平方差公式

14.2 乘法公式

14．2.1 平方差公式

学习目标

1.通过探索、归纳特殊形式的多项式乘法的过程，能推导出平方差公式，并会运用平方差公式进行计算．

2.通过具体操作、归纳、推理，理解平方差公式的几何背景．

预习反馈

阅读教材P107～108内容，完成下列问题．

1.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方．

2.计算下列各式：

(1)(x＋1)(x－1)＝x2－1；

(2)(m＋2)(m－2)＝(m)2－(2)2＝m2－4；

(3)(2x＋1)(2x－1)＝(2x)2－(1)2＝4x2－1；

(4)(x＋5y)(x－5y)＝(x)2－(5y)2＝x2－25y2．

3．由图1到图2，根据面积关系，可以得到(a＋b)(a－b)＝a2－b2．

图1 图2

例1(教材P108例1)运用平方差公式计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．

【点拨】在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即

(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22.

↕↕↕↕↕↕

(a＋ b)( a－ b)＝ a2－ b2.

在(2)中，可以把－x看成a，2y看成b，即

(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2.

↕↕↕↕↕↕

(a＋ b)( a－ b)＝ a2－ b2

解：(1)(3x＋2)(3x－2)＝(3x)2－22＝9x2－4.

(2)(－x＋2y)(－x－2y)＝(－x)2－(2y)2＝x2－4y2.

【方法归纳】运用平方差公式计算时，要确定式子中的“a，b”，a是两个二项式中相同的项，b是两个二项式中相反的项，结果是相同项的平方减去相反项的平方．

例2 (教材P108例2)计算：

(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；

(2)102×98.

解：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)＝y2－22－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y

＋1.

(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝1002－22

＝10 000－4＝9 996. 【方法归纳】 利用平方差公式计算两个绝对值较大的数相乘时，关键是将已知数写成两数和与两数差的积的形式．

【跟踪训练】 (《名校课堂》14.2.1习题)运用平方差公式计算：

(1)(m ＋2n)(m －2n)； (2)(－4a ＋3)(－4a －3)； (3)1 007×993；

(4)(2x －y)(y ＋2x)－(2y ＋x)(2y －x)．

解：(1)原式＝m 2－4n 2

.

(2)原式＝(－4a)2－32＝16a 2

－9.

(3)原式＝(1 000＋7)×(1 000－7)＝1 0002－72

＝999 951.

(4)原式＝4x 2－y 2－(4y 2－x 2)＝4x 2－y 2－4y 2＋x 2＝5x 2－5y 2

.

巩固训练

1．下列能用平方差公式计算的是(B)

A ．(－x ＋y)(x －y)

B ．(x －1)(－1－x)

C ．(2x ＋y)(2y －x)

D ．(x －2)(x ＋1) 2．计算(2＋x)(x －2)的结果是(D)

A ．2－x 2

B ．2＋x 2

C ．4＋x 2

D ．x 2

－4

3．若三角形的底边长为2a ＋1，底边上的高为2a －1，则此三角形的面积为(D)

A.4a 2－1

B.4a 2

－4a ＋1

C.4a 2

＋4a ＋1

D.2a 2

－12

4．当x ＝3，y ＝1时，代数式(x ＋y)(x －y)＋y 2

的值是9． 5．计算：

(1)(3a ＋2b)(3a －2b)；

(2)(－2xy ＋3y)(－2xy －3y)．

解：(1)原式＝9a 2－4b 2

.

(2)原式＝4x 2y 2－9y 2

.

课堂小结

利用平方差公式来计算某些特殊多项式相乘，速度快、准确率高，但必须注意平方差公

式的结构特征.

14.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式

教学目标

1.类比平方差公式的推导过程，能利用乘方的意义与多项式的乘法法则推导出完全平方公式，并会运用完全平方公式进行计算．

2.通过具体操作、比较，理解完全平方公式的几何背景．

预习反馈

阅读教材P109～110内容，完成下列问题．

1.完全平方公式：(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2

，即两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．

2.计算下列各式：

(1)(a ＋1)2＝a 2

＋2a ＋1；

(2)(m －3)2＝m 2

－6m ＋9．

3.用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和．

(a ＋b)2

＝a 2

＋2ab ＋b 2

．

名校讲坛

题型1 运用完全平方公式计算

例1 (教材P110例3)运用完全平方公式计算：

(1)(4m ＋n)2

；(2)(y －12

)2.

解：(1)(4m ＋n)2

＝(4m)2

＋2·(4m)·n ＋n 2

＝16m 2

＋8mn ＋n 2

. (2)(y －12)2＝y 2

－2·y ·12＋(12)2＝y 2－y ＋14

.

【方法归纳】 记忆完全平方公式的口诀：“首(a)平方，尾(b)平方，首(a)尾(b)乘积的2

倍在中央．”

【跟踪训练1】 (《名校课堂》14.2.2第1课时习题)直接运用公式计算：

(1)(3＋5p)2；(2)(7x －2)2；(3)(－2a －5)2；(4)(－2x ＋3y)2

.

解：(1)原式＝9＋30p ＋25p 2

.

(2)原式＝49x 2

－28x ＋4.

(3)原式＝4a 2

＋20a ＋25.

(4)原式＝4x 2－12xy ＋9y 2

.

【点拨】 (3)(4)两小题在计算中容易出现符号错误，类似(－a －b)2，(－a ＋b)2

可作如下

变形：(－a －b)2＝(a ＋b)2，(－a ＋b)2＝(b －a)2

.

例2 (教材P110例4)运用完全平方公式计算：

(1)1022； (2)992

.

解：(1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22

＝10 000＋400＋4＝10 404.

(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12

＝10 000－200＋1＝9 801. 【方法归纳】 利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把底数拆成两数和或两数差的形式．

【跟踪训练2】 (《名校课堂》14.2.2第1课时习题)运用完全平方公式计算：

(1)2012； (2)99.82

.

解：(1)原式＝(200＋1)2＝2002＋2×200×1＋12

＝40 000＋400＋1 ＝40 401.