新湘教版八下教案：4.1.1 变量与函数
湘教版八年级数学下册《4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1变量与函数》公开课教案_0
4.1.1变量与函数一.教学目标知识与技能：认识变量、常量，学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.过程与方法：逐步感受变量间的关系.情感态度与价值观：对数学产生好奇心和求知欲.二.教学重点和难点思考：1.图4-1是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T是如何随时间t的变化而变化的.（1）这一天中，4时的温度是.14是时的气温是.（2）随着的变化而变化.（气温、时间）（3）当时间t取定一个值时，温度T有唯一的值与它对应.2.当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5…时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表. 观察思考：（1）正方形的边长越，面积就越大.（2）当边长x取定一个值时，面积S有唯一的值与它对应.（3）说明在这一过程中，随着边长x的变化，相应的面积S也随之.（4）在这一过程中，面积S与边长X之间满足的关系是.3.某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y=2.88x，当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：（1）随着的变化而变化.（2）当x=10时，y= （元），当x=20时，y= （元）（3）当所用天然气的体积x取定一个值时，使用天然气缴纳的费用y有的值与它对应.结论：在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量.在上述问题中：变量有：，常量有：；随堂练习：（1）球的表面积S与球的半径r的关系式是S=4R2.（2）圆柱的表面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高度h的关系式，是V=R2h.（3）以固定的速度V0向上抛一个小球，小球的高度h与小球运动时间t的关系是h=v0-4.9t2根据以上三个问题思考：（1）以上每个变化过程中都有几个变量？（2）变量之间是怎样变化的？（3）给其中一个变量取定一个值，另一个变量有几个值与之相对应？定义：一般地，在一个变化过程中有两个变量，例如x和y,对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时y是x的函数。
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》是学生在学习了初中阶段函数概念的基础上，进一步探讨变量与函数的关系。
本节内容通过具体的实例让学生理解自变量、函数的概念，以及如何用函数式表示变量之间的关系。
教材内容由浅入深，既巩固了以前的知识，又为后续学习函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了变量、常量的概念，对函数有了初步的认识。
但部分学生对函数的定义和判断仍然存在模糊的地方，对函数式子的理解也不够深入。
因此，在教学过程中，需要帮助学生理清变量、常量、函数之间的关系，并通过具体例子让学生感受函数式表示变量之间的方法。
三. 教学目标1.理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.能够判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：理解自变量、函数的概念，掌握用函数式表示变量之间的关系。
2.难点：判断一个关系是否为函数，并能用函数式表示。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究变量与函数的关系。
2.利用具体实例，让学生感受函数式表示变量之间的方法。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用板书、多媒体等教学辅助工具，提高教学效果。
六. 教学准备1.准备相关实例，用于讲解变量与函数的关系。
2.准备多媒体课件，用于展示函数图像和实例。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例，如投篮问题，引导学生思考投篮命中次数与投篮次数之间的关系。
让学生意识到这两个量之间存在一种依赖关系，进而引出自变量、函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现投篮问题的具体数据，让学生观察命中次数与投篮次数之间的关系。
引导学生用函数式表示这种关系，如命中次数 = 投篮次数 × 命中率。
湘教版八年级数学下册《4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1变量与函数》公开课教案_3
《变量与函数》教学设计教学目标知识与技能（1）基于生活经验，学生初步感知用常量和变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量和变量。
（2）借助简单实例，初步理解变量与函数的关系，知道存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及含有两个变量的实例，并指出哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
（3）借助简单实例，初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量之间是否具有函数关系。
过程与方法借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手。
情感、态度与价值观从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用的、有趣的学科。
教学重点难点重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数概念难点：怎样理解“唯一对应”教学过程（一）创设情境，导入新课1.如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的，你能从图中得到哪些信息？（1）这天的4时、14时气温分别是多少？10℃ 20℃（2）问题中有几个量在发生着变化？2个2.当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，…时，正方形面积s 分别是多少？试填写下表：正方形的面积随着它的边长变化而变化3.某城市居民用的天然气，1m3 收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y=2.88x. 当x=10时，缴纳的费用为多少？28.8元（二）探究新知第1个问题中，某地一天中的气温(T)随着时间(t)的变化而变化.第2个问题中，正方形的面积(S)随着它的边长(x)的变化而变化.第3个问题中，使用天然气缴纳的费用(y)随所用天然气的体积(x)的变化而变化.像上述问题这样，在某一变化过程中会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量。
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第1 课时§ 4.1 变量与函数教学目标：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
教学重点借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念教学难点怎样理解“唯一对应”教学过程一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究第1个问题中,某地一天中的气温随着时间的变化而变化,从图中可看出,4时的气温是10℃,14时的气温是17℃第2个问题中,正方形的面积随着它的边长的变化而变化。
3、某城市居民的生活用电，1kw/h收费0.63元，使用xkw/h应交纳的费用为y（元），怎样用含x的式子表示y呢？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？三、应用迁移、巩固提高例1 ：已知圆柱的高是4cm，底面半径是rcm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积Vcm3是r的函数。
（1）用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围；（2）当r=5,10时，V是多少（结果保留）？解：(1)、圆柱的体积V=4πr2,自变量r的取值范围是r>0.(2)、当r = 5时V=4π×25=100π(cm3)当r =10时,V=4π×100=400π(cm3)四、课堂练习：教材P112页练习1、2题五、小结1 、通过一些具体问题感受到现实世界中存在着变化但互相依赖的量，并且知道了变量及常量。
湘教版（2012）初中数学八年级下册 4.1.1 变量与函数 教案
变量与函数教案教学目标：知识与技能：1、通过简单实例，了解变量与常量的定义；2、通过实例，掌握函数的定义。
过程与方法：通过实例，让学生感受生活中的一些变化关系，从而理解函数的意义。
情感态度与价值观：通过实例感受函数和日常生活的密切关系，增强学生学习函数的兴趣和信心。
教学重点：函数的概念教学难点：函数概念的理解教学方法：讲授法、谈话法、演示法、情境法、练习法、讨论法、自主探究法教学设计：一、概念引入（一）情境导入同学们，我们生活在一个充满变化的世界里，人的身高随着年龄的变化而变化；匀速行驶的列车，行驶的路程随着时间的变化而变化；前段时间有一部非常火爆的电影——《战狼2》，它的票房随着时间的变化而变化。
这样的变化还有很多，同学们，你能举例说一说吗？这说明，我们的大千世界一直在不断地变化，用我们数学的眼光来看，这些变化有没有规律呢？有规律的话，又有些什么样的规律？又该如何描述这些规律呢？今天这节课，我们就来学习刻画一些变化规律的量和关系——变量与函数。
最近我们这里的温差特别大，我们班上都已经有好几位同学感冒了，那接下来我们就通过图像来了解一下气温如何随着时间的变化而变化。
（二）情境探究课件分别展示三个问题：问题一：气温与时间问题出示课件。
师：你能从图中得到哪些信息？生：有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化。
等等。
师：同学们想一想，4时的气温可不可能既是10摄氏度，又是12摄氏度，或者同时又是其他的值呢？生：不可能。
师追问：那这说明了什么呢？生：对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。
师：刚刚同学们说得非常好，那我们来总结一下，从这个题目中，我们得到气温与时间之间有什么关系呢？总结：在这个题中有两个变化的量，气温随着时间的变化而变化，对于时间取的每一个值，气温都有唯一的一个值与它对应。
师：刚刚我们从图像中发现了气温与时间之间的变化关系，接下来，从表格中是否也能有所发现呢？问题二：正方形的面积与边长问题出示课件。
湘教版八年级数学下册《4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1变量与函数》公开课教案_4
《变量与函数》教学设计【在整堂课中，使用教学PPT课件以及一体机白板，让课堂显得生动活泼，尽量能激发学生学习积极性。
】教学目标结合学生现有的认知水平与实际情况，确定本节课的教学目标如下：1.知识与技能目标：能够运用丰富的实例，在具体情境中领悟函数概念的意义。
了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量，了解自变量与函数的意义。
2.过程与方法目标：通过动手实践与探索，参与变量的发现和函数概念的形成过程，提析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心。
增强对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情。
教学重、难点根据学生现有水平及新课标的要求，确立本节课的重点和难点如下：重点：了解函数概念的形成过程，正确理解函数的概念。
难点：理解变量的内涵。
教学过程：(一)设疑导入我会展示两个问题引导学生思考：1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，先填写下表，再试着用含的式子表示。
2.请学生分组进行实验活动，然后各组选派代表汇报。
如图所示，用火柴棒摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第四个图形需要_________根火柴棒，第五个图形需要_________根火柴棒，第n个图形需要________根火柴棒。
在学生动手实验并充分发表自己意见的基础上，师生共同归纳：上面的问题和实验都反映了不同事物的变化过程。
其中有些量(例如时间t，里程s的值)是按照某种规律变化的。
在一个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量。
也有些量是始终不变的，如上面问题中的速度60(千米/时)等，我们称之为常量。
通过动手实验，学生的学习积极性被充分调动起来，进一步深刻体会了变量间的关系，学会了运用表格形式来表示实验信息。
从而感知到变量函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。
3.请学生具体指出上面这些问题和实验中，哪些量是变量，哪些量是常量。
八年级数学下册 4.1.1《变量与函数》教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八年级下册数学教案
课题：变量与函数教学目标1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
2、引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
3、从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
重点：借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点：理解函数的“唯一对应”性。
教学过程：一、情境导入（出示ppt课件）如图，是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，它反映了该地某一天的气温T（℃）是如何随时间t的变化而变化的。
你能从图中得到哪些信息？从图中可以看出，4时的气温是℃，14时的气温是℃.这个问题中，某地一天中的气温随着时间的变化而变化。
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律还可以举出很多这样的例子。
二、合作探究（出示ppt课件）（一）提出问题：1.一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，以下为汽车在每小时行驶过的路程的情况：路程（S）=速度(v)×时间（t）试用含t的式子表示S：S = 60t在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量；有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量.这个问题中，变量是，常量是。
2. 当正方形的边长x分正方形的面积S分别是多少？试填写下表：这个问题中，正方形的面积随着它的边长的变化而变化.写出s与x的关系式：s = x2这个问题中，变量是，常量是。
2023八年级数学下册第4章一次函数4.1函数和它的表示法4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版
4.教学手段：
-小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流和合作。
-示例讲解：通过具体的示例讲解函数的概念和表示方法，让学生更好地理解和掌握。
-练习题和作业：布置相关的练习题和作业，巩固学生对函数知识的理解和应用能力。
教学实施过程
1.课前自主探索
-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。
-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。
教学方法/手段/资源：
-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。
-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的函数概念和表示方法。
5.题型五：函数的实际应用
-例题：一家商店的售价y（元）与销售量x（件）之间的关系可以用函数y = 100 + 0.5x表示。如果商店想要增加收入，应该采取什么措施？
-解答：商店应该增加销售量x，因为随着销售量x的增加，售价y也会增加，从而增加收入。
教学反思与总结
在本节课的教学过程中，我主要采用了讲授法和实践活动法，通过详细的讲解和生动的实例，帮助学生理解和掌握函数的概念和表示方法。同时，我还组织了一些小组讨论和角色扮演等活动，让学生在实践中加深对知识的理解和应用。然而，在教学过程中，我也发现了一些不足之处。
-在组织课堂活动时，可以更加注重学生的思考和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-在批改学生作业时，可以更加注重学生的思考过程和理解，通过提问和讨论等方式，引导学生深入思考和理解函数的概念和性质。
-加强课后辅导，针对部分学生在理解和应用函数的概念和性质方面存在困难，可以通过个别辅导和小组讨论等方式，帮助学生克服困难，提高他们的学习效果。
八年级数学下册4.1.1变量与函数教案(新版)湘教版【教案】
度的升高而降低， 年龄随着时间的增长而增长。 这几个问题中都涉及两
个量的关系，地球的位
置与时间， 温度与高度，
年龄与时间。 二、合作交流、解读探
究
1、气温问题：上图
是北京春季某一天的气
温Ｔ随时间 t 变化的图
象，看图回答：
（1）这天的 8时的气温
是 ℃， 14时的气温
是 ℃，最高气温是
℃，最低气温
是 ℃；
（2）这一天中，在 4时 ~12时，气温（ ），在 16时 ~24时，气温（ ）。
A. 持续升高 B. 持续降低 C. 持续不变
思考：
1
（1）天气温度随
的变化而变化，即 T 随 的变化而变
化；
（2）当时间 t 取定一个确定的值时，对应的温度 T 的取值是否唯一确
定？
2 、当正方形的边长 x 分别取 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7……时，正方形的
找出它们的共性， 归纳出函数的概
x 和 y，如果对于 x 的每一个值， y x 是自变量， y 是 x 的函数。
三、应用迁移、巩固提高
例 1 已知圆柱的高是 4cm，底面半径是 rcm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积 Vcm3是 r 的函数。（ 1）用含 r 的代数式来表示
圆柱的体积 V，指出自变量 r 的取值范围； （ 2）当 r=5,10 时， V 是多少
练习 教材 P112页 练习 1、 2题 四、全课小结 1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同 学，也可以向同学请教。 2．函数是一种“数”吗？
五、作业： 教材 P116 页 A 组 1 题
3
面积 S 分别是多少？
3、某城市居民用的天然气， 1m3收费 2.88 元，使用 x（ m3）天然气应缴 纳费用 y=2.88x , 当 x=10时，缴纳的费用为多少？
湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿
湘教版数学八年级下册4.1.1《变量与函数》说课稿一. 教材分析《变量与函数》是湘教版数学八年级下册4.1.1的内容，本节内容是在学生已经掌握了代数式的知识基础上进行讲述的，旨在让学生了解变量的概念，并引入函数的概念。
教材通过生活中的实例，引导学生理解变量和函数的关系，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于代数式、方程等概念有一定的了解。
但是，对于变量和函数的概念，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和生活情境，帮助学生理解变量和函数的概念，并建立它们之间的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量和函数的概念，并掌握它们之间的关系。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会如何用变量和函数来描述实际问题。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点：变量和函数的概念及其关系。
2.难点：如何用变量和函数来描述实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、实例分析、小组讨论等。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，如气温变化、物体运动等，引导学生思考变量和函数的关系。
2.新课导入：介绍变量的概念，让学生理解变量是如何表示事物的变化。
3.案例分析：分析生活中的实例，引导学生理解函数的概念。
4.知识讲解：讲解变量和函数之间的关系，让学生掌握它们的基本概念。
5.练习巩固：让学生通过练习题，巩固所学知识。
6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生形成知识体系。
7.课后作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.变量与函数2.变量的概念3.函数的概念4.变量与函数的关系八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、课堂表现、作业完成情况等方面进行。
教师应及时关注学生的学习进度，针对不同学生进行差异化指导，提高教学效果。
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《变量与函数》教案教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
教学重点与难点1.借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念2.怎样理解“唯一对应”教学过程：一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化。
再例如，气温随着高度的升高而降低，汽车行驶的路程随着行驶的时间而变化。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，路程与时间。
二、合作交流、解读探究问题1 下图是某地一天内的气温变化图.1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.问题2 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？1.常量和变量思考：在上述问题中分别有几个量？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念思考：在上述问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.三、应用迁移、巩固提高例1 已知圆柱的高是4cm，底面半径是rcm，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V是r的函数。
湘教版八下数学4.1.1变量与函数说课稿
湘教版八下数学4.1.1变量与函数说课稿一. 教材分析湘教版八下数学4.1.1变量与函数是本学期的重要内容，主要让学生了解变量与函数的基本概念，理解函数的性质，掌握函数的表示方法，并能运用函数解决实际问题。
本节内容是在学习了代数式、方程、不等式的基础上，进一步引导学生研究变量之间的关系，体会数学与实际生活的联系。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对代数式、方程、不等式有一定的了解，但对于函数的概念和性质可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以引导为主，让学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习函数的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解变量与函数的概念，掌握函数的表示方法，能运用函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主学习函数的相关知识，培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：函数的概念、性质和表示方法。
2.教学难点：函数的概念的理解，函数的表示方法的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导法、自主学习法、合作学习法、讨论法。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生认识变量与函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍函数的定义、性质和表示方法，让学生理解函数的基本概念。
3.实例分析：分析实际问题中的函数关系，让学生掌握函数的表示方法。
4.自主学习：让学生自主探究函数的性质，培养学生的抽象思维能力。
5.合作交流：分组讨论，让学生分享自己的学习心得，提高学生的合作能力。
6.总结提升：总结本节课的主要内容，强化学生的记忆。
7.课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.函数的定义：–函数是一种数学关系，其中每一个自变量都有一个唯一的因变量与之对应。
2.函数的表示方法：–解析式：用数学表达式表示函数关系。
湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计
湘教版八下数学4.1.1《变量与函数》教学设计一. 教材分析《变量与函数》是湘教版八下数学4.1.1的内容，这部分内容是学生在学习了代数和几何基础知识后，对函数概念的初次接触。
教材通过具体的实例，引导学生理解变量与函数的关系，培养学生的函数观念。
本节课的内容对于学生来说是一个新的概念，需要通过实例让学生感受和理解函数的实质。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对数学知识有一定的认识和理解。
但是，对于函数这一概念，他们可能是第一次接触，因此需要通过具体的实例和生活情境，让学生感受和理解函数的概念。
学生的学习兴趣和积极性需要通过教学设计来激发和保持。
三. 教学目标1.理解变量与函数的概念，能够识别生活中的函数关系。
2.能够用函数的 language 来描述和表示生活中的函数关系。
3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.函数的概念和实质。
2.如何通过实例让学生理解函数的概念。
五. 教学方法1.实例教学：通过具体的实例，让学生感受和理解函数的概念。
2.问题驱动：通过提出问题，引导学生思考和探索，从而加深对函数概念的理解。
3.合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，包括实例和问题。
2.教学素材：准备相关的教学素材，如图片、图表等。
3.教学工具：准备好黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，如抛物线的运动，让学生观察和思考，引出函数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示不同的实例，如温度与高度的关系，让学生观察和分析，引导学生理解函数的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作，分析和学习教材中的实例，理解函数的概念。
4.巩固（10分钟）通过提问和讨论，巩固学生对函数概念的理解。
5.拓展（10分钟）让学生通过解决问题，运用和深化对函数概念的理解。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，加深学生对函数概念的理解。
湘教版八(下)数学 4.1.1 变量与函数【名师教案—集体备课】
已知函数 y 4x 2 .
x 1
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：（1）当x=2时，y= 4 2-2 =2;
2+1
当x=3时，y= 5;
2
当x=-3时，y=7.
把自变量x的值带 入关系式中，即 可求出函数的值.
（2）令 4x 2 =0，解得x= 1 ,
上的高h(cm)的关系式 S 5 h 中，其中常量
5
2
是 2 ，变量是 S， h ；
练一练
指出下列变化过程中的变量和常量： （1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加 油付油费为 y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说 需要t 天，平均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一 边长为 x cm，其面积为 S cm2． （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则 另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
气温随海拔而变化
汽车行驶里程随行驶时间而变化
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里， 我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共 同见证事物变化的规律.
讲授新课
一 变量与函数 我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同
一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往 随着另一个量的变化而变化,那我们如何来研究各种 运动变化呢?
时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 …
（1）计时一开始，热气球的高度是多少？ 500m
（2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
（3）你能总结出h与t的关系吗？ 50m×1＝50m
【湘教版】八年级数学下册教案：4.1.1变量与函数
第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法4．1.1 变量与函数1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)3．确定简单问题的函数关系．(难点)一、情境导入如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究探究点一：常量与变量分析并指出下列关系中的变量与常量：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．探究点二：函数的定义下列说法中正确的是( )A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x3；B 中y ＝－x 2－1，因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．探究点三：确定自变量的取值范围【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围写出下列函数中自变量x 的取值范围．(1)y ＝2x －3； (2)y ＝31－x ；(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1x －2.解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．解：(1)全体实数；(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有根号的要满足被开方数为非负数．【类型二】 实际问题中自变量的取值范围水箱内原有水200升，7：30打开水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t＝25时，y ＝200－2t ＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；(3)当y ＝0时，200－2t ＝0，解得t ＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．探究点四：简单问题的函数关系一个弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，它的原长为10cm ，挂上重物后弹簧的长度y (cm)随所挂重物的质量x (kg)的变化而变化，每挂1kg 物体，弹簧伸长0.5cm ；(1)求弹簧的长度y (cm)与所挂重物质量x (kg)之间的函数表达式；(2)当挂5kg 重物时，求弹簧的长度．解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸长的长度，列式即可；解：(1)y ＝10＋12x ，其中x 是自变量，y是自变量的函数；(2)将x ＝5代入y ＝10＋12x ，得y ＝10＋12×5＝12.5(cm)． 答：当挂5kg 重物是，弹簧的长度为12.5厘米．方法总结：根据题意，找出等量关系，列出相应的函数表达式．求函数值时，将自变量代入函数表达式中，求出即可．探究点五：函数值根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为52，则输出的函数值为( )A.32B.25C.425D.254解析：∵x ＝52时，在2≤x ≤4之间，∴将x ＝52代入函数y ＝1x ，得y ＝25.故选B.方法总结：根据所给的自变量的值，结合各个函数关系式所对应的自变量的取值范围，确定其对应的函数关系式，再代入计算．三、板书设计1．常量和变量的概念 2．函数的概念 3．函数关系式4．自变量的取值范围 5．函数值通过本课时的教学，学生对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难．在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.。
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿
湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.1.1变量与函数》这一节的内容，主要介绍了变量的概念，以及函数的定义和性质。
这是学生继七年级学习了代数基础之后，进一步深化对数学概念的理解的重要内容。
通过这一节的学习，学生能够理解变量之间的依赖关系，掌握函数的定义方法，以及了解函数的一些基本性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学内容，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了代数基础，对数学概念有一定的理解。
但八年级的学生，逻辑思维能力还在发展中，对于抽象的数学概念，还需要通过具体的例子来理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、思考、交流等方式，深入理解变量与函数的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质，能够运用函数的知识解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等过程，学生能够自主学习，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解变量的概念，掌握函数的定义和性质。
2.教学难点：学生能够运用函数的知识解决一些实际问题，理解函数的抽象性质。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主学习。
同时，利用多媒体教学手段，展示函数的图形，帮助学生直观地理解函数的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，引导学生思考问题中的变量之间的关系，引出变量的概念。
2.新课导入：介绍函数的定义和性质，通过示例让学生理解函数的概念。
3.课堂讲解：通过讲解和示例，让学生理解函数的性质，能够运用函数的知识解决实际问题。
4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固所学内容。
5.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
湘教版数学八年级下册4.1.1 变量与函数教案与反思
第4章一次函数原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》4.1 函数和它的表示法4.1.1 变量与函数【知识与技能】借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量.初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系.初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系.【过程与方法】借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简.【情感态度】从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣.学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科.【教学重点】借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念.【教学难点】怎样理解“唯一对应”.一、创设情境，导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长.这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间，这一节课，我们就来研究类似的两个量之间的关系.【教学说明】从身边日常生活中发生的事例入手，用运动贴近生活实际，容易接受变化的观点说明两个量之间的关系，为下面的学习打下了伏笔.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题常量、变量、函数思考教材第110页“动脑筋”【教学说明】让学生明确常量和变量的概念，进而弄清函数及与函数有关的概念，为后面的教学扫清障碍.说一说：教材第111页“说一说”【教学说明】通过训练的形式，加深对概念的理解，同时强调对于实际问题要附加自变量的取值范围，从而明确解决问题的方法和应该注意的方面.例：教材第111页“例1”【教学说明】在实际问题中，利用两个变之间的关系进一步巩固所学的函数及相关概念，使所学知识进一步加深，并能熟练运用.三、运用新知，深化理解1.汽车以70千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为S千米，行驶时间为t 小时，从而S=70t，则下列判断中错误的是（）A.S是常量B.S是变量C.70是常量D.t是变量2.一个正方形的边长为3cm，它的各边边长减少xcm后，得到的新正方形的周长为ycm，y与x间的函数关系式是（）A.y=12-4xB.y=4x-12C.y=12-xD.以上都不对3.函数y=中自变量x的取值范围是 .4.一块形状为等腰三角形的铁皮，周长为10，底边长为y，腰长为x.（1）求y与x之间的关系式；（2）求自变量x的取值范围.【教学说明】让学生独立完成，以检查学生掌握情况，教师根据教学实际有针对性地查漏补缺，特别是学生出现错误较的地方作必要的强调，并加以强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的“课堂自主演练”部分.答案：1.A 2.A 3.x≥-3且x≠14.(1)y=10-2x; (2)∵10-2x>0,2x>10-2x,∴52<x<5.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你已经掌握了哪些知识？还存在哪些疑问，与大家共同交流.【教学说明】师生共同回顾所学知识，加印象.同学之间通过合交流，取长补短，共同提高.1.布置作业：习题4.1中的第1、2题.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.就学生掌握的情况看，对于常量、变量以及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际问题中自变量的取值范围还存在一些困难.在以后的教学中要通过实例让学生不断加以强化，达到整体进步.【素材积累】1、冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软羊毛毯子，覆盖摘摘这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
湘教版八年级数学下册《4章 一次函数 4.1 函数和它的表示法 4.1.1变量与函数》公开课教案_9
变量与函数一、教材分析《4.1.1变量与函数》是义务教育课程湘教版八年级下册第四章第一节第1课时.函数的概念是数与代数的重要内容，是学生难以建立的一个抽象的数学概念，让学生准确而深刻地理解函数概念是学好与函数相关内容的关键所在，是后续学习一次函数、反比例函数、二次函数的奠基工程，是高中阶段学习其他函数的必要准备，同时也是培养学生用运动变化的观点分析问题和解决问题的有效载体.本节课是函数知识板块的起始课，首先，针对函数是一个抽象概括程度很高的概念，教学中选取了贴近学生生活的例子，注重联系实际，丰富学生的感性认识，重视函数的图象作用，渗透数形结合思想，注重学生主体作用，加大探索性学习力度；其次，注重把数学文化融入到章节起始课中；最后，结合中考，展望函数的后续学习.二、学情分析变量与函数的概念把学生由常量数学学习引入变量数学学习中，这是学生数学学习的一次大飞跃.“变量与函数”的学习对学生的认知和思维有较高的要求，入门会有一定的困难，学生难以理解定义中的“唯一确定”的准确含义；另一方面，学生在日常生活中接触过两个变量关系的生活实例，因此本节教学设计中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，初步理解函数的概念.三、教学目标1.通过简单实例，了解常量与变量的意义.2.初步理解函数意义，学会建立简单的函数模型.3.学会用函数观点分析与解决生活中的简单问题，体会数学的应用价值，提高数学的学习兴趣.四、教学重点、难点教学重点函数概念的形成过程.教学难点理解函数概念中的对应关系.xy 2=231x y =五、教学方法问题探究教学法、合作讨论教学法.六、课堂流程设计七、教学过程 （一）创设情境周末超市购物，请观察电子秤显示的数据，哪些变？哪些不变？ 板书课题：4.1.1变量与函数（P 110-112）（二）概念建构1.自主学习，并思考下列问题： （1）什么叫变量？什么叫常量？（2）什么叫函数？什么叫自变量与因变量？ （3）什么叫函数值？ 2.概念初识：（1）取值会发生变化的量称为变量.取值固定不变的量称为常量.（2）在一个变化过程中，有变量x 和 y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，并且对于x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称y 是x 的函数，记作y=f (x ).这时把x 叫作自变量，把y 叫作因变量．对于自变量x 取的每一个值a ，因变量y 的对应值称为函数值，记作f (a ) .3.深化理解：根据如图所示的程序，当输入x =3时，求输出y 的值，并判断y 是不是x 的函数.（1）当x =3时，在 y =2x -1中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ （2）当x =3时，在 中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ （3）当x =3时，在中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？AB BC S4.00厘米10.42厘米41.69 厘米2BC = 10.42厘米AB = 4.00厘米动画B12+=x y y（4）当x =3时，在 中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ 归纳： 判断y 是x 的函数的核心：对于每一个自变量x ，y 都有唯一确定的值与之对应.（三）问题探究1. 汽油的单价为5.4元/升，加油x 升，共付费y 元，则y = ，其中 是常量,y 随x 变化而变化， 是自变量， 是因变量， 是 的函数..2.矩形的一边长为4cm ，另一边长为x cm,面积为S cm 2，则S = ，S 是x 的 ，其中常量是 ，变量是 .3.某地某一天的温度曲线， 是自变量， 是 的函数.（四）巩固提高1.学校购买一些铅笔，单价3元/支，则购买总价y （元）与铅笔x （支）的关系式为y = ，其中常量是 ，变量是 .2.一辆汽车以80km/h 的速度匀速行驶，行驶t （h ）与所走的路程s （km ）2y x =xy 2=A B =6cmBA2x y =满足关系式s = ，其中常量是 ，变量是 .3.圆的半径r 和圆的周长C 满足r c π2=，常量是 ，变量是 .4.下列四个选项中，y 不是x 的函数为 .A.72-=x yB.C.D （五）例题讲解如图，已知圆柱的高是4cm ，底面半径是r （cm ），当圆柱的底面半径r 由小变大时，圆柱的体积v （ cm 3）是r 的函数.（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积v ，指出自变量r 的取值范围.（2）当r =5时，v 是多少（结果保留π）？（六）合作探究请同学们模仿例1及结合今天所学知识补充下题，小组合作完成.已知：△ABC 中，AB =6cm ，D 是AB 边上的一个定点，在垂直于AB 的射线DE 上有一个动点C （点C 与点D 不重合），设△ABC 的高为h ，面积为S ，则S 是h 的函数.(1) .(2) .（七）课堂小结及课堂作业 （八）拓展延伸及学习展望起始课的数学文化渗透、后续学习简介. （九）板书设计4.1.1变量与函数（p 110-112）取值会发生变化的量称为变量.取值固定不变的量称为常量.4cm ()y f x =输入一个x 只能输出一个y（十）教学反思。
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第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法
4．1.1 变量与函数
1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)
3．确定简单问题的函数关系．(难点
)
一、情境导入
如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．
你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究
探究点一：常量与变量
分析并指出下列关系中的变量与
常量：
(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝1
2
gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .
解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．
解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；
(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；
(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .
方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
探究点二：函数的定义
下列说法中正确的是( )
A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数
B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数
C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数
D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数
解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x
3
；B 中y ＝
－x 2－1，
因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和
y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量
y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.
方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．
探究点三：确定自变量的取值范围
【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围
写出下列函数中自变量x 的取值
范围．
(1)y ＝2x －3； (2)y ＝3
1－x ；
(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1
x －2.
解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为
零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
解：(1)全体实数；
(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；
(4)由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≥0，
x －2≠0，解得x ≥1且
x ≠2.
方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有
根号的要满足被开方数为非负数．
【类型二】
实际问题中自变量的取值范围
水箱内原有水200升，7：30打开
水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．
(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？
解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；
(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t
＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．
探究点四：简单问题的函数关系
一个弹簧秤最大能称不超过10kg
的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹
簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变
化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；
(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量
x(kg)之间的函数表达式；
(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．
解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸
长的长度，列式即可；
解：(1)y＝10＋
1
2x，其中x是自变量，y
是自变量的函数；
(2)将x＝5代入y＝10＋
1
2x，得y＝10＋
1
2×5＝12.5(cm)．
答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5
厘米．
方法总结：根据题意，找出等量关系，
列出相应的函数表达式．求函数值时，将自
变量代入函数表达式中，求出即可．
探究点五：函数值
根据如图所示程序计算函数值，
若输入x的值为
5
2，则输出的函数值为(
)
A.
3
2 B.
2
5 C.
4
25 D.
25
4
解析：∵x＝
5
2
时，在2≤x≤4之间，∴
将x＝5
2
代入函数y＝1
x
，得y＝2
5.故选B.
方法总结：根据所给的自变量的值，结
合各个函数关系式所对应的自变量的取值
范围，确定其对应的函数关系式，再代入计
算．
三、板书设计
1．常量和变量的概念
2．函数的概念
3．函数关系式
4．自变量的取值范围
5．函数值
通过本课时的教学，学生对于常量、变量以
及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际
问题中自变量的取值范围还存在一些困
难．在以后的教学中要通过实例让学生不断
加以强化，达到整体进步.。