静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)

t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
f t ,则相应的边界条件为 Yux x, t
x l
f t .
第三类边界条件
(混合边界条件)
第三类边界条件给出未知函数和在边界上的法线方向的导数
u x, y, z, t |r B f r , t
其中 r 取边界上的点.
如在杆的热传导问题中,若在一端的温度为 T0e ,则
t
u x, t |xl T0e
x0
t
又如在两端固定的弦的振动问题中,相应的边界条件为
u x, t
0, u x, t
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x j
biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
u x, y, z, t |r B f r , t u |r B f r , t n u cun |rB f r , t
第一类边界条件 第二类边界条件
第三类边界条件
第一类边界条件
(Dirichlet条件)
第一类边界条件给出未知函数在边界上的取值，即
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
xl
0.
第二类边界条件
(Neumann条件)
第二类边界条件给出未知函数在边界上的法线方向的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u x, y, z, t |rB f r , t u n n u
n
如在杆的热传导问题中 ,若在一端流入的热流强度为 则该端点处的边界条件为:
的线性组合在边界上的取值，即
其中 r 取边界上的点.
u cun |rB f r , t
u0
x l
如在杆的热传导问题中,若在某个端点自由冷却,则边界条件 为
ku x
x l
wenku.baidu.com u
x
x l
又如杆的纵振动问题,若一端与一个一端固定的弹簧相连,则相 应的边界条件为
u x, y, z, t |t 0 x, y, z
对于振动过程，所需初始条件则需要包含速度的信息：
u x, y , z , t |t 0 x, y, z ut x, y, z , t |t 0 x, y, z
边界条件
体系的边界会影响体系的物理状态, 体系的边界情况由边界 条件确定. 边界条件反应体系和外界的界面上的情况. 常见的边界条件可以分为三类
只有初始条件,没有边界条件 初值(Cauchy)问题 只有边界条件,没有初始条件 边值问题 既有初始条件,又有边界条件 混合问题
定解问题的适定性
定解问题解的存在性、唯一性和稳定性，统称为 定解问题的适定性。 存在性：定解问题是否有解 唯一性：定解问题的解是否唯一 稳定性：定解问题的解是否稳定 只要对实际物理问题的抽象是合理的，初始条件 完全地、确定地描写了初始时刻体系内部和边界上的 状况；边界条件完全而确定地描写了边界上任意一点 的状况，那么这样构成的定解问题就一定是适定的， 也就是说，解一定是存在的、唯一的和稳定的。
线性（偏微分）方程的性质
引入线性算符 L，则线性（偏微分）方程总可以表示为：
ˆ u f L
其中 u 是未知函数；f 是已知函数，称为方程的非齐次项。
1. L
c1u1 c2u2 c1L u1 c2L u2
2.
L u1 0; L u2 0 L c1u1 c2u2 0
静电场的Laplace方程和Poisson方程
弦的微小横振动方程和杆的纵振动方程
扩散和热传导方程 Schrödinger方程 定解问题和定解条件
初始条件
初始条件用于确定体系的历史状况，当所考察的物理现象 是随时间变化的时候，需要确定体系的初始条件来唯一确定地 描述该现象。（稳定问题不需要初始条件） 如对于传导或扩散过程，需要初始条件确定体系的初始状态：
u
cu
0.
第一、二、三类边界条件可以统一地写成
u [ u ] (, t ) n
其中
u 是边界上的变点； n
表示物理量
u
沿边界外法线方向的方向导数；
,
为常数，它们不同时为零．
当函数
, t 0
时, 上述三类边界条件分别称为
第一、第二、第三类齐次边界条件; 否则称为非齐次边界条件.
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
3. 4.
Lu1 f ; L u2 f L u1 u2 0
L u1 f1 ; L u2 f2 L c1u1 c2u2 c1 f1 c2 f2 .