复分析期末试题
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变期末考试与答案
华南农业大学期末考试试卷（ A 卷）2005-06学年第1学期 考试科目： 复变函数与积分变换考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列复数中，位于第四象限的复数是（ ）A. 4+3iB. -3-3iC.-1+3iD.5-3i 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） A. z·z =Re (z·z ) .arg(3)arg()B i i -=-.rg(3)arg(3)C A =2.||D z z z ⋅=3．不等式 ||3z > 所表示的区域为（ ） A. 圆的外部B.上半平面C. 角形区域D.圆的内部4．积分||322z dz z =-⎰的值为（ ）A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.z A z e +.sin z B z e + .tan z C z e + .Re()sin D z z +6．在复平面上，下列命题中，错误．．的是（ ）A. cosz 是周期函数B. ze 是解析函数.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在下列复数中，使得ze =成立的是（ ）.ln 224iA z i ππ=++.ln 424iB z i ππ=++.ln 22C z i π=+.ln 42D z i π=+8．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 cos z c e dzz⎰等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π 9．设C 为正向圆周||2z =, 则21(1)C dz z i --⎰等于（ ）A.i21π B. 0 C.i 2πD.2i π-10．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n in n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C.级数01(1)2n n n i n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑是收敛的D.级数212n n i n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是收敛的11．已知31z i =+，则下列正确的是（ ）12.iA z e π=34.i B z eπ=712.i C z eπ=3.iD z e π=12．下列关于幂级数的叙述，不正确 的是（ ） A.在收敛圆内，幂级数绝对收敛 B.在收敛圆外，幂级数发散 C.在收敛圆周上，可能收敛，也可能发散 D.在收敛圆周上，条件收敛13．0=z 是函数sin z e z z的（ ）A.本性奇点B.一级极点C.二级极点D.可去奇点14．cos z zz π-在点 z π= 处的留数为（ ） A. π-.B πC.1D. -115．关于0Im lim z zzω→=下列命题正确的是（ ）A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16.sincos 33z i ππ=+复数的三角形式为____________. 17. 已知22()()()f z x ay x i bxy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =3zt te dt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(-1)z n∞=∑的收敛半径为_______.20.设121,1z i z =-+=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 21．设C 为从原点到2＋3i 的直线段，计算积分[(2)]CI x y ixy dz =-+⎰22. 设2()cos 4ze f z z z=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f '23. 将函数1()(1)(2)f zz z=--在点0=z处展开为泰勒级数.24. 将函数112()(1)zef zz-=-在圆环0|1|z<-<∞内展开成洛朗级数.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分）25．已知22(,)2u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)2f i =。
高中期末成绩分析总结(5篇)
高中期末成绩分析总结（精选5篇）无论从主考者的角度看，还是从学习者的角度看，效果考试都仅仅是检验学习者的学习水平，以便更好地制定随后的教学或学习方略。
以下是小编为大家整理的高中期末成绩分析总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
高中期末成绩分析总结篇1一、试卷特点期末考试试卷的命题依据高考物理考试说明的要求，以能力测试为主导，注重考查学生对高中物理基础的、核心的和可再生的知识掌握情况。
通过考试能够发现学生在前一阶段学习中存在的问题，试卷具有如下特点：1、试卷结构保持稳定，适度体现改革精神2、试卷考查的内容比较全面，知识覆盖面较广3、充分发挥各种题型的功能4、选修试卷综合题较多，前面电场知识考查较多，最近所学的恒定电流一章内容较少，这也是选修班学生考得较差的一方面原因。
二、存在问题根据期中考试试卷情况，而目前学生在以下几个方面还存在着一些问题。
选修班：1、对基础知识、基本的物理规律掌握不扎实，对基本物理概念理解不清楚Ⅰ卷选择题有较多题都直接考查课本上呈现的基本内容，有些是课本习题改编而成，但在学生答题中出现了各种错误。
这些错误的出现反映了学生对一些基础内容还没有很扎实的掌握，甚至有些同学对前面所学的知识，尤其是高一所学的，已忘记差不多了。
3、基本应用和常规题型的训练未落实到位学生在考试中一些能拿分的题目拿不到全分，比如：试卷的填空题4题，共20分，而单选题的第2、7题，得分都较差。
4、解题中的、分析、综合处理、迁移能力还不够强这主要体现在计算题中。
5、审题不清，粗心大意，解题不够规范，运算错误必修班：对于必修班，而由于学业水平测试必修1和必修2的内容占80%以上的比例，这学期我们采取先复习，选修1—1复习后再上的策略，这次考试，大部分班级的及格率都较好，好几个班甚至超过了90%，但也存在一些问题。
1、学生思想不重视，学习的热情不高比如，试卷的选择题前7题，很简单，但很少有班级正确率达到100%。
计算题第一题，错误的情况为数不少。
复分析试题(2016)
复分析试题1． 证明Hadmard 因子分解定理设()f z 为整函数，其级ρ<+∞，则()()()m g z f z z e P z =，其中()g z 为多项式，次数ρ≤；211()()21()(1)p n n n z z z a a p a n n z P z e a ∞+++==-∏ ，p 为()f z 的零点的亏格。
并证明：设(),()f z g z 都是()ρ<+∞级整函数，若存在点列(1,2,)n a n = 使()()(1,2,)n n f a g a n == ，且111||n na ρ∞+=∑发散，则()()f z g z ≡。
2． 证明Marty 正规定则亚纯函数族F 在区域Ω内正规的充分必要条件是对F 中的所有函数f ∈F ，其球面导数22|'()|()1|()|f z f f z ρ=+在Ω内内闭一致有界。
3． 证明Riemann 映射定理设Ω是单连通区域，Ω\C 至少包含两点，0z ∈Ω，0z ≠∞，则存在唯一的从Ω到单位圆∆的共形映射()w f z =使得00()0,'()0f z f z =>。
并若()g z 是任意一个从Ω到单位圆∆的共形映射，请用()f z 表示出函数()g z 。
4． 证明Schwarz 引理的Pick 形式设()f z 是从单位圆∆到单位圆∆的共形映射，12,z z ∀∈∆，则21211212()()1()()1f z f z z z f z f z z z --≤--，且211211|()|'()1||f z f z z -≤-。
并由此说明()f z 关于Poincar é度量是非扩张的。
5． 证明调和函数的等价定义设()h z 是区域Ω内的连续实函数，()h z 在Ω内调和的充分必要条件是对于Ω内的每一点a 及Ω内的圆域||z a r -<，对所有(0,)r ρ∈都有201()()2i h a h a e d πθρθπ=+⎰。
2011-2012学年二学期化学分析期末考试试卷(A1卷)
玉林师范学院2011-2012学年二学期化学分析期末考试试卷(A1卷)班级:___________学号:___________姓名:___________得分:___________题号一二三四五六七八九十成绩复核得分阅卷题目部分，(卷面共有34题,100分,各大题标有题量和总分)一、选择(15小题,共28分)1．做滴定分析遇到下列情况时，会造成系统误差的是AA、称样用的双盘天平不等臂B、移液管转移溶液后管尖处残留有少量溶液C、滴定管读数时最后一位估计不准D、确定终点的颜色略有差异2．表示一组数据离散特性的最好标志是DA、全距B、偏差C、平均偏差D、标准差3．用分析天平称量试样时，在下列结果中不正确的表达是- AA、0.312gB、0.0963gC、0.2587gD、0.3010g4．用重量法测定试样中SiO2的质量分数时能引起系统误差的是--- DA、称量试样时天平零点稍有变动B、析出硅酸沉淀时酸度控制不一致C、加动物胶凝聚时的温度略有差别D、硅酸的溶解损失5．下面关于误差的表述中属于系统误差的是B(1)由某些难以控制、无法避免的偶然因素造成(2)由某种固定的原因造成(3)正负、大小都有一定的规律性(4)大小、正负都不固定A、1,2B、2,3C、1,4D、2,46．某有色络合物溶液的透射比T = 9.77%，则吸光度值lg(1/T)为CA、1.0B、1.01C、1.010D、1.0101 （有效数字位数）7．想通过一组分析数据来反映该样本所代表的总体，下面必不可少的量是D（平均数反映一组数据总体趋势，标准差表示一组数据离散程度，标准差中必不可少的量是f）A、样本平均值xB、样本标准差x sC、样本容量nD、自由度f8．下列四个数据中是四位有效数字的是D（1）0.2760（2）2.7600 （3）0.0276 （4）2.760A、1,2B、3,4C、2,3D、1,,49．对正态分布特性描述错误的是AA、在x=x处有最大值B、值的任何变化都会使正态曲线沿着x轴平移，但曲线的形状不变C、改变会使峰加宽或变窄，但仍然不变D、在x=±处有两个拐点10．滴定比较弱的酸时，欲提高准确度，拟采用下面方法,其中正确的是D（1）用返滴定法，加入过量NaOH标准溶液，用HCl标准溶液返滴定（2）增加试样量（3）降低NaOH溶液的浓度（4）选择合适的混合指示剂A、1,2B、3,4C、1,3D、2,411．在下列四个数据中，两位有效数字的是（1）1.80 （2）0.180 （3）K a=1.8×10-5（4）pH=1.80A、1,2B、3,4C、1,4D、2,312．有两组分析数据，要比较它们的精密度有无显著性差异，则应当用AA、F检验B、t检验C、u检验D、Q检验13．已知某溶液的pH值为11.90，其氢离子浓度的正确值为BA、 1×10-12 mol/LB、 1.3×10-12 mol/LC、 1.26×10-12 mol/LD、 1.258×10-12 mol/L14．下面有关系统误差的表述中，正确的是D（1）系统误差是由某种固定的原因造成的（2）具有单向性（3）当进行重复测定时会重复出现（4）其大小、正负都不固定A、1、2、4B、1、3、4C、2、3、4D、2、3、1 15．为测定某试样中钒的质量分数，称样1.000g，经处理后还原为VO2+，用KMnO4标准溶液滴定，消耗1.50mL，计算得w(V)=1.27%。
数学专业河南省考研复习资料复分析常见习题解析
数学专业河南省考研复习资料复分析常见习题解析复分析是数学专业的重要课程之一，对于准备参加河南省考研的学生来说，掌握复分析的相关知识和解题技巧至关重要。
本文将为大家提供一些常见的复分析习题解析，帮助大家更好地复习和应对考试。
1. 题目一设f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是域D上的全纯函数，其中u(x, y)和v(x, y)是D上的实数函数。
证明：如果f(z)在D上满足柯西黎曼方程，则u(x, y)和v(x, y)是D上的调和函数。
解析：首先给出柯西黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 且∂u/∂y = -∂v/∂x。
根据柯西黎曼方程可以得出：对于任意D内的可微曲线γ，有∫(γ) u dx - v dy = 0 以及∫(γ) v dx + u dy = 0。
然后我们来证明u(x, y)是D上的调和函数。
根据定义，若函数u(x, y)在D上是调和函数，则∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
由柯西黎曼方程可以得到：∂/∂x (∂u/∂x) + ∂/∂y (-∂u/∂y) = 0，即∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0，证明了u(x, y)是D上的调和函数。
同理，可以证明v(x, y)也是D上的调和函数。
因此，根据题目条件，u(x, y)和v(x, y)是D上的调和函数。
2. 题目二设f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 是域D上的全纯函数，其中u(x, y)和v(x, y)是D上的实数函数。
证明：f(z)在D上为常数的充要条件是u(x, y)和v(x, y)在D上是常数函数。
解析：首先，假设f(z)在D上为常数。
那么根据全纯函数的定义，f(z)的实部u(x, y)和虚部v(x, y)在D上是调和函数。
又因为调和函数的全局极值只能在边界上取到，所以u(x, y)和v(x, y)必须是常数函数。
其次，假设u(x, y)和v(x, y)在D上是常数函数。
分析化学期末试卷及答案
2008 –2009 学年第二学期期末考试分析化学试卷一、选择题（每题2分，共30分)1．定量分析结果的标准偏差代表的是-----------------------------（C ）。
A. 分析结果的准确度B. 分析结果的精密度和准确度C. 分析结果的精密度D. 平均值的绝对误差2．下列哪种情况应采用返滴定法-------------------------------------（C ）。
A. 用AgNO3标准溶液测定NaCl试样含量B. 用HCl标准溶液测定Na2CO3试样含量C. 用EDTA标准溶液测定Al3+试样含量D. 用Na2S2O3标准溶液测定K2Cr2O7试样含量3．下列各项叙述中不是滴定分析对化学反应要求的是----------（D ）。
A. 反应必须有确定的化学计量关系B. 反应必须完全C. 反应速度要快D. 反应物的摩尔质量要大4. 下列四个数据中为四位有效数字的-------------------------------- ( C )（1）0.0056 （2）0.5600（3）0.5006 （4）0.0506A. 1, 2B. 3, 4C. 2, 3D. 1, 45. 以下有关随机误差的论述正确的是------------------------------( C )A. 正误差出现概率大于负误差B. 负误差出现概率大于正误差C. 正负误差出现的概率相等D. 大小误差出现的概率相等6. 在用K2Cr2O7法测定Fe 时, 加入H3PO4的主要目的是--( B )A. 提高酸度, 使滴定反应趋于完全B. 降低化学计量点前Fe3+/Fe2+电对的电位,使二苯胺磺酸钠在突跃范围内变色C. 提高化学计量点前Fe3+/Fe2+电对的电位, 使二苯胺磺酸钠不致提前变色D. 有利于形成Hg2Cl2白色丝状沉淀7. 用Fe3+滴定Sn2+在化学计量点的电位是--------------------------( D )[ϕ' (Sn4+/Sn2+)=0.14V]ϕ' (Fe3+/Fe2+)=0.68V，A. 0.75VB. 0.68VC. 0.41VD. 0.32V8. 测定试样中CaO 的质量分数, 称取试样0.9080 g,滴定耗去EDTA 标准溶液20.50 mL, 以下结果表示正确的是---------------( C )A. 10％B. 10.1％C. 10.08％D. 10.077％9. 下列滴定分析操作中会产生系统误差的是-----------------------( C )A. 指示剂选择不当B. 试样溶解不完全C. 所用蒸馏水质量不高D. 称样时天平平衡点有±0.1mg的波动10. 某溶液含Ca2+、Mg2+及少量Al3+、Fe3+,今加入三乙醇胺, 调至pH=10, 以铬黑T为指示剂, 用EDTA滴定, 此时测定的是---------( A )A. Ca2+, Mg2+总量B. Ca2+量C. Mg2+量D. Ca2+, Mg2+, Al3+, Fe3+总量11. EDTA滴定金属离子时,若仅浓度均增大10倍,pM突跃改变---( A )A. 1个单位B. 2个单位C. 10个单位D. 不变化12. 符合朗伯-比尔定律的一有色溶液,当有色物质的浓度增加时,最大吸收波长和吸光度分别是------------------------------------------------ ( A )A. 不变、增加B. 不变、减少C. 增加、不变D. 减少、不变13. 人眼能感觉到的光称为可见光，其波长范围是----------------( B)A. 200~320nmB. 400~780nmC. 200~780nmD. 200~1000nm14. 下列各条件中何者不是晶形沉淀所要求的沉淀条件--------（A）A. 沉淀作用宜在较浓溶液中进行；B. 应在不断的搅拌下加入沉淀剂;C. 沉淀作用宜在热溶液中进行;D. 应进行沉淀的陈化。
复变函数期末考试试题
复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。
数学分析(2)期末试题参考答案
∑ A′
∑ ℓα (
)
µ(Iα) µ Jβxα,γ
≥
ε0 m
>
ε.
α=1 γ=1
α=1
γ=1
另 一 方 面， 对 于 每 个 xα， 存 在 一 个 Kk， 使 得 xα ∈ Kk。 因 为 P 是 利 用 K1, . . . , Kκ 的边界构造的网格分划，所以相应的 Iα × Jβxα,γ 一定包含在这个
恰好覆盖
Em，于是
∑A′
α=1
µ(Iα)
≥
ε0。对于每个
Iα (1 于是
≤ α ≤ A′)，取一个
∑ℓα
γ=1
µ(Jβxα ,γ
)
≥
1 m
xα ∈ Iα ∩ Em，设 ，所以我们有
Jβxα,1 , . . . , Jβxα,ℓα
恰好覆盖
Kxα ，
∑ A′ ∑ ℓα ( µ Iα
) × Jβxα,γ
=
i) 求证：
∫
∫
∫
ωi = ωi + ωi, i = 1, 2.
γ3
γ1
γ2
ii) 求证：
∫
lim
ωi = 0, i = 1, 2.
R→+∞ γ2
iii) 计算广义积分：
C = ∫ +∞ cos (x2) dx, S = ∫ +∞ sin (x2) dx
0
0
() 解答： i) 因为 ωi ∈ Ω1 R2 、dωi = 0 (i = 1, 2)，所以由 Green 公式可知结论
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
中国科技大学期末考试-复变函数·历年真题集
ak(k
=
1, · · ·
, m)是Q(z)的全部零点,
且其阶数为nk.
试
证明f (z)
=
m k=1
nk s=1
(z
Aks − ak)s
,
其中Aks为复常数.
6
2019-2020学年第一学期复变函数(A)期末试题
1.(39分)填空题(本题涉及的闭曲线方向都是取曲线正向)
(1)设z
=
1
+
i ,
那么z2019
y(0) = 0；y (0) = 1.
6.
(7分)求一保形变换w
= f (z),
将半带域D
π :−
<
Rez
<
π ,
Imz
> 0映射为上半平面
Imw
> 0.
2
2
7. (7分)求方程 kz4 = sin z (k > 2)在圆|z| < 1内根的个数.
8. (6分)设f (z)是在有界域D上解析的非常值函数, 并且在有界闭域D + C上连续, 其中C为D的边界. 如果
∞
∞
展开式为 cnzn, 那么幂级数
n=0
n=0
=. cnzn的收敛半径R
=
.
(8)设函数f (z) = ez , 那么f (z)在区域0 < |z−1| < +∞内的罗朗（Laurent）展开式为
.
1−z
(9)设z0 ∈ C, 函数|ez|在闭圆盘{z ∈ C : |z − z0| ≤ 1}上的最大值为
(z − 3)2z2(z + 1)3
5. (8分)试求方程2z6 − 3z3 + 2 = 0在各个象限内根的个数.
回归分析期末试题及答案
回归分析期末试题及答案一、简答题1. 请解释回归分析的基本思想。
回归分析是一种统计学方法，用于研究变量之间的关系。
其基本思想是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响，并根据观察数据对模型进行拟合和推断。
2. 请解释简单线性回归和多元线性回归的区别。
简单线性回归是建立在一个自变量和一个因变量之间的基础上的回归模型。
多元线性回归则是在两个或更多个自变量和一个因变量之间建立的回归模型。
3. 请解释残差的含义。
残差是指建立回归模型后，观测值与模型预测值之间的差异。
残差可以用来评估模型的拟合程度，如果残差较大，则说明模型无法很好地解释观察数据的变化。
4. 请解释R平方的含义及其优缺点。
R平方是一个用来衡量回归模型拟合程度的指标，其值介于0和1之间。
R平方越接近1，说明模型对观察数据的拟合越好；而R平方越接近0，则说明模型对观察数据的拟合越差。
R平方的优点是简单直观，易于理解，但其缺点是不适用于比较不同自变量的模型。
5. 请简要说明什么是多重共线性问题。
多重共线性问题指的是在多元线性回归中，自变量之间存在高度相关性的情况。
多重共线性会导致回归系数的估计不准确，难以解释自变量与因变量之间的关系。
二、计算题1. 已知一个简单线性回归模型为：Y = 2 + 3X，回归系数的解释是什么？回归系数3表示自变量X每增加1个单位，因变量Y会增加3个单位。
而常数项2表示当自变量X为0时，因变量Y的取值为2。
2. 使用最小二乘法求解简单线性回归模型的参数估计值。
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计回归模型中的参数值。
以简单线性回归模型Y = β0 + β1X 为例，最小二乘法通过最小化观测值Y与模型预测值之间的平方差来估计β0和β1。
3. 请计算多元线性回归模型的回归系数。
多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn。
回归系数β1、β2、...、βn可以使用最小二乘法来估计，通过最小化观测值Y与模型预测值之间的平方差来得出。
回归分析期末考试试卷
回归分析期末考试试卷1. 简答题（40分）a) 请解释回归分析的基本原理和应用范围。
（10分）b) 比较线性回归和多元回归分析，包括它们的定义、特点和适用情况。
（10分）c) 什么是多重共线性？它对回归分析有什么影响？如何检测和处理多重共线性？（10分）d) 请解释R方统计量在回归分析中的作用和意义。
（10分）2. 计算题（60分）以下数据是一家公司过去10年的销售额和广告费用（单位：百万元）：| 年份 | 销售额 | 广告费用 ||------|-------|---------|| 2001 | 20 | 2.5 || 2002 | 25 | 3.0 || 2003 | 30 | 3.5 || 2004 | 35 | 4.0 || 2005 | 40 | 4.5 || 2006 | 45 | 5.0 || 2007 | 50 | 5.5 || 2008 | 55 | 6.0 || 2009 | 60 | 6.5 || 2010 | 65 | 7.0 |a) 请计算销售额和广告费用的平均值和标准差。
（10分）b) 请绘制销售额和广告费用之间的散点图，并添加趋势线。
（10分）c) 进行简单线性回归分析，求出回归方程和相关系数的值。
（10分）d) 对回归方程进行假设检验，判断广告费用对销售额是否有显著影响。
（10分）e) 求出回归方程的可决系数R方，并解释其意义。
（10分）f) 利用回归方程预测2011年的销售额。
（10分）3. 应用题（60分）某医药公司想通过回归分析来预测某种药物的疗效得分（Y）。
他们收集了200个患者的数据，其中包括药物的剂量（X1，以mg为单位）、患者的年龄（X2，以岁为单位）、性别（X3，1代表女性，0代表男性）和治疗时间（X4，以周为单位）。
使用SPSS软件进行多元回归分析，得到回归方程：Y = 2.1X1 + 0.9X2 - 1.5X3 + 0.4X4 + 5.2a) 请解释回归方程中各变量的系数和常数项的含义。
浙江理工大学复分析期末考试题范围c1daan
∫
C
sin 2 z = 2 π i (Re s [ f ( z ), 0 ] + Re s [ f ( z ),1]) z 2 ( z − 1)
= 2πi (0 + sin 2 1) = 2πi sin 2 1 。
2. 计算积分
∫
e
1 z
C
z2 +1
dz ，其中 C 为为正向圆周 | z | = 3 。 e
∪ C 上解析，且
f (z) =
1 2π i
∫
C
f (ξ ) dξ 。 ξ − z
又因为在 C 上， f ( z ) = 0 ，由上式知对任意的 z ∈ G 都有 f ( z ) = 0 。 故在区域 G 内恒有 f ( z ) = 0 。
3. 函数 f ( z ) 在区域 D 内解析。证明：如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数，那么它在 D 内为常数。 证明：设在 D 内 f ( z ) = C 。 令 f ( z ) = u + iv,
xe ix π dx = 2πi Re s[ f ( z ), i ] = i ， 所以 ∫ −∞ 1 + x 2 e
+∞
故
∫
+∞
0
1 ⎛π ⎞ π x sin x 。 dx = Im⎜ i ⎟ = 2 2 ⎝ e ⎠ 2e 1+ x
5. 将函数 f ( z ) = 数。
1 在 0 < | z | < 2 及 0 < | z − 2 | < 2 内展开成罗朗级 z(z − 2)2
1
1
Re s[ f ( z ), − i ] = lim ( z + i ) f ( z ) = −
中科大复分析期末试题
2021春复分析(H)期末授课教师：李皓昭 时间：2小时一. (30分)计算题1.∫dz z 3(z −2)|z |=12. 分别求f (z )=1(z−1)(z−2)在{z ∈ℂ|1<|z |<2}和{z ∈ℂ||z |>2}中的Laurent 展开式3. 利用留数定理计算∫dθ3+2cos θ2π0 二. (10分)设f(z)是域Ω上的全纯函数，若f (z )≠0,∀z ∈Ω，证明：存在Ω上的全纯函数g(z)，使得f (z )=e g (z )。
三. (10分)构造区域{z ∈ℂ||z −1|<√2,|z +1|<√2}到单位圆盘的共形映射，要求画清楚每一步的图，并写出最后的复合映射。
四. (10分)设f(z)在ℂ\{0}上全纯，且满足|f (z )|≤√|z|+1|| 证明f(z)是常数。
五. (10分)1.设幂级数f (z )=∑a n z n ∞n=0的收敛半径是1，若f (z )在12处的Taylor 级数收敛半径是12，证明1是f (z )的奇异点；2.设幂级数f (z )=∑a n z n ∞n=0的收敛半径是1，若a n ≥0，证明1是f(z)的奇异点。
六. (10分)1. 叙述整函数的Hadamard 分解定理；2. 给出e z −1的Hadamard 分解。
七. (20分)设D R ={z ∈ℂ||z |<R }1. 设Ω是包含D R 的域，f(z)在Ω上全纯，f(0)≠0，设f (z )在D R 内的全部零点为a 1,a 2,…,a N ，且在ðD R 上f(z)≠0，证明：12π∫log|f(Re iθ)|dθ2π0=log |f (0)|+∑log R |a i |Ni=1 2. 若1中a 1,a 2,…,a N 为f(z)在D R ̅̅̅̅内的全部零点，f (0)≠0，证明相同的结论；3. 若f (z )在Ω⊃D 1̅̅̅̅上全纯，f (D 1)⊂D 1，且f (12)=f (i 2)=0，证明： |f (0)|≤14。
《复变函数》 期末试卷及答案(A卷)
20.计算积分 1i z 2dz . 0
17.判断数列 zn
2017 ni n 1
的收敛性.
若收敛，求出其极限.
18.求在映射 w z2 下， z 平面上的直线 z (2 i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.
得分
评卷人 复查人
三、证明题(本大题共 1 小题，每小题 15 分，共 15 分)
二
题分
30
20
得分
三
四
30
30
得分
评卷人 复查人
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选 项，并将其前面的字母填在题中括号内。）
1. Re(iz)
A. Re(iz)
B. Im(iz)
C. Im z
D. Im z
2.函数 f (z) z 2 在复平面上
21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z) 在圆 C : z z0 R 所围的区域内解析，且在
C 上连续，则
f
(n) (z0 )
Mn! Rn
(n 1,2,...)
其中 M 是 f (z) 在 C 上的最大值.
19.求 ez 在 z 0 处的泰勒展开式.
《复变函数》试卷 第 3 页（共 4 页）
这是 w 平面上第一象限内的一条半直线。
19. 解：因为 (ez )(n) ez (n 0,1,2,...) ，其展开式中泰勒系数为
cn
f (n) (0) n!
1 n!
于是 ez 在 z 0 处的泰勒展开式为
ez zn 1 z zn zn
复分析期末试题(07[1].7.7)
![复分析期末试题(07[1].7.7)](https://img.taocdn.com/s3/m/b3f270eb19e8b8f67c1cb970.png)
复分析期末试题（2007 7 07）任课教师 张广远一．填空（每小题4分）1． a 是f 的m 阶零点，求f f'在点的留数。
2． u(x,y)是调和函数，v(,)ξη是u(x,y)的共轭调和函数，其中()()x,y 0,0v(,)=c+P(,)Q(,)d d ξηξηξξηη+⎰，求P(,)ξη，Q(,)ξη。
3.级数n 2n -n n n 1n 0(2n )z (3z )∞∞==++∑∑，求其收敛区域。
4.22z 2f (z)Ln z-=,取C \[,1][0,1]-∞-⋃单值解析分支，Ln(2)=ln3，那么Ln(2i)=？ 5.分式线性变换把1，12，2分别映为∞，i ，-i 。
那么此变换把z 1=映为什么，请具体叙述。
6.求7z z 4z e ,z <1++在内有几个零点二．求下列积分。
(每题5分) 1.m m 1z 1z z z d +=⎰2.212z z 1(z 3)e z d =-⎰ 3.z 3z 1zsin z z (1-e )d =⎰ 4.28z 5z 1z z 1d =--⎰ 三．求下列实积分。
（每题7分） 1. 222cos x x 2dx ∞-∞+⎰ 2.20154sin xdx π+⎰ 四．一个区域上的调和函数u(x,y)， 222222u u ()()x y∂∂+∂∂要么没有零点，要么只有孤立零点。
（本题10分）五．一个解析函数Taylor 展开式为n n n0c z ∑，总把实数映为实数，证明：n c 为实数。
（本题10分）六．()P z 为整函数，求证：1Re ()()0z P z P z dz ='=⎰（本题11分）七．:f ∆−−→∆(其中∆为1z <的圆盘)是一个单叶解析满射，11()22f =， 11()22f =-- 求证：()f z z =（本题5分） 八：写出所有:f D D −−→（:01D z <<），f 为单页解析映射并证明。
清华大学复分析春期中考试题目答案
A 卷一、填空题（每空4分，共32分）1. 以下集合 BC 为单连通域。
A 、{}22(,):11,1x y x x y -<<+>；B 、{}(,):01,01x y x y <<<<；C 、{}{}:2:11z z z z <⋂->；D 、(0,1)(0,1)B -。
2. 幂级数01n n z n ∞=+∑的收敛半径是 1 ，它的和函数是：log(1)z z --。
3. 设z x iy =+，22()f z x y =+。
那么()f z 在原点处是否可导 是 。
（填“是”或“否”）4. 如果分式线性变换S 把{}:Re 0z z >映为{}:1z z <，并且(1)0S =，'(1)0S >。
那么S 的表达形式是()S z =：11z z -+。
5.在上取多值函数()f z =的单值解析分支(),g z使得(1)g =。
那么(1)g -=表示虚轴上从i -到i 的直线段。
6. 若(,)u x y 是区域U 上具有连续二阶偏导数的调和函数，那么(,)u x y 是否具有各阶连续偏导数？ 是 。
（填“是”或“否”）7. 多项式1009998()101...1f z z z z z =+++++在单位圆盘||1z <有 100 个根。
二、计算题（共38分）1. (９分))π0(,1z cos 22||22<<+-⎰=ββz dz z z ； 解：1z cos 22+-βz 的零点为i e β±，都位于2z <内。
由留数定理： 积分22222(,)(,)2cos z 12cos z 1i i z z i Res e Res e z z ββπββ-⎛⎫=+ ⎪-+-+⎝⎭222i i i i i i e e i e e e e ββββββπ---⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭4c o s i πβ=。
应用回归分析期末试题
应用回归分析期末试题一元线性回归分析1.讨论家庭收入x 影响家庭消费支出y 的问题。
现已建立εββ++=x y o 1的数学模型，已知5400=x ，2997=y ，3490800002=∑x ，1234929002=∑y，193836000=∑xy ，求回归方程。
答：∧0β，∧1β的表达式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∧∧∧xx xyl l x y 110βββ 得：⎪⎩⎪⎨⎧==∧∧4845.053.38010ββ则回归方程为x y 4845.053.380+=∧。
2．在给定样本(){}n i y x i i ,...,1,,=后，一元线性回归模型为i i i x y εββ++=10（已经符合一元线性回归模型的假设），求0β，1β的最小二乘估计∧0β，∧1β。
答：要求0β，1β的最小二乘估计∧0β，∧1β，即求使得离差平方和()10,ββQ 达到最小时的10,ββ，满足),(min ),(10,1010ββββββQ Q =∧∧由于()10,ββQ 是一个非负二次型，对10,ββ的偏导存在，下求偏导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂∑∑==ni ii i ni i i x x y Q x y Q110111000)(20)(2ββββββ 求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∧∧∧xx xyl l x y 110βββ 其中∑==ni i x n x 11，∑==n i i y n y 11，2)(∑-=x x l i xx ，)()(y y x x l i i xy --=∑。
3．证明：最小二乘法的参数估计1ββ和o 具有线性性和无偏性。
答（1）线性性：估计量0β和1β为随机变量i y 的线性函数 1β：由0)(=-∑x x i ，有∑=∧-==ni i xxi xxxy y l xx l l 11)(β，所以1β是i y 的线性组合。
0β：i ni xx iy x l xx n x y ∑=∧∧--=-=110)1(ββ，可见0β也是i y 的线性组合。
中科大复分析期末考试
中科大2019年春季学期复分析期末考试注：解答要求卷面整洁，计算结果尽可能化简一、计算题（50分）1.将如下复数写成z D a C bi.a;b2R/的形式：1p2;tan i:2.计算积分I DZj z jD2dz.z 3/.z5 1/:3.设a>1，用留数定理计算ZdÂa C cosÂ:4.求下列函数在f z2C j0<j z j<1g和f z2C jj z j>1g中的Laurent展开式：f.z/D1z2.z 1/:5.设f.z/D e1=z 11 z,计算留数Res.f;0/.二、（10分）求将区域f I m z>0gnf z D iy j0<yÄ1g映为f 1<I m z<1g的共形映射。
三、（10分）求函数e tan.1=z/在C[f1g上的所有奇点，并确定其类型，其中极点需要说明阶数。
四、（10分）求多项式z9C z5 8z3C2z C1D0在f1<j z j<2g中的零点个数（计算重数在内）。
五、（10分）（1）叙述调和函数在圆盘上的Poisson公式，并用其证明：若u.z/ 0在B.0;R/上调和，则对任意z2B.0;R/,成立R j z j R C j z j u.0/Äu.z/ÄR C j z jR j z ju.0/:（2）证明：复平面上取值为正的调和函数必是常数。
六、（10分）设f W D!C是单叶全纯函数，并且满足f.0/D0;f0.0/D1,证明：inf fj w j W w…f.D/gÄ1:并且等号成立当且仅当f.z/D z;8z2D.七、（10分，附加题）设a2C;j a j<1,令L.z/D z a1 N az:L1WD L;L n C1WD LıL n8n 1:证明：函数列f L n.z/g在单位圆盘D中内闭一致收敛，并计算其极限函数。