金融数学第六章连续时间金融初步

第一节 连续时间金融数学基础
涉及到的数学： 测度论、实变函数、随机过程、随机微分 方程、马尔可夫链 等等 已经超过本教材的范围， 详细内容，参阅下面经典著作： Protter (1992) Karatzas和Shreve(1988) Ikeda和Watanabe（1989） Chung和Williams（1990） Williams（1991）
f (t dt, Bt dt ) f (t , Bt ) f1 (t , Bt )dt f 2 (t , Bt )dBt 1 / 2[ f11 (t , Bt )(dt) 2 f12 (t , Bt )dtdBt
2
f 22 (t , Bt )(dBt ) ] ...
2
Ito引理
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )(dBx )
s s t t 2
(dBx ) ( Bt dt Bt ) dt , s t
2 2
f ( Bt ) f ( Bs ) f ( Bx )dBx 1 / 2 f ( Bx )dx
对具有不变的相对风险厌恶系 数类的效用函数
C r 1 u (C ) , r 1, r 0 r
最优消费为该时刻财富的线性函数 投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关 与风险资产的波动性、经济人偏好有关 v * C (t ) W (t ) , v 0 v ( t T ) 1 (v 1)e 1 * C (t ) W (t ) , v 0 T t r * S (t ) 2 S* (1 r )

结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s 的分布相同， 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 分布的相等并不意味着样本路径的相等

Bt Bs Bt s

d
but Bt Bs Bt s
结论：布朗运动 B ( Bt , t [0, )) 为高斯过程，并且， 均值 E(Bt)=0 协方差 E(BtBs)=min(s,t)

六、解析解不存在下的数学处理 连续时间方法在一定程度上简化了对经济 问题的分析；然而，在求解连续时间问题 的时候，却出现了技术上的困难。如果没 有特殊设定，难以得到分析解 方法包括：有限差分近似法（BrennanSchwartz（1076a，1976b，1976c））、数 值积分法（Parkinson（1976）），以及 Boyle（1976）提供的Monte Carlo模拟


给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以 通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解
( S , C ;W ; t ) 0 * * (*) C ( S , C ;W ; t ) 0 ( S * , C * ;W ; t ) 0 S
* *
boundrycondition: I [W (T ),T ] B[W (T ),T ]

布朗运动与几何布朗运动
定义：称随机过程 B ( Bt , t [0, )) 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳 过程（Wiener process），如果满足4个条件： （1）该运动起始于0点，即，B0=0； （2）该运动具有平稳性和独立增量性； （ 3 ）对任意的 t ＞ 0 ， Bt 服从均值为 0 ，方差 为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。 （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃
ut Bt
( u 2 / 2 )t ( u 2 / 2 )( t s )
C x (t , s) e
(e
2 s
1), s t
(t ) e
2 x
( 2 u 2 ) t
(e
2 t
1)
Taylor展开

以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。

七、连续时间金融的实证分析 指出这一方向，目的在于表明连续时间方法 在实证领域同样具有重要的地位 关于连续时间金融的著作，以供理论工作者 参考阅读： Merton （ 1990 ）、 Duffie （ 1992 ， 1996 ），以及 Edgar 公司组织编写的一套经 济学丛书，其中包括了“期权市场”卷、 “公司债务”卷、“连续时间金融基础”卷，

Merton连续时间金融模型
假设存在一个典型代表性的经济人 W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） C(t)表示t时刻的单位时间消费 假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 投资者面临的决策问题是： 在给定的投资期限下（无限期的情形更简 单），如何进行消费决策以及投资决策，使 得投资期限内的总效用最大化

第三节Black-Scholes 期权定价公式
Black 和 Scholes 的期权定价模型，利用无套 利定价模型，不依赖于投资者的风险态度 无套利定价，是指如果金融市场上的期权是 正确定价的，那么，投资者就不能通过买入 或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合 得到超过无风险资产收益的确定的回报 给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型 下的期权定价公式 推导主要基于Black和Scholes(1973)
性质6-1：布朗运动为0.5自相似 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤 Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅

几何布朗运动

在Black—Scholes（1973）和Merton （1973）的论文中，都假定价格的波动 （运动）服从几何布朗运动，即
Pt P0 e E ( Pt ) e

Black-Scholes 模型

Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作 为股票价格运动的随机过程。假设股票 价格St过程服从线性随机微分方程（SDE）
dSt St dt St dWt
μ∈ R 为股票价格的期望收益率 σ＞0 为波动性系数 S0 ＞0为股票的初始价格。假定它们都是常数 Wt表示含σ-代数流的概率空间上的一维标准布 朗运动
s s
t
t
f (t , Bt ) f ( s, Bs ) f 2 ( x, Bx )dBx
s
t
( f1 ( x, Bx ) 1 / 2 f 22 ( x, Bx )dx
s
t
Байду номын сангаас
第二节 不确定情形下的 连续时间资产组合决策
以Merton（1969）的经典论文为例 在Merton（1969）之前，有少量的文章 分析多期下的资产组合问题，或者在分 析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962） 和Samuelson（1969） 从严格的意义上讲，Merton（1969）的 文章是连续时间金融领域的奠基之作

自融资策略

交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程 循序可测的概念参见严加安的《测度论》 交易策略为自融资的是指财富过程满足某条件（略） 在Black和Scholes(1973)中没有明显地提出自融资策略， 但是已经使用了这个概念 如果不限制投资者所使用的策略为自融资的，则，在 无约束的Black-Scholes 模型中也能够构造一个套利机 会。具体可参见Musiela和Rutkowski（1997）
2
d 2 ( s, t ) d1 ( s, t ) t
第四节 连续时间金融的简单概括


一、分析投资者最优组合决策问题 至少包括两种分析框架 其一，假定资产价格服从一个扩散过程； 其二，假定资产价格服从仿射跳扩散过程 Longstaff（2001）利用连续时间方法分析存在 事件风险下的投资者优化组合决策问题。价格 假定服从一个扩散过程（AJD），也即扩散过 程加上一个跳过程 Duffie-Pan-Liu（2001）提出了一个更一般的存 在AJD过程的理论分析框架

在这个决策系统里，消费水平以及投资 于m种资产的比例为控制变量 求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控 制变量，哪些是状态变量


为了求解优化问题，先进行必要计算， 以便在求解优化问题的时候将注意力集 中于数学背后的经济学
简单思路
财富变化的平均速率 两种资产的简化情况 投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)， 使得效用函数最大化


利用Ito公式，得到股票价格波动过程
St S0 exp{( / 2) Wt }
2

假定无风险资产按照无风险利率r 计连续 复利，则，无风险资产的价格过程为
dBt rBt dt
or Bt e
rt
Black-Scholes对金融市场的假设
1．短期利率已知，且不随时间变化； 2．股票价格服从连续时间的随机游走，其 方差与股票价格的平方成比例。在任何有 限时间区间的期末，股票价格服从对数正 态分布，且股票收益的方差为常数； 3．股票不支付红利，也没有其它支出； 4．期权是“欧式的” ； 5．买卖股票和期权不存在交易费； 6．能够以短期利率借入证券价格的任意比 例的资金用以购买证券； 7．卖空没有交易费。

max E[ e u(C (t ))dt B(W (T ),T ))]
t 0
T
约束：预算方程（6.15），C(t)≥0，W(t)≥0， W(0)=W0＞0。效用函数u’＞0，u’’＜0 T表示终结期。B(W(T),T)是一个设定的残值函数， 在W(t)上是凹函数

最优消费和投资策略
期权定价公式
两种推导期权定价公式的办法 第一，基于无风险收益能够用期权及其 标的资产的连续调整的头寸来复制的事 实——无风险组合方法 第二，基于均衡的要求。也就是说，期 权作为一种资产必须使得期望的收益率 与其风险相对应——均衡推导