常微分方程 课程论文

《常微分方程》读书笔记

数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078

本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

一、一阶微分方程的初等解法

1.1 变量可分离的微分方程

形如()()dy f x y dx ϕ=的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的

连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成

()()

dy f x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dy

f x dx c y ϕ=+⎰⎰，

c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解．

例1：求解

2dy

xy dx

=的通解。 解：

12dy xdx y =→1

2dy xdx y

=⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成

dy y f dx x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

的形式。 求解：

dy y f dx x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

y

u x

=→y ux =，

dy du x u dx dx =+→()du

x u f u dx

+=→

()11du dx f u u x =-（可分离变量）→通解 例2：解方程22

dy dy

y x xy dx dx

+= 2

2

dy dy y x xy dx dx +=→2

y dy y dy x dx x dx ⎛⎫+=

⎪⎝⎭→2du du u x u u x u dx dx ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭ →

()1du x u u dx -=→111du dx u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭→111du dx u x ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

⎰⎰1ln ln u u x c →-=+

→122ln ,ln y

u

x

y

ux u c ux c e y ux y c e y c x

=-→=→==→=

+ 1.3 一阶线性微分方程

若 ()0dy

p x y dx +=，称为一阶齐次线性微分方程。

若()()dy

p x y q x dx

+=（()0q x ≠），称为一阶非齐次线性微分方程。

解

()0dy

p x y dx

+=的通解如下：可分离变量的一阶微分方程 ()()()11

0ln dy p x y dy p x dx y p x dx c dx y

+=→=-→=-+⎰()2p x dx y c e -⎰→= ()p x dx y ce -⎰

→=（齐次方程通解）采用积分因子法求()()dy

p x y q x dx

+=的一个特解如下 ()()()()()()()()()p x dx p x dx p x dx p x dx dy dy p x y q x e p x y q x e e y q x e dx dx '⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎰⎰+=→+=→=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

()()()p x dx

p x dx

e y q x e dx c ⎰

⎰

=+⎰()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰→=+⎢⎥⎣⎦

⎰

2.2 一阶微分方程的应用举例

例 细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h 内由100增长为400、那么前12h 后总数是多少?

分析：

二、n 阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程

1．n 阶常系数齐次线性微分方程概念： 定义 形如：

()(1)

(2)1210n n n n n y P y

P y P y P y ---'+++++=(1)

称为n 阶常系数齐次线性微分方程，其中

n

P P P 21,都是常数．有时我们用记号

D(叫微分算子)．表示对x 求导的运算dx d

．把dx dy 记作Dy ．n n dx y d 记作D n

y ．把方

程(1)记作：

(

n n n n P D P D P D ++++--111 )y ＝0 (2) 记L(D)=

n n n P D P D +++- 1

1 L(D)叫微分算子D 的n 次多项式． ∴ (2)可记作：L(D)y ＝0

如同讨论二阶常系数齐次线性微分方程那样： 令

y

＝

rx

e 那么：

rx

re y =' 或写为：

()rx n rx n n rx rx rx rx e D e r y e D e r y re De ==⋯⋯===.,22''

()()rx rx e r L e D L =∴

这里：

()()r L P r P r D L n n n =+⋯⋯++=-1

1，因此把rx e y =代入(`)得()0==rx e r L ，由此可见，若选r 为n 次代数方程()0=r L ，即：011=+⋯⋯++-n n n P r P r (3)的根，那麽作出的函数rx e y =就是(2)的一个解．

(3)叫(2)的特征方程．

由特征根的不同情形，可以写出其对应的微分方程的解，见下表：

(0)100(24)400dy ky dt

y y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩kt y Ce =ln 4ln 2100,2412C k ===ln 42412()1001002t t y t e ==⨯(12)200y =