8-1多元函数微分学
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
8多元函数微分学专题解析
专题七：多元函数微分学【大纲要求】1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2．了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.4．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 5．会用隐函数的求导法则.6．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程. 8．了解二元函数的二阶泰勒公式.9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.【知识要点】1.多元函数及其极限与连续：1.1 二元函数的定义：设D 为一平面点集，若()D y x ∈∀,，变量z 按一定法则，总有确定值与之相对应,则称变量z 是变量y x ,的二元函数，记作()y x f z ,=。
1.2 二元函数的极限：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某去心邻域内有定义，A 为常数，如果,0,0>∃>∀δε当()()δ<-+-<20200y y x x 时，有()ε<-A y x f ,，则称函数()y x f z ,=当()y x ,趋于()00,y x 时极限为A ，记作()A y x f y y x x =→→,lim0,。
1.3 二元函数的连续性：设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内有定义，且()()00,,,lim0y x f y x f y y x x =→→，则称函数()y x f z ,=在点()00,y x 连续。
2. 多元函数的偏导数与全微分：2.1 偏导数： 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(), (lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 对x 的偏导数,记为;),(00y x x z ∂∂;),(00y x x f∂∂),(00y x f x 。
大学高数第八章 多元函数微分学习题解课后参考答案及知识总结
第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。
解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。
解： 2(,,)()()xyxf x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。
解：将0y =代入原式得： 20(0)x x f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210y x -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）z=解：要使表达式有意义，必须0x ≥， ∴{(,)|D x y x =≥★★（3）u=解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z = 解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）ln()z y x =-+解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）10y x y →→知识点：二重极限。
思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。
解：1ln 2ln 21y x y →→== ★★（2）00x y →→知识点：二重极限。
思路： 应用有理化方法去根号。
第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念一、填空题：1． 设 ),其中x>y>0,则f (x+y, x-y)=_____________.2． 函数_______________________________.3． 函数z=arcsin(2x)+ 的定义域____________________. 4． 函数f (x, y)= 221sin()x y +的间断点___________________________.5． (x , y )沿任何直线趋于00(,)x y 时，f (x , y )的极限存在且相等是00(x,y)(,)x y →时f(x, y)的极限存在的_________条件。
（充分非必要，充要，必要非充分，既非充分又非必要）二、 求下列函数的极限：1．(,)lim y x y → 2．(,)(0,1)lim x y →3．2(,)(,)1lim (1)x x y x y a xy+→∞+ （a 不为0） 4．22222(,)(0,0)1cos()lim ()xyx y x y x y e →-++5．(,)(0,lim x y → 0 6．(,)(0,)11lim()sin cos x y x y x y →+ 0三、 证明下列极限不存在：1．2(,)(0,)lim x y x y x →- 02．(,)(0,)lim x y xyx y →+ 0四、 函数f(x, y)= 24242420)00x yx y x y x y ⎧+≠⎪+⎨⎪+=⎩ （（） 在（0，0）点连续吗？§8.2 偏导数一、 选择题：1．x f ，y f 在00(,)x y 处均存在是f (x ,y)在该点连续的________条件。
(A) 充分； (B) 必要； (C) 充要； (D) 即不充分又不必要。
2．设z= f (x ,y)，则00(,)z x y x∂∂=（ ）。
多元函数微分学知识点
多元函数微分学知识点多元函数微分学是微积分的重要内容，它研究的是在多变量条件下函数的导数和微分的性质。
在实际应用中，多元函数微分学为我们解决各种问题时提供了有效的数学工具。
本文将介绍一些多元函数微分学的基本知识点，包括偏导数、全微分和梯度。
多元函数微分学的第一个知识点是偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率。
而在多元函数中，我们需要引入偏导数的概念。
偏导数表示函数在某一点上沿着一个坐标轴的变化率。
对于一个两个自变量的函数f(x, y)，偏导数可以用∂f/∂x和∂f/∂y表示。
它们分别表示函数沿x轴和y轴的变化率。
偏导数可以帮助我们理解函数的局部变化情况，并在解决最优化问题时提供重要的线索。
第二个知识点是全微分。
全微分是多元函数微分学中的一个重要概念，它表示函数在某一点上的微小变化量。
全微分可以用df表示，其中df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy。
全微分可以帮助我们推导函数的逼近值和误差，从而得出函数在某一点的性质和特点。
例如，在工程学中，通过对一个物理过程的全微分分析，我们可以推导出近似解，并估计误差。
最后一个知识点是梯度。
梯度是多元函数微分学中的一个重要工具，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个函数f(x, y)，梯度可以用∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)表示。
梯度的方向是函数变化最快的方向，它的模长表示函数的变化速率。
通过研究梯度，我们可以找到函数的极大值、极小值和鞍点，并解决最优化问题。
多元函数微分学是高级数学中的一个重要分支，它在各个学科领域都有广泛的应用。
在物理学中，我们可以通过多元函数微分学的方法推导出物理方程，并解决各种动力学问题。
在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们分析供求关系，推导出边际效应，并解决最优决策问题。
在金融学中，多元函数微分学可以帮助我们研究金融风险和资产定价。
综上所述，多元函数微分学是微积分的重要内容之一，它研究的是多变量条件下函数的导数和微分的性质。
济南大学高等数学C(一)6多元函数微分学-疑难解答
第八章 多元函数微分学习题8－13*. :证明下列极限不存在332)0,0(),(lim)1(y x yx y x -→ 证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(≠=k k kx y y x,1)1(im ),(lim 3333kxy 0x kx y 0x k kx k kx y x f -=-==→=→ .lim 332)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x y x k y x -→yx xyy x +→)0,0(),(lim)2( 证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2k x kx y y x =,1k im ),(lim 223x-kx y 0x x-kx y 0x 22k x x kx y x f -=-==→=→ .lim)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率yx xyk y x +→4. :求下列极限 11xy lim)1()3,1(),(-+→xy y x解：；原式31-13131=+⨯⨯= xyxy y x 42lim)2()0,0(),(+-→解：；）（原式41-42lim)0,0(),(=++-=→xy xy xyy x )1sin 1sin (lim )3()0,0(),(xy y x y x +→解：量仍为无穷小量）；（利用无穷小量乘有界原式0= 2233)0,0(),(*lim)4(y x y x y x ++→ 解：，则，令θρθρsin cos ==y x.0)s cos (lim s cos lim 330233330=+=+=→→θρθρρθρθρρρin in 原式习题8－22. .5,4,2,4)(4122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线x y y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=+= 解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（x z x z x x 5,4,2,15,4,221==.4,1tan .1πθθ轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x =4. ，证明：设222z y x r ++=.2)2(;11222222222r zr y r x r z r y r x r =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂）（）（））（（证：，，，）（rzz r r y y r r x z y x x x r =∂∂=∂∂=++=∂∂222221 ;1222=∂∂+∂∂+∂∂）（）（）故（z r y r x r.11)1(1)2(22222r x r r r x rx r x r ⋅-=⋅-⋅+=∂∂,11,1122222222r z r r z r r y r r y r ⋅-=∂∂⋅-=∂∂ .2222222r zr y r x r =∂∂+∂∂+∂∂故7. .0zz 2)2(cos 22222=∂∂∂+∂∂-=t x tt x z ，证明：设 证：),2sin(2)2sin()2cos(4t x tx t x x z --=-⋅--=∂∂ ),2cos(22t x tx z-=∂∂∂ ),2sin()2())2sin(()2cos(22t x tt x t x t z -=-⋅--⋅-⋅=∂∂ ).2cos()1()2cos(22t x t x tz--=-⋅-=∂∂ .0z z 2222=∂∂∂+∂∂t x t故8. 的竞争对手，这两家公司公司是机床行业的两个公司和Y X 别为主要产品的供给函数分.41600;51000Y Y X X Q P Q P -=-=.250100个单位个单位和是公司现在的销售量分别公司和Y X 多少？公司当前的价格弹性是公司和）（Y X 1下降的销售量个单位，同时导致增加到降价后，使）假定（X Y Q X Q Y 3002 性是多少？公司产品的交叉价格弹个单位，试问到X 75 证：,100,5001==X X Q P X 公司）（ ,51||XXX X X X X Q P Q P dP dQ =⨯=η .110050051=⨯公司当前的价格弹性为故X,250,600==Y Y Q P Y 公司,51||Y YY Y YY Y Q P Q P dP dQ =⨯=η.6.025060041=⨯公司当前的价格弹性为故Y，时时，）（625,75;4003002====X X Y Y P Q P Q .7.0600400600-40010075100-75=++性为公司产品的交叉价格弹X习题8－41. .求下列函数的全导数.,4,3),arctan()2(3dtdzt y t x y x z 求而设==-= 解：dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= 22212)(113)(11t y x y x ⋅-+-+⋅-+=.)43(1123232t t t -+-= 2. ：具有一阶连续偏导数）数（其中求下列函数的一阶偏导f );,()4(zyy x f u =解：.,1,1222121f zy z u f z f y x y u f y x u '-=∂∂'+'-=∂∂'=∂∂ ).,,()5(xyz xy x f u =解：.,,332321f xy zu f xz f x y u f yz f y f x u '=∂∂'+'=∂∂'+'+'=∂∂ 3. .11,)(,)(222y zy z y x z x u f y x f y z =∂∂⋅+∂∂⋅-=验证为可导函数其中设解：,))(()(22)())((2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅-'⋅--=∂∂ ,))(()(2)(1)2()())(()(1222222222222222y x f y x f y y x f y y x f y x f y y x f y z --'+-=-⋅-'⋅---=∂∂代入左式，化简得2222222222222))(()(2)(1))(()(2y x f y x f y y x f y x f y x f xy --'+-+--'-=左式.)(1222右式==-=yzy x yf 5. 数：求下列函数的二阶偏导).ln()2(22y x y z ++=解：,)(22122222222y x y x y xy x x y x y x z +++=+⋅++=∂∂,)1)221(1222222y x yx yy x y y z +=++⋅++=∂∂,)()()2()(1322222222222222y x y x y y x y x y x y x y x z +++++-+++=∂∂,)(3222y x x y x z +-=∂∂∂ .)(32222y x y y z +-=∂∂习题8－53. .,,0)tan()cos()sin(yzx z yz xz xy ∂∂∂∂=++求设 解：.,,的函数为为独立变量，由题意知，y x z y x求导，得等式两边对x,0)(sec )()sin()cos(2=∂∂⋅⋅+∂∂⋅+⋅-xz y yz x z x z xz xy y 整理得;)(sec )sin()sin()cos(2yz y xz x xz z xy y x z --=∂∂ 求导，整理得同理，等式两边对y .)(sec )sin()(sec )cos(22yz y xy x yz z xy x y z -+=∂∂ 5. 所确定的）（都是由方程设0,,),(),,(),,(====z y x F y x z z z x y y z y x x.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x 证明有连续偏导数的函数，解：的函数，则方程为为独立变量，，视）（方程中z y x z y z y x F ,,0,,= .-,0xy y x F F y xF y x F y =∂∂=+∂∂⋅从而求导得两边对.-,-zx y z F F x z F F z y=∂∂=∂∂同理可求.1)(-)(---=⋅⋅=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x 故7. .2yx zxyz e z∂∂∂=，求设 解：求导，得等式两边对x ;xye yzx z x z xy yz x z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（1） 求导，得等式两边对y;xye xz y z y z xy xz y z e z x -=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂⋅（2） 求导得式对y )1()];())([()(122x yz e yz xy e y z y z xy e y x z z z z -∂∂⋅--∂∂+-=∂∂∂ 得代入)2(.12-322）（-=∂∂∂z y x y x z习题8－62. .)2()(22的极值求函数y y x ex,y f x++=解：).1(2)1422(222+=+++=y e f y y x e f x y x x ，.1-2101014222），，求得驻点（解方程组⎩⎨⎧=+=+++y y y x 再求出二阶偏导.2)44(2)4844(2222x yy x xy x xx e f y e f y y x e f =+=+++=，，,004.2,0,21-2122>>--===A e B AC e C B e A ，因）处，，在驻点（ .2-1-21),(e y x f ）处取得极小值，在点（所以函数3. .442222上的最大值和最小值在闭区域求函数≤+-=y x y x z 解：0,2,2.4422令其等于时，求出所有的驻点当y z x z y x y x -==<+.0,0）得驻点（.4422的点求出所有可能取得最值时，由拉格朗日乘数法当=+y x ),44(),,(2222-++-=y x y x y x L λλ设拉格朗日函数⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+=0440*******y x L y y L x x L y x λλλ令 .0,2;1,0=±=±==y x y x 解得.41-，最大值为值为的点的函数值，得最小比较所有可能取得最值4. ，和售价分别为同时在两个市场销售，某厂家生产的一种产品 21P P ;5.0-10 ,2.0-24 221121P Q P Q Q Q ==，需求函数分别为和销售量分别为 市场的售价，问厂家如何确定两个总成本函数为 )(403421Q Q C ++= 大？最大利润为多能使得获得的总利润最 解：，则设利润函数为L，13945.02.030322221212211---+=-+=P P P P C Q P Q P L ，，，联立解得，令其为，又30800-304.0-32212121====P P P L P L P P .此为唯一驻点 .336308021时取得为，定存在，故又由题意知最大利润一==P P .最大利润7. .角形求有最大周长的直角三的一切直角三角形中，从斜边长为l 解：,,,222l y x C l y x y x ++==+，周长则设另两边长分别为.222下的极值问题在约束条件题目即为求l y x l y x C =+++=设拉格朗日函数),(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=,0,021,021222l y x F y F x F y x λλλ令周长一定存在，，为唯一驻点，且最大解方程组得l y x 22== .22时有最大周长故当l y x == 7. 品的广告，根据统计资纸两种方式做销售某商某公司可通过电台及报 （万元）用（万元）及报纸广告费用（万元）与电台广告费料，销售收入21x x R验公式：之间的关系有如下的经 222121211028321415x x x x x x R ---++= ；况下，求最优广告策略）在广告费用不限的情（1 .5.12告策略万元，求相应的最优广）若提供的广告费用为（解：）利润函数（1 22212121211028311315)(x x x x x x x x R L ---++=+-=.25.175.003102-8-0138-4-21212121（万元）（万元），解得，，令==⎩⎨⎧=+==+=x x x x L x x L x x.2084222212212-=∂∂=-=∂∂∂=-=∂∂=x LC x x L B x L A ，，又 .25.1,75.000162）为极大值点，故点（，<>=-A B AC时的最优广告策略为：，它为最大值点，即此由问题的实际意义可知 .25.175.0万元作报纸广告万元作电台广告，用用 做拉格朗日函数)2(),5.1(),(),,(212121-++=x x x x L x x F λλ),5.1(10283113152122212121-++---++=x x x x x x x x λ,05.10208310481321211221⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+--==+--=x x F x x F x x F x x λλλ令.5.15.1,021，可使利润最大万元全部用于报纸广告，即广告费用解得==x x 10. .022之间的最短距离和直线求抛物线=--=y x x y解：的距离的求抛物线上的点到直线由题意，问题可转化为02=--y x .最小值的距离为）到直线任意点（02,=--y x y x.2|2|)1(1|2|2--=-+--=y x y x d.|2|2下的最值在约束条件先求函数x y y x =--设拉格朗日函数，)()2()(|2|22x y y x x y y x L -+---=-+--=λλ ，下，（注：在约束条件))2(|2|2---=--=y x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==--=,0,01,0212x y L L x L y x λλλ令最短距离，为唯一驻点，故所求，解方程组得4121==y x.8272|24121|=--=d 11.的有最大体积试求内接于椭球面)0,0,0(1222222>>>=++c b a cz b y a x.的长方体解：），则按题意，我们，设其一个顶点为（此长方体的中心为原点z y x ,, ).0,0,0(18222222>>>=++=z y x cz b y a x xyz V 下的极值在约束条件应考虑函数设拉格朗日函数),1(222222-++++=cz b y a x xyz F λ,01020222222222⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==⋅+==⋅+=c z b y a x F byxz F a xyz F yx λλλ令体的长、宽、高分别为故具有最大体积的长方解得,3,3,3c z b y a x ===.33832,32,32abc V c z b y a x ====，且最大体积12. 这椭圆截成一椭圆，求原点到被平面求抛物面122=+++=z y x y x z.的最长与最短距离解：作拉格朗日函数)1()(22222-+++--+++=z y x y x z z y x L μλ ,022=+-=μλx x L x 令 (1),022=+-=μλy y L y (2) ,02=++=μλz L z (3).01,022=-++==--=z y x L y x z L μλ，得由或，故有）（）得（（）由（01.10)-12-1=====-μλλλy x y x ，得和代入将，不合题意，故舍去22221.21-x z z y x y x z y x z ==+++===，得到两，，得得；消去32231122122 =±-===+=+z y x x x z z x ），于是，，（）和，，（个点3223-123-13-223123121+--+-+-M M .35-9359，最短距离为求得最长距离为+总习题八1. 填入下列三者中选择一个正确的充分必要和必要、充分在""""""空格内：.),(),(),(.),(),(),()1(件在该点可微分的必要条连续是在点条件充分在该点连续的可微分是在点y x f y x y x f y x f y x y x f.),(),(),()2(条件必要在该点可微分的存在是及的偏导数在点y x f y zx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(条件充分存在的的及偏导数可微分是函数在该点的在点yzx z y x y x f z ∂∂∂∂=.),(),(),()3(条件充分在该点可微分的存在且连续是在点及的偏导数y x f y x y zx z y x f z ∂∂∂∂=.),()4(22条件充分内相等的混合偏导数在内连续是这两个二阶在区域及的两个二阶混合偏导数D D x y z y x z y x f z ∂∂∂∂∂∂=4. ).,(),(1),(),(222x x f x x x f x x f y x f y x ，求，有一阶连续偏导数，且设== 解：，求导得，，等式两端对由0211),(22=⋅+⋅=x f f x x x f x x .21-),(21-2-2-22=====x x f x x x f f x f y x x x ，即代入将8. ）处连续且在点（证明设0,0),(,0,00,)(),(2222232222y x f y x y x y x y x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=.分偏导数存在，但不可微 解：）处连续，在（先证0,0),(y x f232222)0,0(),()0,0(),()(lim),(limy x y x y x f y x y x +=→→)sin ,cos (sin cos lim 32240θρθρρθθρρ===→y x ).0,0(0sin cos lim 220f ===→θθρρ.0,0),(）处连续在（故y x f）处偏导数存在，在（再证0,0),(y x f，）（），（），（000,00lim 00=--=→x f x f f x x.000,00lim 00=--=→y f y f f y y ）（），（），（）处不可微，在（最后证0,0),(y x f 22)0,0(),()0,0()0,0()0,0(),(limyx yf x f f y x f y x y x +---→22222)0,0(),()(lim y x y x y x +=→ )sin ,cos (sin cos lim 42240θρθρρθθρρ===→y x .sin cos lim 220θθρ→=.0,0),(）处不可微在（显然，极限不存在，故y x f12. .2),(222220-2y fx y y x f x f y x dt e y x f xyt ∂∂+∂∂∂-∂∂=⎰，求设解：，，x e yfy e x f y x y x ⋅=∂∂⋅=∂∂2222-- ，2222-22-22y x y x e y x e yx f-=∂∂∂ ，2222-32-222-)2-(y x y x e xy xy e y x f =⋅⋅=∂∂，22-3222-y x ye x yf =∂∂ .2-222-22222y x e yf x y y x f x f y x =∂∂+∂∂∂-∂∂代入所求式子得 13. .124522的面积试求椭圆=++y xy x解：原点的距离的最大值与在原点，故先求椭圆至由题意知，椭圆的中心 设乘数法最小值，利用拉格朗日.），（）（1245,,2222-++++=y xy x y x y x F λλ，令⎪⎩⎪⎨⎧=-++==++==++=012450)44(20)410(222y xy x F y x y F y x x F y x λλλ ，）（）（）（即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3124520)22(10)25(522y xy x y x y y x x λλ ）得，代入（）得（）（232-1xxy -=λ ，））（（02223222=-+=--y x y x y xy x .22x y y x -==，因而,30430112820)3(222222===++=x y y y y y x ，因而，解之得得代入将 .61301304,2221=+=+==y x y x f d ）（于是 ,54511885)3(222222===+--=y x x x x x y ，因而，解之得得代入将.15154,2222=+=+==y x y x f d ）（于是 .66611611611ππ=⋅⋅，故椭圆的面积为和短半轴的长分别为，即椭圆的长半轴与，最短距离为距离为因而椭圆至原点的最长15.底平所围圆锥体内所作出的和平面求在圆锥面33222=+=z y x z .面的最大长方体体积值面平行于xOy解：，且长方体的一，高为底面半径为由题设知直圆锥面的上32==H R 上，，四个顶点在直圆锥面和重合，两个边长为个面域直锥面的上底面y x 22面，则体底面的对角线作一截，过直圆锥的高和长方高为Z,,,,22y x CD EC R CB AC Z DG EF H DC +=======.)(22y x H R Z H +=-在约束条件问题转化为求函数xyz V 4=.0,0,0)(22）下的极值问题（>>>+=-z y x y x HR Z H设拉格朗日函数，])([22R Z H y x H xyz F --++=λ，令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+==+==++==++=)4(0)()3(0)2(0)1(0222222R Z H y x H F R xy F y x Hy xz Fy y x Hx yz F z x λλλλ ，）可得又由（）得，代入（）得）、（由（RH z R y x y x λλλ21.321--=-===.313292-4,,H z R y x R z y x ====，，从而有）得代入（将λ时得到最大体积值，高分别为故当长方体的长、宽、322322.932132232244=⨯⨯⨯==xyz V。
8-1 多元函数的基本概念
lim f(x,y) 不存在
微积分八①
18/22-31
x y 例3 证明 lim 6 2 不存在． x 0 x y y 0
证
3
y kx3 , 令
3
x 3 kx3 3 k x y lim 当(x,y)沿任何曲线 y kx 趋于(0,0)时，有： , lim 6 2 2 x 0 x 6 k 2 x 6 1 k x 0 x y 3
微 积
分
电 子 教 案
Conception of functions of several variables
一、二元函数及其定义域 二、二元函数的几何意义
三、二元函数的极限与连续
3/22-31
1、平面区域: xy平面上几条曲线围成的平面一部 分或整个平面 围成区域的曲线称为区域边界. y 分为开区域、闭区域、半开区域。 或有界区域、无界区域。 o 2 2 例如 {( x, y ) | 1 x y 4}. y
25/22-31
1.1、二元函数的改变量
设z f ( x, y), ( x, y) D ( x0 , y0 ) D
x y (3) x由 x0改 变 到 0 x , y由 y0改 变 到 0 y, 则z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) 称为f ( x, y )在( x0 , y0 )处 的 全 增 量 .
13/22-31
二元函数 z f ( x, y )的几何意义即二元函数的图形.
二元函数的图形通常是三维空间的一张曲面.
微积分八①
14/22-31
例如, z sin xy 图形如右图.
多元函数的微分学
z
M
尔 滨
上式分母同除以 t,
T
工 程 大 学
x x0 y y0 z z0 ,
x
y
z
x
t
t
t
M
o
y
微 当M M , 即t 0时 ,
积 分
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
分 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
分
法平面方程为
( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0
－理学院工科数学教学中心－
2.曲线由一般方程给出的情形
哈 尔 滨
设空间曲线方程为L:
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
M(x0, y0, z0)为
T { x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
n
T
M
－理学院工科数学教学中心－
F ( x(t ), y(t ), z(t )) 0 为什
么
哈 尔
将上式两端对 t 在M 0点求导有
滨 工
Fx ( x0 , y0 , z0 ) x(t0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )z(t0 ) 0
第八章 多元函数的微分学
二元函数偏导数的定义可以类推到三元或三元以上的 函数. 如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点处，对 x 的偏 导数都存在， 那么在 D 内定义了一个函数， 称为 z f ( x, y ) 的偏导函数，记作 z f 或 或 z x ( x, y ) 或 f x ( x, y ) x x 类似地，函数 z f ( x, y ) 对 y 的偏导函数,记作 z f 或 或 z y ( x, y ) 或 f y ( x, y ) . y y 偏导函数简称为偏导数.
x x0 y y0
上面定义的二元函数的极限又称二重极限,二重极限 是一元函数极限的推广,有关一元函数的运算法则和定理 均可类推到二重极限.
例 4 求极限 lim
x2 y 2 1 x2 y 2 1
x x0 y y0
解 显然，当 x 0, y 0 时, x 2 y 2 0 ,根据极限的 加法法则及有关复合函数的极限定理,有 lim 1 x 2 y 2 lim1 lim( x 2 y 2 ) 1 0 1,
x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0
所以
lim
x0 y 0
x2 y 2 1 x2 y 2 1 ( x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) ( 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim
x0 y 0
例 6 求极限 lim
x0 y 1
ex y2 1 x2 Leabharlann 2 ex y21 x y
2 2
解 函数 f ( x, y ) 续的， 所以
在点(0,1)处有定义,是连
1 x2 y 2 1 02 12 在有界区域上连续的二元函数有以下性质:
辽宁工业大学高数习题课8-1
多元函数微分法
一,多元函数的基本概念
1.极 限: ( x , y )lim , y ) f ( x , y ) = A 极 →( x
0 0
2.连 续: 连 3.偏导数: 偏导数: 偏导数
z x
( x , y )→ ( x0 , y0 )
lim
= f y ( x0 , y0 ) = lim
y → 0
f (x0 , y0 + x ) f ( x0 , y0 ) y
ρ 4.全微分: 若 z = Ax + By + ο ( ρ ) , = ( x ) 2 + ( y ) 2 , 全微分: 全微分
可微分, 则称函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分, 函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 全微分为
y→0
f ( x , y )在点 (0, 0) 处连续 处连续.
x f (0 + x , 0) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim x → f (0, 0 + y ) f (0, 0) f (0, 0) = lim = lim y → 0 y → 0 y y
z 时,只要把 y 暂时看作常量 x z 求导数; 而对 x 求导数; 类似地, 类似地,可求函数 z = f ( x, y) 的偏导数 .
y
2.高阶偏导数 .
2 z z ( ) = f xx ( x , y ) = 2 x x x
2z z ( ) = f yx ( x , y ) = yx x y
2
= lim
x →0 y →0
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学是微积分学的一个分支，研究的是多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
本文将从多元函数的导数、微分和应用等方面进行总结。
多元函数的导数是指多元函数在某一点处的切向量。
与一元函数的导数不同，多元函数的导数是一个向量，而不是一个数。
多元函数的导数可以通过偏导数来定义，偏导数是指多元函数在某一点处，对于某一个变量求导时，其他所有变量都视为常数的导数。
通过偏导数的定义，我们可以求出多元函数在某一点处的所有偏导数，再将这些偏导数组成一个向量，就是该点的导数。
多元函数的微分是指函数在某一点处沿着切向量的变化率。
对于一个多元函数，其微分可以通过求出该点的导数，再将其与自变量的变化量相乘得到。
多元函数的微分在实际应用中有着重要的作用，比如在经济学中，微分可以用来描述市场需求和供给之间的关系，从而帮助企业做出决策。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在物理学中，多元函数微分学可以用来描述物理量之间的关系。
比如在热力学中，温度、压力和体积之间的关系可以用多元函数来表示，通过求导和微分可以得到温度、压力和体积的变化率。
在机器学习中，多元函数微分学也有着重要的应用，比如在神经网
络中，通过求导和微分可以得到网络参数的更新量，从而提高模型的准确性。
多元函数微分学是微积分学中一个重要的分支，它可以用来描述多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
对于学习微积分学的同学们来说，多元函数微分学是一个重要的课程，需要认真学习，并通过实际应用来加深对其的理解。
(完整版)多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列）：复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-——拉格朗日乘数法(☆☆☆☆） 无条件极值(☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算(☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆)1. 多元复合函数高阶导数例 设),,cos ,(sin yx e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求xy zx z ∂∂∂∂∂2及。
解y x e f x f xz+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x zx y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([33323131222析 1）明确函数的结构（树形图)这里yx e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x ,结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘，分线相加”.2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31yx y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同,仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数。
所以1f '对y 求导数为zu vwxx y yy x e f y f yf +⋅''+-⋅''=∂'∂13121)sin (。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
大学数学微积分第八章 多元函数微分学多元函数的概念、极限与连续性知识点总结
第八章 多元函数微分学§8.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 22221,:1z x y D x y =--+≤ 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数：(,,),(,,)u f x y z x y z =∈Ω空间一个点集，称为三元函数12(,,,)n u f x x x n =称为元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限：设00(,)(,)f x y x y 在点的邻域内有定义，如果对任意00,εδ>>存在只要2200()(),(,)x x y y f x y A δε-+-<-<就有则，0000(,)()lim (,)lim (,)x x x y x y y y f x y A f x y A →→→==或称当00(,)(,)(,)x y x y f x y 趋于时的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：00(,)(,)x y x y 这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于00(,)x y ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若000000lim (,)(,)(,)(,)x x y y f x y f x y f x y x y →→=则称在点处连续 若(,)f x y D 在区域内每一点皆连续，则称(,)f x y 在D 内连续。
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
第七章 多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求多元隐函数的偏导数。
6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
难点多元复合函数二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。
（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。
例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。
定理7。
第八章 多元函数微分学
例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续 偏导数，函数 可导， 偏导数，函数g(x)可导，且在 可导 且在x=1处取得极值 处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求 求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在 由 可导且在 处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案： （ 考研题） 答案：B（2012考研题） 考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点 解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得
考研数学高数8多元函数微分学
第八讲：多元函数的微分学多元函数概念定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D ,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.多元函数的极限 定义2 若A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)), 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限,上述定义的极限也称为二重极限.例：设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.例：求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2.偏导数偏导数的定义及其计算对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z ==∂∂, 00y y x x y f ==∂∂,0y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, xf ∂∂, x z , 或),(y x f x.偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.求x f ∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求yf ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim ),,(0,例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解y x xz 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x x z,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解y x xz 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: zyz x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证1-=∂∂y yx xz , x x y z y ln =∂∂.zx x x x xyx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数. 解 r x z y x x x r =++=∂∂222; ry z y x y y r =++=∂∂222.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ; 0)]0 ,([)0 ,0(==x f dxd f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y.当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有00lim )0 ,(lim ),(lim)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有20 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, yf ∂∂, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0.高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x=∂∂, ),(y x f y z y =∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数. 22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(,x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33xz ∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解y y y x xz --=∂∂32233, x xy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x xy z .由例6观察到的问题:yx z x y z ∂∂∂=∂∂∂22 定理： 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂yz x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以y x x x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂, 222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+⋅-+=∂∂,222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z . 例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u , 其中222z y x r ++=.证:32211r x r x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂,52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂.同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r . 提示: 233323)()(rx r r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.全微分根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时, ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件) 如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分. 解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分. 解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂,212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy . 例3 计算函数yze y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂,所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(.多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？ 设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简要证明: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有 dt dt du du =, dt dtdv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, yw w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂xz ？=∂∂y z ？提示:x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, yf y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数, xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dydv v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和yz ∂∂. 解xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ =e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1 =e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yvv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1 =e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y x e z y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和yu ∂∂. 解xzz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xe z y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y x e y x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.yz z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ y x ze ye z y xz y xcos 222222222⋅+=++++y x y xe y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tz dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= =v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及zx w ∂∂∂2. 解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ).引入记号: u v u f f ∂∂='),(1, vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, zf yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注:1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zv v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂. 例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u x u ∂∂+∂∂; (2)2222yu x u ∂∂+∂∂.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ, xyarctan=θ. 应用复合函数求导法则, 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=,y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得 22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xx u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u uρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y uρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dyyz dx x z dz ∂∂+∂∂=dyyv v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dv vz du u z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解 dv vz du u z dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .隐函数的求偏导一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy-=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(yy x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有 z x F F x z -=∂∂, zy F F y z -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22xz∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422, 3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.多元函数微分学的几何应用（数一数二） 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Γ的参数方程为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000, 当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000, 当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为 312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6.讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )). 2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dx dz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz.切向量为) ,,1(dxdz dx dy =T . 例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x , 解方程组得z y x z dx dy --=, zy y x dx dz --=. 在点(1, -2, 1)处,0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数, 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dxdz dx dydx dz z dx dy y x . 方程组在点(1, -2, 1)处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dxdz dx dy dx dz dx dy ,解方程组得0=dx dy, 1-=dxdz . 从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为 110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线 设曲面∑的方程为 F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)). 考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,() , ,() , ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-. 曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1) 例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为 142142--=-=-z y x .方向导数与梯度（数一数二） 一、方向导数定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.例1 求函数z =xe 2y 在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ 的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz, 22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂l z .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()cos ,cos ,cos (lim 0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22 ,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以 )235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf∂∂βαcos ),(cos ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf∂∂的最大值; 结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为 ⎩⎨⎧==cz y x f z ),(. 这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为 )),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是 n nfy x f ∂∂=),(00grad .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系. 这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .例3 求221y x +grad . 解 这里221),(y x y x f +=.因为222)(2y x x x f +-=∂∂, 222)(2y x y y f +-=∂∂, 所以 221y x +grad j i 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2). 解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).多元函数的极值及其求法 无条件极值定理1(必要条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 且在点(x 0, y 0)处有极值, 则有f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C .第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值.例： 求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值.解 解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x , 求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31. 应注意的问题:不是驻点也可能是极值点,例如,函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy8m . 此水箱所用材料的面积为 )0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yx xy xy x xy y xy A . 令0)8(22=-=x y A x , 0)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2. 根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x , y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以 此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值,即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题.例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xy a z +-=, 于是得 V ))(2(22y x xy a xy +-=. 只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有0),(),(000000=+===x x y x x x dx dyy x f y x f dx dz,即 0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ. 从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立. 设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点.这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值.构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x λλλ, 得a z y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
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y
1o 1 x
• 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
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3. n 维空间
n 元有序数组
记作 R n ,即 Rn R R R
的全体称为 n 维空间,
n 维空间中的每一个元素
定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 .
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
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例如, 二元函数 z 1 x2 y2
y0
证： f ( x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ时，总有
故
lim f ( x, y) 0
x0
y0
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• 若当点P( x, y)以不同方式趋于 P0( x0, y0 ) 时,函数
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
y0
证:
( x2 y2 0)
要证
ε
ε 0, δ ε ,当0 x2 y2 δ时,总有
x2 y2
故
lim f ( x, y) 0
x0
y0
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例2.
设f
( x,
y)
x sin
1 y
y sin
1 x
,
0
,
求证：lim f ( x, y) 0.
x0
当n 1,2,3 时, x 通常记作 x . Rn中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0记作 x a.
Rn中点 a 的 邻域为
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二、多元函数的概念
引例: • 圆柱体的体积 • 定量理想气体的压强
• 三角形面积的海伦公式
r h
ba c
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( x, y) 1 x2 y2 4
( x, y) x y 0
闭区域
( x, y) 1 x2 y2 4
y
y
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .(WHY?)
。P0
平面上的方邻域为
U(P0,δ) ( x, y)
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2. 区域
(1) 内点、外点、边界点
E
设有点集 E 及一点 P :
• 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
• 若点集 E E , 则称 E 为闭集；
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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例如，在平面上
( x, y) x y 0
开区域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
第八章 多元函数微分学
一元函数微分学 推广
多元函数微分学 NOTE: 善于类比, 区别异同
第一节
第八章
多元函数的基本概念
一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、 区域
1. 邻域 点集
例如,在平面上,
U( P0 , δ) ( x, y)
定义域为圆域( x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z sin( x y)(, x, y) R2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin( x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
z
o 1y
P P0
当 n =2 时, 记 PP0 ( x x0 )2 ( y y0 )2
二元函数的极限可写作：
lim f ( x, y) A lim f ( x, y) A
0
x x0 y y0
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例1. 设
f
( x,
y)
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
求证：xlim0 f ( x, y) 0.
称为空间中的
一个点,
称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标
称该元素为 R n中的零元, 记作
O.
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Rn中的点 x ( x1, x2 ,, xn )与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
Rn中的点 x ( x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
x
z
y x
图形为 空间中的超曲面.
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三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f (P), P D Rn ,P0 是 D 的聚
点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0,δ),都有
则称 A 为函数
记作
lim f (P) A (也称为 n 重极限)
在空间中,
U( P0 , ) ( x, y, z )
PP0 δ 称为点 P0 的邻域.
(圆邻域)
(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
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在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.