离散数学代数系统练习

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离散数学习题四参考答案

第四节代数系统1 A={所有实数},ο：（a ，b ） a ＋2b ＝a οb这个代数运算是否满足结合律？解：(a οb)oc=(a ＋2b)oc=a+2b+2c ≠ao(b οc)=ao(b+2c)=a+2b+4c ，所以不满足结合律.2 A={1,2,3,…,100},找一个A ×A 到A 的映射。

解：o:aob=max{a,b},是一个从A ×A 到A 的映射。

3 A={a,b,c,d},由表a b c da abc db b d a cc c a b dd d c d b所给的代数运算是否满足交换律?是否有单位元？是否有零元？解：满足交换律，a 是单位元，没有零元？4 全体整数的集合对于普通减法来说是否构成一个群。

解：全体整数的集合对于普通减法来说不构成一个群，因为不满足结合律，即a-(b-c)≠(a-b)-c5 举一个有两个元的群的例子。

解：A={0，1}，运算“*”的运算表为 * 0 10 0 11 1 0其中0是单位元，1的逆元为自身。

实际上运算“*”是模为2的同余加法运算。

6 设G 是整数集，对G 规定一个运算“о”a оb ＝a ＋b －2证明，（G ，о）是一个群。

证明：显然运算“o ”是封闭的。

（1）满足结合律：ao(boc)=ao(b+c-2)=a+b+c-4=（aob ）oc=(a+b-2)oc（2）存在单位元“2”：2oa=2+a-2=a,ao2=a+2-2=a;(3) 存在逆元：ao(2-a)=(2-a)oa=a+2-a=2,即a 的逆元是2-a.所以（G ，о）是一个群。

7证明:一个有限群的每个元的阶都是有限的.证明：设有限群（G ，o ）中|G|=n ，则任取一元素a ∈G ，显然na a a a ,,,321 中至少有两个表示同一个元素，（否则就不是有限群）设j i a a j i <=,，又I a a a a a i j i j i i ===---)()(11（其中I 是群的单位元），因此 a a oa a i j i j ==+--1)(，显然j-i+1为有限，所以a 的阶是有限的。

离散数学练习题(含答案)

离散数学练习题(含答案)题目1. 对于集合 $A={1,2,3,...,10}$ 和 $B={n|n是偶数，2<n<8}$，求 $A \cap B$ 的元素。

2. 存在三个可识别的状态A,B,C。

置换群 $S_3$ 作用在状态集上。

定义四个动作：$α: A → C, β: A → B, γ: C→ A, δ: B→ C$。

确定式子，描述 $\{α,β,γ,δ\}$ 的乘法表。

3. 证明 $\forall n \in \mathbb{N}$，合数的个数不小于$n$。

4. 给定一个无向带权图，图中每个节点编号分别是$1,2,...,n$，证明下列结论：a. 如果从节点$i$到$j$只有一条权值最小的路径，则这条路径的任意子路径都是最短路径。

b. 如果从节点$i$到$j$有两条或两条以上权值相等的路径，则从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。

答案1. $A \cap B = \{2,4,6\}$。

2. 乘法表：3. 对于任意$n$，我们可以选择$n+1$个连续的自然数$k+1,k+2,...,k+n,k+n+1$中的$n$个数，其中$k \in \mathbb{Z}$。

这$n$个数构成的$n$个正整数均为合数，因为它们都至少有一个小于它自身的因子，所以不是质数。

所以合数的个数不小于任意$n$。

4.a. 根据题意，从$i$到$j$只有一条权值最小的路径，即这条最短路径已被确定。

如果从这条路径中任意取出一段子路径，假设这段子路径不是这个节点到$j$的最短路径，那么存在其他从$i$到$j$的路径比这段子路径更优，又因为这条路径是最短路径，所以这段子路径也一定不优于最短路径，矛盾。

所以从这条路径中任意取出的子路径都是最短路径。

b. 如果从节点$i$到$j$有多条权值相等的路径，则这些路径权值都是最短路径的权值。

因为所有最短路径的权值相等，所以这些路径的权值就是最短路径的权值。

所以从$i$到$j$的最短路径可能不唯一。

《离散数学》练习题

第二部分:.集合1.若集合A 上的关系R 是对称的，则1R -也是对称的。

( )2.数集合上的不等关系()≠可确定A 的一个划分。

( )3.设A ，B ，C 为任意集合，若A B A C ⨯=⨯，则 B C =。

( )4.函数的复合运算“。

”满足结合律。

( )5.A ，B ，C 为任意集合，若 A B A C ⋃=⋃ 则B C =。

( )6.设R 是实数集，R 上的关系R (){},2,,x y x y x y R =-<∈，则R 是相容关系。

() 7.设,A ≤是偏序集，B A ⊆，则B 的极大元b B ∈且唯一。

( )8.设{}1,2A =，{}B a =，则()222A B A B ⋃⋃=。

（注其中 2A 为()A ϕ） ( )9.设 {}0,1A =，{}1,2B =，则{}20,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0,2A B ⨯=。

( )10.集合A 上的恒等关系是一个双射函数。

( )11.设A ，B 为任意集合，不能A B ⊂ 且A B ∈。

( )12.设R 是集合A 上的关系，若12,R R 是对称的，则 12R R 也是对称的。

( )1. 设A ＝{}∅，B ＝(())P P A ，下列各式中哪个是错的 ( )A. B ∅⊆B. {}B ∅⊆C. {{}}B ∅∈D. {,{}}()P A ∅∅⊆2. 设Z 为整数集，下面哪个序偶不构成偏序集 ( )A. Z,<〈〉 (<：小于关系)B. Z,〈≤〉 (≤：小于等于)C. Z,=〈〉 (＝：等于关系)D. Z,|〈〉 (|：整除关系)3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A 上的二元关系{},4,3,4,2,3,2,1,1=R则R 具有 ( )A.自反性B.对称性C.传递性D. 以上答案都不对4. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分（）A.{}{}{}d c b a ,,,,ΦB. {}{}d c b a ,,,C. {}{}{}{}d a c b a ,,,,D. {}{}{}c b a ,,5. 设A ＝∅，B={∅,{∅}}，则B A -是 ( )A. {{∅}}B. {∅}C. {∅,{∅}}D. ∅6. 下图描述的偏序集中，子集{b,e,f}的上界为 ( )A. b,cB. a,bC. bD. a,b,c7. 设集合{}{}ΦΦ=,A , 则A 的幂集为： ( )A. {}{}ΦΦ, B. {}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, C. {}{}{}{}ΦΦΦ,, D. {}{}{}{}{}{}{}ΦΦΦΦΦ,,,, 8. 若Q P Q P ⋃=⋂, 则P, Q 要满足的条件为（）A. Q P ⊆B. P Q ⊆C. Q 为空集D. P=Q``````````````````````````````9. 在０ ∅之间应填入的符号为 ( )A. ＝B. ⊂C. ∈D. ∉10. 设,A 〈≤〉是偏序集，B A ⊆，下面结论正确的是 ( )A. B 的极大元b B ∈且唯一B. B 的极大元b A ∈且不唯一C. B 的上界b B ∈且不唯一D. B 的上确界b A ∈且唯一11. 集合{}4,3,2,1=I , I 上的关系 R={4,43,44,1,3,3,3,2,23,1,1,1，则R 是（）A. 反对称的B. 传递的C.反自反的D. 自反的12. 设S A B ⊆⨯，下列各式中哪个是正确的 ( )A. domS B ⊆B. domS A ⊆C. ranS A ⊆D. domS ranS S ⋃=13. 设A ＝｛1,2,3,4,5｝，下面哪个集合等于A ( )A. ｛1,2,3,4,5,6｝B. {x |x 是整数且225x ≤}C. {x |x 是正整数且5x ≤}D. {x |x 是正有理数且5x ≤}14. 设A ＝｛｛1,2,3｝,{4,5},{6,7,8}｝，下列各式中哪个是错的 ( )A. A ∅⊆B. {6,7,8}A ∈C. {{4,5}}A ⊂D. {1,2,3}A ⊂15. 设集合X ≠∅，则空关系X ∅不具备的性质是 ( )A. 自反性B. 反自反性C. 对称性D. 传递性``````````````````````````````````````````````16. 集合A 的一个划分，确定A 的元素间的关系为 ( )A. 全序关系B. 等价关系C. 偏序关系D. 拟序关系17. 设{}d c b a A ,,,=，下面哪一个是A 的划分 ( )(A) {}{}{}d c b a ,,,,Φ (B){}{}d c b a ,,, (C) {}{}{}{}d a c b a ,,,, (D) {}{}{}c b a ,,18. 设集合A ＝{0, b }, B ={1, b , 3}, 则A ⋃B 上的恒等关系是 ( )(A) {<0, 0>, <1, 1>, <3, 3>} (B){<0, 0>, <1, 1>, <b , b >,<3, 3>}(C) {<1, 1>, <b , b >, <3, 3>} (D) {<0, 1>,<1, b > , <b , 3>, <3, 0>}19. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}20. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B21. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅22. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是 ( )A. 并集A RB. 交集A RC. 差集A R -D. 商集/A R23. 设1R 和2R 是集合A 上的任意关系，则下列命题为真的是 ( )A. 若1R 和2R 是自反的，则12R R 也是自反的B. 若1R 和2R 是反自反的，则12R R 也是反自反的C. 若1R 和2R 是对称的，则12R R 也是对称的D. 若1R 和2R 是传递的，则12R R 真也是传递的24. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ⋂C )= ( )(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {<c ,1>,<2,c >}(C) {<c ,1><c ,2>,} (D) {<1,c >,<c ,2>}25. 设A , B , C 都是集合，如果A ⋂C ＝B ⋂C ，则有 ( )(A) A ＝B (B) A ≠B(C) 当A －C ＝B －C 时,有A =B (D) 当C =E 时, 有A ≠B26. 设集合A ＝{∅，a }，则幂集P (A )＝ ( )(A){,{},{,}}a a ∅∅ (B){{},{},{,}}a a ∅∅(C){,{},{},{,{}}},}a a A ∅∅∅ (D){,{},{},{,}}a a ∅∅∅27. 集合A 上的关系R 是相容关系的必要条件是 ( )A. 自反的，反对称的B. 反自反的，对称的C. 传递的，自反的D. 自反的，对称的28. 集合{1,2,,10}A = 上的关系R={x,y |x+y=10 x,y }A ∈且则R 的性质为 ( )A. 自反的B. 对称的C. 传递的，对称的D. 反自反的，传递的29. 下面关于集合的表示中，正确的是 ( )A. 0φ=B. {}φφ∈C. φφ∈D. {,}a b φ∈30. 设{}c b a A ,,=，{}2,1=B ，则从A 到B 的所有函数集合中有个函数。

离散数学章节练习4

离散数学章节练习4K E Y(总5页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除离散数学章节练习 4范围：代数系统一、单项选择题 1. <G,*>是群，则对* ( A ) A 、有单位元，可结合 B 、满足结合律、交换律 C 、有单位元、可交换 D 、有逆元、可交换2. 设N 和Z 分别表示自然数和整数集合，则对减法运算封闭的是 ( B )A 、NB 、{x ÷2|x ∈Z}C 、{x|x ∈N 且x 是素数}D 、{2x+1| x ∈Z }3. 设Z 为整数集，A 为集合，A 的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是群的代数系统的有 ( B ) A.〈Z ，+，÷〉 B.〈Z ，÷〉 C.〈Z ，－，÷〉 D.〈P(A)，⋂〉 4. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B ) A 、半群，但不是独异点； B 、只是独异点，但不是群； C 、群； D 、环，但不是群。

5. 设f 是由群<G,☆>到群<G ',*>的同态映射，则ker (f)是 ( B ) A 、G '的子群 B 、G 的子群 C 、包含G ' D 、包含G 6. 在整数集Z 上,下列哪种运算不是封闭的 ( C ) A + B - C ÷ D X 7. 设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是 ( B )A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。

8. 设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（ A ）。

A ．群； B ．环； C ．半群Ｄ.都不是 9. 设︒是集合S 上的二元运算，如果集合S 中的某元素eL,对∀x ∈S 都有 eL ︒x=x ,则称eL 为 ( C ) A 、右单位元 B 、右零元 C 、左单位元 D 、左零元 10. <Z,+> 整数集上的加法系统中0是 ( A ) A 单位元 B 逆元 C 零元 D 陪集 11. 若V=<S,︒>是半群，则它具有下列那些性质 ( A ) A 、封闭性、结合性 B 、封闭性、交换性 C 、有单位元 D 、有零元二、判断题 1．若半群<S,*>含有零元，则称为独异点。

《离散数学》试题带答案(三)

《离散数学》试题带答案试卷十四试题与答案一、填空 10% （每小题 2分）1、设>-∧∨<,,,A 是由有限布尔格≤><,A 诱导的代数系统，S 是布尔格≤><,A ，中所有原子的集合，则>-∧∨<,,,A ～。

2、集合S={α，β，γ，δ}上的二元运算*为那么，代数系统<S, *>中的幺元是 , α的逆元是。

3、设I 是整数集合，Z 3是由模3的同余类组成的同余类集，在Z 3上定义+3如下：]3m od )[(][][3j i j i +=+，则+3的运算表为；<Z +,+3>是否构成群。

4、设G 是n 阶完全图，则G 的边数m= 。

5、如果有一台计算机，它有一条加法指令，可计算四数的和。

现有28个数需要计算和，它至少要执行次这个加法指令。

二、选择 20% （每小题 2分）1、在有理数集Q 上定义的二元运算*，Q y x ∈∀,有xy y x y x -+=*，则Q 中满足（）。

A 、所有元素都有逆元；B 、只有唯一逆元；C 、1,≠∈∀x Q x 时有逆元1-x ； D 、所有元素都无逆元。

2、设S={0，1}，*为普通乘法，则< S , * >是（）。

A 、半群，但不是独异点；B 、只是独异点，但不是群；C 、群；D 、环，但不是群。

3、图给出一个格L ，则L 是（）。

A 、分配格；B 、有补格；C 、布尔格；D 、 A,B,C 都不对。

3、有向图D=<V , E>，则41v v 到长度为2的通路有（）条。

A 、0；B 、1；C 、2；D 、3 。

4、在Peterson 图中，至少填加（）条边才能构成Euler图。

A 、1；B 、2；C 、4；D 、5 。

三、判断 10% （每小题 2分）1、在代数系统<A,*>中如果元素A a ∈的左逆元1-e a 存在，则它一定唯一且11--=e a a 。

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课件
例3 对任意两个集合A, B,试证 A (A B) A B
证明对于任意的x
x A (A B)
x {x x A x ( A B)} x {x x A (x A B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A (x A x B)} x {x x A x B}
课件
例10 求图的最小生成树
A 1B34 Nhomakorabea5
2 E
6
1A 2
B
E
4
6
C7 D
C
D
课件
例11
• 无向树T有7片树叶, 3个3度顶点,其余的都是4度顶点，则T有几个4度顶点？
• 解:设T有x个4度顶点顶点度数之和： 7+3*3+4x 由树的性质可得总边数： 7+3+x-1 由握手原理可得： 7+3*3+4x=2(7+3+x-1)
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例12 求复合函数
X {1,2,3}, Y {p, q}, Z {a,b} f { 1, p , 2, p , 3, q } g { p,b , q,b }
求g f
g f { 1,b , 2,b , 3,b }
课件
例: 求幺元、零元、逆元
x A B 因为 x 是任意的,所以有
x ((x A (A B)) (x A B)) 的真值为T,
因此 A ( A B)课件 A B
例4 判断关系的性质
R1 { a, a , a,b , b,b , c,c }
a
1 1 0
M R 1 0 1 0
0 0 1

离散数学习题集(十五套含答案)

离散数学试题与答案试卷一一、填空20% （每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且（+=⋃BA{0，1，2，3，4，6} 。

2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

3R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4．公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。

5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。

6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2 = {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。

7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A。

8．图的补图为9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a , b , c ,d，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（CD）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（BC ）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A ）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C ．若R ，S 是对称的，则S R是对称的；D ．若R ，S 是传递的，则S R 是传递的。

离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)

《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。

答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。

答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。

答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。

答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。

答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。

答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。

答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。

答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。

答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。

答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。

答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。

离散习题代数系统部分答案

《离散数学》代数系统1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。

2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1)列出B的元素.2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA ，EA}2)给出代数系统V=<B,∩>的运算表.3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA 、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4)说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1)给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。

2)*运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*（b*b）=c ≠（a*b）*b=b5.设<R，*>是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).证明：:<R，*> 是独异点.6.如果<S,*>是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.(a*b)*(a*b)= a*(b*a)*b 结合律= a*( a*b)*b 交换律= (a* a)*(b*b)= a*b.7.设<G,·,–1,e>是一个群,则a,b,c∈S。

离散数学练习题及答案

一、填空题1、集合的表示方法有两种：法和法。

请把“奇整数集合”表示出来{ }。

1、列举；描述；}12|{Z k k x x ∈+=，2、无向连通图G 含有欧拉回路的充分必要条件是不含有奇数度结点.2*、连通有向图D 含有欧拉回路的充分必要条件是D 中每个结点的入度＝出度. 3、设R 是集合A 上的等价关系，则R 所具有的关系的三个特性是、自反性、对称性、传递性.4、有限图G 是树的一个等价定义是：连通无回路（或任一等价定义）.5、设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“自然数都是整数，而有的整数不是自然数”符号化为∀x (N (x )→Z (x ))∧∃x (Z (x )∧⌝N (x ))6、在有向图的邻接矩阵中，第i 行元素之和,第j 列元素之和分别为、结点v i 的出度和结点v j 的入度． 7、设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧⇔∧，那么命题B A ↔是重言式的真值是 1 ．8、命题公式)(Q P →⌝的主析取范式为P ∧⌝Q ．9、设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若，则G '是G 的真子图，若V '=V ,E '⊆E ，则G '是G 的生成子图. E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或 10、在平面图>=<E V G ,中,则∑=ri ir 1)deg(＝2∣E ∣,其中r i(i =1,2,…,r )是G 的面．11、设}2,1{},,{==B b a A ，则从A 到B 的所有映射是11、σ1={（a ，1），（b ，1）}；σ2={（a ，2），（b ，2）}；σ3={（a ，1），（b ，2）}；σ4={（a ，2），（b ，1）}12、表达式∀x ∃yL （x ，y ）中谓词的定义域是{a ，b ，c }，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 12、（L （a ，a ）∨L （a ，b ）∨L （a ，c ））∧（L （b ，a ）∨L （b ，b ）∨L （b ，c ））∧（L （c ，a ）∨L （c ，b ）∨L （c ，c ）） 12*、设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为 (G (a )→(H (a ,a )∨H (a ,b )))∧ (G (b )→(H (b ,a )∨H (b ,b )))13、含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 14、设R ，S 都是集合A 上的等价关系，则对称闭包s (R ⋂S )= R ⋂S15、设G 是连通平面图，v ,e ,r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ,e 和r 满足的关系式是2=-+e r v16、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和≥n ，则G 一定是哈密顿图. 17、一个有向树T 称为根树，若，其中，称为树根，称为树叶. 若有向图T 恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；出度为0的结点.18、图的通路中边的数目称为 . 结点不重复的通路是通路. 边不重复的通路是通路. 通路长度；初级；简单. 19、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有个从A 到B 的关系，有个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有个入射，当m=n 时，有个双射。

离散数学习题课—代数系统ppt

设元素a的阶为2，则a^2＝e，所以a＝a^(-1)，即a与a的逆元相等. 反过来，如果a＝a^(-1)，则a^2＝e. 所以a^2＝e当且仅当a＝a^(-1) 所以，G中阶大于2的元素a，必有a≠a^(-1). 又a 与a^(-1)的阶相等，所以G中阶大于2的元素一定成对出现，其个数必是偶数

3、<H,*>是<G,*>的真子群，且 |H|=n,|G|=m,则有。（A）n整除m B) n整除m且m整除n C) m整除n D) n不整除m且m不整除n
4、 <Z6, +6 >的子群中不包括。： A)<{[0]}, +6> B)<{[0],[3]}, +6> C)<{[0],[2],[4]}, +6> D)<{[1],[2]}, +6>

5 、群<G,*>有|G|=11，则G有_____子群。 6、<I ,+>的幺元为__，<R ,*>的零元为___。 7、设<I,+>是群，H={3*k|k∈I，-3<=k<=3}， <H,+>是<I,+>的子群，则左陪集2H= { } 8、同构意义下，四阶群共有______ 种。 9、设G={x|x ∈Q,x≠1}，定义运算$为： x@y=x+y-xy 证明：<G,@>是一个群。
答案
1—4 BCAD ；5、2 ； 6、0,1 7、{-7,-4,-1,2,5,8,11} 8、2 9、略
离散数学
习题课
第五章代数系统
1、设f1和f2都是从代数<S,*>到<B,# >的同态，*和#都是二元运算，且#是可交换和可结合的，证明函数h: S→B, h(x)=f1(x)#f2(x)是从<S,*>到<B,# >的同态。

离散数学单元测试题(三)(代数系统)

近世代数单元测试题（一）（院系：软件学院年级：2007级）一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里）1．设S={a,b}，则S 上总共可定义的二元运算的个数是（）A.4B.8C.16D.32 2．设集合{1,2,3,...,10}A =，下面定义的哪种运算关于集合A 是不封闭的（）。

A ．*max{,}x y x y =B ．*min{,}x y x y =C ．*(,)x y GCD x y = 即,x y 的最大公约数D ．*{,}x y LCM x y = 即,x y 的最小公倍数3．下面定义的哪种运算关于给定的集合是封闭的（）。

A ．集合S ={1,-1}关于普通的减法运算B ．集合S ={0,1}关于普通的加法运算C ．集合}|12{+∈-=Z x x S 关于普通的加法运算D ．集合{2|}n S n Z +=∈关于普通的乘法运算4．在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（）A.a *b =a -bB.a *b =max{a ,b }C.a *b =a +2bD.a*b =|a-b |5．对自然数集N ，下列哪种运算是不可结合（）。

A ．*3a b a b =++B ．*min{,}a b a b =C ．*2a b a b =+D ．*(mod3)a b ab = 6．设是正整数集+Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么在+Z 中（）A ．不适合交换律；B ．不适合结合律；C ．存在单位元；D ．每个元都有逆元。

二、填空题1．集合A={a , b , c }上总共可定义的二元运算的个数为______。

2、设S 是非空有限集，代数系统(),,P S <>中，()P S 对运算的单位是________，()P S 对运算的单位元____。

4．设{0,1,2,...,1}n n =-Z ，在代数系统,,n <⊕⊗>Z 中，,⊕⊗分别表示模n 的加法和乘法，则n Z 对⊕运算的单位元是______， n Z 对⊗的单位元是_______。

离散数学答案第九章特殊代数系统

第九章特殊的代数系统习题9.11．解 ⑴是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故><,N 是半群；⑶是半群。

显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。

⑷不是半群。

虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。

2．解 ⑴正确。

因为，运算显然封闭。

⑵正确。

abc bc ac ab c b a c ab b a c b a ++++++=++= )()(， bc ac ab c b a bc c b a c b a +++++=++=)()( ，即是()()c b a c b a =，所以︒满足结合律。

(完整word版)离散数学习题解+代数系统

离散数学习题解代数系统习题四第四章代数系统1．设I 为整数集合。

判断下面的二元关系是否是I 上的二元运算a ）+=｛（x ，y ），z|x ，y ，zI 且z=x+y}b ）－={（（x ，y ），z ）｜x,y ，zI 且z=x －y}c ）×={（（x,y)，z ）｜x ，y ，zI 且z=x ×y}d ）/={(（x ，y)，z)|x ，y ，zI 且z=x/y ｝e ）R={（（x,y ），z)｜x,y,zI 且z=x y｝f ）=｛（（x ，y),z ）｜x ，y ，zI 且z=yx }g)min = ｛(（x ，y ），z ）|x ，y ，zI 且z=max （x ，y)} h ）min = {（（x,y ），z)|x,y,zI 且z=min （x ，y ）} i ）GCD = {（(x ，y ），z ）｜x ，y ，zI 且z= GCD(x ，y ）} j ）LCM={（（x ，y ）,z ）｜x ，y ，z ∈I 且z= LCM （x ，y ）｝[解］ a ）是。

由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一,故知+：I 2→I 是I 上的一个二元运算. b ）是。

由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一,故知一：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

c ）是.由于两个整数这积仍为整数,且结果唯一，故知x ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

d ）不是:例如若x=5，y=6,则z=x/y=5/6∉I;当y=0时z=x|y=x/0无定义. e ）不是。

例如若x=2,y= —2，则z=x y=2–2=221=I 41∉；若x=y=0，则z=x y=0,则z=I 2x ∉=χ; g ）是。

由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。

故知max ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

h ）是。

由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。

故知min ：I 2→I 是I 上的一个二元运算。

离散数学答案第八章代数系统

第八章代数系统习题8.11．解 ⑴是，⑵不是，⑶是，⑷不是。

2．解若﹡对是可分配的，则有任意a,b,c ∈*I,均有a ﹡(b c)=(a ﹡b) (a ﹡c)= a b ac =( a b ⋅ a c )= a b+c而a ﹡(b c)=a ﹡(b ⋅c)= a b ⋅c ≠a b+c 故﹡对是不可分配的。

3．解 ⑴对于任意A ∈P(S), 因为A ⊆S ，所以，A ⋃S =S ，因此，S 是关于⋃运算的零元； ⑵对于任意A ∈P(S), 因为A ⊆S ，所以，A ⋂S = A ，因此，S 是关于⋃运算的零元单。

4．解 ⑴①因为x*y=xy-2x-2y+6，则y*x=yx-2y-2x+6= x*y ，满足交换律； ②任意x,y,z ∈R 有x*(y*z)=x*(yz-2y-2 z +6)=x(yz-2y-2 z +6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6 =xyz-2xy-2xz+6x-2x -2yz+4y+4z-12+6= xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z-6. (x*y)*z=(xy-2x-2y+6) *z =(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6 =xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-2z-6=x*(y*z). 故满足结合律。

(2) ①设任意a ∈R,存在e ∈R,要e*a= ea-2e-2a+6=a ，由于a 的任意性则e=3。

因此e=3是其单位元;②设任意b ∈R, z ∈R ，要有z*b= zb-2 z-2b+6= z ，由于b 的任意性则z=2，因此 z=2是其零元。

（3）因为*是满足交换律，对于x ∈R ，要存在1-x ∈R ，须有x*1-x= x 1-x-2x-21-x+6= e=3, 当x ≠2时，2321--=-x x x。

即对于任意的x ，当x ≠2时x 都是可逆的，且2321--=-x x x。

5．解 f 1,f 2,f 3都满足交换律，f 4满足等幂率，f 2有单位元a ，f 1有零元a ，f 3有零元b 。

习题与解答(代数系统) 离散答案

-1 -1 -1 -1
2
2
2
所以 ba=ab ,即 ab=ba，因此 G 为交换群。 17、设 G 为群，a,b,c∈G, 证明： |abc|=|bca|=|cab| 证明：设|abc|=r , |bca|=t，则 (abc) =e,
t r
(bca) =e
t
由于(abc) =(abc)(abc)……(abc) =a(bca)(bca)……(bca)a
-1 -1 -1 -1 -1 -1
则存在 h,k∈H, 使得 u=xhx ,v=xkx
-1
-1
,
则有 uv
-1
=(xhx )(xkx ) =(xhx )(xk x )=x(hk )x
-1 -1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
因为 H 为子群,hk 属于 H,从而 x(hk )x 属于 xHx . 即 uv ∈xHx
-1 -1
21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
*
=(a∧b)∨(b∧c) =(b∧a)∨(b∧c) =b∧(a∨c) (2) f =(a∨b)∧(b∨c) 14、设 B 是布尔代数， a, b∈B, 证明： a≤b a∧b =0 a ∨b=1
(1) S1= 1 , , 2 , , 3 , , 4 ，运算为普通乘法。 1 2 1 3 1 4

离散数学集合代数练习题

离散数学集合代数练习题离散数学中的集合代数是研究集合及其运算的数学分支。

以下是关于集合代数的练习题，旨在帮助学生掌握集合的基本概念和运算规则。

1. 给定两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，请找出集合A和B的交集，并用集合表示法表示结果。

2. 假设集合C={x|x是偶数}，集合D={x|x是3的倍数}，求集合C和D的并集，并用集合表示法表示结果。

3. 集合E={a, b, c}，集合F={b, c, d}，计算集合E和F的差集E-F，并用集合表示法表示结果。

4. 给定全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合G={1, 3, 5}，求集合G的补集，并用集合表示法表示结果。

5. 集合H={x|x是小于10的正整数}，集合I={x|x是5的倍数}，求集合H和I的交集，并用集合表示法表示结果。

6. 集合J={x|x是大于0且小于5的实数}，集合K={x|x是大于等于3的实数}，求集合J和K的并集，并用集合表示法表示结果。

7. 给定集合L={1, 2, 3, 4}，集合M={2, 3, 5}，计算集合L和M的对称差，并用集合表示法表示结果。

8. 集合N={x|x是小于20的质数}，集合O={x|x是小于20的合数}，求集合N和O的并集，并用集合表示法表示结果。

9. 集合P={x|x是2的幂次方}，集合Q={x|x是4的倍数}，求集合P 和Q的交集，并用集合表示法表示结果。

10. 给定全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，集合R={1, 3, 5, 7}，求集合R的补集，并用集合表示法表示结果。

通过解答这些练习题，学生可以加深对集合代数的理解，并提高解决相关问题的能力。

离散数学基础第三版第四章代数系统习题

离散数学基础第三版第四章代数系统习题一、填空。

（每空1分，共24分）1、根据18×64＝1152，可知1.8×0.64＝（），11.52÷6.4＝（）。

2、686.8÷0.68的商的最高位在（）位上，结果是（）。

3、一个两位小数“四舍五入”保留整数取得近似值是3，这个数最小可能是（），最大可能是（）。

4、34.864864 …用简便方法表示是（），保留三位小数约是（）。

5、不计算，在○里填“＞”“＜”或“＝”。

0.5÷0.9 ○0.5 0.55×0.9 ○0.5536÷0.01○3.6×100 7.3÷0.3○73÷36、小明今年a岁，爸爸的年龄比他的3倍大b岁，爸爸今年（）岁。

7、一本字典25.5元，孙老师拿150元钱，最多能买（）本。

8、0.62公顷＝（）平方米2时45分＝（）时2.03公顷＝（）公顷（）平方米0.6分＝（）秒9、一个直角三角形，直角所对的边长是10厘米，其余两边分别是8厘米和6厘米，直角所对边上的高是（）厘米。

10、一个盒子里有2个白球、3个红球和5个蓝球，从盒中摸一个球，可能有（）种结果，摸出（）球的可能性最大，可能性是（）。

11、某学校为每个学生编排借书卡号，如果设定末尾用1表示男生，用2表示女生，如：974011表示1997年入学、四班的1号同学，该同学是男生，那么1999年入学一班的29号女同学的借书卡号是（）二、判断题（8分）1、a2和2a表示的意义相同。

（）2、3.675675675是循环小数。

（）3、从上面、正面、左面看到的图形都相同。

（）4、面积相等的两个三角形一定可以拼成一个平行四边形。

（）5、0.05乘一个小数，所得的积一定比0.05小。

（）6、小数除法的商都小于被除数。

（）7、含有未知数的等式叫做方程。

（）8、平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍。

《离散数学》代数结构部分练习题

《离散数学》代数结构部分练习题2008年5月班级学号姓名一、填空题1. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有有逆元。

2. 设A 是非空集合，代数系统),),((∩∪A P 中，运算∪的单位元是，零元是。

运算∩的单位元是。

3. 设Z 为整数集，若1,,−+=∈∀b a b a Z b a ，则Z a ∈∀，a 的逆元=−1a 。

4. 设}3,2,1,0{4=Z ，⊗为模4乘法，即4mod )(xy y x =⊗，4,Z y x ∈∀. 则4Z 上运算⊗的运算表为。

5. 在群⊕,6Z 中有=32 ，=−53 ．二、选择题1. 设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为 ( )(A){}b a lcm b a A b a ,,,=•∈∀(最小公倍数) (B){}b a ged b a A b a ,,,=•∈∀(最大公约数)(C) {}b a b a A b a ,max ,,=•∈∀ (D) {}b a b a A b a ,min ,,=•∈∀2. 在自然数集N 上定义的二元运算•,满足结合律的是 ( )(A)b a b a −=• (B) b a b a 2+=• (C) {}b a b a ,max =• (D) b a b a −=•3. 下列代数系统),(∗G 中,其中∗是加法运算, ( )不是群(A) G 为整数集合 (B)G 为偶数集合 (C)G 为有理数集 (D)G 为自然数集4. 下列运算中，( )运算关于整数集合不能构成半群(A)),max(b a b a =• (B) b b a =• (C) ab b a 2=• (D) b a b a −=•5. 设12=i 是虚数，•是复数乘法运算，则>•−−=<},,,1,1{i i G 是群，下列是G 的子群的是( )(A) >•<},1{ (B) >•−<},1{ (C) >•<},{i (D) >•−<},{i 三、计算题1. 通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由。

离散数学代数系统练习

一、填空1.下列集合中，对普通加法和普通乘法都封闭。

（）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n ∈22、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？（）（A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（）（A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（）（A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*5．设代数系统〈A ，·〉，则（）成立.A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（）不成立.A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔B ．∧∨对是可分配C ．∧∨,都满足幂等律D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（）是格.8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。

(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶10. 下列哪个偏序集构成有界格（）(1) （N,≤）(2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。

离散数学代数系统练习

离散数学习题四参考答案

离散数学练习题(含答案)

《离散数学》练习题

离散数学章节练习4

《离散数学》试题带答案(三)

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