2021年高中数学 1.1.1 正弦定理(1)同步练习 理(普通班)新人教A版必修5
高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5(2021年最新整理)
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1正弦定理一、选择题:1. 在ABC △中，45 60 10A B a =︒=︒=，，，则b =（ ） A．．． 【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=得10sin sin 2a Bb A ===，故选D.2。
在△ABC 中,若2,a b ==, 030A = ， 则B 等于（ ） A ．60 B ．60或 120 C ．30 D ．30或150 【答案】B【解析】由正弦定理sin sin a bA B =得22sin sin 30B B ===60或 120 3。
在ABC △中,角 A B C，，的对边分别是 a b c ，，，若 2a AB ==，，则cos B =（ )ABC D【答案】B【解析】由已知2a =,根据正弦定理变形有sin sin 2A B =，又因为2A B =，所以sin sin 2A B =，则sin 22B B =，即2sin cos 2B B B =，因为sin 0B ≠，所以cos 4B =，故选B.4．在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则该ABC ∆的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形 D ．等腰或直角三角形 【答案】D【解析】由正弦定理得22sin sin sin sin cos cos B AA B B A⋅=⋅，化简得sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22,2A B A B ππ+=+=，故选D.5. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则以下结论错误的为（ )A ．若sin cos cos A B Ca b c ==，则90A =︒ B ．sin sin sin a b c A B C+=+ C ．若sin sin A B >，则A B >；反之，若A B >，则sin sin A B > D ．若sin 2sin 2A B =，则a b = 【答案】D【解析】∵sin cos cos A B Ca b c==，∴由正弦定理B B cos sin =,C C cos sin =，又∵B ,C 为ABC ∆的内角，∴ 45==C B ,故90A =︒，A 正确；∵由正弦定理可得R CcB b A a 2sin sin sin ===，∴()AaR C B C B R C B c b sin 2sin sin sin sin 2sin sin ==++=++，故B 正确;在ABC ∆，设外接圆的半径为R ,若sin sin A B >,则B R A R sin 2sin 2>,由正弦定理可得b a >，即A B >;若A B >，即有b a >，即B R A R sin 2sin 2>，即b a >．则在ABC ∆中，B A B A >⇔>sin sin ，故C 正确;∵sin 2sin 2A B =,∴()()0sin cos 2sin 2sin =-+=-B A B A B A ，∴()0cos =+B A 或()0sin =-B A ,∴2π=+B A 或B A =，∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故D 错误．故选:D ．6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3π=A ，则c b +的最大值为（ )A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C【解析】由正弦定理可得:23b c sinB sinC sin π===，∴2222()23b c sinB sinC sinB sin B π+=+=+-()12222sinB sinB =++3()6sinB B π==+≤，当且仅当3B π=时取等号．∴b c +的最大值为32．故选:C. 二、填空题：7. 在ABC ∆中,则 a =【解析】根据正弦定理32522315sin sin sin sin =⨯==⇔=BA b aB b A a ,8。
2021人教版数学同步a版必修5模块练习题--1.1.1 正弦定理
第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理基础过关练题组一 对正弦定理的理解1.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( ) A.asin B=bsin C B.acos A=bcos B C.asin C=csin A D.acos B=bcos A2.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a·cos A=bsin B,则 sinAcos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1 3.在△ABC 中,若a sin A =bcos B ,则角B 的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π24.已知△ABC 外接圆的半径是2 cm,∠A=60°,则BC= . 题组二 已知两角及一边解三角形5.在△ABC 中,AB=√3,A=45°,C=75°,则BC=( ) A.3+√3B.3-√3C.2D.√26.在△ABC 中,已知a+b=√3,B=π4,A=π3,则b 的值为 . 7.在△ABC 中,若tan A=12,C=120°,a=1,则c= . 8.在△ABC 中,已知a=2√2,A=30°,B=45°,解三角形.题组三 已知两边及一边的对角解三角形 9.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= 13,则sin B=( ) A.15B.59C.√53D.110.在△ABC 中,b=10,c=5√6,C=60°,则△ABC 有( ) A.一解B.两解C.无解D.不确定11.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c=2,b=√2,B=π4,则a= .12.在△ABC 中,已知a=2√3,b=6,A=30°,解三角形.题组四 利用正弦定理判断三角形的形状13.设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足acos B-bcos A=c,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不确定14.在△ABC 中,若c<bcos A,则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定15.在△ABC中,若tanA tanB = a 2b 2,则△ABC 是( )A.等腰或直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.不能确定16.在△ABC 中,已知b=asin C,c=asin B,试判断△ABC 的形状.能力提升练一、选择题 1.(2019福建福州三中高一下期末,★★☆)若sinA a =cosB b =cosCc,则△ABC为( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C.有一个内角为30°的直角三角形D.有一个内角为30°的等腰三角形2.(★★☆)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cos A=35,则b 等于( ) A.53B.107C.57D.5√2143.(★★☆)如果满足条件C=60°,AB=√3,BC=a 的三角形ABC 有两个,那么a 的取值范围是( ) A.(1,√2) B.(√2,√3) C.(√3,2) D.(1,2)4.(2020安徽合肥高一期末,★★☆)在△ABC 中,c=√3,A=75°,B=45°,则△ABC 的外接圆面积为( ) A.π4B.πC.2π D .4π5.(2019陕西西安一中高二月考,★★★)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,∠A 的平分线AD=√3,则AC=( ) A.2√3 B.√6C.√5D.√106.(★★★)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足csin A= √3acos C,则sin A+sin B 的最大值是( ) A.1 B.√2 C.√3 D.3 二、填空题7.(2018四川省南充高级中学高二上期中,★★☆)已知方程x 2-(bcos A)x+ acos B=0的两根之积等于两根之和,且a,b 为△ABC 的两边,A,B 为△ABC 的 两内角,则△ABC 的形状为 .8.(★★☆)如果满足A=60°,BC=6,AB=k 的锐角△ABC 有且只有一个,那么实数k 的取值范围是 .9.(★★★)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cosA -3cosC cosB =3c -ab,则a c= .三、解答题10.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考,★★☆)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4. (1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.11.(2019河南郑州一中高二上期中,★★★)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B 为钝角. (1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C 的取值范围.答案全解全析基础过关练1.C 由正弦定理可得asin C=csin A.2.D ∵acos A=bsin B, ∴sin Acos A=sin 2B=1-cos 2B,∴sin Acos A+cos 2B=1.3.B 由正弦定理及已知得asinA =bsinB =bcosB,所以sin B=cos B.由题意得B∈(0,π),所以B=π4. 4.答案 2√3 cm解析 设△ABC 外接圆的半径为R,则R=2 cm,∵BC sinA=2R,∴BC=2Rsin A=4·sin 60°=2√3(cm).5.B 在△ABC 中,由正弦定理,得BCsinA =ABsinC,所以BC=ABsinA sinC=√3×√22√6+√24=√6√6+√2=3-√3.6.答案 3√2-2√3 解析 由正弦定理,得a b =sinA sinB=√62,即a=√62b,代入a+b=√3,得(√62+1)b=√3,所以b=√3√6+2=3√2-2√3.7.答案 √152解析 由tan A=sinA cosA =12,得cos A=2sin A,代入sin 2A+cos 2A=1,得5sin 2A=1,由题意得A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin A=√55.由c sinC =asinA,得c=asinC sinA=√152.8.解析 ∵asinA =bsinB =csinC,∴b=asinB sinA=2√2sin45°sin30°=2√2×√2212=4.在△ABC 中,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°, ∴c=asinC sinA=2√2sin105°sin30°=2√2sin75°12=2+2√3.9.B 由正弦定理及已知得,313=5sinB,所以sin B=59.10.A 由正弦定理及已知得,sin B=b ·sinC c=√22,又b<c,所以B=45°,所以△ABC 只有一解. 11.答案 √2解析 由正弦定理及已知,得sin C=csinB b=2×√22√2=1.由题意得0<C<π,∴C=π2,∴a 2+b 2=c 2.又c=2,b=√2,∴a=√2.12.解析 由已知得,a<b,A=30°<90°.又因为bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A, 所以本题有两解. 由正弦定理得,sin B=bsinA a=2√3=√32,故B=60°或120°.当B=60°时,C=90°,c=√a 2+b 2=4√3; 当B=120°时,C=30°,c=a=2√3.所以B=60°,C=90°,c=4√3或B=120°,C=30°,c=2√3. 13.B 由acos B-bcos A=c,得accos B-bc·cos A=1.由正弦定理,得sinAcosB sinC-sinBcosA sinC=1,即sin(A-B)=sin C.又因为A,B,C∈(0,π),所以A-B=C 或A-B=π-C,即A=B+C 或A+C=π+B.由A=B+C,得A=π2;由A+C=π+B,得π-B=π+B,即B=0,不成立.所以A=π2.故△ABC 是直角三角形.14.C 由c<bcos A 及正弦定理,得sin C<sin Bcos A.因为sin C=sin(B+A)= sin Bcos A+cos Bsin A,所以sin Bcos A+cos Bsin A<sin Bcos A,即sinAcos B<0.又因为A,B∈(0,π),所以cos B<0,即B 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.A 由正弦定理及已知得tanA tanB =sin 2A sin 2B,又由题意得sin A>0,sin B>0,故化简可得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B∈(0,π),所以2A=2B 或2A=π-2B,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.故选A.16.解析 解法一:由b=asin C,c=asin B,得b c =sinC sinB,由正弦定理,得b c =c b,所以b 2=c 2.又b,c>0,所以b=c,所以B=C.由b=asin C,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,所以sin A=1,又0<A<π, 所以A=π2,所以△ABC 是等腰直角三角形.解法二:由b=asin C,c=asin B,得b c =sinCsinB,由正弦定理,得sinB sinC =sinC sinB,所以sin 2B=sin 2C.又0<B<π,0<C<π,所以sin B>0,sin C>0,所以sin B=sin C,所以B=C. 由b=asin C,得sin B=sin Asin C=sin Asin B,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为等腰直角三角形.能力提升练一、选择题 1.B 因为sinA a=cosB b,而由正弦定理得sinA a=sinB b,所以cosB b=sinB b,即cos B=sin B.在△ABC 中,可得B=45°.同理,可得C=45°,所以△ABC 为等腰直角三角形. 2.C 由题意得0°<A<135°.因为cos A=35,所以sin A=√1-cos 2A =√1-(35)2=45,所以sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=45cos 45+35sin 45°=7√210.由bsinB =csinC,得b=7√210×sin 45°=57.3.C 因为满足条件的三角形ABC 有两个,所以asin C<AB<a,所以√32a<√3<a,所以a∈(√3,2).故选C.4.B 在△ABC 中,A=75°,B=45°,∴C=180°-A-B=60°.设△ABC 的外接圆半径为R,则由正弦定理可得2R=c sinC,解得R=1,故△ABC 的外接圆面积为πR 2=π.故选B.5.B 如图所示,设∠BAD=∠CAD=θ.在△ABD 中,由正弦定理,得ADsinB =ABsin∠ADB,所以sin∠ADB=ABsinB AD=√22.又0°<∠ADB<180°,且∠ADB 为锐角,所以∠ADB=45°,所以∠ADC=135°,θ=15°.所以C=180°-15°-135°=30°. 在△ACD 中,由正弦定理,得ADsinC =ACsin∠ADC,所以AC=ADsin∠ADCsinC=√3×√2212=√6.6.C ∵csin A=√3acos C,∴sin Asin C=√3sin Acos C. 由题意得sin A≠0,∴sin C=√3cos C,∴tan C=√3. 又由题意得C∈(0,π),∴C=π3,∴sin A+sin B=sin A+sin (π3+A)=sin A+sin π3cos A+cosπ3sin A=32sin A+√32cos A=√3sin (A +π6).∵A ∈(0,2π3),∴当A=π3时,sin A+sin B 取最大值√3. 二、填空题 7.答案 等腰三角形解析 设方程的两根分别为x 1,x 2.由已知,得x 1+x 2=bcos A,x 1x 2=acos B, 则bcos A=acos B.由正弦定理,得sin Bcos A=sin Acos B,即sin(A-B)=0. 因为A,B∈(0,π),所以A-B=0,即A=B,所以△ABC 为等腰三角形. 8.答案 2√3<k<4√3解析 由已知可得30°<C<90°,所以12<sin C<1.由正弦定理,得ksinC=√3,所以k=4√3sin C,所以2√3<k<4√3.9.答案 13解析 由正弦定理及已知,得cosA -3cosC cosB=3sinC -sinAsinB,即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B,整理,得sin(A+B)=3sin(B+C).所以sin C=3sin A,即sinA sinC =a c =13.三、解答题10.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=35.由正弦定理,得ABsinC =ACsinB,∴AB=ACsinC sinB=6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C).∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4)=-cos Bcos π4+sin Bsin π4=-45×√22+35×√22=-√210.又0<A<3π4,∴sin A=7√210.∴cos (A -π6)=√32cos A+12sin A=√32×(-√210)+12×7√210=7√2-√620.11.解析 (1)证明:由a=btan A 及正弦定理,得sinA cosA =a b =sinA sinB,∴sin B=cos A,即sin B=sin (π2+A),又∵B 为钝角,∴π2+A∈(π2,π),∴B=π2+A,即B-A=π2. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A +π2)=π2-2A>0,∴A ∈(0,π4),∴sin A+sin C=sin A+sin (π2-2A)=sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1=-2(sinA -14)2+98.∵0<A<π4,∴0<sin A<√22,∴√22<-2(sinA -14)2+98≤98, 故sin A+sin C 的取值范围是(√22,98].。
高中数学新人教A版必修5第一章 1.1 1.1.1 正弦定理
正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？预习课本P 2～3，思考并完成以下问题[新知初探]1．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C. [点睛] 正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．2．解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立( ) (3)在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则此三角形有唯一解( )解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．(2)正确．由正弦定理知a sin A ＝bsin B，即b sin A ＝a sin B .(3)错误．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a ，b ，A 的值来定．答案：(1)√ (2)√ (3)×2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B.sin B sin A C.sin C cD.c sin C 解析：选C 由正弦定理得，a sin A ＝c sin C， 所以sin A a ＝sin C c .3．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2B ．10 3C.1033D ．5 6解析：选B 由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝10×3212＝10 3.4．在△ABC 中，A ＝30°，a ＝3，b ＝2，则这个三角形有 ( )A ．一解B ．两解C ．无解D ．无法确定解析：选A ∵b <a ，A ＝30°，∴B <30°，故三角形有一解．已知两角及一边解三角形[典例] 在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c . [解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．[注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．[活学活用]在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3D ．32解析：选B 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.已知两边及其中一边的对角解三角形[典例] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c . [解] 由正弦定理及已知条件，有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32.∵a >b ，∴A >B ＝45°.∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22. 综上可知：A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．[活学活用]在△ABC 中，c ＝6，C ＝60°，a ＝2，求A ，B ，b . 解：∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝22.∴A ＝45°或A ＝135°. 又∵c >a ，∴C >A .∴A ＝45°. ∴B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6·sin 75°sin 60°＝3＋1.三角形形状的判断[典例] 在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 解：[法一 化角为边] ∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． [法二 化边为角]∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ， ∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去) 故△ABC 为等腰三角形．利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．．．．．．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R. (2)化边为角．．．．．．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．[活学活用]在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B ·cos C ．试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴⎝⎛⎭⎫a 2R 2＝⎝⎛⎭⎫b 2R 2＋⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＝b 2＋c 2， 故A ＝90°.∴C ＝90°－B ，cos C ＝sin B . ∴2sin B ·cos C ＝2sin 2B ＝sin A ＝1. ∴sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°(A ＋B ＝225°＞180°，故舍去)． ∴△ABC 是等腰直角三角形．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A.53B.35C.37D.57 解析：选A 根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53. 2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B 由题意有a sin A ＝b ＝b sin B，则sin B ＝1， 即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理得，sin A a ＝sin C c ＝cos Cc ，则cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15B.59C.53D ．1解析：选B 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝3b sin A ，则sin B ＝( ) A. 3 B.33C.63D ．－63解析：选B 由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，所以sin A ＝3sin B sin A ，故sinB ＝33. 6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解； ②b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解； ③a ＝15，b ＝2，A ＝90°，无解； ④a ＝40，b ＝30，A ＝120°，有一解．解析：①中a ＝b sin A ，有一解；②中c sin B <b <c ，有两解；③中A ＝90°且a >b ，有一解；④中a >b 且A ＝120°，有一解．综上，④正确．答案：④7．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 的形状是________． 解析：由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，sin C＝c2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形． 答案：直角三角形8．在△ABC 中，若A ＝105°，C ＝30°，b ＝1，则c ＝________. 解析：由题意，知B ＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝1×sin 30°sin 45°＝22. 答案：229．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°， 则C ＝180°－(A ＋B )＝75°. 因为C >B >A ，所以最小边为a . 又因为c ＝1，由正弦定理得， a ＝c sin A sin C ＝1×sin 45°sin 75°＝3－1， 所以最小边长为3－1.10．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝42sin(30°＋45°)＝2＋2 3.层级二 应试能力达标1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12，又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的周长为4(2＋1)，且sin B ＋sin C ＝2sin A ，则a ＝( )A. 2 B ．2 C ．4D ．2 2解析：选C 根据正弦定理，sin B ＋sin C ＝2sin A 可化为b ＋c ＝2a ， ∵△ABC 的周长为4(2＋1)，∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝4(2＋1)，b ＋c ＝2a ，解得a ＝4.故选C. 3．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A解析：选A 由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cos C ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .4．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：选B 由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. 5．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，a ＋b ＝12，则a ＝________. 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以a sin 60°＝bsin 45°，所以32b ＝22a ，① 又因为a ＋b ＝12，② 由①②可知a ＝12(3－6)． 答案：12(3－6)6．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B ＝_______. 解析：由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝AB ·sin ABC＝5sin 120°7＝5314. 可知C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝1114. ∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314.答案：33147．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理，a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又∵sin A ＝cos C ，∴sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin(C ＋45°)＝2sin B ， 又A ，B ，C 是△ABC 的内角，故C ＋45°＝B 或(C ＋45°)＋B ＝180°(舍去)， 所以A ＋B ＋C ＝(90°＋C )＋(C ＋45°)＋C ＝180°. 所以C ＝15°.8．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a ，b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A .即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π2.∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43得a ＝6，b ＝8.故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。
2021年高考数学专题复习 第23讲 正弦定理和余弦定理练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第23讲正弦定理和余弦定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C．变形形式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角二、三角形常用面积公式1．S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；2．S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A 、B 、C ≠π2)．1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63B.223C ．－63D ．－223【解析】 由正弦定理，得sin B ＝b ·sin A a ＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B ＜60°，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 A2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】∵b sin A＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】 B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )A．2 B．4＋2 3C．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos 30°＝4.∴b＝2.【答案】 A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】153 45．(xx·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】 D6．(xx·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵b cos C＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．【答案】 B考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形(xx·临沂模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【思路点拨】 (1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解． (2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解． 【尝试解答】 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.规律方法1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练 (1)△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a 的值( )A.32B.33C.22D ．1(2)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 等于( ) A.14 B ．－14C.13D ．－13(3)(xx·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 (1)法一 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1.法二 由正弦定理b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－B －C ＝π6，∴a ＝b ＝1.(2)由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝4x ， 则cos C ＝9x 2＋4x 2－16x22·3x ·2x＝－14.(3)由sin C ＝23sin B 可知c ＝23b . 又a 2－b 2＝3bc ，∴a ＝7b .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32.∴A ＝30°.【答案】 (1)D (2)B (3)A考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(xx·吉林模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．【思路点拨】 求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边． 【尝试解答】 法一(化边为角)：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， ∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B . ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 法二(化角为边)： 同法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋b 2－b 22ac∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 规律方法2 判定三角形形状的两种常用途径 1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.对点训练 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈(0，π2)，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．考向三 [067] 与三角形面积有关的问题(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积【思路点拨】 (1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；(2)利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积．【尝试解答】 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理asin A ＝b sin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.规律方法3 1.本例2在求解中通过,“b 2＋c 2－bc ＝b ＋c2－3bc ”实现了“b＋c ”与“bc ”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练 (xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(12分)(xx·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.图3－7－1(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【规范解答】 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.2分 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.4分故PA ＝72.6分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.7分 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150° ＝sin αsin 30°－α，9分化简得3cos α＝4sin α，11分 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分 【名师寄语】 1熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.2学会用“执果索因”的方式把待求的边角化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图3－7－2，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．图3－7－2【解】 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.37235 9173 酳39106 98C2 飂k31069 795D 祝36511 8E9F 躟N27943 6D27 洧29283 7263 牣20437 4FD5 俕35534 8ACE 諎 27497 6B69 歩Ky32046 7D2E 紮。
【优选整合】人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理学案(含答案)
1.1正弦定理-----学案一、学习目标1．掌握正弦定理及基本应用．(重点)2．会判断三角形的形状．(难点)3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)二、自主学习教材整理1 正弦定理阅读教材P 2～P 3探究下面第5行，完成下列问题．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理适用于任意三角形．( )(2)在△ABC 中，等式b sin A ＝a sin B 总能成立．( )(3)在△ABC 中，若A ＝30°，a ＝2，b ＝23，则B ＝60°.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)×教材整理2 解三角形阅读教材P 3“思考”上面倒数第二行～P 4例2，完成下列问题．1．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．三、合作探究探究1. 已知两角及一边解三角形1. (1)在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝60°，则b 等于( )A.322B.322C.32D.62 (2)在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝________.【精彩点拨】 (1)可先由角A ，B 求出角C ，然后利用正弦定理求b .(2)直接利用正弦定理求解．【自主解答】 (1)因为A ＝75°，B ＝60°，所以C ＝180°－75°－60°＝45°.因为c ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝c sin B sin C ＝3×3222＝322. (2)由正弦定理知：AC sin B ＝BC sin A ， 则AC sin 45°＝12sin 60°，解得AC ＝4 6. 【答案】 (1)A (2)4 6归纳总结：已知两角及一边的三角形解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．探究2.已知两边及一边的对角解三角形(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.(2)在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，求B ，C 和c .【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点，直接求解．注意三角形解的个数问题．(2)先利用正弦定理求角B ，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c .【自主解答】 (1)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B .把A ＝π6，a ＝1，b ＝3代入，解得sin B ＝32.因为b ＞a ，所以B ＞A ，结合题意可知B ＝π3或2π3. 【答案】 π3或2π3(2)由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又a ＝23，b ＝6，a <b ，∴B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. 综上B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.归纳总结：已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．探究3. 正弦定理的主要功能（1） 已知△ABC 的外接圆O 的直径长为2R ，试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理．【提示】 如图，连接BO 并延长交圆O 于点D ，连接CD ，则∠BCD ＝90°，∠BAC ＝∠BDC ，在Rt △BCD 中，BC ＝BD ·sin ∠BDC ，所以a ＝2R sin A ，即a sin A ＝2R ，同理b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . （2） 由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C＝2R 可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【提示】 由a sin A ＝2R ，b sin B ＝2R ，c sin C ＝2R 可以得到的变形：sin A ＝a 2R，a ＝2R sin A ；sin B ＝b 2R ，b ＝2R sin B ；sin C ＝c 2R，c ＝2R sin C ，由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．（3） 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．【精彩点拨】 解决本题的关键是利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R把sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角A ，然后再利用sin A ＝2sin B cos C 求解．【自主解答】 法一：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，B ＋C ＝90°，∴2sin B cos C ＝2sin B cos(90°－B )＝2sin 2B ＝sin A ＝1，∴sin B ＝22. ∵0°<B <90°，∴B ＝45°，C ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：根据正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C，∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角．∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ，∴sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴sin(B －C )＝0.又－90°<B －C <90°，∴B －C ＝0，∴B ＝C ，∴△ABC 是等腰直角三角形．归纳总结：1．判断三角形的形状看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等．2．已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断．四、学以致用1．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.2．在△ABC 中，c ＝6，C ＝π3，a ＝2，求A ，B ，b .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝a cos C ，试判断△ABC 的形状.五、自主小测1．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则有( )A ．a <bB ．a ≥bC ．a >bD ．a ，b 的大小无法判定2.在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形3．在△ABC 中，AB ＝3，A ＝45°，B ＝60°，则BC ＝________.4．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.参考答案1.【解析】 因为a sin A ＝b sin B ，所以a b ＝sin A sin B.，因为在△ABC 中，sin A >0，sin B >0， 所以a b ＝sin A sin B>1，所以a >b . 【答案】 C2.【解析】 由正弦定理知c ＝2R sin C ，a ＝2R sin A ，故sin C ＝2sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，。
§1.1.1 正弦定理(练1)
f 数学·人教A 版·必修5数学·人教A 版·必修5第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)对点讲练一、已知两角和一边解三角形例1 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，解三角形．分析 要注意在△ABC 中隐含条件A ＋B ＋C ＝180°的运用．解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin 45°sin 30°＝52； c ＝a ·sin C sin A ＝5·sin 105°sin 30°＝5·sin (60°＋45°)sin 30°＝5·sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°sin 30°＝52(6＋2)． 总结 已知一个三角形的三边和三内角这六个量中的三个量，其中至少有一个是边，可以求解其余的三个量．►变式训练1 在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×22124. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 二、已知两边及其中一边的对角解三角形例2 在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．分析 已知三角形的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.总结 已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．►变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin 60°＝1sin B ， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ， 得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.三、已知两边及其中一边的对角，判断三角形解的个数例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝5，b ＝4，A ＝120°；(2)a ＝9，b ＝10，A ＝60°；(3)c ＝50，b ＝72，C ＝135°.解 (1)sin B ＝b a sin 120°＝45×32<32， 所以三角形有一解．(2)sin B ＝b a sin 60°＝109×32＝539，而32<539<1， 所以当B 为锐角时，满足sin B ＝539的角有60°<B <90°， 故对应的钝角B 有90°<B <120°，也满足A ＋B <180°，故三角形有两解．(3)sin B ＝b sin C c ＝7250sin C >sin C ＝22，所以B >45°， 所以B ＋C >180°，故三角形无解．总结 已知三角形的两边及其中一边的对角，此类问题可能出现一解、两解或无解的情况，具体判断方法是：可用三角形中大边对大角定理，也可作图判断．►变式训练3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a ＝7，b ＝14，A ＝30°；(2)a ＝30，b ＝25，A ＝150°；(3)a ＝7，b ＝9，A ＝45°.解 (1)A ＝30°，a ＝b sin A ，故三角形有一解．(2)A ＝150°>90°，a ＝30>b ＝25，故三角形有一解．(3)A ＝45°，b sin 45°<a <b ，故三角形有两解．课堂小结：1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( )A ．a sin A ＝b sinB B ．b sinC ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则这个三角形解的情况是( )A ．有两个解B ．有一个解C ．无解D ．不能确定答案 B3．(2009·广东)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3答案 A解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°·cos 30°＝2＋64. 由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12. 由正弦定理得b ＝a sin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2. 4．(2009·北京海淀区期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C ) ＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0，π)，∴C ＝120°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，∴可令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝72k b ＝52kc ＝32k . ∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.二、填空题6．(2009·北京海淀区4月一模)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则∠C ＝________.答案 75°解析 由正弦定理2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴∠A ＝45°.∴∠C ＝75°.7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 b ＝2a ⇒sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 8．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是______________． 答案 2<x <2 2解析 因三角形有两解，所以a sin B <b <a ，即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 三、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？解 当a <b sin 30°，即b >2a ，b >43时，无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，求a b的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故所求的范围是(2，3)．。
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第1课时正弦定理(含答案)
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：由2B ＝A ＋C ⇒3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32解析：利用正弦定理解三角形． 在△ABC 中，AC sin B ＝BCsin A ，所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×2232＝2 3.答案：B3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：利用正弦定理：a sin A ＝bsin B ，1532＝10sin B ，所以sin B ＝33，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B＝63. 答案：D4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误． 根据比例式的性质易得C 正确． 大边对大角，故D 正确． 答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ＝2R ，由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ， 所以sin B ＝1，所以B ＝π2.答案：B 二、填空题6．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B＝________．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，即332＝6sin B，所以sin B ＝22，所以∠B ＝π4.答案：π47．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin Bsin C＝________．解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)， 由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k －3k 5k ＝1.答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________．解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ，所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32，所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 三、解答题9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为2A 、2B ∈(0，2π)， 所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC的内切圆半径．解：由正弦定理知sin B sin A ＝ba ，所以cos A cos B ＝sin B sin A.则sin A cos A ＝sin B cos B ， 所以sin 2A ＝sin 2B .又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ， 即A ＋B ＝π2.所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝102，b a ＝43，得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.B 级 能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a .因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以sin B sin A ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72.答案：D2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________．解析：因为 sin B ＝12，所以B ＝π6或B ＝5π6.当 B ＝π6时，a ＝3，C ＝π6，所以 A ＝2π3，由正弦定理得， 3sin 2π3＝b 12，则b ＝1.当B ＝5π6时，C ＝π6，与三角形的内角和为π矛盾．答案：13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由A －C ＝90°，得A 为钝角且sin A ＝cos C ，利用正弦定理a ＋c ＝2b 可变形为sin A ＋sin C ＝2sin B ，又因为sin A ＝cos C ，所以sin A ＋sin C ＝cos C ＋sin C ＝2sin (C ＋45°)＝2sin B ，又A，B，C是△ABC的内角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，所以C＝15°.。
高二数学人教A必修5练习：1.1.1 正弦定理 Word版含解析.docx
课时训练1正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在△ABC中,若角A,B,C对应的三边分别是a,b,c,则下列各式一定成立的是()A.acosA =bcosBB.ab=sinAsinBC.a sin B=b cos AD.a=b sin A 答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理得asinA =bsinB,即ab=sinAsinB.2.(2015山东威海高二期中,4)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之比a∶b∶c等于()A.3∶2∶1B.√3∶2∶1C.√3∶√2∶1D.2∶√3∶1答案:D解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由A+B+C=π,可得C=π6,故A=π2,B=π3,C=π6.∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶√32∶12=2∶√3∶1.故选D.3.在△ABC中,A=60°,a=3,则a+b+csinA+sinB+sinC等于() A.8√3 B.2√39C.28√3D.2√3答案:D解析:利用正弦定理及比例性质,得a+b+c sinA+sinB+sinC =asinA=3sin60°=32=2√3.二、利用正弦定理解三角形4.(2015山东潍坊四县联考,2)在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案:A解析:∵B=60°,C=75°,∴A=180°-60°-75°=45°.∴由正弦定理可得b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6.故选A.5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=√2,b=√3,B=60°,那么A=()A.45°B.135°C.45°或135°D.60°答案:A解析:由正弦定理可得sin A=√22,但a<b,所以A<B,故A只能是锐角45°.6.(2015河南南阳高二期中,2)在△ABC中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC有两解,则边BC长度的取值范围为()A.(2√3,4)B.(2,4)C.(4,+∞)D.(2√3,4)答案:B解析:∵满足条件的△ABC有两解,∴AB sin30°<BC<4.∴2<BC<4,故选B.7.在△ABC中,a=√3,b=√2,B=45°,则A=.答案:60°或120°解析:由正弦定理asinA =bsinB,得sin A=√32.∵a>b,∴A=60°或A=120°.8.在△ABC中,已知a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长.解:∵B=120°,C=15°,∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°.∵B最大,∴b最大.由正弦定理asinA =bsinB,得b=asinB=5×sin120°=5√6.9.在△ABC中,已知a=2,c=√6,C=π3,求A,B,b.解:∵a=c,∴sin A=asinC=√2.∵c>a,∴C>A.∴A=π.∴B=5π12,b=csinBsinC=√6×sin5π12sinπ3=√3+1.三、判断三角形形状10.(2015河北邯郸三校联考,7)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案:B解析:∵b cos C+c cos B=a sin A,∴由正弦定理可得sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A,即sin(B+C)=sin A sin A,可得sin A=1,故A=π2,故三角形为直角三角形.故选B.11.在△ABC中内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2c cos A,c=2b cos A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:由b=2c cos A,根据正弦定理,得sin B=2sin C cos A,∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C,代入上式,可得sin A cos C+cos A sin C=2sin C cos A,即sin A cos C-cos A sin C=sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,∴A-C=0,即A=C.同理A=B,∴△ABC为等边三角形,故选C.12.(2015山东威海高二期中,7)在△ABC中,若acos A2=bcos B2=ccos C2,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案:C解析:∵asinA =bsinB=csinC,∴acos A2=bcos B2=ccos C2,可化为sinAcos A2=sinBcos B2=sinCcos C2,即sin A2=sin B2=sin C2.∵A,B,C均为三角形的内角, ∴A=B=C.即△ABC为等边三角形.故选C.(建议用时:30分钟)1.(2015福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若A=30°,B=45°,BC=√2,则AC 等于( )A.2√33 B.2 C.1D.√32答案:B解析:由正弦定理可得AC sinB =BCsinA ,从而有AC=BCsinBsinA =√2×sin45°sin30°=2,故选B .2.在△ABC 中,已知a=5√2,c=10,A=30°,则B 等于 ( )A.105°B.60°C.15°D.105°或15°答案:D解析:由正弦定理csinC =asinA ,得10sinC=5√2sin30°,sin C=√22.∵a<c ,∴A<C ,∴C=45°或135°.再由A+B+C=180°,求出B=105°或15°.3.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a cos A=b sin B ,则sin A cos A+cos 2B=( ) A.-12B.12C.-1D.1答案:D解析:根据正弦定理asinA =bsinB =2R 得,a=2R sin A ,b=2R sin B ,∴a cos A=b sin B 可化为sin A cos A=sin 2B. ∴sin A cos A+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.4.在△ABC 中,角A ,C 的对边分别为a ,c ,C=2A ,cos A=34,则ca 的值为( ) A.2 B.12C.32D.1答案:C解析:由正弦定理得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosA sinA =2cos A=32. 5.在△ABC 中,b=2√2,a=2,且三角形有解,则A 的取值范围是( ) A.0°<A<30°B.0°<A ≤45°C.60°<A<90°D.30°<A<60°答案:B解析:∵△ABC有解,∴b·sin A≤a,即sin A≤√22.又a<b,∴A为锐角.∴0°<A≤45°.6.在△ABC中,若a=3,b=√3,A=60°,则角C的大小为.答案:90°解析:由正弦定理得,asinA =bsinB,从而32=√3sinB,即sin B=12,∴B=30°或B=150°.由a>b可知B=150°不合题意,∴B=30°.∴C=180°-60°-30°=90°.7.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2√3a sin B,且cos B=cos C,则△ABC的形状是.答案:等边三角形解析:由正弦定理可将3b=2√3a sin B化为3sin B=2√3sin A sin B.∴sin A=√32.∵△ABC为锐角三角形,∴A=π3.又∵cos B=cos C,0<B<π2,0<C<π2,∴B=C.∴△ABC为等边三角形.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.a sin B cos C+c sin B cos A=12b,且a>b,则B=.答案:π6解析:由正弦定理asinA =bsinB=csinC=2R,得2R sin A sin B cos C+2R sin C sin B cos A=12×2R sin B.由0<B<π,所以sin B≠0,从而sin(A+C)=12,即sin(π-B)=sin B=12.因为a>b,所以在△ABC中,B为锐角,则B=π6.9.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,试判断△ABC的形状.解:由已知得a 2sinBcosB =b2sinAcosA,由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B(R为△ABC的外接圆半径),∴4R 2sin 2AsinB cosB=4R 2sin 2BsinAcosA. ∴sin A cos A=sin B cos B. ∴sin2A=sin2B.又A ,B 为三角形的内角,∴2A=2B 或2A=π-2B ,即A=B 或A+B=π2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.10.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对应的边,且b=6,a=2√3,A=30°,求ac 的值. 解:由正弦定理asinA=bsinB得 sin B=bsinA a=2√3=√32.由条件b=6,a=2√3,知b>a ,所以B>A.∴B=60°或120°.(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在Rt △ABC 中,C=90°,a=2√3,b=6,则c=4√3,∴ac=2√3×4√3=24.(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C ,则有a=c=2√3.∴ac=2√3×2√3=12.。
人教A版高中数学必修五《1.1.1正弦定理》练习题.docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 §1.1.1 正弦定理一.知识与技能目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．二.课内检测1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）. A ．1∶1∶4 B ．1∶1∶2 C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ． 6（选作）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．三.课外作业1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．3. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．4. 在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．5.在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中，求和．6（选作）在ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是_____.7.（选作）在ABC ∆中，已知B c b sin 2=，求C ∠的度数答案：6（选作） 2<x<22 7.（选作） 300 或1500。
2020-2021学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理同步作业(含解析)新人教A
正弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为 ( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A,B的大小关系不确定【解析】选A.因为sin A>sin B,所以2Rsin A>2Rsin B,即a>b,故A>B.2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则b= ( )A. B. C. D.【解析】选A.由正弦定理得b=×sin B=×sin45°=.3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为( )A.-B.C.1D.【解析】选D.由正弦定理可得,=2-1=2-1,因为3a=2b,所以=,所以=2×-1=.4.(2019·鹤岗高一检测)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于( )A. B. C. D.【解析】选A.因为2asin B=b,由正弦定理可得:2sin Asin B=sin B,又sin B≠0,所以sin A=.因为△ABC为锐角三角形,所以A=.5.在△ABC中,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为( )A.0B.1C.2D.不能确定【解析】选C.如图所示:CD=AC·sin 30°=18·=9,因为9<15<18,即bsin A<a<b,所以三角形解的个数为2.6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,b=,则B=( )A.30°B.45°C.60°D.135°【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理可得=,即sin B== =, 又因为0°<B<180°,且a>b,则A>B,所以B=45°.又因为B∈(0,π),且a>b,则A>B,所以B=45°.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为________.【解析】由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案:等腰三角形或直角三角形.8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=50,c=150,B=30°,则边长a=________或________.【解析】由正弦定理,可得=,得sinC=,因为150>50,所以C=60°或120°.若C=60°,则∠A=90°.由勾股定理得a=100,若C=120°,则∠A=30°.所以a=b=50.答案:50100三、解答题(每小题10分,共20分)9.在三角形ABC中,已知a=5,b=5,A=30°,解此三角形.【解析】在△ABC中,由正弦定理==,得sin B==. 因为b>a,所以B=60°或120°,当B=60°时,C=180°-(A+B)=90°,则c===10;当B=120°时,C=180°-(A+B)=30°,则c===5.综上可得,B=60°,C=90°,c=10或B=120°,C=30°,c=5.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且==.(1)求C.(2)若b=+,求△ABC的周长.【解析】(1)由正弦定理得==,又因为sin C≠0,所以sin A=cos A,从而tan A=1.因为0<A<π,所以A=.又因为sin C=cos A=,a>c,所以C=.(2)由(1)得sin B=sin(A+C)=sin=,由正弦定理得==,可得a=2,c=2.所以△ABC的周长为2+++2=3++2.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,A=,AB=2,BC=5,则cos C= ( )A.±B.-C.D.【解析】选D.因为A=,AB=2,BC=5,所以由正弦定理可得:=,可得:sin C==, 因为AB<BC,可得:C为锐角,所以cos C==.2.(2019·白山高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bsin C,B≤,则B= ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为c=2bsin C,所以sin C=2sin Bsin C,所以sin B=,则B=或,因为B≤,所以B=.3.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最大边的长为,则△ABC的最小边为( )A.1B.C.D.3【解析】选C.在△ABC中,已知tan A==,tan B==<1,所以A<B<,所以C>.再根据tan C=-tan(A+B)=-=-1,所以C=π,所以C>B>A,再根据sin2A+cos2A=1,求得sin A=,cos A=,且△ABC最大边的长为,则c=,a为最小的边.再利用正弦定理可得=,即=,解得a=.4.在△ABC中,b=17,c=24,B=45°,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解【解析】选B.=⇒sin C==,因为c>b,0°<C<135°,所以角C有两个,故三角形有两解.5.在△ABC中,已知A=60°,C=30°,c=5,则a= ( )A.5B.10C.5D.5【解析】选C.因为在△ABC中,A=60°,C=30°,c=5,所以由正弦定理=,得a===5.二、填空题(每小题5分,共20分)6.在边长为2的等边△ABC中,点O为△ABC外接圆圆心,则·=________.【解析】设三角形的外接圆半径为r,由正弦定理得=2r,所以r=2,由题得<,>=,所以·=2·2·cos=-2.答案:-27.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=________.【解析】由题可得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,即sin C(sin A+cos A)=sin Csin (A+)=0,所以A=.由正弦定理=可得=,即sin C=,因为c<a,所以C<A,所以C=.答案:8.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若=,则B=________. 【解析】因为=,所以由正弦定理得=,即cos Csin B=2sin Acos B-sin Ccos B,2sin Acos B=cos Csin B+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,又因为0<B<π,所以B=.答案:9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,给出下列结论:①若A>B>C,则sin A>sin B>sin C;②必存在A,B,C,使tan Atan Btan C<tan A+tan B+tan C成立;③若a=40,b=20,B=25°,则△ABC必有两解.其中,结论正确的编号为________(填写编号).【解析】①在三角形中,A>B>C,得a>b>c,由正弦定理==,可知sin A>sin B>sin C,所以①正确;②若A,B,C有一个为直角时不成立,若A,B,C都不为直角,因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即=-tan C,则tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C,所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,即②错误;③因为asin B=40sin 25°<40sin 30°=40×=20,即asin B<b<a,所以,△ABC必有两解.所以③正确.综上,结论正确的编号为①③.答案:①③三、解答题(每小题10分,共30分)10.(2019·厦门高一检测)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD>90°,AB=2, AC=+,∠BCA=30°,∠ADB=45°.(1)求sin∠BAD.(2)求AD的长度.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,得=,所以sin∠ABC==,因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=.(2)由(1)可知cos∠BAD=-=-,sin∠ABD=sin(∠BAD+45°)=(sin∠BAD+cos∠BAD)=,在△ABD中,由正弦定理,得AD=sin∠ABD·=×=.11.在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.(1)求内角A的大小.(2)求边BC的长.【解析】(1)因为sin A-cos A=1,所以2sin=1,即sin=,因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,所以A=.(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,B∈,所以sin B==,所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以=,得BC=5.12.(2018·北京高考)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A.(2)求AC边上的高.【解析】(1)在△ABC中,因为cos B=-,所以B∈,所以sin B==.由正弦定理知=,即=,所以sin A=,因为B∈,所以A∈,所以A=.(2)在△ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=×+×=. 如图所示,在△ABC中,因为sin C=,所以h=BC·sin C=7×=. 所以AC边上的高为.。
人教A版高一数学新教材必修二余弦定理,正弦定理同步练习题
人教A版高一数学新教材必修二余弦定理，正弦定理同步练习题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 在中,角,,的对边分别为,,,已知,那么这个三角形最大角的度数是( )A. B.C. D.2. 中,角,,的对边分别为,,,若,,,则( )A. B.C. D.3. 在中,角,,所对的边分别为,,,那么是的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要4. 已知中,,那么角的大小是( )A. B.C. D.5. 已知的面积是,其内角,,所对边长分别为,,,且,则等于( )A. B.C. D.6. 在中，分别为角的对边，且，则角的大小为()A. B.C. D.7. 在中,,,分别是角,,的对边,若,且,则的值为( )A. B.8. 已知船在灯塔北偏东且到的距离为,船在灯塔西偏北且到的距离为,则两船的距离为( )A. B.C. D.9. 已知的面积，则等于（）A. B.C. D.10. 在中,分别是角的对边,已知,,的面积为,则的值为( )A. B. 2C. 4D. 111. 在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,直接求三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即,其中,我国南宋著名数学家秦九韶(约)也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是,这个公式中的应该是( )A. B.C. D.12. 在中,角所对的边分别为,若,则当取最小值时,( )A. B.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 在中,已知,,,则__________.14. (2019全国II文)的内角的对边分别为.已知,则__________.15. 设中,角所对的边分别为,若的面积为,则__________.16. 如图,在平面四边形中,,分别为边,上的点,为等边三角形,,且,,,则面积的最大值为__________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求的值; (2)求的值.18. 在中,,,分别是内角,,的对边,且满足.(1)求角的值; (2)若,边上的中线,求的面积.19.在中,,,分别是内角,,所对的边,已知.(1)求角; (2)若,,求的周长.20. (2020济南一模)如图,平面四边形,点均在半径为的圆上, 且.(1)求的长度; (2)若,,求的面积.21. 设锐角三角形的内角,,的对边分别为,,,.(1)求角的大小; (2)若,求的最大值.22.在中，角所对的边分别是，已知.（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．2020-2021学年度高一数学新教材必修二余弦定理，正弦定理同步练习题答案和解析第1题：【答案】C【解析】∵,∴, 设(),则,.由大边对大角定理可知,角是最大角, 由余弦定理得, ∵,因此.第2题：【答案】C【解析】由余弦定理得,∴.第3题：【答案】C【解析】由题意得,由三角形的性质可知,大角对大边,可知充分性成立,由正弦定理可知,必要性成立,故选C.第4题：【答案】A【解析】∵,∴,又,∴.第5题：【答案】D【解析】由,得.又∵,得.所以.第6题：【答案】D【解析】依题意，有∴又故，又∴.第7题：【答案】A【解析】在中,因为,且, 由正弦定理得,因为,则, 所以,即,解得,由余弦定理得,即,解得.第8题：【答案】D【解析】依题意可得, 在三角形中,由余弦定理可得:, ∴. 故选D.第9题：【答案】D【解析】.第10题：【答案】B【解析】∵,,又,的面积为, 解得,,.故选B.第11题：【答案】C【解析】因为,所以.第12题：【答案】C【解析】由正、余弦定理可得,∴,∴. ∴, 当,即时取最小值.第13题：【答案】或.【解析】在中,,,,由正弦定理可得, 即,解得,因为,所以或, 所以,或.第14题：【答案】【解析】根据正弦定理可得,即,显然,所以,故.第15题：【答案】【解析】,,∴, ,∵,∴.第16题：【答案】【解析】在中,,,,由余弦定理, 得,得,所以,,,又, 所以在中,由余弦定理,得,得.设, 则,所以在中,由正弦定理得,所以,, 于是,则当,即时,取得最大值,为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)因为,由正弦定理得:, 因为,所以,, 整理,得:,因为,所以,,所以,,得. (2)因为,所以,,.第18题：【答案】见解析.【解析】(1)∵,由正弦定理得:, 即,从而,即:,又中,,故,得. (2)由,得:, 从而或(舍去),故.第19题：【答案】见解析.【解析】(1)因为,由正弦定理可得, 又,所以,则, 因为,所以. (2)由已知,所以, 由余弦定理得,, 所以,则, 因此的周长为.第20题：【答案】见解析【解析】(1)由题意可知,的外接圆半径为, 由正弦定理,解得; (2)在中,设,为锐角,则, 因为,所以所以,所以, 因为, 即, 所以,则,, 所以.第21题：【答案】见解答【解析】(1)锐角,,∴, ∵,∴.又,∴. (2),,∴, 即,即: . ∵.∴,∴. ∴的最大值为.第22题：【答案】（1）；（2）【解析】（1）由余弦定理及已知条件，得. 已知的面积等于，即，得. 联立方程组，解得. （2）由题意得，整理得，当时，，所以，所以；当时，得，由正弦定理得，联立方程组，解得. 故的面积.。
人教A版高中数学必修五同步练测：1.1+正弦定理和余弦定理.docx
1.1 正弦定理和余弦定理建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cosB=（）A. B.C. D.2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的长是（）A. B.C.2D.23.已知锐角A 是△ABC的一个内角，a,b,c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则下列各式正确的是（）（1）b＋c＝2a；（2）b＋c 2a；（3）b＋c ≤2a ；（4）b＋c≥2a.A.（1）B.（2）C.(3)D.(4)4.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC ＝（）A.30°B.60°C.45°D.90°5.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）A. B.C. D.6.在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（）（1）c2＝a2＋b2－2abcos C；（2）c2＝a2－b2－2bccos A；（3）b2＝a2－c2－2bccos A；（4）cos C＝a2＋b2＋c2－2ab.A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）7.一只船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为 .8.如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝12A1B1.若△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为________．9.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状是．(填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)10.在△ABC中，下列关系式：①asin B＝bsin A；②a＝bcos C＋ccos B；③a2＋b2－c2＝2abcos C；④b＝csin A＋asin C，一定成立的个数是 .三、解答题（共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）11.（14分）已知在△ABC中，10c=，45A=o，30C=o，解三角形.12.（14分）在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．13. （16分）在△ABC中，sin cosA A+=22，AC=2，AB=3，求Atan的值和△ABC的面积.14.（16分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市（如图）的东偏南θ（2θ=）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？1.1 正弦定理和余弦定理答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题7． 8． 9． 10． 三、解答题 11. 12. 13. 14.1.1 正弦定理和余弦定理参考答案1.A 解析：依题意得0°B60°，由正弦定理得sin sin a b A B=得sin B ＝sin b A a ＝33，cos B ＝ ＝63，故选A.2.D 解析：根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝19故选D.3.C 解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos 2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°.所以2b c a +＝sin sin 2sin B CA+2sincos 223B C B C+-＝cos 2B C -≤1，即b ＋c ≤2a.故选C.4.B 解析：由∠ADB ＝120°，知∠ADC ＝60°.又因为AD ＝2，所以S △ADC ＝12AD ·DC •sin 60°＝3－3，所以DC ＝2(3－1).又因为BD ＝12DC ，所以BD ＝3－1.过A 点作AE ⊥BC 于E 点，则S △ADC ＝12DC ·AE ＝3－3，所以AE ＝ 3.又在直角三角形AED 中，DE ＝1，所以BE ＝ 3.在直角三角形ABE 中，BE ＝AE ，所以△ABE 是等腰直角三角形，所以∠ABC ＝45°. 在直角三角形AEC 中，EC ＝23－3，所以tan ∠ACE ＝AE EC ＝323－3＝2＋3， 所以∠ACE ＝75°，所以∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°.故选B.5.C 解析：设底边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为22244222a a a a a ••＋－＝78.故选C.6.A 解析：注意余弦定理形式，特别是正负号问题．7.1726 海里/时 解析：如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°， ∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得sin120sin 45MN PM︒︒=，∴ MN ＝68×3222＝346（海里）.又由M 到N 所用的时间为 14－10＝4(小时)，∴ 船的航行速度v ＝3464＝1726(海里/时)． 8.2 解析：在△AOB 中，由正弦定理得ABsin ∠AOB ＝1，∴ sin ∠AOB ＝AB.在△A 1OB 1中，由正弦定理得2R ＝A 1B 1sin ∠A 1OB 1＝A 1B 1AB＝2.9.正三角形 解析一：根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B. ∵ B ＝60°，2b ＝a ＋c ，∴ (2a c +)2＝a 2＋c 2－2accos 60°， 整理得(a －c)2＝0，∴ a ＝c.∴ △ABC 是正三角形． 解析二：根据正弦定理，2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C.又∵ B ＝60°，∴ A ＋C ＝120°，∴ C ＝120°－A ，∴ 2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A)，整理得sin(A ＋30°)＝1， ∴ A ＝60°，C ＝60°.∴ △ABC 是正三角形． 10.3 解析：由正、余弦定理知①③一定成立．对于②，由正弦定理知sin A ＝sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin(B ＋C)，显然成立． 对于④，由正弦定理知sin B ＝sin Csin A ＋sin Asin C ＝2sin Asin C ，不一定成立．11.分析：先将已知条件表示在示意图上（如图所示），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解：sin sin a cA C=Q， ∴ sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo， ∵180()105B A C =-+=oo ，sin sin b cB C=，∴sin 10sin10520sin 7520sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o oo 12.解：由余弦定理知cos B ＝2222a c b ac ＋－，代入c ＝acos B ，得c ＝2222a c b a ac•＋－，∴ c 2＋b 2＝a 2，∴ △ABC 是以A 为直角的直角三角形． 又∵ b ＝asin C ，∴ b ＝a •ca，∴ b ＝c ， ∴ △ABC 是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形． 13.解法一：先解三角方程，求出角A 的值..21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+οοΘA A A A又0180οο<<A , 4560,105.A A ∴-==o o otan tan(4560)2A ∴=+==--o o .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==οοοοοοοA )62(434623221sin 21+=+⨯⨯⨯=•=∴∆A AB AC S ABC . 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin A-cos A 的值. Θsin cos A A +=22， ① .0cos ,0sin ,1800.21cos sin 2.21)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A οοΘ又 23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A Θ, ∴-=sin cos A A 62. ②①+②，得sin A =+264. ①－②，得cos A =-264.从而sin tan 2cos A A A ===-以下解法同解法一.14.解：连接OQ ，设在t 时刻台风中心位于点Q ，此时|O P|=300，|PQ|=20t ，台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60， 由102cos =θ，可知1027cos 1sin 2=-=θθ， cos ∠OP Q=cos(θ- 45︒)= cos θ cos 45︒+ sin θsin 45︒=4.5+= 在 △OP Q 中，由余弦定理，得 OPQ PQ OP PQ OP OQ∠⋅-+=cos 2222=54203002)20(30022⨯⨯⨯-+t t =9000096004002+-t t .若城市O 受到台风的侵袭，则有|OQ |≤r(t)，即22)6010(900009600400+≤+-t t t ，整理，得0288362≤+-t t ，解得12t24.答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.。
人教版数学高二B版必修5同步训练1.1.1正弦定理
第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，下列等式恒成立的是（ ） A.a+sinA=b+sinB B.bsinC=csinA C.absinC=bcsinB D.asinC=csinA 解析：根据正弦定理可知有CcA a sin sin =，asinC=csinA. 答案：D2.在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=4∶1∶1，则 a ∶b ∶c 等于（ ） A.3∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 解析：根据正弦定理有CcB b A a sin sin sin ==，a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC.由已知得A=120°, B=30°,C=30°，a ∶b ∶c=sin120°∶sin30°∶sin30°=3∶1∶1.答案：D3.在△ABC 中,已知a=3,b=4,c=5，则sinA=____________，sinB=____________，sinC=____________，A a sin =_____________，B b sin =____________，C csin =___________.由此可以看出A a sin ___________B b sin ___________Ccsin (两横线上填符号“=”或“≠”）.解析：由已知条件可以判断，这个三角形是以∠C 为直角的直角三角形，可知，sinA=ca，sinB=cb，从而这两个三角函数值可求出，继而后几个空也不难填出.答案：53 54 1 51 51 51= =4.在△ABC 中，已知a=2，A=45°,则CB A cb a sin sin sin ++++=______________.解析：∵R A a 2sin ==2，∴22sin sin sin ==++++R CB A cb a .答案：210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A.a=7,b=14,A=30°,有两解 B.a=30,b=25,A=150°,有一解 C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解 解析：在A 中，a=bsinA ，故有一解；在B 中，A ＞90°,a ＞b ，故有一解；在C 中，a ＜bsinA ，无解；在D 中，c ＞b ＞csinB ，有两解. 答案：B2.已知△ABC 的外接圆的半径是3，a=3,则∠A 等于（ ）A.30°或150°B.30°或60°C.60°或120°D.60°或150° 解析：根据正弦定理得R Aa2sin =，sinA=R a 2=12，0°＜A ＜180°,∴A=30°或150°. 答案：A3.在△ABC 中，已知A=30°，C=105°，则2a ∶b=___________. 解析：由题意知，B=180°-30°-105°=45°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ===2R ，∴245sin 30sin 2sin sin 22=︒︒==B A b a . 答案：24.在△ABC 中，已知CB A cb a sin sin sin -+-+=2，则其外接圆的直径为___________.解析：根据正弦定理有C c B b A a sin sin sin ===CB A cb a sin sin sin -+-+=2R （其中R 是其外接圆的半径），故由已知得2R=2. 答案：25.在△ABC 中，已知cosA=54，cosB=135,则a ∶b ∶c=___________. 解析：由已知及同角三角函数间的关系得sinA=53,sinB=1312，sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=6563，由正弦定理得a ∶b ∶c=sinA ∶sinB ∶sinC=13∶20∶21.答案：13∶20∶216.已知△ABC 中，22tan tan ba B A =,试判断这个三角形的形状. 解：∵22tan tan b a B A =,∴B A BB A A22sin sin cos sin cos sin =,得sin2B=sin2A. 于是2B=2A 或2B=π-2A ， 即A=B 或A+B=2π. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在△ABC 中，已知sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理及已知条件得a 2=b 2+c 2，从而可知该三角形是直角三角形. 答案：B2.在△ABC 中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA ∶sinB ∶sinC 等于（ ） A.6∶5∶4 B.7∶5∶3 C.3∶5∶7 D.4∶5∶6解析：由已知设b+c=4k(k ＞0)，则c+a=5k,a+b=6k ，由此解得a=k 27，b=k 25,c=k 23，由正弦定理得sinA ∶sinB ∶sinC=a ∶b ∶c=7∶5∶3.答案：B3.在△ABC 中，a=80,b=100,A=45°,则此三角形解的情况是（ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 解析：∵ bsin A≈70.7＜a,且b ＞a ， ∴有两解，选B. 答案：B4.在△ABC 中，a,b,c 分别是A 、B 、C 的对边长.若A=105°，B=45°，b=22,则c=___________. 解析：由题可知C=180°-105°-45°=30°，由正弦定理得C Bbc C c B b sin sin ,sin sin ===2. 答案：25.在△ABC 中，已知a=3,b=4,C=60°，则△ABC 的面积为__________.解析：先找出b 边上的高h=asinC=3sin60°，S △ABC =12absinC=12×3×4sin60°=33. 答案：336.在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求边c.解：∵,sin sin BbA a =，∴sinA=23sin =b B a . 又∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴A=60°或120°.当A=60°时，C=75°，c=22645sin 75sin 2sin sin +=︒︒=B Cb ; 当A=120°时，C=15°，c=22645sin 75sin 2sin sin -=︒︒=BCb . 7.在△ABC 中，已知sinA=53，cosB=135,求sinC 的值. 解：∵cosB=135＞0,0＜B ＜π, ∴B 是锐角，sinB=1312.∵sinA=53＜1312,∴A ＜B,A 是锐角，cosA=54.又sinC=sin ［π-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinC=6563131********=⨯+⨯.8.已知三个城市的中心位置A 、B 、C 刚好分别位于一个锐角三角形的三个顶点处，并且另一城市的中心位置O 到这三个城市A 、B 、C 的距离相等（假定这四个城市的中心位置位于同一平面上），且△BOC 、△COA 、△AOB 的面积的关系为S △BOC +S △AOB =2S △COA ，试判断tanAtanC 是否为定值，说明理由.解：∵O 到这三个城市A,B,C 的距离相等 ∴O 是锐角△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A,∠AOB=2∠C,∠AOC=2∠B. 设其外接圆的半径为R ，则有S △BOC =A R 2sin 212,S △COA =B R 2sin 212， S △AOB =C R 2sin 212.由已知S △BOC +S △AOB =2S △COA ，sin2A+sin2C=2sin2B ， 2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB.又sin(A+C)=sin B≠0，∴cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)， ∴cosAcosC+sinAsinC=-2cosAcosC+2sinAsinC, ∴tanAtanC=3,即tanAtanC 为定值3.9.(2006高考湖南卷，理16)如右图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.(1)证明sinα+cos2β=0;(2)若AC=3DC,求β的值. (1)证明：如下图，∵α=2π-(π-2β)=2β-2π, ∴sin α=sin (2β-2π)=-cos 2β. 即sin α+cos 2β=0．（2）解：在△ADC 中，由正弦定理得βαβπαsin 3sin )sin(sin DCDC AC DC =⇒-=. ∴sin β=3sin α 由(1)得sin α=-cos 2β，∴sin β=3-cos 2β=3-(1-2sin 2β), 即32sin 2β-sin β3-=0.解得sin β=23或sin β=33-． ∵0＜β＜2π,∴sin β=23⇒β=3π.10.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m ，速度为180 km(千米)/h （小时），飞机先看到山顶的俯角为15°，如右图，经过420 s （秒）后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度（取2=1.4，3=1.7）.解：如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°, ∴∠ACB=30°,AB=180 km/h×420 s=21 000（m ）. ∴在△ABC 中,ACBABA BC ∠=sin sin . ∴BC=2121000·sin15°=10 500(26-) ∵CD ⊥AD,∴CD=BCsin ∠CBD=BC×sin45°=10 500(26-)×22=10 500(13-)=10 500(1.7-1)=7 350.山顶的海拔高度=10 000-7 350=2 650（米）。
人教A版高中数学必修五1.1.1正弦定理练习.doc
一、本节学习目标1．理解正弦定理，并能初运应用它解斜三角形； 2. 熟练运用“向量”的方法解决有关几何问题． 二、重难点指引1.重点：正弦定理的探究过程；渗透“数学地”发现问题的方法.2.难点：正弦定理的探究过程. 三、学法指导处理三角形问题要注意与三角形全等的判定相结合，要从几何图形、三角函及三角形的边角关系等去分析三角形解的情况． 4．熟练应用定理．四、教材多维研读 ▲ 一读教材1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ． 2．一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 ． 3．你能得到正弦定理的哪些变式?4．ABC ∆的面积公式：=∆ABC S __________=__________=_________ ▲ 二读教材1．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，ο30=C ，10=c ，解此三角形．2．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形．▲ 三读教材1．用正弦定理可解决下列那种问题 (1)已知三角形三边； (2)已知三角形两边与其中一边的对角；(3)已知三角形两边与第三边的对角； (4)已知三角形三个内角；(5)已知三角形两角与任一边； 6)已知三角形一个内角与它所对边之外的两边．2．在ABC ∆中,分别根据所给条件，指出解的个数：(1)︒===30,5,4A b a ； (2)︒===60,4,5A b a ； (3)︒===120,2,3B b a ； (4)︒===60,6,3A b a .五、典型例析例1 在ABC ∆中，︒===60,10,15A b a ，则B cos =A．－3 B．3C．－3 D ．3 例2 在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，判断ABC ∆的形状.例3 如图，A ，B是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？六、课后自测 ◆ 基础知识自测1．已知ABC △中，a =b =60B =o ，那么角A等于（ ）A ．135oB ．90oC ．45oD ．30o2．在ABC ∆中，若bBa A cos sin =，则B 的值为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο60 D ．ο90 ３．在ABC ∆中,若cos 4cos 3A bB a ==,则ABC ∆是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形 ４．已知ABC ∆，根据下列条件，求相应的三角形中其它边和角的大小：（１）10,45,60=︒=︒=a B A ；（2）︒===120,2,5B b a ；（3）︒===120,6,63B c b ． 5．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155o 的方向航行．为了确定船位，在B 点处观测到灯塔A 的方位角为125o．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为80o．求此时货轮与灯塔之间的距离（答案保留最简根号）． ◆ 能力提升自测1．如图：B C D ,,三点在地面同一直线上,a DC =,从D C ,两点测得A 点仰角分别是αβ,(βα<),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．︒===30,3,7C c b B ．︒===45,24,5B c bACDβαC ．︒===60,36,6B b aD ． ︒===30,30,20A b a 3．在ABC ∆中，若B c b sin 2=，则C ∠＝_____________ 4．已知c b a ,,分别是的三个内角C B A ,,所对的边，若3,1==b a ，B C A 2=+,则C sin = .5.在ABC ∆中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 ◆ 智能拓展训练１．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． ２．在∆ABC 中，cos cos AC BAB C=． （Ⅰ）证明C B =；（Ⅱ）若cos A =－13，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+34sin πB 的值．３．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，已知1cos 24C =- (Ⅰ)求C sin 的值；(Ⅱ)当2=a ，C A sin sin 2=时，求c 的长．1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理参考答案：教材多维研读 ▲ 一读教材1．正弦，Csin cB sin b A sin a == ；2．元素，解三角形； 3．(1)2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；(2)RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； (3)::sin :sin :sin a b c A B C =；4． 111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===．▲ 二读教材1．解： ,180,30,45︒=++︒=︒=C B A C A Θ ()︒=+-︒=∴105180C A B又∵sin sin sin a b ck A B C=== ()625sin sin ,210sin sin +=⋅==⋅=∴CcB bC c A a2．已知：在ABC ∆中，ο45=A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形.解： ∵sin sin sin a b ck A B C=== 23sin sin =⋅=∴a A c C ，∴︒︒=12060或C 当︒=60C 时，31,75+=︒=b B ； 当︒=120C 时，13,15-=︒=b B▲ 三读教材1．②⑤； 【解析】(1),30,185sin ,sin sin B A b a B A a B b <︒=∴<<==Θ两组解； (2),60,1532sin ,sin sin B A b a B A a B b >︒=∴><==Θ一组解； (3),120423sin ,sin sin A B a b A A a B b <︒=∴<==Θ无解；(4)126sin ,sin sin >==B A a B b ，无解. 课后自测◆ 基础知识自测1．C 2．B ３．A４．(1)C=︒75，b=3,c=3 (2)无解（3）C=450，A=150，a ≈2.25．解：在ABC ∆中，ABC ∠＝155°－125°＝30°，BCA ∠＝180°－155°＋80°＝105°，BAC ∠＝180°－30°－105°＝45°， BC ＝5021⨯＝25，由正弦定理，得︒=︒45sin 30sin BCAC ∴AC ＝222545sin 30sin =︒︒⋅BC （海里） 答：船与灯塔间的距离为2225海里． ◆ 能力提升自测１．A ２．C ３．︒︒15030或 ４．１ 5．B ◆ 智能拓展训练１．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． ２．解：（Ⅰ）证明：在ABC △中，由正弦定理及已知得sin B sin C =cosBcosC.于是0sin cos cos sin =-C B C B ，即()0sin =-C B .因为B C ππ-<-<，从而C B C B ==-所以,0.（Ⅱ）解：由π=++C B A 和（Ⅰ）得B A 2-=π,故B 2cos =()B 2cos --π=A cos -=13. 又π<<B 20,于是3222cos 12sin 2=-=B B . 从而9242cos 2sin 24sin ==B B B ，972sin 2cos 4cos 22-=-=B B B .所以sin(4)sin 4coscos 4sin333B B B πππ+=+=.３．（Ⅰ）解：因为41sin 212cos 2-=-=C C ，及π<<C 0 所以410sin =C .（Ⅱ）解：当2=a ，C A sin sin 2=时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 .。
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2021年高中数学 1.1.1 正弦定理（1）同步练习理（普通班）新人教A
版必修5
一、选择题
1．在△ABC中，已知，则∠B等于（）
A． B． C． D．
2．一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是６，那么角所对的边的边长为（）．
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（）
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．在△ABC中，，则△ABC一定是（）
Ａ．等腰三角形Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形Ｄ．等腰三角形或直角三角形
5、不解三角形，确定下列判断中正确的是（）
A. ，有两解
B. ,有一解
C. ，有两解
D. ，无解
6．中，的对边分别为若且，则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
二、填空题
7．在△ABC中，若,求= ．
8．在△ABC中，已知，则这样的三角形有_______个．
三、解答题
9．在△ABC中，分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若,求Ａ的值．10．在△ABC中，求证：
1.1.1正弦定理（一）
一、选择题
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
二、填空题
7．8. 1
三、解答题
9.解∵Ｂ＝Ａ＋∴
又∴
∴
∴又∵∴
10. 解：.
I33569 8321 茡25979 657B 敻E 38927 980F 頏37950 943E 鐾27850 6CCA 泊27403 6B0B 欋Q%25532 63BC 掼31699 7BD3 篓28743 7047 灇^。