直线和圆锥曲线的关系

方法二代数法，当直线l的斜率不存在时,其方程为x 1
满足条件.当直线l的斜率存在时,设其方程为y1kx1
x y 2 1 y 4 2 k x 1 1 4 k 2x 22 k 2 2 kx k 2 2 k 5 0
4k20 k2.k2 x5,k 2 x1 3.
4
1 2
4 k2 0
.
将直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到关于x(或y)的方程
ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).
①若a=0时，直线与圆锥曲线有1
②若a≠0时，Δ＞0，直线与圆锥曲线有2个公共点；Δ=0，
直线与圆锥曲线有一个公共点；Δ＜0，直线与圆锥曲线无公共点.
（2）直线与二次曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有
归纳小结
数形结合 思维能力
化归与转化 运算能力
课后作业
必做题：教材P147 P148
8,13 6
选做题：直线y-ax-1=0与双曲线 3x2 y2 1 交于A,B两点.
(1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上?
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点?
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线有可
能相切，也有可能相交于一个点（与对称轴平行的直线和抛物线相
交于一个点）.
2．直线y=kx-k+1与椭圆x 2 y 2 1的位置关系是 ( A )
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A．相交 B
C
D．不确定
【解析】 方法二：直线yHale Waihona Puke Baidukx-k+1恒过定 点(1，1)，而点(1，1)
2 k2 2 k2 44 k2
k2 2 k 5 0 k 5 2 .
故所求方程为 x 1 , 2 x y 0 , 2 x y 3 0 或 5 x 3 y 2 0 .
知识要点
1．直线与圆锥曲线的位置关系可通过对直线方程与圆锥曲线
方程组成的方程组解的情况讨论.
（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则根据Δ来讨论
其他情况，如抛物线与平行（或重合）于其对称轴的直线，双曲线
与平行于渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不相切，而是
相交！
（3）直线与圆锥曲线的位置关系讨论，还可以利用数形结合的
方法来解决.
2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦 AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则： ｜AB｜= 1 k 2|x 1 x 2 |1 k 2(x 1 x 2 )2 4 x 1 x 2
2020年6月20日星期六
基础训练 知识要点 双基巩固 探索研究 规律总结
基础训练
已知双曲线C：x 2
y2 4
数1 ，少过形点时P（缺1，直1）观作直线l，使l与C有且
只有一个公共点，则满足形上述少条数件时的直难线入l共微有（D ）
A．1条 B．2
C．3条
D．4条
【解析】方法一数形结合法，与渐近线平行、相切.
y y 2 2 4 x k x 3 k 2 x 2 4 k 6 k 2 4 x 2 3 k 2 0
4 k 6 k 2 4 2 4 k 22 3 k 2 0
设直线与抛物线的交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 x1x26k2 k2 4k44 k1 ∴弦AB所在的直线方程为y-2=x-3，即x-y-1=0.
评注：一题多解——它能培养我们从多个角度去观察 问题、分析问题,解决问题的能力。从而培养我们抽象思维 的广阔性有着积极的作用.
探索研究
例2.已知：A(-3,4)，B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
探索研究
例2.已知：A(-3,4)，B(4,4)若线段AB与椭圆
没有公共点。求正数a的取值范围。
解：方法1设直线与抛物线的交点A(x1,y1)、B(x2,y2)，则
y12 4 x1 y22 4x2
作差得，y12-y22=4x1-4x2
kABy x1 1 xy2 2y1 4y24 41
∴弦AB所在的直线方程为y-2=x-3，即x-y-1=0.
方法2设所求直线的方程为y-2=k(x-3)，则
解：线段AB的方程为 y=4 (-3≤x≤4)
得: x2 a28
ⅰ.当a2 -8<0时，方程组无解，即 0a2 2
ⅱ.当a2 -8>16 时，方程组无解，即
∴ 0a2 2或
点评：本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解.
课堂训练
1．直线与抛物线只有一个公共点是这条直线与抛物线相切的
( C)
A
B
规律总结
1．直线和圆锥曲线的位置关系，从代数的角度可转化为一个 二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的解的研究，对于 消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式Δ，如若能 数形结合，借助图形的几何性质分析则较为简便.
2．解中点弦有关的问题，除利用韦达定理外，也可用设而不 求的方法.
3．涉及圆锥曲线的弦长，用弦长公式结合韦达定理解决.
1 k 1 2|y 1y2|1 k 1 2 (y 1y2)2 4y 1y2
利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算或第二定义.
3．中点弦问题：应用“点差法”(双曲线中注意检验).
双基巩固
例1、抛物线y2=4x的一条弦的中点坐标为(3,2)，求此弦所在的 直线方程.
在椭圆 x 2 y 2 1 ，所以选A.
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课堂训练
3.过双曲线
的右焦点作直线l交双曲线于 A、B两点，
|AB|=4 ,则这样的直线存在( ) A.一条 B.二条 C.三条 D.四条
4.不论k为何值，直线y=kx+b与椭圆 的取值范围。
总有公共点，求b
解：观察演示可得：
解：观察演示可得三条。选C