浅论闭区间上连续函数的性质.doc

浅论闭区间上连续函数的性质

中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬

摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.

关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性

实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出•本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证•在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.

从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一•般初等函数來说都是成立的•而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/©））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来•直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明.

先看何谓闭区间上的连续函数•连续的定义首先是点连续的定义.

称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）,

2X（）

B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,» > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,» > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < £• 称

f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| <

若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合•而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.

1.闭区间连续函数在其定义域上有界.

闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线，可以想象这条曲线不可能纵向3轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.

若函数在某点冇极限，则在某点附近有界，而连续函数每点的极限都存在，因而在每点的附近都有界.只耍用有限覆盖定理，就可以知道只需耍有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖•因而函数在其定义域上也是有界的.

现在来证明定义丁仏,切的连续函数广⑴在上有界.

证明：/(兀)G C［a, b］ => Vx\lim /(x) = f (%')

故m兀，当X w U(*，C J c［Q,b］口寸,|/(x)| < > 0

又E =Q(#,”)|x* ［a,b］提［a,b］的一个覆盖.

由有限覆盖定理知,E,(i = 1,2,・・・,刃)，

使得［讹］uUua,%)・

;=1

取M = max{M“,％・•・％},则有|/(兀)| < M*x e ［a,b］.

于是/(x)在［心］上有界证完.

若命题条件改为开区间，有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明使进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的•而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在，可以同样推出函数在闭区间上冇界.

闭区间上的连续函数有界，由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值，分别对应于上下确界.

2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.

已经证明了上下确界的存在•只需耍证明函数能够取到上下确界的值.

(x = c)

/(c) - £ 证明：设函数r （x ）的上确界为M ,由确界的性质可知，

对6 =丄,都存在X”使M -丄< /（xj

n n

又r” e [a,b],存在子列％ }，使S T c w [a,b],伙 T +oo ）. 故有 M-—< f{x n ） < M,

5 k

两边令£ -> +oo 取极限，有了（5 ） -> M,又6 T c

\\] Heine 定理及/⑴的连续性可得广（c ） = M.

最小值情况证明类似•证完.

分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知limf （x ） = /（c ）,这是连续函数

的定义，也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就 是以此为依拯的•而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间0"]里面.因 为在Q v x 腻.v b 两边取极限，可能得到c = a 或c = b,总之c 《（G,b ）.

即使是一个有界的函数，只要不是闭区间上的连续函数，都不能保证能在定 义域上取得最借.可以想象将闭区间连续函数的图像的最人值点向

下移动一•段距 离,得到一个有界的不连续函数gd ） =

（X ° ° （£ > 0）的图像（不妨

h （x ） = x 2（0

3. 连续函数介值定理.

这是一条重要的性质•连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值，称 之为介值•从育观上看来，这是显然的•一条连续变化的曲线必会在某个吋刻经过 介值点•若连续函数的取值可止可负，那么此函数必定存在零点，称Z 为零点定理. 而介值立理是零点疋理的直接推论，只需在原函数加减一个常数即可•下面给岀 用到确界定理的证明

.

设/（兀）有且只有一个最大值点），那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.