3.6不确定性原理

2
2
2C
A B
4
（3.6.3）
3.6 不确定性原理
即
2
A
2
B
1
2
C 4
1 2
[ A, B]
（3.6.4）
（3.6.4）式对任意两线性厄米算符 A ，B 均成立。令
A A A , B B B
显然， A ， B 也是线性厄米算符，它们的对易子满足
[ A, B] [ A, B]
理做一般证明：构造积分
2
I ( ) A iB d r 0
（3.6.1）
式中， 是实参量， 是任意波函数，I ( )之所以大于或等
于零是因为被积函数不小于零。将（3.6.1）式的平方项展 开，得
3.6 不确定性原理
I ( )
(
*
A
*
*
iB
* )(
A
iB
)d r
= 2
*
(A
* )( A
同理可得
2
(t)2 (E)2
4
（3.6.8）
（3.6.7）和（3.6.8）式称为不确定性原理。
3.6 不确定性原理
利用不确定性原理说明量子力学中的零点能。一维谐振 子为例。它的平均能量是
<E>= <p2 > 1 m2 x2
2m 2
利用厄米多项式的性质可得
（3.6.9）
x Nn2
（3.6.5）
由上两式可得
[
( A)2
21
(B >] 2
1
[ A, B]
2
（3.6.6）
取算符A x ，B px ，由 [x, px ] i 及（3.6.6）式得
3.6 不确定性原理
2
(x)2 ( px )2 4
（3.6.7）
（3.6.7）式表明， (x)2 和 ( px )2 不能同时为零，而且 坐标 x 的方均偏差越小，动量 px 的方均偏差越大，反 之亦然。
)d r
-i
[(
*
A
*
)(
B
)-(
*
B
*
)(
A
)] d
r
+
(
*
B
*
)(
B
)d
r
（3.6.1）
由于 A ，B 厄米，上式可写为
I ( ) 2
*
2
A
d
r
i
* ( AB B A) d r
*
B
2
d
r
= 2
2
A
C
2
B
0
（3.6.2）
式中算符C 满足 [ A, B] iC ，（3.6.2） 是关于 的二次式， 不等与（3.6.2） ，成立的条件是
3.6 不确定性原理
设 A和 B 为两个不对易的线性厄米算符。在 A 的本 征态中测量力学量 A ，有确定值，在数值上等于 A 在 该态的平均值。现在问，在 A 的本征态中测量另一力 学量 B ，会出现什么结果？进一步，如果在任一个既 非 A 又非 B 的态中测量 A 和 B ，又会出现什么结果？
不确定性原理回答了这个问题。我们先来对这个原
2m 2
（3.6.13）
3.6 不确定性原理
按不确定性原理， (p)2 和 (x)2 不同时为零，因而 的最小值必不为零，这就是零点能。为求最小值，在 式中取等号，得
2
(p)2 4 (x)2
（3.6.14）
则
E
2
8m
1 (x)2
1 2
m 2
(x)2
wenku.baidu.com
2 2 1 m2 1
8m 2
2
这就是一维谐振子的零点能。
（3.6.15）
e 2 x2
Hn2
(
x)xdx
0
（3.6.10）
p i
Nn2
2 x2
e2
Hn
(
x)
d dx
2 x2
[e 2
Hn
(
x)]dx
0
（3.6.11）
由 (x)2 x2 x 2 , (p)2 p2 p 2 （3.6.12）
及（3.6.9） 式得 <E>= <(p)2 > 1 m2 (x)2