圆的一般方程

圆的一般方程

教学目标:1. 理解一个二元二次方程表示圆的条件

2. 掌握圆的一般方程

3. 会求圆的一般方程，并能利用圆的一般方程解决实际问题

重点难点: 求圆的一般方程，二元一次方程与圆的方程的关系

引入新课

问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

1．圆的一般方程的推导过程．

2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？

例题剖析

例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ()()222214441290244412110

x y x y x y x y +-++=+-++=

例2． 已知ABC ∆的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ∆外接圆的方程．

变式训练：已知ABC ∆的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求A B C ∆外接圆的方程．

例3． 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3

需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）．

例4． 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围．

变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心

位于第一象限，求实数m 的取值范围．

巩固练习

1．下列方程各表示什么图形？

（1）0)2()1(22=++-y x ；

（2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ； （4）02222=-++b ax y x ；

2．若方程0424222=-+-++m m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为

3．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直

线x y =对称，那么必有（ ）

A ．E D =

B ．F D =

C ．F E =

D ．F

E D ==

4．求经过点)14( ，

A ，)36( -，

B ，)03( ，

C 的圆的方程．

课堂小结

圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用待定系数法求圆的一般方程．

课后训练

1．圆036422=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为 ．

2．若方程054222=-+-+m my x y x 表示的图形是圆，则m 的取值范围是 ．

3．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是 ．

4．若圆Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 的圆心在直线0=+y x 上，

则D 、E 、F 的关系有 ．

5．已知圆024222=++++b by x y x 与x 轴相切，则实数b 的值为 ．

6．过点)11( -，M 且与已知圆C ：034222=-+-+y x y x 的圆心相同的圆的方程

是 ．

7．若圆022222=++++b by x y x 关于直线0=+y x 对称，则=b ．

8．过三)00( ，

O ，)11( ，M ，)24( ，N 的圆的方程是 ． 9．求圆心在直线x y -=上，且过两点)4,0(),0,2(-B A 的圆的方程．

10．求圆012222=+-++y x y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程．

11．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，求圆C 的方程．

12．已知圆的内接正方形相对的两个顶点分别是A(5,6),C(3,-4)，求这个圆的方程。

13已知点A(4,0),若P 是圆422=+y x 上一个动点，点Q(x,y)是线段AP 的中点，求点Q 的坐标满足的条件。

14．画出方程211y x -=-表示的曲线。

15．已知点)(y x M ，与两个顶点)00( ，

O ，)03( ，A 的距离之比为2

1，那么点M 的坐标 满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．