新湘教版八下教案：4.1.1 变量与函数

第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法

4．1.1 变量与函数

1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点)

3．确定简单问题的函数关系．(难点

)

一、情境导入

如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．

在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定．

你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究

探究点一：常量与变量

分析并指出下列关系中的变量与

常量：

(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2；

(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝1

2

gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w .

解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量．

解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变量是S ，R ；

(2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ；

(3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12g ，变量是h ，t ；

(4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w .

方法总结：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．

探究点二：函数的定义

下列说法中正确的是( )

A ．变量x ，y 满足x ＋3y ＝1，则y 是x 的函数

B ．变量x ，y 满足y ＝－x 2－1，则y 可以是x 的函数

C ．变量x ，y 满足|y |＝x ，则y 可以是x 的函数

D ．变量x ，y 满足y 2＝x ，则y 可以是x 的函数

解析：A 中x ＋3y ＝1，y 可以看作x 的函数，因为y ＝1－x

3

；B 中y ＝

－x 2－1，

因为－x 2－1<0，等式无意义，即对于变量x 的任何一个取值，变量y 都没有唯一确定的值，故y 不是x 的函数；C 、D 中的|y |＝x 和

y 2＝x ，对于变量x 的任意一个正数值，变量

y 都有两个(不唯一)值与其对应，故y 不是x 的函数．故选A.

方法总结：判断两个变量是否是函数关系，就看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是函数，然后再看看这两个变量是否是一一对应的关系．

探究点三：确定自变量的取值范围

【类型一】 确定函数解析式中自变量的取值范围

写出下列函数中自变量x 的取值

范围．

(1)y ＝2x －3； (2)y ＝3

1－x ；

(3)y ＝4－x ； (4)y ＝x －1

x －2.

解析：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数；当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为

零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．

解：(1)全体实数；

(2)分母1－x ≠0，即x ≠1； (3)被开方数4－x ≥0，即x ≤4；

(4)由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧x －1≥0，

x －2≠0，解得x ≥1且

x ≠2.

方法总结：本题考查了函数自变量的取值范围：有分母的要满足分母不能为0，有

根号的要满足被开方数为非负数．

【类型二】

实际问题中自变量的取值范围

水箱内原有水200升，7：30打开

水龙头，以2升/分的速度放水，设经过t 分钟后，水箱内存水y 升．

(1)求y 关于t 的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)7：55时，水箱内还有多少水？ (3)几点几分水箱内的水恰好放完？

解析：(1)根据水箱内还有的水等于原有水减去放掉的水列式整理即可，再根据剩余水量不小于0列不等式求出t 的取值范围；(2)7：55时，t ＝55－30＝25，将t ＝25代入(1)中的关系式即可；(3)令y ＝0，求出t 的值即可．

解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，∴y ＝200－2t .∵y ≥0，∴200－2t ≥0，解得t ≤100，∴0≤t ≤100，∴y 关于t 的函数关系式为y ＝200－2t (0≤t ≤100)；

(2)∵7：55－7：30＝25(分钟)，∴当t

＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150(升)，∴7：55时，水箱内还有水150升；

(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，而100分钟＝1小时40分钟，7点30分＋1小时40分钟＝9点10分，故9点10分水箱内的水恰好放完．

探究点四：简单问题的函数关系

一个弹簧秤最大能称不超过10kg

的物体，它的原长为10cm，挂上重物后弹

簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变

化而变化，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm；

(1)求弹簧的长度y(cm)与所挂重物质量

x(kg)之间的函数表达式；

(2)当挂5kg重物时，求弹簧的长度．

解析：根据弹簧的长度等于原长加上伸

长的长度，列式即可；

解：(1)y＝10＋

1

2x，其中x是自变量，y

是自变量的函数；

(2)将x＝5代入y＝10＋

1

2x，得y＝10＋

1

2×5＝12.5(cm)．

答：当挂5kg重物是，弹簧的长度为12.5

厘米．

方法总结：根据题意，找出等量关系，

列出相应的函数表达式．求函数值时，将自

变量代入函数表达式中，求出即可．

探究点五：函数值

根据如图所示程序计算函数值，

若输入x的值为

5

2，则输出的函数值为(

)

A.

3

2 B.

2

5 C.

4

25 D.

25

4

解析：∵x＝

5

2

时，在2≤x≤4之间，∴

将x＝5

2

代入函数y＝1

x

，得y＝2

5.故选B.

方法总结：根据所给的自变量的值，结

合各个函数关系式所对应的自变量的取值

范围，确定其对应的函数关系式，再代入计

算．

三、板书设计

1．常量和变量的概念

2．函数的概念

3．函数关系式

4．自变量的取值范围

5．函数值

通过本课时的教学，学生对于常量、变量以

及函数关系式掌握较好，但是对于有些实际

问题中自变量的取值范围还存在一些困

难．在以后的教学中要通过实例让学生不断

加以强化，达到整体进步.