一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心

[][]1.(),()().

3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量

速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。

2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).

3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().

5.T C (T )=q (T ).

6. (),().

Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).

4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .

2

2

12,5360,(),2

M 55,12,360,(),()52

2

cm AB AM M A x g m x x

x m k m x x m x x

ρρ='===

=

=2

设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点

处的线密度(x)=

5x

解：m(x)=kx 令得所以(x)=

变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()b

a w F x dx =⎰

5

1.53[05]

[05][,]2

9.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx x

w x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=

⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的

水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示

取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为

所求的功为25823462()

2

kJ π⋅⋅

≈

2.21,2[,1][2,2]

R l R

x R x x R

x R x dx x x

dx ρρ>

=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？

解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的

体积微元移至时所作的微元功。由于在水面上方与下方所受力不同，所以应分开计算，注意到介于与之间的体积微元为3

2()

2(1)

(2(4(21)(21)

R

R

R

R

R

l R x R x

w l R x l R x lR lR ρρ

ρπρ--⋅=⨯⨯-+=--++=-=-⎰

⎰

⎰

长宽高它在水面下方需移动，上方需移动3114[3

413

1ππ∴===例2(3)（功）、设半径为的球正好有一半沉入水中，球的比重为，现将球从水中取出，问要作多少功？解法一：分析：把球的质量

集中到球心，球从水中取出作功问题可以看成质

量为

的质点向上移动距离为时变力所作的功，问题归结为求出变力，

即求球在提起过程中受到的重力与浮力的合力，因球的比重为球受的重力球的体积，球受的浮力沉在水中部分的体积它的合力球露出水面部分的体积。

当球心向上移动距2

2

1

2

6

(01)22(1)()3

3

3

2

21113[()](

)33

3

2

12

12

h

h h h

z dz h h

w h dh ππππππ

πππ<<+-=

+-

=

+-

=

+-

=

⎰⎰离时，，球露出水面部分的体积为

因此，球从水中取出要作的功为

π

ππππππππ12

13)1()1)(1()1()1(11,)1(],[]1,0[)1()1(,)1()1()1(,

)1(],[]0,1[]

[1

02

1

2

211

2

22

2

2

112

2

=

-+

-+=

+=∴-=

-⋅=-+-+=

-+=⋅=+-+-⎰⎰⎰⎰--dx x dx x x w w w dx

x w dx

x dw dx x dx x x dx

x

x w dx x x S F dw x dx x dx x x x 对整个球做的功为

于是对上半球作的功为

，需作功移动的距离为当球从水中取出时，它

其重量为

相应的球体中的薄片，

上小区间片即任取上半球中的微元薄为

于是，对下半球作的功

作功处需

此薄片移至离水面高为

，当球从水中取出时，

在水中浮力与重力相等

其重量为相应的球体中的薄片，上的小区间薄片即的微元

球心，任取下半球取中

心，方向向上，原点为

轴垂直水平面并通过球取分析：微元法解法二、3

4.0.2500/[10.22

]

[,][,0]

m kg m m y y dy R =

=-+⊂- 例2(4)（功）要将一半径为，密度为浮于水面的木球提高水面，问需要作功多少？

分析：根据浮力定律知道球的上半部浮于水面下半部没于水中，（由浮力定律

比重水的比重），所以只要提高即可将此球提离水面，由于在整个

过程中浮力与提力都在作功，所以应有提力所作的功克服重力所作的功浮力所作的功解：建立坐标如图，取则对应于此小区间，浮力2

2

022

4

3

()()[()]

1()12.315()

4

4500[(0.2)]9.80.212.31520.525()

3R

dw ydF yg dm yg dV yg R y dy W g

y R y dy gR kJ W W W kJ W W W W W W ρρππρπρπ-====-∴=-=

==-=⨯-==+-=-⎰

浮浮重浮提下重浮重浮

提上重作功的功元素为从而有与前例类似：