上海复旦附中2020年自招真题数学试卷(含答案)

复旦附中自招题

复旦附中自招题介绍复旦附属中学是上海市一所优秀的高级中学，位于上海市杨浦区。

作为一所享有盛誉的学校，复旦附中自招题备受关注。

自招题是指复旦附中在招生过程中给予考生的面试或笔试题目，用以评估考生的能力和潜力。

下面将详细介绍复旦附中自招题的特点、内容和备考方法。

特点1.多样性：复旦附中自招题种类繁多，包括语文、数学、英语、物理、化学、生物等各个科目的题目。

2.高难度：复旦附中自招题难度较大，要求考生具备扎实的基础知识和解决问题的能力。

3.综合性：复旦附中自招题注重考查考生的综合素质，不仅包含基础知识点，还涉及到思维能力、创新能力和团队合作等方面。

4.实用性：复旦附中自招题与实际应用紧密相关，注重培养学生解决实际问题的能力。

内容1.语文：复旦附中自招题中的语文部分主要考查考生的阅读理解和写作能力。

题目形式多样，包括阅读文章后回答问题、写作短文等。

2.数学：数学是复旦附中自招题中必不可少的一部分。

题目内容涵盖了数与代数、几何与图形、函数与方程等各个方面，要求考生具备扎实的数学基础和解决实际问题的能力。

3.英语：英语是现代社会必备的一门技能，复旦附中自招题中的英语部分主要考查考生的听力、口语、阅读和写作能力。

题目形式包括听力理解、口头表达、阅读理解和写作等。

4.物理、化学、生物：这些科目是复旦附中自招题中的重点考察对象。

题目内容涉及到基础知识点和实验操作，要求考生掌握科学思维和实验技巧。

备考方法1.系统学习：根据复旦附中自招题的特点和内容，有针对性地系统学习各个科目的知识点。

可以参加培训班、请家教或自行购买相关的教材进行学习。

2.刷题练习：通过刷题练习来提高解题能力和应试技巧。

可以选择复旦附中自招题的模拟试卷进行练习，同时也可以参考其他高中自招题进行练习。

3.多方面提高：除了学科知识，还要注重培养思维能力、创新能力和团队合作等综合素质。

可以参加各类科技竞赛、英语演讲比赛等活动来提高自己的综合素质。

4.考前冲刺：在考前适当安排时间进行复习和总结，查漏补缺，并进行模拟考试，熟悉考试流程和节奏。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

上海四校自招-数学复旦附中卷_含答案

a2 b2 (ab)2
(ab)2
(7)2
49
49
4. 【注】原题应为 p 是奇质数 (2x p)(2 y p) p2
则 2x p 1， 2y p p2
∴ x p 1 ， y p2 p
2
2
5. 显然 x 0
两边平方得 x2 x 1 1 1 2 (x 1)(1 1)
xx
xx
两边同乘 x ，得 x3 x2 x 2 2 (x2 1)(x 1)
因此，经过 70s 时，甲乙位于同一条边
7. 设点 P 速度为 6 ， Q 的速度为 3 ， R 的速度为 2 ，边长 AB 6
则 SAPR
3 AP·AR 4
3 6t (6 2t) 4
SBPQ
3 BP·BQ 4
3 3t (6 6t) 4
SCQR
3 CQ·CR 4
3 2t (6 3t) 4
【高中知识点】解析几何——圆的方程、两根差公式、分离变量、均值不等式
9. 【注】原题应为“有且仅有一个实数根”，这样表达的更准确一些原方程
2x 3
ax
(x 1)(x 2) (x 1)(x 2)
2x 3 ax
x 1
x
2
4x2 12x 9 ax
x
3 2
x 2
a
4x
9 x
12
坐标；
2015 年初升高·自招真题解析·数理化
1
(3) 设点 P 是 x 轴上的任意一点，分别连结 AC 、 BC 。比较 PA PB 与 AC BC 的大小关系，说明理由。
【试卷总结与分析】
1. 高中知识点分析
涉及到的重要高中知识点几乎很少，但有些考察的并不浅，如第 9, 10, 11 题并不是简单的通过初中知识就能解决的，需要较好的掌握才足以解决问题（如参变分离思想，对勾函数的图像，均值不等式等）因此，建议考生对于高中的这些特有的思想和知识，又与初中知识相关的，加强补习与训练，才能在考试中占据优势

上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题(含答案)

2024~2025学年上海市复旦大学第二附属中学九年级上学期9月月考数学试卷（考试时间100分钟满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊。

与考试无关的所有物品放置在考场外。

3.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。

4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂。

若因填涂模糊导致无法识别的后果自负。

一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1.是同类二次根式，那么a 的值为（）A.2 B.3 C.4 D.52.方程的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.无法确定3.下列说法中错误的是（）A.一个负数的绝对值是它的相反数B.数轴上离原点越远的点所表示的数越大C.任何有理数都有相反数D.正数都大于零4.某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）.规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品.经过多次试行，发现转动n 次转盘时，其中指针有m 次落在“铅笔”区域，则估计“饮料”区域所在扇形的圆心角度数是（）A. B. C. D.5.已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（）2220x x --=1360n m ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭1360m n ⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭360m n ︒360n m︒()33y m x n =-++(),2P m n n -A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内，，，，则点A 到OC 的距离为（）A. B.C. D.二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.在不等式中，m ，n 是常数且，当时，不等式的解集为_____8.已知关于x 的方程有实数根，则整数a 的最大值是_____9.在比例尺为1:3000的地图上，甲、乙两地的距离为5cm ，则甲、乙两地的实际距离为________米.10.已知：点与点关于原点成中心对称，则________11.一个三位正整数（其中a 、b 都是正整数，，），满足各数位上的数字互不相同.将n 的任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为.若，则_______12.张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是_______13.小明希望测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点处立一标杆.使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点E ，C ，A 在一直线上），量得，，，则电线杆的长为______m.14.如图，正方形的边长为a ，E ，F 分别是对角线上的两点，过点E ，F 分别作，的平行线，则图中阴影部分的面积之和为________.ABCD OC OB ⊥1AB =4AD =BCO α∠=tan 4sin αα+tan 4cos αα+sin 4cos αα+cos 4sin αα+0mx n +>0m ≠0m <()21230a x x +-+=()2025,1A -(),B a b O a b +=100103n a b =++19a ≤≤19b ≤≤()M n ()999M n =a b +=AB D CD DE BE 2m ED =6m DB =1.3m CD =AB ABCD BD AD AB15.如图，中，G 是重心，，，那么________16.在中，点，分别为，的中点，与交于点O ，已知四边形DFOE 的周长为4，的周长为_______.17.对于二次函数（a 是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y 随自变量x 增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是________（填写序号）18.如图，中，，，，将线段绕点B 逆时针旋转90°得到线段，取的中点E ，连接，用含m ，n 的式子表示的长是________.三、解答题（满分78分）19.计算：20.解不等式组：.21.如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分ABC △GD BC ⊥AH BC ⊥GD AH=ABCD □E F AD AB AC BD ABCD □223y x ax =-+1a =-y x =-1a ≥1x >ABC △135BAC ∠=︒AB m =AC n =BC BD AD BE 212tan 602-⎛⎫︒+ ⎪⎝⎭()3121223x x x x ⎧->+⎪⎨+>-⎪⎩AB CD EF OE OF别与交于点和点，与交于点，.（1）求证：；（2）若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数.22.2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，（1）求：大号“龙辰辰”的单价（2）某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，求：该网店所获的最大利润23.如图，在中，，过点C 的直线，D 为边上一点，过点D 作，垂足为F ，交直线于E ，连接，.（1）求证：；（2）当D 为AB 中点时，当满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？24.已知：如图1，二次函数的图像交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点A 的直线交该二次函数的图像于另一点，交y 轴于M .CD G D AB DM N AOE BNM ∠=∠OE DM ∥OE AOF ∠30ODC ∠=︒AB DM AND ∠Rt ABC △90ACB ∠=︒MN AB ∥AB DE BC ⊥MN CD BE CE AD =ABC △2344y ax ax =++134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()11,C x y（1）直接写出A 点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B 作交于D ，若且点Q 是线段上的一个动点，求出当与相似时点Q 的坐标：（3）设，图2中连接交二次函数的图像于另一点，连接交y 轴于N ，请你探究的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值25.如图，在中，AD 平分交BC 边于点D ，在CA 边上取点E ，使得，连接DE .（1）如图1，当时，求：的正切值（2）如图2，过点C 作于点F ，当时，请：的值（3）如图3，在（2）问的条件下，连接BE ，当时，若四边形ABDE 内部的点Q 到四边形ABDE 四条边的距离相等，求：的值BD AC ⊥AC (M DC DBQ △AOM △()1,2P --CP ()22,E x y AE OM ON ⋅ABC △CAB ∠CE CD =120ABC ∠=︒ADE ∠CF ED ⊥AB BC =AD CFBE AD ⊥sin QEB ∠参考答案及部分评分标准选择题（1~6题）CABBDD填空题（7~18题）7. 8.-1 9.150 10.2024 11.6 12.13.5.2 14. 15. 16.8 17.①②④解答题（19~25题）19.原式=720.21.（1）证内错角相等即可（2）85°22.（1）55（2）126023.（1）证：平行四边形ADEC（2）当时24.（1）（2）或（3）值不变，25.（1（2）2（3n x m <-1515112x x -=+22a 1334x <<45A ∠=︒()3,0A -21344x y x ++=(1,Q -(2Q -92。

2019-2020学年上海市复旦附中高三(上)月考数学试卷(一)(9月份)-学生版+解析版

2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为（用数字作答）． 2．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð ．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是． 5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是．8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系;（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高三（上）月考数学试卷（一）（9月份）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）（2018•闵行区一模）在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 40 （用数字作答）．【解答】解：设求的项为15(2)r r r T C x +=，今2r =，222235240T C x x ∴==． 2x ∴的系数是402．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知全集U R =，集合{|2}A x x =<，{|0}B x x =<，那么U AB =ð {|02}x x <… ．【解答】解：全集U R =，集合{|2}A x x =<， {|0}{|0}B x x x x =<=…，那么{|02}U AB x x =<…ð．故选：{|02}x x <…．3．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数y =的定义域是 ( ．【解答】解：函数y ，260x ∴->，解得x <y ∴的定义域是(．故答案为：(．4．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）函数1)y x =-…的反函数是 y =(0)x …．【解答】解：由1)y x =-…得，x =[0y ∈，)+∞，所以函数1)y x =-…的反函数是y =(0)x …．故答案为：y =(0)x …．5．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 1{|2}3x x -<<【解答】解：不等式20ax bx c ++>的解集是1(,3)2-，0a ∴<，且15322ba-+==-，13322ca-=-=， 0b ∴>，0c >，53b c =，23a c =-， ∴不等式20cx bx a ++<，即20b a x xc c ++<，即 252033x x +-<，即 23520x x +-<，求得它的解集为1{|2}3x x -<<，故答案为：1{|2}3x x -<<．6．（3分）（2014秋•成都校级期中）若集合2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=，且N M ⊆，则实数a 的值为12或13-或 0 ．【解答】解：2{|60}M x x x =+-=，{|10}N x ax =-=且N M ⊆ {3M ∴=-，2} N =∅或{3}-或{2}N =∅时，0a =， {3}N =-时，13a =-，{2}N =时，12a =，故答案为：11,,023-．7．（3分）（2013•和平区校级一模）若函数234y x x =--的定义域为[0，]m ，值域为25[4-，4]-，则m 的取值范围是 3[2，3] ．【解答】解：22325()34()24f x x x x =--=--，325()24f ∴=-，又(0)4f =-，故由二次函数图象可知：m 的值最小为32；最大为3．m 的取值范围是：332m 剟．故答案3[2，3]8．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知222241a a x x x+++-…对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 [3-，1] 【解答】解：根据题意化简得：22422xa a x x x+++-…对任意(1,)x ∈+∞恒成立，令24()xf x x x x=+-， 222224()4(21)(1)(3)()1()()x x x x x x f x x x x x ---+-∴'=+=-- 令()03f x x '=⇒=或1-（舍负）令()03f x x '>⇒>；令()013f x x '<⇒<<； 3x ∴=时函数()f x 取得最小值且f （3）5=；2225a a ∴++…，化简得：2230a a +-…，即(1)(3)0a a -+…，解得31a -剟．故答案为：[3-，1]．9．（3分）（2012春•阜阳校级期末）（文科）设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为 {|11x x <<，或6}x > ．【解答】解：由于关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，故有0a >，且1ba-=．故关于x 的不等式2056ax bx x +>--，即10(6)(1)x x x ->-+．用穿根法求得不等式的解集为{|11x x <<，或6}x >，故答案为{|11x x <<，或6}x >．10．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数()y f x =满足0xy >，且224936x y -=，则该函数的定义域是 (-∞，3)(3-⋃，)+∞【解答】解：由224936x y -=，得22194x y -=，∴y =由00x >⎧，解得3x >；由00x <⎧⎪⎨<⎪⎩，解得3x <-．∴函数()y f x =的定义域为(-∞，3)(3-⋃，)+∞．故答案为：(-∞，3)(3-⋃，)+∞．11．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设Q 是有理数，集合{|,,0}X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①|}x X ∈；②2|x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；③121{|x x x +，2}x X ∈；④121{|x x x ，2}x X ∈；与X 相等的集合的序号是 ①②④【解答】解：设①②③④对应的集合分别为A ，B ，C ，D ，则对于①：x X ∀∈，设,x a bQ =+∈，则x b =+，而b X ，从而x A ∈，故X A ⊆2b X =+，故A X ⊆，从而A X =；对于②：x X ∀∈，设,,x a ab Q =+∈，令,x m n Q ∈，则可得2(2am bn an bm +++，从而22am bn +=，0an bm +=，解得2222am a b =-，222bn a b =--，且m ，n Q ∈，从而x B ∈，故X B ⊆，反过来，22222a X x a b ==-，故B X ⊆，从而B X =；对于③：取1211x x =+=--120x x X +=∉，从而C 不是X 的子集，故C X ≠；对于④：x X ∀∈，设x a b Q =+∈，则1(x a b =⨯+，取121,x x a ==+，则x D ∈，即X D ⊆，反过来1x ，2x X ∈时，12x x X ∈，故D X ⊆，故D X =．综上，①②④正确，故答案为①②④．12．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）设集合{1I =，2，3，4，5}，若非空集合A 满足：①A I ⊆；②||A min …（A ）（其中||A 表示集合A 中元素的个数，min （A ）表示集合A 中的最小元素），则称A 为I 的一个好子集，I 的所有好子集的个数为 5 【解答】解：据题意知，A 的元素个数小于等于1，且A I ⊆，A ∴的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}， I ∴的所有好子集的个数为5．故答案为：5．二、选择题13．（3分）（2017•通州区一模）已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，那么“0ac <”是“a b a c >”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数a ，b ，c 满足c b a <<，若“0ac <”，则0a >，“ab ac >”成立，若“ab ac >”，则0a >，但“0ac <”不一定成立，故“0ac <”是“ab ac >”成立的充分不必要条件，故选：A ．14．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知原命题“如果||1a …，那么关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，那么原命题、逆命题、否命题和逆否命题是假命题的共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若不等式22(4)(2)10a x a x -++-…的解集为∅”，则根据题意需分两种情况：①当240a -=时，即2a =±，若2a =时，原不等式为410x -…，解得14x …，故舍去，若2a =-时，原不等式为10-…，无解，符合题意； ②当240a -≠时，即2a ≠±，22(4)(2)10a x a x -++-…的解集是空集，∴22240(2)4(4)(1)0a a a ⎧-<⎨=+--⨯-<⎩，解得625a -<<，综上得，实数a 的取值范围是[2-，6]5．则当11a -剟时，命题为真命题，则命题的逆否命题为真命题，反之不成立，即逆命题为假命题，否命题也为假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有2个，故选：B ．15．（3分）（2018秋•浦东新区校级期中）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( ) A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π【解答】解：圆M 的面积为4π，∴圆M 的半径为2，根据勾股定理可知OM =过圆心M 且与α成30︒二面角的平面β截该球面得圆N ，60OMN ∴∠=︒，在直角三角形OMN 中，3ON ==，∴圆N ∴圆N 的面积为：7π．故选：A ．16．（3分）（2019秋•杨浦区校级月考）已知函数2()f x x =，[1x ∈，2]的反函数为1()f x -，则函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是( )A ．1[,4]2-B ．[1，4]C ．[1D ．[14+【解答】解：依题意，1()f x -=([1,4])x ∈，所以函数121[()](2)y f x f x x --=+=x 满足14124x x ⎧⎨⎩剟剟，即12x 剟，又y x =[1，2]上的增函数，所以函数121[()](2)y f x f x --=+的值域是[12+，故选：C ．三、解答题17．（2010•普陀区一模）设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ．已知:x A B α∈，:x β满足20x p +<，且α是β的充分条件，求实数p 的取值范围．【解答】解：依题意，得2{|20}(A x x x =-->=-∞，1)(2-⋃，)+∞，310(0,3]B x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭…，于是可解得(2A B =，3]．设集合{|20}C x x p =+<，则(,)2px ∈-∞-．由于α是β的充分条件，所以AB C ⊆．则须满足362pp <-⇒<-．所以，实数p 的取值范围是(,6)-∞-．18．（2010•北京模拟）已知函数y =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 变化时，若y 的最小值为()f m ，求函数()f m 的值域．【解答】解：（1）依题意，当x R ∈时，2680mx mx m -++…恒成立．当0m =时，x R ∈；当0m ≠时，00m >⎧⎨⎩…即2(6)4(8)0m m m m >⎧⎨--+⎩…．解之得01m <…，故实数m 的取值范围01m 剟．（2）当0m =时，y =当01m <…，ymin y ∴=因此，()1)f m m 剟，易得0888m -剟．()f m ∴的值域为[0，．19．（2016•东城区一模）已知三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，11A A =，AB 2AC =，E 、F 分别为棱1C C 、BC 的中点．（Ⅰ）求证1AC A B ⊥；（Ⅱ）求直线EF 与1A B 所成的角；（Ⅲ）若G 为线段1A A 的中点，1A 在平面EFG 内的射影为H ，求1HA A ∠．【解答】证明：（Ⅰ）1AA ⊥底面ABC ，AC ⊂平面ABC1AC AA ∴⊥．90BAC ∠=︒，AC AB ∴⊥．又1A A ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，1A A AB A =，AC ∴⊥平面11A ABB ． 1A B ⊂平面11A ABB ， 1AC A B ∴⊥．（Ⅱ）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz ---，如图所示：则1(0A ，0，1)，B ，1(0,2,)2E ，F ．∴1(3,0,1)A B =-，31(1,)2EF =--． ∴1112cos ,||||A B EF A B EF A B EF 〈〉==．直线EF 与1A B 所成的角为45︒．（Ⅲ）1(0,0,)2G ，(0,2,0)GE =，31()2GF =-．1(0AA =，0，1)．设平面GEF 的法向量为(n x =，y，)z ，则n GE n GF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，∴2010.2y y z =⎧+-= 令z =(1,0,3)n =．1113cos ,||||n AA n AA n AA ∴<>==1A 在平面EFG 内的射影为H ，1HA A ∴∠为1AA 与平面EFG 所成的角的余角，113cos |cos ,|HA A n AA ∴∠=<>=． 16HA A π∴∠=．20．已知集合1{(D x =，21)|0x x >，20x >，12}x x k +=（其中k 为正常数）．（1）设12u x x =，求u 的取值范围；（2）求证：当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立；（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立的2k 的范围．【解答】解：（1）221212()24x x k x x +=…，当且仅当122kx x ==时等号成立，故u 的取值范围为2(0,]4k ．（2）解法一（函数法）:2222121212121212121221121212111111()()22x x x x k k x x x x x x x x u x x x x x x x x x x x x u+----=+--=+-=-+=-+ 由204k u <…，又1k …，210k -…， 21()2k f u u u -∴=-+在2(0,]4k 上是增函数所以121211()()x x x x --22222221142222()4424k k k k k u k u k k --=-+-+=-+=-…即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．解法二（不等式证明的作差比较法）: 21212112()()()2k x x x x k---- 21212212211424x x k x x x x x x k =+----+ 212122122114()(2)4x x k x x x x k x x =----+- 2221212122121244()4k x x k x x x x k x x x x ---=--，将2212124()k x x x x -=-代入得： 21212112()()()2k x x x x k---- 2221212212()(44)4x x k x x k k x x ---=212()0x x -…，1k …时22221212444(1)0k x x k k k x x --=--<， ∴2221212212()(44)04x x k x x k k x x ---…，即当1k …时不等式21212112()()()2k x x x x k---…成立．（3）解法一（函数法）:记21212111()()2()k x x u f u x x u---=++=，则222()()24k k f k -=，即求使2()()4k f u f …对2(0,]4k u ∈恒成立的2k 的范围．由（2）知，要使21212112()()()2k x x x x k---…对任意1(x ，2)x D ∈恒成立，必有01k <<，因此210k ->，∴函数21()2k f u u u -=++在上递减，在)+∞上递增，要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f …，必有24k …4216160k k +-…，解得208k <…．解法二（不等式证明的作差比较法）:由（2）可知222212*********()(44)112()()()24x x k x x k k x x x x k k x x -------=，要不等式恒成立，必须2212440k x x k --…恒成立即212244k x x k -…恒成立由21204k x x <…得222444k k k-…，即4216160k k +-…，解得208k <…．因此不等式21212112()()()2k x x x x k---…恒成立的2k的范围是208k <… 21．（2019秋•杨浦区校级月考）考虑下面两个定义域为(0,)+∞的函数()f x 的集合：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭，()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．（1）已知32()2f x x ax bx =++，若1()f x ∈Ω，且2()f x ∉Ω，求实数a 和b 的取值范围（2）已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出：比较2d t +与4的大小关系（3）对于定义域为D 的函数()g x ，若存在常数k ，使得不等式()g x k <对任何x D ∈都成立，则称k 为()()g x x D ∈的上界，将2Ω中所有存在上界的函数()f x 组成的集合记作T ，判断是否存在常数M ，使得对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，若存在，求出M 的最小值，若不存在，说明理由【解答】（1）解：由：()()()211211212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x -⎧⎫Ω=>⎨⎬-⎩⎭， ()()()22211221212|,,0对任何不同的两个正数都有x f x x f x f x x x x x ⎧⎫-⎪⎪Ω=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭．可得函数()f x y x =，2()f x y x=在(0,)+∞为增函数， 2()22f x y x ax b x ==++，若1()f x ∈Ω，则02a-…，即0a …2()2f x by x a x x ==++， 22by x'=+，当0b …，0x >时，0y '>，此时2()f x ∈Ω，不符合题意，舍去；当0b <时，令0y '=，解得x ，此时函数在(0,)x ∈+∞有极值点，因此2()f x ∉Ω．综上可得：当0b <时，1()f x ∈Ω且2()f x ∉Ω．（2）证明：由1()f x ∈Ω，若取120x x <<，则12121212()()()f x f x f x x x x x x +<<+．由表格可知：f （a ）d =，f （b ）d =，f （c ）t =，()4f a b c ++=， 0a b c a b c <<<<++，∴4d d t a b c a b c<<<++， 0d ∴<，4a d a b c <++，4b d a b c <++，4at a b c<++，24d t ∴+<，（3）对任何()f x T ∈和(0,)x ∈+∞，都有()f x M <，我们先证明()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．假设存在0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x >，记02()0f x m x => 2()f x y x=是增函数． ∴当0x x >时，022()()0f x f x m x x >=>， 2()f x mx ∴>，∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k < 对(0,)x ∈+∞成立矛盾．即()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．∴存在()f x T ∈，()0f x …对(0,)x ∈+∞成立．下面我们证明()0f x =在(0,)+∞上无解．假设存在20x >，使得2()0f x =， 2()f x y x =是增函数．一定存在320x x >>，使322232()()0f x f x x x >=，这与上面证明的结果矛盾． ()0f x ∴=在(0,)+∞上无解．综上，我们得到存在()f x T ∈，()0f x <对(0,)x ∈+∞成立．∴存在常数0M …，使得存在()f x T ∈，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立．又令1()(0)f x x x=->，则()0f x <对(0,)x ∈+∞成立，又有23()1f x x x=-在(0,)+∞上是增函数， ()f x T ∴∈，而任取常数0k <，总可以找到一个0n x >，使得n x x >时，有()f x k >．M ∴的最小值为0．。

复旦附中自招题

复旦附中自招题一、背景介绍复旦附属中学是上海市一所优秀的高级中学，也是全国重点中学之一。

自招是指该校通过独立招生考试，选拔出一批优秀的初中毕业生直接进入高中阶段学习。

复旦附中自招题是指在这个考试中出现的各种题型和题目，涵盖了多个学科的知识。

二、自招题的类型复旦附中自招题主要包括选择题、填空题、解答题等多种类型。

其中，选择题占据了较大比例，考察学生对知识点的掌握和理解。

填空题则更加注重对知识点的灵活运用和推理能力。

解答题则要求学生对某个问题进行深入思考，并用文字作出详细回答。

三、自招题的范围复旦附中自招题覆盖了初中阶段的各个学科，如语文、数学、英语、物理、化学等。

每个科目都有相应的考点和知识点需要掌握。

例如，在语文科目中，可能会涉及到文言文阅读、现代文阅读、写作等方面的内容；在数学科目中，可能会考察代数、几何、概率等知识点；在英语科目中，可能会考察听力、阅读理解、写作等技能。

四、自招题的难度复旦附中自招题的难度相对较高，要求学生有扎实的基础知识和较强的思维能力。

题目往往涉及到对知识点的深入理解和运用，需要学生具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

因此，备战复旦附中自招考试需要提前做好充分准备，加强对各个学科知识点的掌握，并进行针对性的练习和训练。

五、备战复旦附中自招考试的建议1.提前规划：提前了解复旦附中自招考试的内容和要求，并制定合理的备考计划。

2.扎实基础：加强对各个学科知识点的掌握，建立扎实的基础。

3.多练习：进行大量的习题训练，熟悉各种题型，并注意总结归纳解题方法和技巧。

4.多思考：在解题过程中，注重思考问题的本质和解决方法，培养逻辑思维和推理能力。

5.查漏补缺：及时发现自己的不足之处，针对性地进行补充学习和强化训练。

6.考前冲刺：在考前适当加大复习强度，进行模拟考试和真题训练，熟悉考试环境和节奏。

六、总结复旦附中自招题是备战复旦附中自招考试的重要内容。

掌握自招题的类型、范围和难度，并合理制定备考计划，扎实基础知识，多练习并注重思考问题的本质和解决方法，可以提高备战复旦附中自招考试的效果。

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷一、解答题1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值．二、填空题4．已知f（x）＝a sin（2πx）+b cos（2πx）+c sin（4πx）+d cos（4πx），若，则在a，b，c，d中能确定的参数是．5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝．6．展开式中，常数项为．7．[++…+]＝．8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为．9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是．10．设，若，则cos（x+2y）＝．11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a 的取值范围是．12．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为．三、选择题13．已知直线m：y＝x cosα和n：3x+y＝c，则（）A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对四、填空题14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为．15．已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是．16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为．17．arcsin+arcsin＝．18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为．19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为．20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为．21．定义f M（x）＝，M⊗N＝{x|f M（x）f N（x）＝﹣1}，已知A＝，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝．22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为．23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝．24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的条件．25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为．26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是．27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为．五、选择题29．下列不等式恒成立的是（）A．x2+≥x+B．C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当S n取最大时，n的值为．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有种．32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是．（1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个．2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，O为顶点，若，求p．【考点】抛物线的性质．【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（，），利用可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p．【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，cos∠A′AF＝，∴∠A′AF＝600．A（，），由A在抛物线y2＝2px上，，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍），∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p，∵，∴（2p+）p＝12，∴p＝．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．2．抛物线y2＝2px，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，满足，过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，准线交x轴于C点，若，求p．【考点】抛物线的性质．【分析】过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，可得∠A′AF＝600，即可得A（，），利用可得2p＝3m，利用梯形面积公式即可得p．【解答】解：过A作抛物线准线的垂线，垂足记为A'，过B作抛物线准线的垂线，垂足记为B'，过B作AA′的垂线，垂足记为M．设|BF|＝m，则|AF|＝3m，|AM|＝2m，cos∠A′AF＝，∴∠A′AF＝600．A（，），由A在抛物线y2＝2px上，，解得2p＝3m，或2p＝﹣9m（舍），∴|AF|＝|AA′|＝3m＝2p，∵，∴，∴p＝2．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．3．已知实数x，y满足x2+2xy＝1，求x2+y2最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先把y用x表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：因为x2+2xy＝1（x≠0），故，所以，当且仅当等号成立，所以x2+y2最小值为．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题4．已知f（x）＝a sin（2πx）+b cos（2πx）+c sin（4πx）+d cos（4πx），若，则在a，b，c，d中能确定的参数是　a＝b＝c＝d＝0　．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先令x＝0和x＝可得b＝d＝0，再由得到a＝c＝0．【解答】解：令，令，，，所以sin4πx（2c﹣a﹣2c cos4πx）＝0恒成立，所以2c﹣a＝2c＝0⇒a＝c＝0，综上所述a＝b＝c＝d＝0．故答案为：a＝b＝c＝d＝0．【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题．5．若三次方程x3+ax2+4x+5＝0有一个根是纯虚数，则实数a＝．【考点】实系数多项式虚根成对定理．【分析】设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．【解答】解：设三次方程的纯虚数根为bi（b∈R，b≠0），可得﹣b3i﹣ab2+4bi+5＝0，即（5﹣ab2）+（4b﹣b3）i＝0，可得5﹣ab2＝0，且4b﹣b3＝0，解得b＝±2，a＝．故答案为：．【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题．6．展开式中，常数项为　12600　．【考点】二项式定理．【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：，且k+2k+m+3m＝10，由此求出k，m的值即可．【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足：，且k+2k+m+3m＝10，k，m∈N．即3k+4m＝10，m，k∈N．解得，故常数项为：．【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题．7．[++…+]＝．【考点】数列的极限．【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】解：＝++…+＝＝（1++﹣﹣﹣）．[++…+]＝（1++﹣﹣﹣）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．8．点（4，5）绕点（1，1）顺时针旋转60度，所得的点的坐标为　　．【考点】旋转变换．【分析】不妨设A（1，1），B（4，5），则，在在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出所对应的复数z2，进而求出的坐标，再求C点坐标，即为答案．【解答】解：不妨设A（1，1），B（4，5），则，在复平面对应的复数为，则顺时针旋转60°，则，，，因此，从而可得点．【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题．9．方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ所表示的曲线形状是　两条射线　．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直接利用转换关系，消去ρ，整理成三角函数关系式，进一步求出结果．【解答】解：根据方程5ρcosθ＝4ρ+3ρcos2θ，整理得5cosθ＝4+3（2cos2θ﹣1），即6cos2θ﹣5cosθ+1＝0，解得cos或cos．所以该曲线为两条射线．故答案为：两条射线．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．设，若，则cos（x+2y）＝　1　．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设f（x）＝x3+sin x，把已知条件转化为f（x）+f（2y）＝0，又因为函数f（x）在R上是单调递增的奇函数，故x+2y＝0，进而求出cos（x+2y）＝1．【解答】解：原式可得变形为，设f（x）＝x3+sin x，因为f（﹣x）＝（﹣x）3+sin（﹣x）＝﹣（x3+sin x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，当x＞0 时，f（x）′＝3x2+cos x①当0＜x＜时，cos x＞0，所以f（x）′＞0；②当x＞时，3x2＞3，cos x＜1，所以f（x）′＞0．所以f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数f（x）在R上是单调递增函数，因此f（x）+f（2y）＝0，则x+2y＝0，则cos（x+2y）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题．11．当实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a 的取值范围是．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据x，y满足的表达式可设x＝cosθ，y＝sinθ，进而求出x+2y的范围，再由条件可知x+2y﹣a≥0，且a+6﹣x﹣2y≥0，则可求出a的取值范围．【解答】解：因为实数x，y满足x2+y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ，则x+2y＝cosθ+2sinθ＝，其中α＝arctan2，所以﹣≤x+2y≤，因为|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，所以|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|＝x+2y﹣a+a+6﹣x﹣2y＝6，即此时，所以x+2y﹣6≤a≤x+2y，则≤a≤﹣，故答案为：【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题．12．在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为　　．【考点】平面向量的基本定理．【分析】设＝λ，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【解答】解：延长AO交BC于D，设BC与圆O相切于点E，AC与圆O相切于点F，则OE＝OF，则OE≤OD，设＝λ，因为B、C、D三点共线，所以λx+λy＝1，即x+y＝＝＝＝＝＝，因为cos A＝1﹣2sin2＝，所以sin＝，所以x+y≤＝．故答案是：．【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题．三、选择题13．已知直线m：y＝x cosα和n：3x+y＝c，则（）A．m和n可能重合B．m和n不可能垂直C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合D．以上都不对【考点】确定直线位置的几何要素；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出直线m与直线n的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合；由斜率之积为﹣1，得出两直线垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线m以交点P为中心旋转后与n重合．【解答】解：直线m：y＝x cosα，斜率为k1＝cosα；直线n：3x+y＝c，斜率为k2＝﹣3；k1≠k2，所以m和n不可能重合，A错误；cosα＝时，k1•k2＝﹣1，m和n垂直，所以B错误；由k1≠k2知m和n不平行，设m、n相交于点P，则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确．故选：C．【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题．四、填空题14．抛物线3y2＝x的焦点为F，A在抛物线上，A点处的切线与AF夹角为30°，则A点的横坐标为．【考点】直线与抛物线的综合．【分析】设A的坐标求导可得A的切线的斜率，设切线的倾斜角为α，求出准线AF的斜率，由题意可得k AF＝tan（30°+α），可得A的横坐标．【解答】解：抛物线3y2＝x可得y2＝，所以焦点F坐标（，0），设A（x0，y0），设y0＞0y＝，y'＝，所以在A处的切线的斜率为：k＝，设在A处的倾斜角为α，则k＝tanα＝，k AF＝＝＝，tan（30°+α）＝＝＝，由题意可得k AF＝tan（30°+α），所以＝，整理可得：（1﹣2）（12x 0+1）＝0，解得：x0＝，所以A的横坐标为：，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题．15．已知点P在直线上，且点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，则点P的坐标是　（1，2）　．【考点】行列式．【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A （2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在直线上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，则∠AOB＝2arctan的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先由题设条件求出数对（x，y）总的个数，然后利用∠AOB＝2arctan求出满足题意的数对（x，y）的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．【解答】解：∵x，y∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}且y≠x，∴数对（x，y）共有9×8＝72个．∵∠AOB＝2arctan，∴tan∠AOB＝＝，cos∠AOB＝，又连接原点O和A（x，y），B（y，x）两点，得＝（x，y），＝（y，x），则cos∠AOB＝＝＝，即（2x﹣y）（x﹣2y）＝0，即y＝2x，或y＝x，∴满足∠AOB＝2arctan的数对有：（1，2），（2，4），（3，6），（4，8），（2，1），（4，2），（6，3），（8，4），共8个，∴∠AOB＝2arctan的概率P＝＝．故答案为：．【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题．17．arcsin+arcsin＝．【考点】反三角函数．【分析】由题意判断出＜arcsin+arcsin＜π，求出sin（arcsin+arcsin）的值，即可得出arcsin+arcsin的值．【解答】解：由arcsin＜arcsin＜arcsin1，所以＜arcsin＜，又arcsin＜arcsin＜arcsin1，所以＜arcsin＜，所以＜arcsin+arcsin＜π，所以sin（arcsin+arcsin）＝sin（arcsin）cos（arcsin）+cos（arcsin）sin（arcsin）＝×+×＝×+×＝+＝，所以arcsin+arcsin＝．故答案为：．【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18．已知三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，且AB＝6，AC＝BC＝4，AP＝BP＝10，则CP长度为　7 或　．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】先根据题意证明平面ABC⊥平面PCD，进而得到P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离，再利用三棱锥P﹣ABC的体积为10.5，求出sin∠PDC，利用同角的三角函数关系求出cos∠PDC，在△PDC中运用余弦定理即可求出PC的长度．【解答】解：取AB中点D，因为AB⊥CD，AB⊥PD，又因为PD∩CD＝D且PD，CD⊂平面PCD，则AB⊥面PDC，又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PCD，那么P点到CD的距离即P点到平面ABC的距离，依题意可得，所以，那么，由余弦定理可得或．故答案为：7 或．【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．19．在△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，则BC边上中线长度为　2　．【考点】三角形中的几何计算．【分析】利用余弦定理求出cos∠BAC的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．【解答】解：△ABC中，AB＝9，BC＝6，CA＝7，如图所示；由余弦定理得cos∠BAC＝＝；设AD是BC边上的中线，则＝（+），所以＝×（+2•+）＝×（81+2×9×7×+49）＝56，解得||＝2，所以BC边上的中线长度为2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．20．若f（x）＝x2﹣1，则f（f（x））的图象大致为．【考点】函数的图象与图象的变换．【分析】求出f（f（x））的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出x＞0时的单调性，由对称性即可作出大致图象．【解答】解：f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1＝x4﹣2x2，令g（x）＝x4﹣2x2，g（x）＝0，可得x＝±或0，由g（﹣x）＝g（x），可得g（x）为偶函数，当x≥0时，g′（x）＝4x3﹣4x＝4x（x+1）（x﹣1），x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，由偶函数关于y轴对称，可得f（f（x））的图象大致为故答案为：．【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题．21．定义f M（x）＝，M⊗N＝{x|f M（x）f N（x）＝﹣1}，已知A＝，B＝{x|x（x+3）（x﹣3）＞0}，则A⊗B＝　（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．　．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】求出集合A，B，利用新定义求出A⊗B即可．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}＝（﹣3，0）∪（3，+∞）；∁R A＝[1，+∞），∁R B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，3]．因为f A（x）•f B（x）＝﹣1，所以当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A⊗B＝B∩∁R A＝{x|x＞3}，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A⊗B＝A∩∁R B＝{x|x≤﹣3或0≤x＜1}，故A⊗B＝（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[0，1）∪（3，+∞）．【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题．22．方程3x+4y+12z＝2020的非负整数解的组数为　14365　．【考点】计数原理的应用．【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的3×4＝12进行分析入手即可．【解答】解：因为3x+4y+12z＝2020，所以，因为x，y，z均为整数，所以也是整数，所以设x＝4k，则3k+y+3z＝505，所以3（k+z）+y＝505，易知505÷3＝168…1，则k+z可取的值为0～168，当k+z＝0时，k＝z＝0，当k+z＝1时，或，当k+z＝n时，k的取值集合为{0，1，2，…，n}，对应z＝n﹣k，故当k+z取遍0～168时，z的所有可能取值数为种，故所有的非负整数解为14365种，故答案为14365．【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题．23．已知m，n∈Z，且0≤n≤11，若满足22020+32021＝12m+n，则n＝　7　．【考点】进行简单的合情推理．【分析】通过研究2n+3n+1除以12的余数的规律得到结果．【解答】解：归纳：21+32＝12×0+11，22+33＝12×2+7，23+34＝12×7+5，24+35＝12×21+7，25+36＝12×63+5，26+37＝12×187+7，27+38＝12×557+5，…由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环；易知2n中n为奇数对应余数为5，n为偶数对应余数为7；2020为偶数，故余数为7．故答案为7．【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．24．凸四边形ABCD，则∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的　充要　条件．【考点】充分条件、必要条件、充要条件．【分析】根据四点共圆的性质，对∠BAC＝∠BDC，∠DAC＝∠DBC进行逻辑判断即可．【解答】解：在凸四边形ABCD中，若∠BAC＝∠BDC，则ABCD四点共圆，则必有∠DAC ＝∠DBC；在凸四边形ABCD中，若∠DAC＝∠DBC，则ABCD四点共圆，则必有∠BAC＝∠BDC；所以：∠BAC＝∠BDC是∠DAC＝∠DBC的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题．25．设函数f（x）＝3x﹣3﹣x的反函数为y＝f﹣1（x），则g（x）＝f﹣1（x﹣1）+1在[﹣3，5]上的最大值和最小值的和为　2　．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【分析】由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4，令﹣4≤f（x）≤4，结合函数f（x）的单调性可得此时，再由反函数的性质即可得解．【解答】解：由﹣3≤x≤5，可得﹣4≤x﹣1≤4，令﹣4≤f（x）≤4，由f（x））＝3x﹣3﹣x单调递增可得，，∴，∴g（x）在[﹣3，5]上的最大值与最小值之和为，故答案为：2．【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题．26．若k＞4，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是　（，+∞）　．【考点】两条直线的交点坐标；三角形的面积公式．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x轴的交点，与y轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8＝0 即k（x﹣2）﹣2y+8＝0，过定点B（2，4），与y轴的交点D（0，4﹣k），与x轴的交点A（2﹣，0），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4＝0，即2x+k2（y﹣4）﹣4＝0，过定点B（2，4 ），与x轴的交点E（2k2+2，0），与y轴的交点C（0，4+），由题意，四边形OABC的面积等于△OCE面积﹣△ABE面积，∴所求四边形的面积为S＝×（4+）（2k2+2）﹣×4×（2k2+2﹣2+）＝﹣+8＝4﹣8，∵k＞4，∴0＜则8＞S＞故k＞4时，直线kx﹣2y﹣2k+8＝0与2x+k2y﹣4k2﹣4＝0和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是（，8）．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题．27．已知A、B、C、D四点共圆，且AB＝1，CD＝2，AD＝4，BC＝5，则PA的长度为．【考点】余弦定理．【分析】连接AC，BD，由圆内接四边形的性质可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，在△ABD和△BCD中运用余弦定理，结合诱导公式求得cos∠PAB，sin∠PAB，同理可得cos∠PBA，sin∠PBA，再由两角和的正弦公式求得sin P，在△PAB中运用余弦定理可得所求；另解：由四点共圆的性质和三角形的相似的性质，解方程可得所求值．【解答】解：连接AC，BD，由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠BCD，∠PBA＝∠ADC，由BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，BD2＝CB2+CD2﹣2CB•CD•cos∠BCD，且∠BAD+∠BCD＝180°，可得cos∠BAD＝﹣cos∠BCD，则1+16﹣2×1×4cos∠BAD＝25+4﹣2×5×2×cos∠BCD，化为17+8cos∠BCD＝29﹣20cos∠BCD，解得cos∠BCD＝，即cos∠PAB＝，则sin∠PAB＝＝，又AC2＝BA2+BC2﹣2BA•BC•cos∠ABC，AC2＝DA2+DC2﹣2DA•DC•cos∠ADC，且∠ABC+∠ADC＝180°，可得cos∠ABC＝﹣cos∠ADC，则1+25﹣2×1×5cos∠ABC＝16+4﹣2×4×2×cos∠ADC，化为26+10cos∠ADC＝20﹣16cos∠ADC，解得cos∠ADC＝﹣，即cos∠PBA＝﹣，则sin∠PBA＝＝，则sin P＝sin（∠PAB+∠PBA）＝sin∠PAB cos∠PBA+cos∠PAB sin∠PBA＝×（﹣）+×＝，在△PAB中，由＝，可得＝，解得PA＝．另解：由A，B，C，D四点共圆，可得∠PAB＝∠PCD，∠PBA＝∠PDC，则△PAB∽△PCD，即有＝＝，设PA＝x，PB＝y，可得＝＝，即有2x＝5+y，即y＝2x﹣5，2y＝4+x，即有2（2x﹣5）＝4+x，解得x＝，即PA＝．故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为．【考点】函数奇偶性的性质与判断；古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n＝＝10，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m ＝＝6，由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率．【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，基本事件总数n＝＝10，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数m＝＝6，∴其中既有奇函数、又有偶函数的概率为P＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五、选择题29．下列不等式恒成立的是（）A．x2+≥x+B．C．|x﹣y|≥|x﹣z|+|y﹣z|D．【考点】不等关系与不等式；基本不等式及其应用．【分析】A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+≥x+化为：t2﹣2≥t，化简即可判断出正误．B．取特殊值，令x﹣y＝﹣1，即可判断出正误；C．由绝对值不等式的性质即可判断出正误；D.﹣＝﹣，即可判断出真假．【解答】解：A．x＜0时，x2+≥x+成立；x＞0时，设t＝x+≥2，不等式x2+≥x+化为：t2﹣2≥t，化为（t﹣2）（t+1）≥0，即t≥2，恒成立．因此不等式恒成立．B．取x﹣y＝﹣1，则|x﹣y|+＝1﹣1＝0＜2，因此不恒成立；C．由绝对值不等式的性质可得：|x﹣z|+|y﹣z|≥|（x﹣z）﹣（y﹣z）|＝|x﹣y|，因此不恒成立．D．∵﹣＞，∴﹣＝﹣≤0，∴≤，错误．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当S n取最大时，n的值为　6或7　．【考点】数列的求和；平面向量数量积的性质及其运算．【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前n项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果．【解答】解：数列满足，所以，，…，，所有的式子相加得到：，所以，由于，由于＝＝＝＝＝＝，由于二次函数的对称轴方程为n＝（n为整数），所以n＝6或7时，S n取最大值．故答案为：6或7【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前n项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有　1128　种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，乙没有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，有2种情况，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式，此时有2×120＝240种安排方式，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，剩下5人全排列，安排在剩下的5天，有A55＝120种安排方式，此时有1×120＝120种安排方式，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有3×2×4×24＝576种安排方式，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，剩下4人全排列，安排在剩下的4天，有A44＝24种安排方式，此时有4×24＝96种安排方式；故有240+120+96+576+96＝1128种安排方式；故答案为：1128【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．32．直线l1，l2交于O点，M为平面上任意一点，若p，q分别为M点到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的距离坐标．已知非负常数p，q，下列三个命题正确的个数是　（1）（2）（3）　．（1）若p＝q＝0，则距离坐标为（0，0）的点有且仅有1个；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有4个．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意点到直线l1，l2的距离分别为p，q，由点M的距离坐标的定义逐一判断即可．【解答】解：（1）p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故（1）正确；（2）若pq＝0，且p+q≠0，则p，q中有且仅有一个为0，当p＝0，q≠0时，距离坐标点在l1上，分别为关于O点对称的两点，当q＝0，p≠0时，在l2上也有两点，但是这两种情况不能同时存在，∴若pq＝0，且p+q≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且仅有2个，故（2）正确；（3）若pq≠0，则距离坐标为（p，q）的点有且只有4个，而四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点．故答案为：（1）（2）（3）．【点评】本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力，属于中档题．。

上海市复旦附中2019_2020学年高一数学下学期5月测试试题含解析

上海市复旦附中2019-2020学年高一数学下学期5月测试试题（含解析）考试时间120分钟；满分150分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】1 2【解析】【分析】设扇形的所在圆的半径为r，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设扇形的所在圆的半径为r，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121rrαα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221rrαα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2rα==.故答案为：1 2【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________【答案】1 2【解析】【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；【详解】原式1 sin40cos10cos40sin10sin302 =︒︒-︒︒=︒=，故答案为：12.【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.3.函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 【答案】56π【解析】【分析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.4.在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；【详解】11sin sin sin sin 2a bB A BB=⇒=⇒=，a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5.已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________ 【答案】16 【解析】【分析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。

上海中学自招数学真题(含答案)

上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________．【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+，代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是．【答案】454．【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________．【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -．其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡，按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________．【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <，此时函数1y 的对称轴404mx -=-<，则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <；若04m ≤<，此时20y ≤，则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立；综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥．则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤，又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立．方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2．【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）．（2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=；球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值；问题（2）()12x y z =++．【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。

复旦附中自招真题解析

D
sin DAQ
立
APO OEB BOE AOP AO AP x ，
智
24 ， 25
立方
【解析】（1） cos DAB cos B
52 52 62 7 2 52 25
上
y
sin DAQ AQ AO AP 2
k 2 k 2 2 2 k 1 4 2 k 1 2k 2 2k 5 k 2 为完全平方数， 2 2
k 4 、 3 、 1 ，验证成立，于是 m 2 、
两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为____________．

部资
A
料
，严
13. 设 n n 10 个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何
1
2
O 60
3
立方
内
1
5
O B 【答】5 【解析】首先有五架飞机在 O 降落是可以构造的，只需 O 为正五边形 ABCDE 的中心，其他飞机场在较远处即可．其次证明不可能有六架飞机在 O 降落，如图，对于任意一个飞机场 O 考虑它 60 夹角方向，若区域内有 A 、 B 两飞机场，则 AOB 60 ，若 A 、 B 同时飞往 O ，则 AO AB ， BO AB ， AB 为 AOB 最大边， AOB 为最大角矛盾；于是对飞机场 O ，在夹角为 60 的区域内最多有一架飞机．若存在六架 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 飞机飞到点 O ，以 OA 为边界将点 O 的圆周角 6 等分，则形成如图五块区域，每块区域内最多一架飞机，与六架飞机飞到点 O 矛盾．

上海市复旦附中高三数学上学期9月综合练习试题一(含解析) 试题

又y＝x 为[1，2]上的增函数，
所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）的值域是[1 ，4]，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．
三、解答题
的定义域为集合，函数的定义域为集合，已知：，：满足，且是的充分条件，某某数的取值X围
【答案】（﹣∞，﹣6）
【解析】
【分析】
先解不等式x2﹣x﹣2＞0得集合A，再解不等式可得集合B，从而可得A∩B，再解不等式2x+p＜0得集合C，由α是β的充分条件得A∩B⊆C，由集合间的包含关系可得p的取值X围
【详解】依题意，得A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），，于是可解得A∩B＝（2，3]．设集合C＝{x|2x+p＜0}，则．由于α是β的充分条件，
【详解】由得，x ，y∈[0，+∞），
所以函数的反函数是y ，（x≥0）．
故答案为：y ，（x≥0）．
【点睛】本题主要考查了反函数的求法，求解时，一定要注意反函数的定义域的确定，属于基础题．
的解集是，则不等式的解集为___________
【答案】{x|﹣2＜x }．
【解析】
【分析】
由题意利用一元二次方程根与系数的关系可得a＜0，且 3 ， ×3 ，由此化简要求的不等式为 3x2+5x﹣2＜0，从而求出它的解集．
某某市复旦附中2020届高三数学上学期9月综合练习试题一（含解析）
一、填空题
的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
因为的展开式的通项为，令，所以的系数为 .