全国高中数学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题

一 试

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）

1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}

23,B y y x x A ==+∈，{

}

2

,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。

2. 在ABC ∆中，若2AB =，3AC =，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且AO AB BC λμ=+，则

λμ+= .

3. 已知函数()()()()21,0,

1,0,

x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实

数a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。

5. 已知椭圆22

143

x y +=的左、

右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．

6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．

7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。 8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t

的

方

程

33421

()(3)0x y t x y t x y

-+++

=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，

则由点集N 所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）

9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记1

11

12n n k k n a n k --==

⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．

10.（本小题满分20分）已知椭圆 122

22=+b

y a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的

交点为B 、C 。现有以A 为焦点，过B ，C 且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M （m ，0），当椭圆的离心率满足 13

2

2<

11.（本小题满分20分）映射f 的定义域是{}1,2,,20A =的全体真子集，值域包含于{}1,2,,10，满足

条件：对任意,B C A ⊆，都有()()(){}min ,f B C f B f C =，求这种映射的个数．

加 试

一、（本题满分40分）

设A B C D E 、

、、、为直线l 上顺次排列的五点，AC BC

CE CD

=，F 在直线l 外的一点，

连结FC 并延长至点G ，恰使FAC AGD ∠=∠，FEC EGB ∠=∠同时成立.

求证：FAC FEC ∠=∠。

二、（本题满分40分）

已知：,,0a b c ≥，2a b c ++=，

求证：

()()()

1111bc ca ab

abc a b abc b c abc c a ++≤++++++。

三、（本题满分50分）

设正整数n 大于1，它的全部正因数为d 1，d 2，…，d k ，满足1=d 1

(i) 证明：D

(ii) 确定所有的n ，使得D 整除n 2。

四、（本题满分50分）

设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．

参考答案

一试

1. 答：1

,32

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

[]1,23B a =-+，要使C B ⊆，只需C 中的最大元素在B 当中，所以()2

2223,

23

a a a ⎧-≤+⎪⎨≤+⎪⎩，得132a ≤≤。

2. 答：

9

7 设AO 交BC 于点D ，由角平分线定理知

2

3

BD AB DC AC ==，于是3255AD AB AC =+，又

54AO AB AC AB AC OD BD CD BD CD +====+，

所以()

5121293939AO AD AB AC AB AB BC ==+=++ 52

99

AB AC =+，因此7

9

λμ+=

。 3. 答：(),1-∞

利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答：

6

110 若计算器上显示n 的时候按下按键，因此时共有1~n -1共n 种选择，所以产生给定的数m 的概率是1n

。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了12,,

,n a a a ，则概率为

12

11111112011999999

n a a a ⨯⨯⨯⨯

⨯⨯⨯，所以所求概率为 12

11111112011999999

n p a a a =⨯⨯⨯⨯

⨯⨯⨯∑

11111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

+++⨯⨯+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

()11111111111110099981098⎛

⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯++⨯⨯++ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

注意到

()111111111111112011201020091000999998⎛⎫⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

+++⨯+⨯++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

两式相除即得6111110001001010

p =⨯⨯=。 5. 答：

916

π 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出