2011年全国初中数学竞赛试题及答案
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又因为
所以 ；或者 ，
故 ，或29.………………………………………………20分
（12）如图，点 为△ 的垂心，以 为直径的⊙ 和△ 的外接圆⊙ 相交于点 ，延长 交 于点 ，
求证：点 为 的中点.
证明：如图，延长 交⊙ 于点 ，
连接 .
因为 为⊙ 的直径，
所以∠ ∠ ．…………5分
故 为⊙ 的直径.
【答】 ．
解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是 .
（8）若 的最大值为a，最小值为b，则 的值为.
【答】 ．
解：由 ≥0，且 ≥0，得 ≤ ≤ ．
．
由于 ，所以当 时， 取到最大值1，故 ．
第（10）题
（10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.
【答】84．
解：如图，设BC＝a，AC＝b，
则 ＝1225．①
又Rt△AFE∽Rt△ACB，
所以 ，即 ，
故 ．②
由①②得 ，
解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以 ．
当 或1时， 取到最小值 ，故 ．所以， ．
（9）如图，双曲线 （x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.
【答】 ．
解：如图，设点B的坐标为 ,则点 的坐标为 .因为点 在双曲线 上，所以 又点 在双曲线上，且纵坐标
第（9）题
为 ，所以点 的坐标为 .于是
…………5分
又因为 ，所以 .
因为∠ ∠ ，所以△ ∽△ .
故∠ =∠ .…………………………………………………………10分
（Ⅱ）解法一设 ， ，不妨设 ≥ >0，
由（Ⅰ）可知
∠ =∠ ， = ， = ，
所以 = ， = .
因为 ∥ ，所以△ ∽△ .
于是 ，即 ．所以 ．
由（Ⅰ）中 ，即 ，所以
于是，可求得 .
于是 .……………………………………………………10分
又因为点 为△ 的垂心，所以
所以 ∥ ， ∥ ，
四边形 为平行四边形.………………………………………………15分
所以点 为 的中点.………………………………………………20分
（13）如图，点 为 轴正半轴上一点， 两点关于 轴对称，过点 任作直线交抛物线 于 ， 两点.
又由（Ⅰ），得 ， .
若 代入上式得 从而 .
同理，若 可得 从而 .
所以，直线 的函数解析式为
，或 .………………………………………20分
（14）已知 ，且 ，证明： 中一定存在两个数 ，使得 ．
证明：令 ，……………………………………5分
则 .…………………………………10分
故一定存在 ≤ ≤2010，
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，
则方程 的两根为 ，由题意得
，………………………………5分
两式相加，得 ，即 ，
所以， 或 ………………………………10分
解得 或
将 代入 ，得到点 的坐标（ ， ）.…………………15分
再将点 的坐标代入 ，求得 .
所以直线 的函数解析式为 .
根据对称性知，
所求直线 的函数解析式为 ，或 .………………20分
解法二设直线 的函数解析式为 ,其中 .
由（Ⅰ）可知，∠ =∠ ，所以 .
故 .
将 代入上式，平方并整理得
，即 .
所以 或 .
【答】31．
解：由勾股定理,得 ．因为b是整数， ，所以 是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即 ．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.
使得 ，从而 ．…………………………………15分
即 ．…………………………………………ຫໍສະໝຸດ Baidu0分
【答】D．
解：由 可得
于是 ．
因此，当 时， 的最小值为 ．
（3）若 ， ，且满足 ，则 的值为( ).
（A）1
（B）2
（C）
（D）
【答】C．
解：由题设可知 ，于是 ，所以 ．
故 ，从而 ．于是 ．
（4）设 ，则 的整数部分等于( ).
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【答】A．
解：当 ，因为 ，
所以
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
（1）设 ，则代数式 的值为( ).
（A）0
（B）1
（C）﹣1
（D）2
【答】C．
解：由已知得 于是
（2）已知 为实数，且满足 ， ，则
的最小值为( ).
（A）
（B）0
（C）5
（D）
（Ⅰ）求证：∠ =∠ ；
（Ⅱ）若点 的坐标为（0，1），
且∠ =60º，试求所有满足条件的
直线 的函数解析式.
解：（Ⅰ）如图，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 .
设点 的坐标为（0， ），则点 的坐标为（0，- ）.
设直线 的函数解析式为 ,
并设 的坐标分别为 , .
由 得 ，
于是 ，即 .于是，
．
于是有 ，故 的整数部分等于4．
第（5）题
（5）点 分别在△ 的边 上， 相交于点 ，设
，
则 与 的大小关系为( ).
（A） （B）
（C） （D）不能确定
【答】C．
解：如图，连接 ，设 ，
则 ，从而有 ．因为 ，所以 ．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数 （其中 ），斜边长是 的直角三角形的个数为.
所以 ；或者 ，
故 ，或29.………………………………………………20分
（12）如图，点 为△ 的垂心，以 为直径的⊙ 和△ 的外接圆⊙ 相交于点 ，延长 交 于点 ，
求证：点 为 的中点.
证明：如图，延长 交⊙ 于点 ，
连接 .
因为 为⊙ 的直径，
所以∠ ∠ ．…………5分
故 为⊙ 的直径.
【答】 ．
解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是 .
（8）若 的最大值为a，最小值为b，则 的值为.
【答】 ．
解：由 ≥0，且 ≥0，得 ≤ ≤ ．
．
由于 ，所以当 时， 取到最大值1，故 ．
第（10）题
（10）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为.
【答】84．
解：如图，设BC＝a，AC＝b，
则 ＝1225．①
又Rt△AFE∽Rt△ACB，
所以 ，即 ，
故 ．②
由①②得 ，
解得a＋b＝49（另一个解－25舍去），所以 ．
当 或1时， 取到最小值 ，故 ．所以， ．
（9）如图，双曲线 （x＞0）与矩形OABC的边CB，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为.
【答】 ．
解：如图，设点B的坐标为 ,则点 的坐标为 .因为点 在双曲线 上，所以 又点 在双曲线上，且纵坐标
第（9）题
为 ，所以点 的坐标为 .于是
…………5分
又因为 ，所以 .
因为∠ ∠ ，所以△ ∽△ .
故∠ =∠ .…………………………………………………………10分
（Ⅱ）解法一设 ， ，不妨设 ≥ >0，
由（Ⅰ）可知
∠ =∠ ， = ， = ，
所以 = ， = .
因为 ∥ ，所以△ ∽△ .
于是 ，即 ．所以 ．
由（Ⅰ）中 ，即 ，所以
于是，可求得 .
于是 .……………………………………………………10分
又因为点 为△ 的垂心，所以
所以 ∥ ， ∥ ，
四边形 为平行四边形.………………………………………………15分
所以点 为 的中点.………………………………………………20分
（13）如图，点 为 轴正半轴上一点， 两点关于 轴对称，过点 任作直线交抛物线 于 ， 两点.
又由（Ⅰ），得 ， .
若 代入上式得 从而 .
同理，若 可得 从而 .
所以，直线 的函数解析式为
，或 .………………………………………20分
（14）已知 ，且 ，证明： 中一定存在两个数 ，使得 ．
证明：令 ，……………………………………5分
则 .…………………………………10分
故一定存在 ≤ ≤2010，
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，
则方程 的两根为 ，由题意得
，………………………………5分
两式相加，得 ，即 ，
所以， 或 ………………………………10分
解得 或
将 代入 ，得到点 的坐标（ ， ）.…………………15分
再将点 的坐标代入 ，求得 .
所以直线 的函数解析式为 .
根据对称性知，
所求直线 的函数解析式为 ，或 .………………20分
解法二设直线 的函数解析式为 ,其中 .
由（Ⅰ）可知，∠ =∠ ，所以 .
故 .
将 代入上式，平方并整理得
，即 .
所以 或 .
【答】31．
解：由勾股定理,得 ．因为b是整数， ，所以 是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即 ．因此a一定是3，5，…，63，故满足条件的直角三角形的个数为31．
（7）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是.
使得 ，从而 ．…………………………………15分
即 ．…………………………………………ຫໍສະໝຸດ Baidu0分
【答】D．
解：由 可得
于是 ．
因此，当 时， 的最小值为 ．
（3）若 ， ，且满足 ，则 的值为( ).
（A）1
（B）2
（C）
（D）
【答】C．
解：由题设可知 ，于是 ，所以 ．
故 ，从而 ．于是 ．
（4）设 ，则 的整数部分等于( ).
（A）4
（B）5
（C）6
（D）7
【答】A．
解：当 ，因为 ，
所以
“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）
（1）设 ，则代数式 的值为( ).
（A）0
（B）1
（C）﹣1
（D）2
【答】C．
解：由已知得 于是
（2）已知 为实数，且满足 ， ，则
的最小值为( ).
（A）
（B）0
（C）5
（D）
（Ⅰ）求证：∠ =∠ ；
（Ⅱ）若点 的坐标为（0，1），
且∠ =60º，试求所有满足条件的
直线 的函数解析式.
解：（Ⅰ）如图，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 .
设点 的坐标为（0， ），则点 的坐标为（0，- ）.
设直线 的函数解析式为 ,
并设 的坐标分别为 , .
由 得 ，
于是 ，即 .于是，
．
于是有 ，故 的整数部分等于4．
第（5）题
（5）点 分别在△ 的边 上， 相交于点 ，设
，
则 与 的大小关系为( ).
（A） （B）
（C） （D）不能确定
【答】C．
解：如图，连接 ，设 ，
则 ，从而有 ．因为 ，所以 ．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）两条直角边长分别是整数 （其中 ），斜边长是 的直角三角形的个数为.