3.2.1立体几何中的向量方法二：空间距离

1 1 1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点C , A, CA (1,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离d . |n| 3
A
B
x
E
y
总结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的 | n EF | 距离为: d |n| 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
二、点到平面的距离：
u
P
d

A
O
例 1: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
2 2 2
2
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60)
6
所以 | AC1 | 6 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) 2 2 2 2 z 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC P 2 ∴ n MC ax ay 0 且 2 N a a D C y n MN y z 0 2 2 M 2 解得 x y z , A 2 B x ∴可取 m ( 2,1, 1)
为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离. 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A 1B =(0,1,-1) 2 设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量
u A1E = 0, 由 得 u = (1,2,2) u A1B = 0,
z
3 d A1 E sin A1E , A1B 2 4
D
A
C
y
x
B
五、异面直线间的距离
b
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
n

a
C A
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上 则 | CD |
D
B
n AB |n|
即 l1 ,l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
A D1 C1
B1
A1
D
图1
C
B
练习如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长.
解1

C
68
B

A
D
练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上
有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的
（1）求MN的长； （2）a 为何值时？MN的长最小？ （3）当MN的长最小时， 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D
C
M
B
N
E
F
上的点, n是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d | n EF | |n|
综合问题
在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且 平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分 别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长 度保持相等，记CM=BN= a(0 a 2).
z
E
C1
D1 A1 1,0,0 ,
1
B1
C
A1 E与BD1的距离为 D1 A1 n 14 d 14 n
D
A
y
B
x
例2已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, .
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
C1
B1
A1
D
A
图1
C
B
例 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1 设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
AC1 AB AD AA1
z
D1
A1
E
C1
A1B1 = 0,1,0 ,
B1到面A 1BE的距离为 A 1B1 n 2 d= = 3 n
B1
D
C
A
y
x
B
线面距
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离. 解1:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为
D1 A1 u 1 d 3 u
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
B
x
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离. 解2 等体积法
VD1 A1BE VB A1D1E
A1
D1
E
C1
B1
D
C
A
B
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
3.2.4 立体几何中的向量方法
——距离问题
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
一、两点间距离：
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
MA n a a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d 2 2 n
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
点P与直线l的距离为d , 则
三、点到直线的距离：
d AP sin AP, a
例1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设n (1, y, z)与A1 E, D1B都垂直 n A1 E 0, D1 得n (1, 2, 3) 由 n D1 B 0, A
a
例
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为
1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.
解1
z
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
y
x
B
例
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为
1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离. 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A 1B =(0,1,-1) 2 1 cos A1E , A1B 10 3 E D1 sin A1E, A1B C1 10 B1 点E到直线A1B的距离为 A1
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 0
F E B
y
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
例 2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解1 等体积法
VB1 A1BE VE A1BB1
D1
A1
E
C1
B1
D
C
A
B
例 2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长
解3
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D C B
M
A
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a a a 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 AC1 ( 1,1,1), 且 D1 A1 (1, 0, 0)
D1 A1 AC1 3 d 3 AC1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
2

a
2
a
例 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解1：如图1，
设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
D1
两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB＝4,AC＝6，
BD＝8，求CD的长.
解2

C A
B
68

D
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
点P与平面α的距离为d , 则
| AP u | d =| AP | |cos AP , u |= . |u|
x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
2 x 4 y 2Z 0 1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n

2 x 2 y 0 n EF， EG n
z
D1
A1
C1
B1
D
C
y
x
A
B
面面距
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
求面A1DB与面D1CB1的距离.
解2 等体积法
VD1 A1BD VB A1DD1
D1
A1
C1
B1
D
A
C
B
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
求面A1DB与面D1CB1的距离.