科学计算方法19(数值微分)

2
3!
4!
5!
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f (2) ( x) h3 f (3) ( x)+ h4 f (4)( x) h5 f (5) ( x)
2
3!
4!
5!
F (h)= f ( x h) f ( x h) =f ( x) h2 f (3) ( x) h4 f (5) ( x)
如果误差是O(hn ),我们就称公式是n阶近似。
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f ( )
2
一阶导数近似:一阶后向差分公式
f ( x)= f ( x) f ( x h) h f ( )
h
2
5/37
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 + f (1 ) h3
F (h)= f ( x h) f ( x h) =f ( x) h2 f (3) ( x) h4 f (5) ( x) h6 f (7) ( x)
2h
6
5!
7!
F (h / 2)=
f ( x h / 2) h
f ( x h / 2)
f
(
x)
6
h2 22
f
(3) (
x)
h4 5! 24
f (n) ( x0 ) hn f (n1) ( ) hn1
(n)!
(n 1)!
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f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f ( )
2
一阶导数近似:一阶前向差分公式
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地
0.2506
2h
0.2
f ( x)= x2 , f (2) 0.2500
wenku.baidu.com
f ( x)= f ( x h) f ( x) h f ( )
h
2
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
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例2. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
f ( x h) f ( x) hf ( x) h2 f (2) ( x)+ h3 f (3) ( x)+ h4 f (4)( x) h5 f (5) ( x)
Donald Knuth (图灵奖得主)
Integrals as Sums and Derivatives as Difference. Gilbert Strang (SIAM Fellow)
Reference. Sums and Differences vs. Integrals and Derivatives
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例1. 取h=0.1,分别用两点前向差分公式和两点中心差
分公式近似f(x)=1/x在x=2处的导数。
误差0.0119
f ( x)
f ( x h)
f
(x)
=
1 2.1
1 2
=
0.2381
h
0.1
误差0.0006
f ( x)
f ( x h)
f ( x h)
1 2.1
1 1.9
=
2
6
24
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 f ( x) h3 f (4)(2 ) h4
2
6
24
二阶导数近似
f ( x)=
f ( x h) 2 f ( x) h2
f ( x h) h2 12
f（4）( )
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回顾 介值定理 (Intermediate Value Theorem)
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回顾: Taylor公式
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 (n)!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
f ( x0 h)
f ( x0 )
f ( x0 )h
f ( x0 ) h2 2!
2
6
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 f (2 ) h3
2
6
一阶导数近似: 两点中心差分公式
f ( x)=
f ( x h)
f ( x h) h2
f ( )
2h
6
f ( x h) f ( x) f ( x)h f ( x) h2 + f ( x) h3 + f (4)(1 ) h4
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间端 点处取值不同时,即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那么 不论C是A与B之间的怎样一个数,在闭区间[a,b]内 至少有一点ξ,使得 f(ξ)=C 。
A f (4) (1 ), B f (4)(2 ),( A B) / 2介于A和B之间。 则f (4) ( )=( A B) / 2, 2 f (4)( ) ( A B)=f (4)(1 ) f (4)(2 )。
f
(5) ( x)
h6 7! 26
f (7)(x)
F1(h)
4
F
(
h 2
)F
(
h)
41
=f
( x)
h (122 ) 4
2h
6
5!
F (h / 2)=
f ( x h / 2) h
f ( x h / 2)
f
(
x)
6
h2 22
f
(3) ( x)
h4 5! 24
f (5)(x)
F1 ( h)
4
F
(
h 2
)
F
(
h
)
41
=f
( x)
O(h4 )
F1(h) 4 / 3F(h / 2) 1 / 3F(h)
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是否可以进一步外推
函数复杂或给定离散的观察数据, 如何计算微 分、或者导数呢？
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回顾
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
Science is knowledge which we understand so well that we can teach it to a computer; and if we don't fully understand something, it is an art to deal with it.
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration)
微积分中蕴含的对立统一思想
微积分基本定理
b
f ( x)dx F (b) F (a)
a
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f ( x)= sin3( xtan x cosh x)
x x1 x2 ·········· xm y y1 y2 ·········· ym