定类变量。
统计指标的选择：
当样本量n≥40，且所有单元格的期望频数fe ≥5时，用普通的 Pearson卡方检验；
当样本量n≥40，且只有20%以下的单元格的期望频数1≤ fe ＜ 5时，用校正的卡方检验：如对数似然比（Likelihood Ratio） 计算的卡方，或用于2×2格表的连续性校正的卡方 （Continuity Correction）；
当样本量n ＜40，或有20%以上的单元格期望频数fe ＜5 ，或 有单元格期望频数fe ＜ 1时，采用确切概率法（Fisher’s Exact Test）.
1、数据36选7.sav是体彩36选7连续45期中奖号码出现 频次的统计，试分析中奖号码的出现概率是否随机。
2、在周六晚节目单修订后，分别作了收视率的调查。在 节目修改前，收视率记录为ABC 29%，CBS 28%，NBC 25%，ITV 18%。节目修改后，300个家庭所组成的样本 产生下列电视收视数据：ABC 95户，CBS 70户， NBC 89户，ITV46户，在5%的显著性水平下，检验电视收视 率是否发生了变化。
60岁以上 130 51 46 115
例：在电视收视率调查中，得到性别与收视习惯的列联表如 下。试建立数据文件并分析性别与收视习惯的相关联系。
男
女
几乎天天看
38
24
偶尔看
31
7
分析——描述性统计——交叉表——统计量
进行卡方检验
分析——描述性统计——交叉表——单元格
观测频数
期望频数
输出残差 标准化残差
期望频数的计算：
✓ 男性比例：69÷100＝ 0.69
卡方值随分类的不同而改变。如对教育程度、收入水平的分 类，因此分类时最好有理论或实践依据，或者统计依据（中 位数、四分位数等）
样本量不能太小，也不宜过大。样本量太小，采用卡方分布 为依据的检验便不再成立。一般要求n>40。但样本量过大， 有时得到的结果便会失去意义。卡方值受样本量影响很大： 样本量越大，越容易得到拒绝原假设H0的结果。
3、针对数据住房状况调查.sav，分析户口状况与房屋产 权之间是否存在相关性。
4、以下是不同年龄层次的人的读报习惯列联表，试录入 数据并考察两者之间是否存在相关性。
每天都看 经常看 偶尔看 从不看
20岁以下 22 68 105 48
21-40岁 143 229 147 83
41-60岁 351 213 85 28
卡方检验的局限性：
列联表中期望频数小于5的个数不能太多。通常建议所有的期 望频数都不小于5，最多也不能超过20%。如对3×5的列联表， 共15个格，则期望频数小于5的格数不能超过3个。如果超过 了20%，则需要对卡方值加以修正。
对于连续型变量（定距、定比变量），卡方检验无法揭露其 数量性质。
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由于卡方检验简单直观，而且交互分析表又能提供非常丰富 的信息，因此在各种调查统计中这种交互分析（列联表加卡 方检验）的应用十分广泛。
在实际应用中，不但定类变量采用此方法，对定序甚至定距 变量也粗略地划分成几类后做成列联表。这可以从某种意义 上简化数据，但这种交互分析也存在其局限性。
卡方检验的局限性：
第8章
8.1 卡方检验原理 8.2 拟合问题——样本率和已知总体率的比较 8.3 独立性检验——两个（多个）变量的相关 8.4 卡方检验的局限性及补救办法
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连续变量
T 检验、方差分析
变
量
有序分类变量 秩和检验
分类变量
无序分类变量 卡方检验
例：许多儿童都喜欢看卡通片，有的人认为只要是卡通片儿童 都爱看，而不管其类型；另一些人认为儿童对不同类型的卡通 片有不同的偏好。为此，他们提供了6种类型的卡通片，让 300名经常看电视的儿童观看，然后说出喜欢看哪一个，得到 如下表所示的数据。
卡通片 观测频次 概率π 期望频次 偏差 偏差平方
加权结果
编号 f0
(H0为真) fe=nπ
f0－fe （ f0－fe ）2 （ f0－fe ）2/fe
1
85
1/6
50
35
1225
2
80
1/6
50
30
900
3
55
1/6
50
5
25
4
10
1/6
50
-40
1600
5
40
1/6
50
-10
100
6
30
1/6
50
现在需要从样本的分类数据出发，来判断总体各取值水平 出现的概率是否与已知概率相符，即该样本是否的确来自 已知的总体分布。
即单样本率与总体率的比较，被称之为拟合问题。
例1：有奖有息储蓄摇奖的办法一般采取刻有数码0－9的编号 球投入摇奖机，然后按一定规则，把摇出的数码组合成兑奖 号码。南京市自开办有奖有息储蓄以来，13期中奖号码中各 数码出现的频次见数据“摇奖.sav”。试判断摇奖机工作是否 正常？
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对于连续变量，我们可以使用单样本的 t 检验考察样本所 在总体的均值与已知值是否存在显著差异，即样本均值与 已知值的差异。
对于分类变量，则可以使用卡方检验比较样本比率与已知 值的差异。
什么是拟合问题？
假设一个总体中，某个变量的可能取值有n个水平；某一 已知样本中，该变量的取值也是这n个水平。
原假设H0：每一个卡通片被选择为喜欢的可能性是相同
的。即假定所研究的总体服从均匀分布，因此每一个卡通
片被选择的概率π都应该是1/6。
如果为真，300名儿童挑选每种卡通片的可能性应该是相
等的，则选择每种卡通片的期望频次应该是：fe=nπ
构造卡方统计量：
2＝
f0 - fe 2
fe
300名儿童对不同类型卡通片的偏好分布
原假设H0 ：顾客今年的颜色偏好与去年无显著差异。 分析——非参数检验——旧对话框——卡方
依次输入期 望的类别比 例。
P值小于5%， 可以拒绝原假 设。顾客今年 的颜色偏好与 去年相比存在 显著差异。
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卡方检验可以非常容易地推广到两样本或多样本比较的问 题，即应用卡方检验总体中两个特性有无相关性，这种检 验也叫独立性检验。
原假设H0 ：摇奖机工作正常，则每个号码出现的概率为 1/10。
注意：原始数据在分析时，首先进行加权！！ 分析——非参数检验——旧对话框——卡方
所有类别 比例相等
自定义类 别比例
残差值
卡方值
P值小于5%， 可以拒绝原假 设。认为摇奖 机工作不正常。
例2：美国某小汽车经营商根据去年销售的小汽车颜色的百分 率，认为今年顾客选择各种颜色的数目仍将不变，即20%的 人选择黄色，30%选择红色，10%选择绿色，10%选择蓝色， 30%选择白色。他随机抽取了150名顾客，询问他们所喜好 的颜色。结果见color.sav。问是否应拒绝该经营商的假设？
卡方检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出 χ2值，它表示观测值与理论值之间的偏离程度。根据χ2分布， χ2统计量，以及自由度可以确定在假设H0成立的情况下获得当 前统计量及更极端情况的概率P。
判断：如果P值很小，说明观测值与理论值偏离程度太大，应当 拒绝原假设，表示比较的类别之间有显著差异；否则就不能拒 绝原假设，不能认为样本所代表的实际情况与理论假设有差别。
✓ 男性几乎天天看的期 望频数：62×0.69＝ 42.78
✓ 女性比例：31÷100＝ 0.31
✓ 女性偶尔看的期望频 数：38×0.31＝11.78
Pearson卡方 统计量
双侧近似概率
双侧精确概率
对数似然比 计算的卡方
线性相关的卡方值， 检验行列变量是否线 性相关，多用于定序 变量
Fisher’s确切 概率法