量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
量子力学的矩阵形式与表象变换
练习，求证U是么正矩阵。
么正变换小结
基矢变换： (e 1 ,e 2 ) (e 1 ,e 2 )U ()
基矢变换：Ψ´＝ΨS-1，＜－ Ψ a = Ψ ´ a´ = Ψ ´ Sa
Δ 有关矩阵知识 (参考周世勋书P250－255）
1．对角矩阵 Anm=amδnm. 2. 转置矩阵 (A ~)nmAmn
3．厄米共轭矩阵 (或称共轭矩阵) (A )nm (A ~ ) nm A m 运算规则：(AB) BA (A) A
A 1 A A2
A 3
A1 A A2
A3
以二维坐标系间变换为例。
设新坐标系 (e1,e2)相对原坐标系 (e1,e2) 顺时针 转过θ角。则
e1 c1e1c2e2,
e2 d1e1d2e2,
r (r )(r r )
动量表象
i
p x
px,
, i p
p
Fˆ(ip, p)
r (p )(12)3/2e ip r
p (r )(12)3/2e ip r
p (p )(p p )
(列矩阵的本征矢正交定义: XiXj 0 .)
C. 厄米矩阵的本征矢的正交归一完备。XiXj ij
（若简并情况下k个本征矢不正交,可以通过线性 组合,变为正交的k个本征矢）.
Δ.本征矢的归一化: XiXi 1
1
Δ.未归一的归一化系数C:
C
X
i
X
i
Δ.任意列矩阵X可用厄米矩阵的本征矢展开
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
这组数(a1,a2, … an, …)就是态ψ在Q表象中 的表示。可用列矩阵表示。设ψ是归一化的， 那么就有
* * d a a u m n mun d 2 mn
a an mn a an 1
* m * n mn n
9
由此可见，|an|2是ψ所描述的态中测量力学量Q所
ˆ 的共同本征态un(n代表 的任何一个力学量完全集 Q
一组完备的量子数，并先考虑分立谱情况)可以用
来构成此态空间的一组正交归一完备基矢，称为Q
表象。基矢满足正交归一性
(u m , u n ) mn
8
按态叠加原理，体系的任何一个态ψ可以用它们 展开
an u n
n
其中an (u n , )
为λ。可见，幺正变换不改变算符的本征值。
ˆ 自身的表象， 如果F' 是对角矩阵，即B表象是 F ˆ 本征值的问题归结为寻找一个幺正变换把算符 F
ˆ 的本征值。于是求算符 那么F' 的对角元素就是 F ˆ 自身的表象，使 F ˆ 的矩阵 从原来的表象变换到 F 表示对角化。解定态薛定谔方程求定态能级的问
ˆ 在A表象中的本征值方程为Fa=λa。λ为本 设F
征值，a为本征矢。通过幺正变换将F和a从A表 象变换到B表象，则有
F ' SFS ; b Sa
1
在B表象中有
F ' b (SFS1 )Sa
SFa Sa b
即 F'b b
19
ˆ 在B表象中的本征值仍 这个本征值方程说明算符 F
am ' u m ' an u n
第八章 量子力学的矩阵形式与表象变换 2 量子力学教学课件
xnn
当 m n 时，非对角元为:
xmn
2 a a 2 nx x sin dx a 0 a 2
2 a mx nx (sin ) x(sin )dx a 0 a a
x dx
1 a (m n) (m n) x cos x cos 0 a a a
j j , S j j j j k k
ˆ Lkj k , L j
L
ˆ , L
, k S k
ˆ S L S ( SLS ) S k S 得 L , L j k j k kj j kj kj
Qm为Q在自身空间中的的本征值
Qnm u ( x)Qum (x)dx u ( x)Qmu m (x)dx
n n
m u ( x)u m (x)dx Qm nm
n
结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵
15
例：一维谐振子的坐标x,动量p和Hamilton量H在能量表象中 的矩阵表示。 谐振子的能量本征函数记为ψn (n=0, 1, 2, ……)
第16页
第17页
例: 求一维无限深势阱中粒子的坐标算符 ˆ 在能量表象中的矩阵表示。 H 解：
ˆ 及哈密顿算符 x
一 维无限深势阱能量的本征函数基矢为:
n
2 n x sin a a
2 2 2
n 能级 En 2 2 a
n=1,2,3,…..
18
坐标算符x
当m=n时,对角元为:
即变换矩阵S是么正矩阵， 所以变换也称为么正变换。
10
§ 2.力学量（算符）的矩阵表示
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
量子力学的矩阵形式及表示理论.
第六章量子力学的矩阵形式及表示理论第六章目录§6.1 量子体系状态的表示 (3)§6.2 Dirac符号介绍 (4)（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket） . 5（2）标积 5（3）算符及其表示 (7)（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介 (12)（5）投影算符 15§6.3 表象变换，幺正变换 (17)（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系 (17)（2）两表象的基矢之间关系 (18)（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系 (18)（4）幺正变换 19§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式 (20)（1）平均值20（2）本征方程 21（3）薛定谔方程 (25)§6.5 量子态的不同描述 (26)（1）薛定谔绘景 (27)（2）海森堡绘景 (28)第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论§6.1 量子体系状态的表示现在来讨论体系状态的“坐标”—状态表示如果有一组力学量Mˆ构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。
()mn n m ,δ=ϕϕ)r r ()r ()r (*m mm '-δ='ϕϕ∑于是，任一波函数⎰''ψ'-δ=ψr d )r ()r r ()r (⎰∑''ψ'ϕϕ=r d )r ()r ()r (m*m m∑ϕ=mm m a )r (。
⎰ψϕ=''ψ'ϕ=),(r d )r ()r (a m *m m2m a 是在)r (ψ中测得力学量M ˆ取值为m 的几率（若)r (ψ是归一化的）。
显然，当选定一组力学量完全集Mˆ 后，则集合 {}m a 是与 )r (ψ 完全等价的，它完全确定了体系的状态。
我们将会看到，{}m a 与)r (ψ一样，提供给我们同样多的信息。
状态表示的定义：若力学量的完全集M ˆ的共同本征函数组为m ϕ，则),(a m mψϕ=的全体{}m a ，被称为体系所处态ψ在Mˆ表象中的表示，也可以看作态矢量ψ在m ϕ作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。
第四章 矩阵力学基础——表象理论
第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。
(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。
(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。
为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。
它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。
量子力学__07量子力学的矩阵形式与表象变换
x
')
k
则任一态函数 在F表象中的具体形式： ak k
k
a1
a
2
或者
ak
其中 ak ( k , )
在 F 表象中 F 的基矢集 { , 1, 2,...} 满足
( , )
正交归一性
*(x ') (x) (x x ')
完备性
则任一态函数 在 F 表象中的具体形式： a
具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn , ...。 相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函 数展开：
证：
( x, t) an(t)un( x)
n
an(t) un *(x)(x.t)dx
证明：变换矩阵 S 为一幺正矩阵。即 S S I , SS I
描述基矢之间的关系。
因此，当R矩阵给定后，任何矢量在两个坐标系中的表示 之间的关系，也随之确定。
4. 变换矩阵R的性质 由于变换矩阵具有如下性质：
R( )R( ) R( )R( ) 1 det R( ) 1
这种矩阵称为真正交矩阵。
又由于 R*( )=R( ) 所以 R ( )R( )=R( )R ( )=1
an(t)
aq (t )
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
量子态在不同表象中具体形式的变换
在F表象中 F的基矢集 { k , k 1, 2,...} 满足
( k , j ) kj
正交归一性 完备性
* k
(
x
量子力学的矩阵形式及表示理论 Ⅰ. 量子体系状态的表示 Ⅱ. Dirac 符号介绍
2. 能量与 Px 无关，即每一条能级对
Px是简并的，即简并度是无穷大，所以
npz aPx unpxpz dpx
仍是 Hˆ 的本征态，本征值仍为
Enpz
Pz2 2me
(n
1) 2
qB me
第十六讲
Ⅳ. 带电粒子在外电磁场中的薛定谔方 程，恒定均匀场中带电粒子运动。 D. 磁通量的量子化
当
A A A f , f
t
U eiF(r,t),
F(r,
t)
qf
Hˆ 1 (Pˆ qA)2 q V(r) 2
i Hˆ t
这即为量子力学规范不变性。
B. 正常塞曼效应
当氢原子，类氢离子或碱金属等原子 置于较强的外磁场中，将会发现他们的每 一条标志光谱线分裂为三条，这就是通常 称的简单塞曼效应 或正常塞曼效应。( 而 每条能级均分裂成单数能级（2l+1）条， 分裂能是相等的)
e
f
(r,t)
f
(a , t )
而
f
(r,
t
)
r
dr
A (r,
t
)
两条 路径相 位差为
e
r
dr A(r,t)
r
dr A(r,t)
a
a
(路径2）
(路径1）
e
dr
A(r, t )
e
(
A)
ds
s
e
B
ds
e
S
当电子的波函数在无电磁场路径上绕
复连通区域一周，则其相位变化为
第六章 量子力学的矩阵形式及 表示理论
Ⅰ. 量子体系状态的表示
Ⅱ. Dirac 符号介绍
13-量子力学的矩阵形式
a1 S11 S12 . a1
a Sa a2 S21 S22 . a2
. . .
15
一、表象及其变换(5)
任一量子态在F表象中的表示a
a1 a2
可以通过矩
1
!!
2
( r)l e 2r2 / 2 F (nr , l 3 / 2, 2r 2 )
2
d
0
sin d
0
a
0
* nr
l
m
(r
,
,
)
nr
lm
(
r
,
,
)
r
2
dr
nrnr ll mm
N 2nr l, m l, l 1,, l 1, l
系：a Sa，幺正矩阵S (Sk ), Sk ( , k )
17
表象及其变换的理解
量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。波函数的 表示方式在量子力学中并不是唯一的，波函数也可以选用其 他变量的函数。量子力学中表象的选取决定于所讨论的问题。 表象选取得适当可以使问题的讨论大为简化。 对于表象和表象变换，通俗的理解，即坐标和坐标变换，表 象就是经典物理中的坐标，就如直角坐标系和极坐标系。
nxnynz (x, y, z) nx (x)ny ( y)nz (z), nx , ny , nz 0,1, 2,
H H x H y H z , H nxnynz (x, y, z) Enxnynz (x, y, z) 其解为(H x , H y , H z )的共同本征态，设此本征态为： nxnynz (x, y, z) nx (x)ny ( y)nz (z), nx , ny , nz 0,1, 2, 则H nxnynz (x, y, z) (H x H y H z )nx (x)ny ( y)nz (z) (Ex Ey Ez )nx (x)ny ( y)nz (z) Enxnynz (x, y, z)
量子力学的矩阵表示简介
-/§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。
为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。
以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ 基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示-/态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。
它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。
而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。
基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数 )(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。
因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm nˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。
4.6 量子力学的矩阵形式和表象变换
an给(t出) 2在
态(中r,测t)量粒子的力学量Q 取 值的几q率n。
69
13
以上讨论与三维矢量空间一矢量的表示很类似。
三维矢量空间
e1,
e2
,
e3
A A1e1 A2e2 A3e3
A1 A A2
A3
Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成一个复线性空间，称
为Hilbert空间，体系的状态波函数 是Hilbert空间中的一个矢量，称为
并引入记号： Fnm
un*
(
x)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
69
26
可将（2）式写成：bn (t) Fnmam (t)
排成矩阵形式：
m
b1(t) F11 F12
b2
(t
)
F21
F1m
a1(t)
a2
(t
)
bn (t) Fn1 Fn2
Fnm
am (t)
69
a
1
e
i
pa
2 p2a2 / 2
22
能量表象：本征函数 n x
2 sin n x
aa
展开系数：
anE
1
x
* n
(
x)dx
1,n
即在自身表象中取δ形式。
∴ 基态在能量表象中的表示：
1
0
an
0
.
. .
1x an E n x a1E1x
n
69
23
2、算符的矩阵表示
力学量算符在不同表象中的表示
阵力学（海森堡Heisenberg）
高等量子力学 第四章 表象理论
K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用 表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组 ， 表象 它们的共同本征矢量作为基矢： 它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系： 完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示， 容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不 的数值。 改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹 ： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式 、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明： 证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换
•量子力学中状态和力学量的具体表示方式——表象
•常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。
•一个定义：表象的定义 •二个表示：态（波函数）在任意表象中的表示 力学量（算符）在任意表象中的表示
•三个公式：平均值公式 本征值方程 薛定谔方程
在任意表象中的表示 •表象理论中采用的数学工具主要是矩阵 •矩阵力学
ˆ L
在以力学量完全集F的本征态k为基矢的表象（F表）中， 上式变成：
ˆ b a L k k k k
k k
以 * 左乘上式两边并对x积分，积分范围是x变化的 j ( x) 整个区域得
* j ( x) (1)式dx
b j ( L k dx)ak L jk ak
例:
若给出： (r , , , t )
1 R10Y00 e 2
i
i E10 t
1 R21Y11e 2
i
i E21t
E10 t E21t 1 1 100 e 211e 2 2
a 100 中心力场能量表象为： a200 a E 210 a211 a 211
历史回顾： 量子力学的建立---矩阵力学和波动力学的提出
1925年 7月初，海森伯终于完成了题为“从量子理论重新 解释运动学和力学关系”的论文。建立了矩阵力学。 1926 年，苏黎世大学的奥地利科学家欧文 · 薛定谔发展了 另一种形式的量子力学――波动力学。 薛定谔的波动力学和海森伯的矩阵力学的出发点不同，而 且是通过不同的思维过程发展而来的，但是用这两种理论处理 同一问题时，却得到了相同的结果。包括薛定谔本人在内的许 多人已经证明了量子力学的这两种形式彼此完全等价。海森伯 的理论比薛定谔提出的早一些，可是科学家们在接受薛定谔的
量子力学的矩阵形式及表象理论
量⼦⼒学的矩阵形式及表象理论量⼦⼒学习题（三年级⽤）北京⼤学物理学院⼆O O三年第⼀章绪论1、计算下列情况的Broglie d e-波长，指出那种情况要⽤量⼦⼒学处理：（1）能量为eV .0250的慢中⼦()克2410671-?=µ.n；被铀吸收；（2）能量为a MeV 的5粒⼦穿过原⼦克2410646-?=µ.a；（3）飞⾏速度为100⽶/秒，质量为40克的⼦弹。
2、两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正、负电⼦对，如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？3、利⽤Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原⼦能量可能值。
第⼆章波函数与波动⼒学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=（1）求归⼀化常数（2）.?p ?,x x ==2、求ikrikr ere r -=?=?1121和的⼏率流密度。
3、若(),Be e A kx kx -+=?求其⼏率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、⼀维运动的粒⼦处于()?<>=λ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归⼀化系数A 和粒⼦动量的⼏率分布函数。
5、证明：从单粒⼦的薛定谔⽅程得出的粒⼦的速度场是⾮旋的，即求证0=??其中ρ=υ/j6、⼀维⾃由运动粒⼦，在0=t时，波函数为 ()()x ,x δ=?0求：)t ,x (=2第三章⼀维定态问题1、粒⼦处于位场()000000≥=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒⼦由右向左运动）2、⼀粒⼦在⼀维势场>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。
（1）求粒⼦的能级和对应的波函数；（2）若粒⼦处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ??π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有⼀位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“⼊射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁⽆限⾼位垒中粒⼦的束缚态能级和波函数()>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒⼦在下列位场中运动的能级()>µω≤∞=021022x x x V X6、粒⼦以动能E ⼊射，受到双δ势垒作⽤()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射⼏率和透射⼏率，以及发⽣完全透射的条件。
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ห้องสมุดไป่ตู้
V(x))un (x)
Enun (x)
令 则
un (x) Rn (x) iIn (x) （ (Rn (x), In (x) 都是实函数）
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))Rn (x)
EnRn (x)
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))In (x)
EnIn (x)
这表明 R n 和 I n 都是能量为 E 的解。但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而 R n 和 I n
1
（1） 湮灭算符 aˆ 的本征态 ...... 错误!未定义书签。 （2） 相干态的性质 .............. 错误!未定义书签。
第三章 一维定态问题
现将所学得的原理和方程应用于最简单的问题：一维、不显含时间的位势，即一维定态问
题。
当
V(r,t) V(r)
则薛定谔方程 i (r,t) Hˆ (r,pˆ )(r,t) 有特解 t E(r,t) uE(r)eiEt /
§3.1 一般性质
设粒子具有质量 m，沿 x 轴运动，位势为 V(x) 。于是有
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))uE (x)
Eu E (x) 。
由于 uE (x) 是满足一定条件或边条件下的解，所以不是所有 E 都有非零解。
（1）定理 1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的
简并度（degeneracy）：一个力学量的测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波函
而 uE (r) 满足 Hˆ (r,pˆ )uE(r) Eu E(r)
事实上，当 V(r) 有一定性质时，如 V(r) V(x) V(y) V(Z) 或 V(r) V(r) 时，三维
问题可化为一维问题处理，所以一维问题是解决三维问题的基础。
在解一维问题之前，先介绍一些解的性质。
需要指出，现讨论的 V(x) 是实函数，从而保持不含时间的 S.eq 中 E 为实数。
从而有
u2u1(x) u1u2(x) 0
若 u2(x)u1(x) 不是处处为零，则有
u2 u2
u1 u1
(ln u2 )
(ln u1 )
从而有
u1(x) Au 2(x) 。
二者仅差一常数因子，所以是同一波函数。也就是说，一个 E 只对应一个独立的波函数，
因此，是不简并的。
应当注意 ⅰ. 分立能级是不简并的。而对于连续谱时，若一端 u 0 ，那也不简并。但如
第三章
一维定态问题
第三章 目 录
§3.1 一般性质....................................... 2 （1）定理 1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简 并的...................................... 2 （2）不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 （3）振荡定理 .................................. 4 （4）在无穷大位势处的边条件 .................... 5
§3.2 阶梯位势....................................... 6 §3.3 位垒穿透....................................... 8
（1） E<V0 ..................................... 9 （2） E V0 ................................... 10 （3）结果讨论 ................................. 11 §3.4 方位阱穿透.................................... 11 §3.5 一维无限深方位阱 .............................. 12 （1）能量本征值和本征函数 ..................... 12 （2）结果讨论 ................................. 13 §3.6 宇称，一维有限深方势阱，双 δ 位势.............. 14 （1）宇称 ..................................... 14 （2）有限对称方位阱 ........................... 15 （3） 求粒子在双 位阱中运动 ................... 18 §3.7 束缚能级与反射振幅极点的关系 ....错误!未定义书签。 （1） 半壁δ位阱的散射 .......... 错误!未定义书签。 （2）有限深方位阱 ............... 错误!未定义书签。 §3.8 一维谐振子的代数解法 ........... 错误!未定义书签。 （1）能量本征值 ................. 错误!未定义书签。 （2） 能量本征函数 .............. 错误!未定义书签。 （3）讨论和结论 ................. 错误!未定义书签。 §3.9 相干态 ......................... 错误!未定义书签。
(2)
u2 (1) u1 (2)
2
从而得
u2
d2 dx 2
u1(x)
u1
d2 dx 2
u 2 (x)
0
于是
u2u1(x) u1u2 (x) c (c 是与 x 无关的常数)。
对于束缚态 x ,ui 0
（或在有限区域有某值使 u2u1(x) u1u2 (x) 0 ）
所以 c 0 ，
两端都不趋于 0（如自由粒子），则有简并。
ⅱ．当变量在允许值范围内（包括端点），波函数无零点，就可能有简并存在。
（因常数 c≠0）。
ⅲ．当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因这时可能导致 u2 (x)u1 (x) 处处为零。
推论：一维束缚态的波函数必为实函数（当然可保留一相因子）。
证
(
2 2m
d2 dx 2
数中测得，则称这一测量值是具有 n 重简并度。
（某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则称这能量本征值是 n 重简并的）。
证：假设 u1, u 2 是具有同样能量的波函数
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))u1 (x)
Eu 1 (x)
(1)
(
2 2m
d2 dx 2
V(x))u 2 (x)
Eu
2 (x)