第七章 第二节 二重积分的换元法
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高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
二重积分的计算法
b
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
( x)
( x)
( x)
f ( x, y ) d y 2
( x)
0
f ( x, y ) d y
( x)
f ( x, y ) d y
y
f ( x, y) d y
2
[2
a
b
( x)
0
f ( x, y ) d y ]d x 2
若 f ( x , y) f ( x, y), 则 ( x ) f ( x, y ) d y 0 ( x) b 则 D f ( x, y) d a 0 d x 0 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在第一象限部分, 则有 2 2 ( x y ) d x d y D ( x y ) d x d y 0
1
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
D
( x)
证明域D 关于x 轴对称,故不妨记为 则
0 y ( x ) D1 : a xb
( x) y ( x) a xb
故
D1
f ( x, y ) d
b
a
d x
( x)
0
f ( x, y) d y
D f ( x, y) d a d x ( x ) f ( x, y ) d y
b
( x)
若 f ( x , y) f ( x, y), 则
则 D f ( x, y ) d d x a
x
结束
(3)对称性 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 ( x) (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D1 b D f ( x, y) d 2D f ( x, y) d a o D x
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分的换元法
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
二重积分的计算法(2)
D
f ( x,
y)dxdy
D
f ( y, x)dxdy
1 2
D
[
f
(
x,
y)
f ( y, x)]dxdy
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(20)(本题满分10分）2010年数学二
计算二重积分 r2 sin 1 r2 cos 2drd,其中
D
D
(r, )
|
0
r
sec , 0
}. 4
y
解 由题设知，积分区域D如图
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1} .
解
在极坐标系下
x r cos
y
r
sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos , r sin )rdr.
二、选择题（本题15分，每小题3分）2009级期末考试
3、球面x2 y2 z2 4a2与柱面x2 y2 2ax所围成的
立体体积V ( B )
( A) 4 2 d
2a cos
4a2 r 2 dr;
0
0
(B)
4
2 d
2a cos
r
4a2 r 2 dr;
0
0
(C)
8
2 d
2a cos
yx
所示，将积分化为直角坐标系下 o
的二重积分为
D x1 1x
r2 sin 1 r2 cos2 r2 sin2 drd
第七章 第二节 二重积分的换元法
x2 y2 解: 取 D : 2 2 1, 由对称性 a b 2 2 y 2 c 1 x 2 2 d x d y
D a b
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d
r d d dr d r
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( ) r ( ) 1 2 设D : ,则
r ( ) 2 D
x
充分利用对称性
应用换元公式
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1. 交换积分顺序
提示: 积分域如图
o
r a cos r arccos r a
r
r arccos a
a
x
I dr r f ( r, ) d 0 arccos a
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a
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
x2 e 0
dx
事实上, 当D 为 R2 时,
2
①
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
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例2. 求球体
被圆柱面 x 2 y 2 2 a x
重积分的换元法
f (x(u, v, w),y(u, v, w),z(u, v, w)) | J | dudvdw . '
容易验证，
柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
cos r sin 0
J (x, y, z) sin r cos 0 r,
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f[x(u, v),y(u, v)]J(u, v) dudv.
D
D'
三重积分的换元法
(Change of Variable in Triple Integral)
定 理 设 f (x, y, z) 在 有 界 闭 区 域 上 连 续 ， 变 换T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w),将o uvw 上 的 闭 区 域' 变 为o xyz 上 的 闭 区 域， 且 满 足
(r, , z)
0
01
球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
sincos coscos sinsin
J (x, y, z) sinsin cossin sincos 2 sin
(, , ) cos sin
(1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)在 D 上 具 有 一 阶 连 续偏导数； (2) 在 ' 上雅可比式 J(u, v, w) (x, y, z) 0;
(u, v, w) (3) 变 换 T : ' 是 一 对 一 的 ， 则 有
f (x, y, z)dxdydz
容易验证，
柱坐标(Cylindrical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
cos r sin 0
J (x, y, z) sin r cos 0 r,
(u, v) (3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f (x, y)dxdy f[x(u, v),y(u, v)]J(u, v) dudv.
D
D'
三重积分的换元法
(Change of Variable in Triple Integral)
定 理 设 f (x, y, z) 在 有 界 闭 区 域 上 连 续 ， 变 换T : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w),将o uvw 上 的 闭 区 域' 变 为o xyz 上 的 闭 区 域， 且 满 足
(r, , z)
0
01
球坐标(Spherical Coordinate)变换的Jacobi行列式为
sincos coscos sinsin
J (x, y, z) sinsin cossin sincos 2 sin
(, , ) cos sin
(1) x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)在 D 上 具 有 一 阶 连 续偏导数； (2) 在 ' 上雅可比式 J(u, v, w) (x, y, z) 0;
(u, v, w) (3) 变 换 T : ' 是 一 对 一 的 ， 则 有
f (x, y, z)dxdydz
二重积分的换元法
=2
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
二重积分换元法证明及推广新思路
二重积分换元法证明：首先，我们考虑一个定义在[a, b]上的函数f(x)，并且它在[a, b]上可导。
我们假设要求的是函数f(x)的积分，即：∫a b f (x) dx 假设我们将[a, b]分成n等分，每一等分的宽度为h=b-a/n，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∑i=1 n f(x_i) 其中，x_i 为[a, b]区间内的每一等分的中点。
接下来，我们考虑一个新的变量y，它的定义域为[0, 1]，值域为[a, b]，其函数关系式为： y=a+h(x-1) 根据此关系式，我们可以将[a, b]区间内的积分表示成如下形式：∫a b f (x) dx = h ∫0 1 f (y) dy 于是，我们可以得到：∫a b f (x) dx = ∫0 1 h f (a+h(x-1)) dx 这就是所谓的“二重积分换元法”。
推广新思路：在二重积分换元法中，我们可以把原来的定积分变成一个双重积分，从而使得数学计算变得更加简单。
因此，我们可以推广这种思路，将复杂的数学问题转化为更为简单的形式，从而使得计算变得更加容易。
此外，我们也可以考虑用此思路更深入地研究函数的性质，从而更好地理解函数的特性。
14-7.二重积分的换元法PPT
D
D2
u
J =2 J：部-Vvevdu = -£‘(2e - eT)vdv = e — e_1
例2计算JJ
1 -亳2-^22dxdy,其中D为 a b
D
22
椭圆Xr + % = 1所围成的闭区域.
ab
解作广义极坐标变
x = ar cos 0,
y = br sin
其中 a > 0, b > 0, r > 0, 0 < 0 0<, 2冗.
1,二重积分换元公式
__________ ______平_:面__上__同__一_■个_点.—，直角坐标与极坐标之
x = pcos^, 间的关系为 y = psin^.
上式可看成是从直角坐标平面po(P到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于皆湃
面上的一点M3,饥，通过上式变换，变 成
xoy 平面上的一点M(x, y)，且这种变 换 是一对一的.
\x + y = =2
则 x = ,y= . 22
没
o
x
D — D,艮卩 x = 0 T u = —
v;
v
v=2
y = 0 T u = v;
u = —v
u=v
x + y = 2 T v = 2.
o
u
11
J = a (X, y) 2 2 1 d (u, v) 1 1 2,
22
y-x
u
故 JJ ey+Xdxdy = JJ ev -dudv
(3) 变换T : D'T D是一对一的，则有 JJ f ( x,
y )dxdy = JJ f [ x ( u, v ), y ( u, v )]| J ( u, v )
重积分的换元法
D
o
u
D：x y 1 u 1
x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、 x 2 y 2dxdy, 其 中D 是 由 两 条 双 曲 线xy 1 和
2.
J
(x, y) (u, v )
1 (u,
v)
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
例1 计算I (x y z) cos(x y z)2 dv, 其中
={(x, y, z) | 0 x y 1, 0 x z 1, 0 x y z 1}.
解: 为了使积分区域变得简单，我们作坐标变换：
x y u, x z v, x y z ,
于是 x 1 (u v ), y 1 (2u v ),
一、二重积分的换元法
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
高等数学二重积分的计算
是由中心在原点，半径为 a 的圆周 所围成的闭区域.
解
在极坐标系下
D：0 r a ，0 2 .
e
D
x2 y2
dxdy d e
0 0
a2
2
a
r 2
rdr
(1 e
).
例3
求广义积分 0 e
x2
dx .
S
解 D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
D3
D1
D2
D
Байду номын сангаас
3
x y 4 y r 4 sin
6 x 2 y 2 2 y r 2 sin
x 3 y 0 1
3
( x
D
2
y )dxdy
2
6
d r rdr 15( 3 ). 2 sin 2
4 sin 2
sin( x y ) dxdy, 例 5 计算二重积分 2 2 x y D 2 2 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x y 4}.
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2 ( )
1 ( )
二重积分的换元法
二重积分换元法
哎，说起二重积分换元法，那可真是个让人又爱又恨的家伙。
为啥子这么说呢？因为它能帮咱们解决好多复杂的积分问题，但要是没搞懂，那可就让人头疼了。
二重积分，说白了就是算二维平面上的面积嘛。
有时候，直接算x、y的积分，简直就像是在走迷宫，绕来绕去都找不到出口。
这个时候，换元法就派上用场了。
咱们可以把x、y换成u、v，这样一来，原来的复杂积分就变成了新的、相对简单的积分。
但是，换元不是随便换的，得有个规矩。
这个规矩就是雅可比行列式。
啥子是雅可比行列式呢？说白了，它就是个描述坐标变换关系的工具。
咱们换元之后，原来的面积元素dxdy就变成了新的面积元素dudv，而这个变化关系，就是由雅可比行列式来描述的。
换元的时候，咱们得注意几点。
首先，得找到合适的u、v来替换x、y，这个得靠经验和直觉。
其次，得算出雅可比行列式，这个可是个技术活，得仔细点儿。
最后，还得把原来的积分区域变成新的积分区域，这个也得靠画图和推理。
举个例子来说，要是咱们要算一个椭圆的面积，直接算可能很难，但是咱们可以把它变成圆的形式，然后再用极坐标来算，这样就简单多了。
这个过程中，就用到了换元法和雅可比行列式。
所以说，二重积分换元法虽然复杂，但是只要咱们掌握了它的规律，就能用它来解决好多实际问题。
这就像走迷宫一样，虽然路很难找，但是只要咱们找到了出口，就能顺利地走出去。
二重积分的换元积分法与极坐标法
二重积分的换元积分法与极坐标法在微积分中，二重积分是求解平面区域上的函数面积或质量等问题的重要工具。
在进行二重积分的计算时，有时候使用常规方法会十分繁琐，这时候就可以考虑使用换元积分法或者极坐标法来简化计算过程。
本文将介绍二重积分的换元积分法和极坐标法，并通过实例进行详细说明。
一、换元积分法1. 换元积分法的基本思想换元积分法是利用变量代换的方式，将原积分转化为新变量下的积分形式。
在二重积分中，换元积分法实质上是一种坐标变换。
通过适当选择变量代换，可以简化积分的计算。
2. 换元积分法的步骤（1）确定新的变量代换。
（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。
（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。
（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。
（5）将结果转换回原变量。
3. 实例分析例如，求解二重积分∬D x^2y dxdy，其中D为区域(x,y)∈[a,b]×[c,d]上的有界闭区域。
（1）选择变量代换 u = x^2，v = xy。
（2）计算雅可比行列式J = ∣∣∣ ∂(x,y) ∂(u,v) ∣∣∣ = ∣∣∣ ∂x/∂u ∂x/∂v ∂y/∂u ∂y/∂v∣∣∣= ∣∣∣ 2x y x ∣∣∣ = 2x^2y - xy^2（3）将被积函数 x^2y 用新变量表示为 xy。
（4）根据换元公式，进行积分求解。
原积分变为∬D xy(2x^2y -xy^2) dudv。
（5）将结果转换回原变量。
所得二重积分的结果即为所求。
二、极坐标法1. 极坐标法的基本思想极坐标法是将平面上的点用极坐标表示，将二重积分转化为在极坐标下的累次积分。
通过极坐标的特点，可以简化被积函数并简化积分区域。
2. 极坐标法的步骤（1）确定将二维平面上的点转化为极坐标系下的点的变换关系。
（2）计算雅可比行列式，得到被积函数的变量替换形式。
（3）将被积函数用新的变量表示，并计算偏导数。
（4）根据换元公式，将被积函数与雅可比行列式相乘，并进行积分求解。
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y
r =ϕ(θ)
(2) y
r =ϕ(θ)
D
D
o
(2) − ≤θ ≤ 2 2
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x
o x 答: ( ) 0 ≤θ ≤π ; 1
π
π
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结束
例1. 计算
其中D: x2 + y2 ≤ a2.
0≤ r ≤ a 故 解: 在极坐标系下D: , π 0 ≤θ ≤ 2
原式 =
∫∫D
r dr dθ = ∫ dθ ∫0 re
y − 3x = 0 ⇒θ2 = x − 3y = 0 ⇒θ1 =
2 2
π
3
π
6
2
π
3
4sinθ 2 π r ⋅ r dr =15( − 2sinθ 2
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o
x
3)
结束
∴∫∫ (x + y )d xd y = ∫ dθ π
D
6
∫
∂x k +o(ρ) x4 − x = x(u,v +k) − x(u,v) = 1 ∂v (u,v) ∂y 同理得 y2 − y = h+o(ρ) 1 ∂u (u,v) ∂y k +o(ρ) y4 − y = 1 ∂v (u,v) 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 − x y2 − y1 1 ∆σ ≈ M M2 ×M M4 = 1 1 x4 − x y4 − y1 1
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x = r cosθ , y = rsinθ 例如
∂(x, y) cosθ −rsinθ J= = =r ∂(r,θ) sinθ −r cosθ
∴∫∫ f (x, y)dxd y
D
= ∫∫ f (r cosθ, rsinθ)r dr dθ
′ D
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通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 Mi (xi , yi ) (i =1 2,3 4) , ,
T
y
M4
M3
M 1
DM
2
令ρ = h +k , 则
2 2
o
x
∂x x2 − x = x(u +h,v) − x(u,v) = h+o(ρ) 1 ∂u (u,v)
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= ∫∫
u 1 ev − dudv 2 ′ D
= e −e
− 1
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例4. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 2 2 y x x2 =by 解: 令 u = , v = , 则 y2 = qx y x y D y2 = px p ≤u ≤ q ′ D : D x2 = ay a ≤ v ≤b x 1 ∂(x, y) 1 o = J= =− v 3 ∂(u,v) ∂(u,v) b ′ D ∂(x, y) a ∴S = d xd y u
(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) • 写出积分限 不等式 • 计算要简便 充分利用对称性 应用换元公式
机动
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1. 交换积分顺序 提示: 提示 积分域如图
r = acosθ r θ = arccos r a
o
r
r arccos a
=π
故①式成立 .
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例2. 求球体
2 2 被圆柱面 x + y = 2ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 D: 0 ≤ r ≤ 2acosθ , 0 ≤θ ≤ 由对称性可知
π
2
z
V = 4∫∫
D
4a −r r dr dθ
2 2
o
2
y
∫0
2acosθ
4a −r r dr
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β
o
x
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 可逆.
v
v+k v
′ M4 M′ 1
在 o′v坐 面 , 用平行于坐标轴的 u 标 上
直线分割区域 D, 任取其中一个小矩 ′ 形, 其顶点为
′ D
′ M3 ′ M2
o′
u u+h u
′ M′(u,v), M2(u +h,v), 1 ′ ′ M3(u +h,v +k), M4(u,v +k).
r =ϕ(θ)
D
∫∫D f (rcosθ,rsinθ)rdrdθ
=∫
2π 0
dθ ∫
ϕ(θ)
0
f (r cosθ, rsinθ)r dr
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o
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若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2π 2 σ = dσ = ϕ (θ)dθ D 20
∫∫
∫
思考: 思考 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 θ 的变化范围是什么? (1)
≈
∂x ∂u ∂x ∂v
h k
∂y ∂u ∂y ∂v
h k
=
∂x ∂u ∂y ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v
hk= J(u,v) hk
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因此面积元素的关系为 dσ = J(u,v) dudv 从而得二重积分的换元公式:
∫∫D f (x, y)dxd y = ∫∫ f (x(u,v), y(u,v)) J(u,v) dudv ′ D
D r =ϕ2(θ)
β
(2) 一般换元公式
x = x(u,v) 下 在变换 y = y(u,v) (x, y)∈D
则
o
α
r =ϕ (θ) 1
∫∫D f (x, y)dσ = ∫∫D′
∂(x, y) ≠0 且 J= ∂(u,v) f [x(u,v), y(u,v)] J dudv
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0
2π
a
−r2
dr
=π(1−e
由于 e
−x2
−a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
∫
+∞ −x2 e dx = 0
π
①
事实上, 当D 为 R2 时,
2
利用例6的结果, 得
令 x = ar cosθ , y =brsinθ , 则D 的原象为
D a b
′ D : r ≤1, 0 ≤θ ≤ 2 π ∂(x, y) acosθ −arsinθ J= = = abr bsinθ br cosθ ∂(r,θ )
D 2π
0
∴ V = 2c∫∫
1−r2 abr dr dθ
1 0
= 2abc∫ d θ∫
2
2a
x
32 3 π 2 = a( − ) 3 2 3
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二、二重积分换元法
定理: 定理 设f (x, y)在 域D 连 , 变换: 闭 上 续
v
′ D
x = x(u,v) (u,v)∈D →D ′ T: o′ y = y(u,v) ′ 一阶导数连续; 满足 (1 x(u,v), y(u,v)在D上 )
∫∫D op q b 1 1 q = ∫∫ J dudv = ∫ du∫ dv = (q − p)(b−a) ′ a D 3 3p
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例5. 试计算椭球体
的体积V.
x2 y2 解: 取D: 2 + 2 ≤1, 由对称性 a b 2 x2 − y d xd y = 2c∫∫ 1− 2 2
u
T
′ (2) 在D上雅可比行列式 ∂(x, y) J(u,v) = ≠ 0; ∂(u,v)
定积分换元法D →D是一一对应的 , (3) 变换 T : ′
b
y
D
则
dx = f f t(u, ′(t du ( x J(u )) ∫a, f (x)xd y= ∫α D′[ϕ((x)]ϕv),)y(t ,v))=ϕ(,tv) dudv ∫∫D f (x y)d ∫∫
r =ϕ2(θ) D
∫∫D f (rcosθ,rsinθ)rdrdθ
= ∫ dθ ∫ (θ) ϕ
α
1
β
β
ϕ2(θ)
o f (r cosθ, rsinθ)r dr
o
α
r =ϕ (θ) 1
r =ϕ2(θ)
0 ≤ r ≤ϕ(θ) 特别, 特别 对 D: π 0 ≤θ ≤ 2
β
α r =ϕ1(θ)
第二节 二重积分的换元法
一、利用极坐标计算二重积分 二、计算二重积分的换元法
第七章
机动
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结束
一、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 θ =常数, 分划区域D 为
θ =θk + ∆θk θ =θk
∆ k (k =1, 2,L n) σ ,
o
r = rk x
a
x
I =∫ dr ∫ θ r f (r, θ )d 0 −arccos a
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a
2. 计算
2 2
∫∫D
(x2 + y2)dxd y, 其中D 为由圆 x2 + y2 = 2y,