空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
人教A版选择性必修第一册高中数学1.1.2空间向量的数量积运算精品课件
2×4×cos 135°＋16λ
例题解析
例 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，有下列说法：
→1＋AD
→ ＋AB
→ )2＝3|AB
→ |2；②A→
→
→
→
→
①(AA
1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为 60°.
其中说法正确的有( B )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
知识梳理
三、数量积的运算规律：
注意：等式 (a b)c a (b c ) 是否成立？
不成立
练习：判断下列说法的真假.
（1）若a b 0, 则a 0或b 0;
（ × ）
（2）若a b b c(b 0),则a c;
（ × ）
2
2
（3） p q ( p q ) ;
A
知识梳理
投影向量
(1)投影向量
在空间，向量 a 向向量 b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，
进而利用平面上向量的投影，得到与向量 b 共线的向量 c，
b
c＝|a|cos〈a，b〉|b|，则向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量，
a
同理向量 b 在向量 a 上的投影向量是|b|cos〈a，b〉
A．0
B.－2
C．2
D.－3
1
1
→
→
→
→
如图所示．在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，因为 E，F 分别是棱 BC，AD 的中点，所以AE·CF＝ (AB＋AC)·
2
2
1
1
→
→
→
→
1.1.2 空间向量的数量积运算课件(人教版)
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若 〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
2
空间向量的数量积
1.定义 已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广 由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·
空间向量的数量积运算【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册课件
空 间 向 量 的 数量积 运算【 新教材 】人教 A版高中 数学选 择性必 修第一 册课件
【解析】 由底面 ABCD 为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD 知， DA⊥BD，则B→D·D→A＝0.
答案：A
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
解析：因为|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3， 所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝3－×32＝－21， 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝23π. 答案：23π
知识点四、投影
思考 ：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影。类似地，向量
a·b θ为 a，b 的夹角，则 cos θ＝____|a_|_|b_|_____________
对点练习：
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b| ＝1，a·b＝－1 ，则两直线的夹角为( )
2
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，则 cosθ＝|aa|·|bb|＝－12，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°－120°＝60°.
(1)B→C·E→D1＝B→C·(E→A1＋A→1D1)＝b·12(c－a)
＋b＝|b|2＝42＝16.
(2)B→F·A→B1＝(B→A1＋A→1F)·(A→B＋A→A1)＝(c－
a
＋21b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)E→F·F→C1＝(E→A1＋A→1F)·(F→D1＋D→1C1)＝12(c－a)＋12b·21b＋a＝12(－a＋
2021年高中数学3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析人教A版选修2_1
3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a ，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b . (3)结论：∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作a ，b ．2．范围：a ，b∈[0，π]，其中，(1)当a ，b ＝0时，a 与b 的方向相同． (2)当a ，b ＝π时，a 与b 的方向相反． (3)当a ，b＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . [答一答]1．若a ，b 是空间的两个非零向量，则－a ，b ＝a ，－b ＝a ，b ，对吗？提示：不对．∵－a 与a ，－b 与b 分别是互为相反向量，∴－a ，b＝a ，－b ＝π－a ，b ．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos a ，b 叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b＝|a ||b |cosa ，b ．(2)运算律：①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 2．空间向量数量积的性质[答一答]2．类比平面向量，你能说出a ·b 的几何意义吗？提示：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |·cos θ的乘积． 3．对于向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？提示：不能，若a ，b ，c 是非零向量，则a ·b ＝a ·c 得到a ·(b －c )＝0，即可能有a ⊥(b －c )成立．4．对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，能不能写成a ＝k b？ 提示：不能，向量没有除法，k b无意义． 5．为什么(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立？ 提示：由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cosa ，b )c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos b ，c )，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．3.利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．类型一 空间向量的数量积运算【例1】 如下图所示，已知正三棱锥A BCD 的侧棱长和底面边长都是a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点．求下列向量的数量积．(1)AB →·AC →；(2)AD →·BD →； (3)GF →·AC →；(4)EF →·BC →.【解】 (1)由题知|AB →|＝|AC →|＝a ，且〈AB →，AC →〉＝60°， ∴AB →·AC →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(2)|AD →|＝a ，|BD →|＝a ，且〈AD →，BD →〉＝60°. ∴AD →·BD →＝a ·a ·cos60°＝12a 2.(3)|GF →|＝12a ，|AC →|＝a ，又GF →∥AC →，∴〈GF →，AC →〉＝180°.∴GF →·AC →＝12a ·a ·cos180°＝－12a 2.(4)|EF →|＝12a ，|BC →|＝a ，又EF →∥BD →，∴〈EF →，BC →〉＝〈BD →，BC →〉＝60°. ∴EF →·BC →＝12a ·a ·cos60°＝14a 2.在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角.已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)． 解：如图所示，(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.类型二 利用数量积求夹角【例2】 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．【分析】 求异面直线BA 1与AC 所成的角，可转化为求向量BA 1→与AC →所成的角，因此可先求BA 1→·AC →，再求|BA 1→|，|AC →|，最后套用夹角公式求得，但要注意两直线夹角与两向量夹角的区别．【解】 因为BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →·BC →＝BB 1→·BA →＝BB 1→·BC →＝0， 所以BA 1→·AC →＝(BA →＋BB 1→)·(BC →－BA →)＝BA →·BC →－BA→2＋BB 1→·BC →－BB 1→·BA →＝－1. 又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝ 3.所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→·AC→|BA 1→||AC →|＝－16＝－66.则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．解：不妨设正方体的棱长为1， 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC →＝a ＋b .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ) ＝|a |2＋a ·b －a ·c －b ·c ＝1.而|A 1B →|＝|AC →|＝2，∴cos 〈A 1B →，AC →〉＝12×2＝12，∴〈A 1B →，AC →〉＝60°.∴异面直线A 1B 与AC 所成的角为60°. 类型三 利用数量积求距离【例3】 在正四面体ABCD 中，棱长为a .M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.【分析】 转化为求向量MN →的模，然后将向量MN →分解，再根据数量积运算性质进行求解． 【解】 因为MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →，所以MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2－29a 2＋29a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 所以|MN |＝53a .求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a |2＝a ·a ，通过向量运算去求|a |，即得所求距离.如下图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使直线AB 与CD 成60°角，求B ，D 间的距离．解：∵∠ACD ＝90°， ∴AC →·CD →＝0，同理BA →·AC →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或120°. ∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →， ∴BD →2＝BA →2＋AC →2＋CD→2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝BA→2＋AC→2＋CD→2＋2BA →·CD →＝3＋2·1·1·cos〈BA →，CD →〉＝⎩⎪⎨⎪⎧4 〈BA →，CD →〉＝60°， 2〈BA →，CD →〉＝120°.∴|BD →|＝2或2，即B ，D 间的距离为2或 2. 类型四 利用数量积证明垂直问题【例4】 如下图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心．求证：B 1O ⊥平面PAC .【分析】 本题考查利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0求证线面垂直，关键是在平面PAC 中找出两相交向量与向量B 1O →垂直．【证明】 不妨设正方体的棱长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b＝b ·c ＝a ·c ＝0.由题图得：PA →＝PD →＋DA →＝－12AA 1→－AD →＝－b －12c ，PC →＝PD →＋DC →＝－12AA 1→＋AB →＝a －12c ，B 1O →＝B 1B →＋BO →＝－c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b －c .∵PA →·B 1O →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝12a ·b －12b 2＋b ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2， PC →·B 1O →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b －c＝－12a 2＋12a ·b －a ·c ＋14a ·c －14b ·c ＋12c 2，又∵|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝0，∴PA →·B 1O →＝0，PC →·B 1O →＝0.∴PA →⊥B 1O →，PC →⊥B 1O →. ∴PA ⊥B 1O ，PC ⊥B 1O .又∵PA ∩PC ＝P ，∴B 1O ⊥平面PAC .用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可.已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：如图．方法一：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ， ∴AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0.AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →＋BD →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·AC →－AB→2－AB →·BD →＝AB →·(AC →－AB →－BD →)＝AB →·DC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC .方法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， ∵AB ⊥CD ，∴AB →·CD →＝0，即AB →·(AD →－AC →)＝0，a ·(c －b )＝0，即a ·c ＝b ·a . ∵AC ⊥BD ，∴AC →·BD →＝0，即AC →·(AD →－AB →)＝0，b ·(c －a )＝0， 即b ·c ＝b ·a .∴a ·c ＝b ·c ，c ·(b －a )＝0， 即AD →·(AC →－AB →)＝0，AD →·BC →＝0. ∴AD →⊥BC →，从而AD ⊥BC.1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，对角线AC 1和BD 1相交于点O ，则有( C)A.AB →·A 1C 1→＝2a 2B.AB →·AC 1→＝2a 2C.AB →·AO →＝12a 2D.BC →·DA 1→＝a 2解析：∵AB →·AO →＝AB →·12AC 1→＝12AB →·(AB →＋AD →＋AA 1→)＝12(AB →2＋AB →·AD →＋AB →·AA 1→)＝12AB →2＝12|AB →|2＝12a 2. 2．已知a ，b ，c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( B ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2解析：|a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴|a －2b ＋3c |＝14.3．已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于－2.解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 4．已知向量a 、b 、c 两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则 |a －b ＋2c |等于 5.解析：(a －b ＋2c )2＝a 2＋b 2＋4c 2－2a·b ＋4a·c －4b ·c ＝1＋1＋4－2cos60°＝5，∴|a －b ＋2c |＝ 5.5．如图所示，已知△ADB 和△ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD ＝BD ＝CD ，∠BAC ＝60°.求证：BD ⊥平面ADC .证明：不妨设AD ＝BD ＝CD ＝1，则AB ＝AC ＝ 2. BD →·AC →＝(AD →－AB →)·AC →＝AD →·AC →－AB →·AC →，由于AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝AD →·AD →＝1，AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝2×2×12＝1.∴BD →·AC →＝0，即BD ⊥AC ，又已知BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面ADC .。
人教A版高中数学选修2-1课件【23】空间向量的数量积运算
m2. 5 → → 又∵|A1C1|＝ 2m，|DE|＝ 2 m， 1 2 → → m 2 A1C1· DE 10 → → ∴cos〈A1C1，DE〉＝ ＝ ＝ 10 . → 5 |A1C1||DE| 2 m· 2m
12． 如图所示， 在平行四边形 ABCD 中， AB＝AC＝1， ∠ACD ＝90° ，将它沿对角线 AC 折起，使 AB 与 CD 成 60° 角，求 B、D 间的距离．
→ → → 当〈BA，CD〉＝60° 时，BD2＝4； → → →2 当〈BA，CD〉＝120° 时BD ＝2. → ∴|BD|＝2 或 2，即 B、D 间的距离为 2 或 2.
→ → → 解：设正方体的棱长为 m，AB＝a，AD＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝m， a· b＝b· c＝a· c＝0. → → → → → → → → 又∵A1C1＝A1B1＋A1D1＝AB＋AD＝a＋b，DE＝DD1＋D1E＝ 1 → 1 → DD1＋2D1C1＝c＋2a.
1 1 2 1 1 2 1 → → ∴ A1C1 · DE ＝ (a ＋ b)·c＋2a ＝ a· c ＋ b· c ＋ a ＋ a· b＝ a ＝ 2 2 2 2
答案：D
5．已知 a，b 是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b， BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则 a 与 b 所成的夹角是( A．30° B．45° C．60° D．90° )
→ → → → → → → → → 解析： ∵ AB · CD ＝ ( AC ＋ CD ＋ DB )· CD ＝ AC · CD ＋ | CD |2 ＋ → → → DB· CD＝|CD|2＝1， → → AB· CD 1 → → ∴cos〈AB，CD〉＝ ＝ ，∴a 与 b 的夹角为 60° . → → 2 |AB||CD|
1.1.2空间向量的数量积运算课件高二上学期数学人教A版选择性(1)
.
析 : 设BB1 1,
AB1
BC1
11 cos120
1
1 2
,
cos AB1, BC1
AB1 BC1 1 2 2 4
应用③求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(先求数量积,再除以模之积)
应用④证线线垂直：证明两向量的数量积为0
典例解析
例3 如图示, 已知直线m, n是平面α内的两条相交直线, 如果直线l⊥m, l⊥n，
设 a, b 是非零向量，它们的夹角是 ，e是与 b方向相同的单位向量，则
(1) a e e a = |a|cos ；
(2)a b _a__b___0____ 证明两向量垂直的依据；
(3)当a与b同向， a b __|_a_||b_|____
当a与b反向， a b __-|a_|_|b_| _____
新知探究 问题4.1 对于三个均不为 0 的数a, b, c, 若ab ac,则b c. 对于向量a, b, c,
由a b a c,你能得到 b c 吗？如果不能, 请举出反例.
a
a bab 0
c
a c ac 0
b
a b a c 0，但b c
问题4.2 对于三个均不为 0 的数a, b, c, 若ab c, 则a c . 对于向量a, b, c,
(4)a
a
__a_2____或
|
a
|
2
___a_____
求向量的长度(模)的依据.
(5) a b |a||b| ； ab
(6)cos a b |a||b| ； 求两向量夹角的依据.
新知探究
问题2 在平面向量的学习中,我们学习了向量的投影. 类似地,向量 a 在向量 b 上的投影
第02讲 空间向量的数量积运算(4种类型)(答案与解析)
2023暑假新高二第02讲空间向量的数量积运算（4种类型）【知识梳理】一、空间向量的数量积1．两个向量的数量积．已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos 〈a，b〉叫做向量a 与b 的数量积，记作a·b，即a·b=|a|·|b|cos 〈a，b〉．要点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．2.空间向量数量积的性质设,a b 是非零向量，e 是单位向量，则①||cos ,a e e a a a e ⋅=⋅=<>；②0a b a b ⊥⇔⋅= ；③2||a a a =⋅ 或||a = ④cos ,||||a b a b a b ⋅<>=⋅ ；⑤||||||a b a b ⋅≤⋅ 3．空间向量的数量积满足如下运算律：（1）（λa）·b=λ（a·b）；（2）a·b=b·a（交换律）；1.定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OA a =，OB b =，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空间两个向量a、b 的夹角的余弦cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=⋅。
要点诠释：1.规定：π>≤≤<b a ,02.特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果090,>=<b a ，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。
空间向量的数量积运算 高中数学新教材人教A版
若 ∙ =k，能不能写成 =
(或
解析：由 ∙ =k，不能写成 =
有除法运算
= )的形式?
(或 = )的形式，即向量没
知识点一 空间向量的投影
思考5
对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)．
对于向量，，，( − )=( − ）成立吗?为什么?
(3)因为AA’ · AD=5×3×cos
2
15
60°= ，AD
2
· AB=3×4×cos 90°=0
所以 =(++’)
= 2 + 2 + ’ 2 +2(·+·’+’·)
15
2
=42 ＋32 +52 +2(0+10+ )=85，所以 = 85.
= + .
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
⋅ = ⋅ + ⋅ ,
因为 ⋅ =0， ⋅ =0(为什么?)，所以 ⋅ =0.所以 ⊥ .
这就证明了直线垂直于平面α内的任意一条直线，所以 ⊥平面α.
课堂检测
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与
在平面β上的投影向量．这时，向量，A′B′的夹角就是向量α所在直线
与平面β所成的角.
β
’
图
(3)
’
空间向量的数量积满足如下的运算律:
()·=(·)，∈R
·=·(交换律)
·(＋)=·+·(分配律)
知识点一 空间向量的投影
思考3
(人教A版)2021年新高二数学暑假精品讲义-第十七讲 空间向量的数量积运算(教师版)
第十七讲 空间向量的数量积运算【知识梳理】1、数量积及相关概念①两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉.2、空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )；②交换律：a·b ＝b·a ；③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .【考点剖析】考点一 数量积的线性运算【例1】 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →；(2)EG →·BD→； 【解析】 设AB→＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD→－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12 ＝12.规律方法 1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.(1)a ≠0，b ≠0，a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)|a |＝a 2；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |.考点二 数量积的相关应用【例题2-1】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为（ ）A B C ．1 D 【答案】B【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),,0M x y ，所以()111,,1,,1,12A M x y C E ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭，由11A M C E ⊥可得1102x y --+=，即220x y +-=，所以线段AM 的长的最小值为22225512=+． 故选：B ． 【例题2-2】三棱锥P ABC -中，PAB △和ABC 都是等边三角形，2AB =，1PC =，D 为棱AB 上一点，则PD PC ⋅的值为（ ）A ．12B ．1C ．32D ．与D 点位置关系【答案】A【详解】如图所示，取AB 的中点E ，连接,PE CE ，PAB △和ABC 都是等边三角形，,PE AB CE AB ∴⊥⊥，PE CE E ⋂=，AB ∴⊥面PEC ，PC ⊂面PEC ，∴AB PC ⊥，在APC △中，2AP AC ==，1PC =， 由余弦定理2224141cos 244AP PC AC APC AP PC +-+-∠===⨯， ∴()112142PD PC PA AD PC PA PC AD PC PA PC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=. 故选：A【跟踪训练1】正四面体ABCD 的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为（ ）A B C D 【答案】A【详解】因为四面体ABCD 是棱长为1的正四面体，所以其体积为1111322312⨯⨯⨯⨯=. 设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则114113212r ⨯⨯⨯⨯=r =如图，取AD 的中点为E ，则()()PA PD PE EA PE ED ⋅=+⋅+221()4PE PE EA ED EA ED PE =+⋅++⋅=-. 显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅取得最小值.设正四面体内切球的球心为O ，可求得4OA OD ==.因为球心O 到点E 的距离d ===，所以球O 上的点P 到点E 的最小距离为4d r -==，即当PA PD⋅取得最小值时，点P到AD的距离为32612-.故选：A.【跟踪训练2】已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，2，则PM PN⋅的取值范围为（）A．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】根据题意，以D为坐标原点，DA为x轴正方向，DC为y轴正方向，1DD为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图示.设长方体外接球球心为O，则DB1为外接球的一条直径，设O为DB1中点，不妨设M与D重合，N与B1重合.则外接球的直径长为2221122++=，所以半径r =1；所以()()PM PN PO OM PO ON =++()()PO OM PO OM =+-22||||PO OM =-2||1PO =- 由P 在长方体表面上运动，所以1||,12PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即21||,14PO ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 所以23||1,04PO ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即PM PN ⋅3,04⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【跟踪训练3】如图所示正三棱锥P ABC -中，M 是PC 上一点，2PM MC =，且PB AM ⊥，2AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．22πC ．4πD ．6π【答案】D【详解】 解：以底面中心O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，过O 平行于AC 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则323(1,0),(3,0,0),(3A B C -，设(0,0,)P h ， 1112122(3,,)33333933h OM OC CM OC CP OC CO OP OC OP =+=+=++=+=，235(3,0,),(,,)3933h PB h AM =-=， 所以2293h PB AM ⋅=-， 因为PB AM ⊥，所以22093h -=，得63h =， 设外接球的半径为r ，则22262()(3)33r r =-+，解得62r =， 所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2264462r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D【过关检测】1．已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 各边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若对角线BD ＝2，AC ＝4，则EG 2＋HF 2的值是（ ）A ．5B ．10C ．12D ．不能确定【答案】B【详解】 如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EF AC EF AC =,1//,2HG AC HG AC =. 所以四边形EFGH 是平行四边形，因为,EG EF EH HF EF EH =+=-，所以 222222()()2()2(14)10EG HF EF EH EF EH EF EH +=++-=+=+=.故选：B.2．如图，PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形，连接AC ､BD ､PB ､PC ､PD ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）A ．PC 与BDB ．PB 与DAC ．PD 与ABD ．PA 与CD【答案】A【详解】由PA ⊥面ABCD ，ABCD 为矩形， A ：AD ⊂面ABCD ，则PA AD ⊥，而AC 与AD 不一定垂直，不一定有BD ⊥面PAC ，故BD 不一定与PC 垂直，所以PC 与BD 数量积不一定为0，符合题意；B ：由A 知PA AD ⊥，又DA AB ⊥且AB PA A ⋂=，则DA ⊥面PAB ，又PB ⊂面PAB ，所以PB DA ⊥，即PB 与DA 数量积为0，不合题意；C ：由上易知PA AB ⊥，又DA AB ⊥ 且DA PA A =，则AB ⊥面PAD ，又PD ⊂面PAB ，所以AB PD ⊥，即PD 与AB 数量积为0，不合题意；D ：由上知PA AB ⊥，而//AB CD ，所以PA CD ⊥，即PA 与CD 数量积为0，不合题意； 故选：A.3．在棱长为1的正四面体ABCD 中，点M 满足()1AM xAB yAC x y AD =++--，点N 满足()1DN DA DB λλ=--，当AM DN 、最短时，·AM MN =（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】A【详解】()1AM xAB yAC x y AD =++--，()1DN DA DB λλ=--，∴ ()()AM AD x AB AD y AC AD -=-+-，()DN DB DA DB λ-=-，即:DM xDB yDC =+，BN BA λ=； M ∴∈平面BCD ，N ∈直线AB ，所以当AM 、DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，DN AB ⊥，M ∴为BCD 的中心，N 为线段AB 的中点，如图：又正四面体的棱长为1，AM ∴=AM ⊥平面BCD ， ∴2cos 60AM AB AM AB AM ⋅=⋅︒=， ∴AM MN ⋅()AM AN AM =⋅-12AM AB AM ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭212AM AM AM =⋅-212AM =-161293=-⨯=-．4．已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角为（ ） A ．60° B ．120° C ．30° D ．90°【答案】B【详解】()()221212112212132212,22a b e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-⋅-=-⨯-=-()222212112221a a e e e e e e ==+=+⋅+=+=()22221211222441b b e e e e e e ==-=-⋅+=-=所以312cos ,32a b a b a b -⋅===-．所以,120a b =︒．故选：B5．已知非零向量,a b 不平行，且a b =，则a b +与a b -之间的关系是（ ） A ．垂直B ．同向共线C ．反向共线D ．以上都可能【答案】A【详解】因为()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以a b +与a b -垂直．故选: A6．已知a →，b →均为单位向量，它们的夹角为60°，那么3a b →→+等于（ ）A B C D ．4【答案】C 【详解】3a b →→+===.故选：C7．若向量()0,1,1a =-，()1,1,0b =且()a b a λ+⊥，则实数λ=（ ）A ．2BC ．2-D ．【答案】C 【详解】因为()a b a λ+⊥所以()0a b a λ+⋅=即0a a b a λ⋅+⋅=，所以()()0110100λ+++++= 得2λ=-故选：C 8．在正方体''''ABCD A B C D -中，棱长为2，点M 为棱'DD 上一点，则AM BM ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】如图所示，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,0)A B ，设(0,0,)M a ，所以(2,0,),(2,2,)AM a BM a =-=--， 则2(2,0,)(2,2,)4AM BM a a a ⋅=-⋅--=+，当0a =时，AM BM ⋅的最小值为4.故选：D.9．在正四面体P ABC -中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PC PD ⋅的值为（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．12【答案】D【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+， ()()1122PC PD PC PC C PA PB PA B P P ⋅=⋅⋅=+⋅+，因为几何体为正四面体，故PA 与PC 夹角为60°，同理PB 与PC 夹角为60°，111cos 602P PA PB C PC ⋅⋅==⨯⨯︒=，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：D 10．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是矩形，1111,2,3AB AD AA A AD A AB π===∠=∠=，则1AC =（ ）A ．23B ．4C ．32D 15【答案】D【详解】()2111AC AB AD AA AB AD AA =++=++ ()2221112AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅()144201215=+++++=.故选：D11．如图所示，已知P 是ABC 所在平面外一点，,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，求证：P 在平面ABC 上的射影H 是ABC 的垂心．【详解】∵,,PA PC PB PC PA PB ⊥⊥⊥，∴0PC PA ⋅=，0PB PC ⋅=，0PA PB ⋅=，PA ⊥平面PBC ，∴0PA BC ⋅=．由题意可知，PH ⊥平面ABC ，∴0PH BC ⋅=，0PH AB ⋅=，0PH AC ⋅=，∴()0AH BC PH PA BC PH BC PA BC ⋅=-⋅=⋅-⋅=，∴AH BC ⊥．同理可证BH AC ⊥，CH AB ⊥．∴H 是ABC 的垂心．12．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠BAD ＝120°，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝6．求PC的长．【详解】解：因为PC PA AD DC=++，所以22222=++=+++⋅+⋅+⋅PC PA AD DC PA AD DC PA AD PA DC AD DC()222222=+++⨯⨯⨯︒=，643243cos12049PC=．所以7故PC的长为7．13．在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．【详解】=-，BC AC AB∴⋅=⋅-⋅=⋅⋅<>-⋅⋅<>cos,cos,OA BC OA AC OA AB OA AC OA AC OA AB OA AB＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162， ∴24162cos ,85OA BCOA BC OA BC ⋅-<>===⨯⋅3225- 故答案为：3225- 14．如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点．求：（1）AB AC ⋅； （2）AD DB ⋅； （3）GF AC ⋅； （4）EF BC ⋅；（5）FG BA ⋅； （6）GE GF ⋅．【详解】四面体ABCD 的所有棱长都等于a ，∴任意两条棱所在直线的夹角为3π，E ，F ，G 分别是棱AB ，AD ，DC 的中点，//,//,||||2a EF BD FG AC EF FG ∴==， （1）2cos 32a AB AC a a π⋅=⨯⨯=； （2）22cos 32a AD DB a a π⋅=⨯⨯=-； （3）2cos 22a a GF AC a π⋅=⨯⨯=-； （4）//EF BD ，则直线BD 与直线BC 所成角就是直线EF 与直线BC 所成角，又3CBD π∠=，2cos 234a a EF BC a π⋅==∴⨯⨯； （5）//FG AC ，则直线AC 与直线AB 所成角就是直线FG 与直线BA 所成角，22cos 234a a FG BA a π⋅-∴=⨯⨯=； （6）取BD 中点M ，连接AM ，CM ，则,AM BD CM BD ⊥⊥，AM CM M ⋂=，BD ∴⊥平面ACM ， 又AC ⊂平面ACM ，BD AC ∴⊥，//EF BD ，EF AC ∴⊥，又//AC FG ，EF FG ∴⊥，0EF FG ⋅=，可知1122GF AC a ==， 222()||024a a GE GF GF FE GF GF FE GF ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+= ⎝⎭∴⎪.。
人教A版选修2-1第三章第四课时同步练习3-1-3空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算一、选择题1．已知向量a 、b 是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c·a ＝0且c·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13 D ．43．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．已知P A ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( )A ．62B ．6C ．12D ．1445．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( )A ．14 B.14 C ．4 D ．26．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )A ．97B ．97C ．61D ．617．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( ) A ．12 B ．22 C ．－12 D ．08．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则(1)AC ′→·DB ′→＝________；〈AC ′→，DB ′→〉＝________；(2)BD ′→·AD →＝________.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________.12．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC →＝________.三、解答题13．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉．14．对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．15．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．参考答案一、选择题1．[答案] B[解析] 当a 与b 不共线．．．时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c·a ＝0，c·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B. ２．[答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2，∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b |2＝13，∴|a ＋3b |＝13.３．[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →，∵△A ′BD 为正三角形，∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.４．[答案] C[解析] ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC →|＝12.５．[答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B. ６．[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2＋9b 2－12a·b ＝4×4＋9×9－12×|a ||b |cos60°＝97－12×2×3×12＝61.７．[答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB |OA →||BC →|. 因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3， 所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.８．[答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．二、填空题９．[答案] 3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22， ∴〈a ，b 〉＝3π4. 10．[答案] (1)1，arccos 13(2)1 [解析] (1)AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c )＝a 2＋c 2＋2a ·c －b 2＝1，|AC ′→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3，∴|AC ′→|＝3，|DB ′→|2＝(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2a ·c －2b ·c ＝3，∴|DB ′→|＝3，∴cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝AC ′→·DB ′→|AC ′→|·|DB ′→|＝13， ∴〈AC ′→，DB ′→〉＝arccos 13. (2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝|b |2＋b ·c －b ·a ＝1.11．[答案] a 2[解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉 ＝2a ×2a ×cos60°＝a 2.12．[答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC →＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC →＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0.三、解答题13．[解析] (a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，(a －4b )(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0，解之得，|b |2＝2a ·b ＝|a |2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°. 14．[证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12AD →＋12BC →. 即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．15．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．。
1.1.2空间向量的数量积运算 人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册
1.1.2空间向量的数量积运算（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养二、教学重难点1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明三、教学过程1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质1.1两个非零空间向量的夹角问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA → = a ，OB → = b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2时，a ⊥b .【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？ （2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .1.2 两个非零空间向量的数量积【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.问题2：根据上述定义我们不难发现，空间向量数量积的定义和平面向量数量积定义一致，那么空间向量数量积的性质是否与平面向量中的一致呢？【预设的答案】一致【互动练习】（1）两个向量的数量积是数量还是向量？（数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关.）（2）0 ·a = （选择0还是0）. 零向量与任意向量的数量积为0. （3）对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⟺ a ·b = （判断垂直关系）（4）a ·a ＝_____或|a |＝a ·a （求模长）（5）若a ，b 同向，则 a ·b ＝_______；若反向，则a ·b ＝_______.（6）|a ·b | ____ |a |·|b |（7）若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，从学生的口中叙述出来，一是为了巩固，也能让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.【解】(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.1.3 空间向量的数量积的几何意义问题3:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a 向向量b 的投影有什么意义？【预设的答案】将两空间向量平移至同一平面，转化为平面向量问题，找出投影向量.在空间中，由于向量a 与向量b 是自由向量，将向量a 与向量b 平移到同一平面内α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量：||cos ,b c a a b b=<>追问: 空间中，向量a 能否向一条直线l 作投影？向量a 能否向一个平面β作投影？图1动态演示向量a 向向量b 投影注：图3中向量a 与投影向量的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角【设计意图】投影向量概念的提出是为了让学生体会空间向量数量积的几何意义；另外，空间向量向直线投影、向平面投影也为后续学生对空间向量与空间角间的关系形成初步认识.1.4 空间向量的数量积的运算律问题4: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？ 【预设的答案】结合律；交换律；分配律 数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ), λ∈R 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a 与向量b 平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,OA a OB b BC c ===令, 'OC OA OC 向投影，投影向量为,OC OA θ记与的夹角为()OA OB BC OA OC ∴=⋅+=⋅左边||||cos OA OC θ=|||'|OA OC ='OB OA OB 向投影，投影向量为,1OB OAθ记与的夹角为 ''BC OA B C 同理，向投影，投影向量为,2BC OAθ记与的夹角为 OA OB OA BC ∴=⋅+⋅右边12||||cos ||||cos OA OB OA BC θθ=+|||'||||''|OA OB OA B C =+ ||(|'||''|)OA OB B C =+|||'|OA OC ==左边图2动态演示向量a 向直线l 投影 图3 动态演示向量a 向平面β投影2. 对比思考，深入了解思考问题1: 对于三个均不为0的数a ，b ，c ，若ab=ac ，则b=c.对于非零向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？分析：由a ·b ＝a ·c ，有a·(b －c )＝0. 从而有b ＝c 或a ⊥(b －c ).追问：能否从几何意义的角度举出反例？思考问题2: 向量有除法吗？分析：向量没有除法. 追问：ak 的结果唯一吗？ 思考问题3: 向量数量积满足结合律吗？分析：两个向量的数量积为一个实数，(a ·b )c 和a (b ·c )分别表示与向量c 和向量a 共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律！【设计意图】通过三个问题的思考 ，与数字运算进行对比，深刻体会向量运算与数字运算的区别所在；学会用数形结合的思想解决问题，了解向量是与几何密切相关的工具.四、课堂小结（1）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质及几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.五、课后思考【变式训练1】例1条件不变,如何求AB →·CD →的值?【解】AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.【设计意图】感受向量数量积的逆用，数量积运算的结果可以推导出夹角及位置关系. 思考：（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？1.1.2空间向量的数量积（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；2.借助利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.二、教学重难点1.空间向量的数量积运算2.利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角三、教学过程1.复习回顾1.1复习回顾，巩固新知问题1：前面我们学习了空间向量的数量积的哪些内容？1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则 叫做向量与的夹角，记作 .2. 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 . 规定:零向量与任意向量的数量积等于 .3. 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则．（2） ．（3） ＝ .【设计意图】通过对平面向量的数量积运算的复习，帮助学生回顾知识点的形成过程，对数量积知识点的复习，巩固学生已学知识点的落实，促进对空间向量数量积运算的理解与掌握.1.2【课前热身--初步应用，理解概念】()()21.303,4,_____,____,2_______.a b a b a b a a b a b ︒==⋅==+⋅-=向量、之间的夹角为，且则【设计意图】创设数学情境，通过简单的实例，让学生运用空间向量数量积的相关知识点解决简单,a b O ,OA a OB b ==AOB ∠a b ,a b ,a b a b ⋅a b ⋅=e ||cos ,a e a a e ⋅=<>a b a b ⊥⇔⋅=a a ⋅=3.已知向量a⃗, b ⃗⃗，满足|a ⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,|a ⃗−b ⃗⃗|=3,则|a ⃗+b ⃗⃗|=_____. 2.的应用问题2.探究典例，应用知识解决问题例1 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5，AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：AB AD；(2) AC'的长（精确到0.1）.(1)【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的距离问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升.例2BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB1A1、平行四边形BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.【活动预设】学生先完成分并展示他们的解答，师生共同纠正补充.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.例3 在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.【活动预设】学生小组讨论，分析解题思路，然后请小组代表解答，师生共同纠正补充.【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的垂直问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升。
1.1.2空间向量的数量积运算2020-2021学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
二空间向量的数量积运算一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=k e1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( )A.-6B.6C.3D.-32.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )A.2·B.2·C.2·D.2·3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线所成的角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6B.6C.12D.144二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1= 60°,E为棱C1D1的中点,则·= .6.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是.三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:(1)·;(2)·.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.1.(5分)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形2.(5分)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题中正确的是( )A.(++)2=3B.·(-)=0C.与的夹角为60°D.正方体的体积为|··|3.(5分)如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC= .4.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>= 135°,m⊥n,则λ=.5.(10分)BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.1.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MN⊥AE,则= .2.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.二空间向量的数量积运算一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=k e1-4e2,a⊥b,则实数k的值为( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3【解析】选B.由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(k e1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.2.如图所示,已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )A.2·B.2·C.2·D.2·【解析】选B.2·=2a2cos 120°=-a2,2·=2·=2a2cos 60°=a2,2·=·=-a2,2·=·=-·=-a2.3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线所成的角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选 B.设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两直线所成的角为180°-120°=60°.4.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于( )A.6B.6C.12D.144【解析】选C.因为=++,所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+2×36cos60°=144,所以PC=12.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,∠BAA1= 60°,E为棱C1D1的中点,则·= .【解析】=++,·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.答案:146.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是.【解析】不妨设棱长为2,则=-,=+,则·=(-)·=0-2+2-0=0,所以⊥.答案:90°三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA1B1B的中心,F为A1D1的中点.求下列向量的数量积:(1)·;(2)·.【解析】如图所示,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=b·=|b|2=42=16.(2)·=(+)·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c.(1)试用a,b,c表示向量;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.【解析】(1)=++=++=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c.(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,所以|a+b+c|=,所以||=|a+b+c|=,即MN=.1.(5分)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,则△ABC是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选 B.因为+-2=(-)+(-)=+.所以(+-2)·(-)=(+)·(-)=-=0,所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.2.(5分)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题中正确的是( )A.(++)2=3B.·(-)=0C.与的夹角为60°D.正方体的体积为|··|【解析】选AB.如图所示,(++)2=(++)2==3,故A正确;·(-)=·=0,B正确;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,C错误;正方体的体积为||||||,D不正确.3.(5分)如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC= .【解析】||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=62+42+32+2||||cos 120°=49.所以||=7.答案:74.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>= 135°,m⊥n,则λ=.【解析】由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,所以a2+(1+λ)a·b+λb2=0,所以18+(λ+1)·3×4cos 135°+16λ=0,即4λ+6=0,所以λ=-.答案:-5.(10分)BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.【解析】如图所示,由题意知,▱ABB1A1、▱BB1C1C均为正方形.因为=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·.因为AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,所以·=0,·=0,·=0且·=-a2.所以·=-a2.又·=||·||cos<,>,所以cos<,>==-.又因为<,>∈[0,π],所以<,>=π,又因为异面直线所成的角是锐角或直角,所以异面直线BA1与AC所成的角为.1.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MN⊥AE,则= .【解析】设=m,则=m=m,因为M为BC的中点,所以=+=+m,又因为=+,·=0,所以·=(+)·=·+m·=·+m·=-+4m=0,所以解得m=.答案:2.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<,>.【解析】(1)设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a), =(a+c-5b),=(a+b-5c),所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos 60°-9)=0,所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),所以||==.又||==,·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,所以cos<,>==.又<,>∈[0,π],所以<,>=.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 第1课时 空间向量的数量积运算(1)
A.|1 × | = |1 × 1 1 |
B. × = ×
C.1 1 × 1 与1 共线
D.( × ) ⋅ 1 与正方体体积数值相等
[解析] 设正方体棱长为1,
⟩ = ∘ − ⟨,⟩ = ∘ − ∘ = ∘ ,故选D.
2.已知 = 3 − 2, = + ,和是相互垂直的单位向量,则 ⋅ =() A
A.1
B.2
C.3
[解析]由条件知 ⋅ = ， = = ，
所以 ⋅ = ( − ) ⋅ ( + ) = − + ⋅ = .
4
[解析]如图所示,正四面体的棱长为1,点，分别是，的中点,所以
= ,
故 ⋅ = ⋅ = |||| ∘ = − × = − .故答案为− .
6.［人教B版教材习题］已知,都是空间向量,且⟨,⟩ =
第一章
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
第1课时 空间向量的数量积运算（1）
A级 必备知识基础练
1.在正四面体中,与的夹角等于() D
A.30∘ B.60∘ C.150∘ D.120∘
[解析]由正四面体每个面都是正三角形可知,⟨，⟩ = ∘ ，故⟨,
= ,| | = ，且 ⊥ ，
⊥ ,由题意知， × 与 共线且方向相同,所以
( × ) ⋅ = | × | ⋅ | | = .又正方体体积为1,所以D对.
故选.
∴ |1 | =
高中数学(新人教A版)选择性必修一：空间向量的数量积运算【精品课件】
向量 b 的投影呢？向量 a 向向量 b 的投影呢？
Ԧ
如图1.1— 11 1 ，在空间，向量向向量
Ԧ
投影，由于它们是自由向量，
因此可以先将它们平移到同一平面内，进而利用平面上向量的投
Ԧ
Ԧ
影，得到与向量共线的向量
，
Ԧ Ԧ = Ԧ cos ,
Ԧ Ԧ
，向量称为向量
Ԧ
Ԧ
Ԧ
Ԧ
AB1 BC1 BB 1 BA BB 1 BC ,
BB 1 BA BC 1 2 2 cos 60 0,
2
AB1 BC1
C
A
B
2.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向
量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___.
6
解析
由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.
3.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,
∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。
D'
解： | AC || AB AD AA |
空间向量的数量积运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角
2.掌握空间向量数量积的性质及运算律
3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的
垂直及平行
知识回顾
1.平面向量的夹角：
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空间向量的数量积（人教A版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( )
A.(1，1，1)
B.(-2，-1，1)
C.(1，-3，1)
D.(1，-1，1)
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( )
A.或2
B.或2
C.2
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
4.向量，若，且，则的值为( )
A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
5.已知空间向量，若与垂直，则( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( )
A.4
B.−4
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( )
A.1
B.2
C.3
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积
8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积
9.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积10.(上接第9题)( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积。