分式经典题型分类例题及练习题
分式题型分类
| x | 3 的值为 0 ，则x的值是？ 2 x 2x 3
4、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不
等于零的数或整式，分式的值不变。
〖实战演练〗
填空：
2x = （ 1） 2 x 3x x3
2
（ 2）
x y
x y
2
2 2
=
x y
5、分式的恒等变形
√
a + b√
⑤
x
2、分式有（无）意义
①分式有意义：分母不为 0
②分式无意义：分母为 0
〖实战演练〗
当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ B ）
2 A、 x2
2 B、 2 x2
2 C、 |x|
A、
√X
x2 1
3、分式值为0的条件
分子为0且分母不为 0
A=0
B ≠0
〖实战演练〗
若分式
〖实战演练〗
判断下列约分是否正确：
2x 2 x4 1 = （ 1） 4x 4 2x 2
4
x y x （ 2） a y = a
7、分式的加减乘除
①分式的混合运算
a2 a 1 a2 4a ( 2 2 ) 2 a 2a a 4a 4 a a
②化简求值题
②化简求值题
③科学记数法的表示
3 x y x y x ) x y 2 的值 已知x:y=2:3，求 ( xy x y 2 2
③求待定字母的值
8、分式方程及其应用
①解分式方程（步骤）
②求待定字母的值
③列分式方程解应用题
9、整数指数幂与科学记数法
分式经典题型分类例题及练习题
分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的 有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx y x 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x xx xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2）322231)()3(-----⋅n m n m （3） （4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析（提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.） 题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx 311=-； （2）0132=--xx ； （3）114112=---+x x x ； （4）x x x x -+=++4535题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ； （2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x xx（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）bx a 211+=)2(a b ≠； （2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
资料分式方程应用题归类及常见题型(最新整理)
列分式方程解应用题的常见类型分析列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。
它们的数量关系是：路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。
例1 A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。
相等关系：二、工程问题这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是：工作量=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。
特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。
例2某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成这项工作各需多少天？相等关系：三、销售问题:解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：商品的进价：商店购进商品的价格；商品的标价：商店销售商品时标出的价格；商品的售价：商店售出商品时的实际价格；利润：商店在销售商品时所赚的钱；利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次，还要弄清它们之间的关系：商品的售价=商品的标价×商品的打折率；商品的利润=商品的售价-商品的进价；商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3 某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。
后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元？本题中的主要等量关系：练习：1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶，甲车从A城出发，乙车从B城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
分式计算题分类训练(5种类型50道)—2024学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练(解析版)
分式计算题分类训练（5种类型50道）【答案】（1）23x ；（2）5ac −【分析】（1）根据分式乘法法则，可得答案；（2）根据分式的除法，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得答案；【详解】解：（1）3324423263x y xy y xx y x ⋅==； （2）32233222222254422425105ab a b ab cd ab cd bd ccd c a b a b c ac −÷=⋅=−=−−． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，根据法则计算是解题关键． 2442a a a a −++【答案】（1）12；（2）a【分析】（1）由分式的除法运算法则进行计算，即可得到答案； （2）由分式的乘法运算法则进行计算，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=21x x +14x x +=12；（2）原式=()22a a a +−()222a a −+=2a a −； 【点睛】本题考查了分式的乘法、除法运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．【答案】（1）2152()ab a b +；（2）2(2)x x y x y +−+ 【分析】（1）先对分子、分母分解因式，再约分，即可求解；（2）先对分子、分母分解因式，再把除法化为乘法，然后约分即可求解．【详解】解：（1）原式=()()()2332510a b a b ab a b a b −⋅−+ =2352ab a b ⋅+ =2152()ab a b +；（2）原式=()()()()22222y x y x x yx x y x y +−−÷++=()()()()22222y x y x x x y x y x y +−+⋅−+ =2(2)x x y x y +−+． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，掌握因式分解以及约分是解题的关键．【答案】（1）2(1)(2)a a a −−+；（2）7m m −+【分析】（1）先把分式的分子分母因式分解，再约分化简即可；（2）先把分式的分子分母因式分解，再除法变乘法，最后约分化简即可．【详解】（1）222441214a a a a a a −+−⋅−+−22(2)1(1)(2)(2)a a a a a −−=⋅−−+ 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a −−=−−+2(1)(2)a a a −=−+；（2）2211497m m m ÷−−()221(7)749(7)(7)m m m m m m m −=−⋅−=−−+−7mm =−+．【点睛】本题考查分式的乘除运算，一般都是先把分子分母因式分解，最后约分化简．【答案】(1)224a ab+(2)22239x x x --+【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可；（2）根据除以一个数等于乘以这个数的相反数进行计算即可．【详解】（1）解：22234246a b a b a b ab −⋅− =3a 2b2（a −2b ）∙(a +2b)(a −2b)6ab (2)4a a b += 224a ab =+；（2）2222133218412x x x x x x −+−÷−−2(1)4(3)2(3)(3)3(1)x x x x x x --=×+-- 2(1)3(3)x x x -=+22239x x x --+=．【点睛】本题考查了分式的乘法运算以及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】(1)22b(2)2−【分析】（1）直接根据分式的乘除运算法则解答即可；（2）分式的分子、分母先分解因式，把除法转化为乘法，再约分即可得到答案.【详解】（1）原式2222245353422a b c d d cd ab abc b =⋅⋅=；（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键.【答案】(1)234a c −；(2)21−−ab b ． 【分析】分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算．【详解】（1）解：原式2232162b a a bc a b ⎛⎫− ⎪⎝=⋅⎭⋅ 3221216a b ab c =−234a c =−（2）解：原式()22122()a b ab ab b a −=−⋅⋅−()2222()ab a b b a ab −=−−()1b a b =−−21ab b =−− 【点睛】本题考查分式的乘除运算．分式的除法运算实质上是乘法运算．掌握分式的乘法运算法则是解题关键．【答案】(1)()()()()3242x x x x −++−(2)22aa −+【分析】根据分式的乘除混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式()()()()()()2232444322x x x x x x x x −+−=⋅⋅+−−+−()()()()3242x x x x −+=+−；（2）解：原式()()()()()211221112a a a a a a a −++−=⋅⋅+−+22aa −=+．【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【答案】(1)2a −(2)12x x ++【分析】（1）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算；（2）根据平方差公式，十字相乘法，完全平方公式等进行分解因式，再计算．【详解】（1）原式()()()()()244214222a a a a a a a +−−=⋅⋅+−−−42a a −=−．（2）原式()()()()()()()()2314444322x x x x x x x x x x −−++−=⋅⋅+−−+−12x x +=+． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，正确分解因式是关键，属于基础题．【答案】(1)42b a -(2)-2【分析】（1）先将除法转化为乘法，再约分即可得出答案；（2）先利用完全平方公式整理，将除法化为乘法，最后约分即可得出答案．【详解】（2）原式()()()()()2992332993a a a a a a a +−++=⋅⋅=−−−++.【点睛】本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)x y −【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式()()a b a b a b a b +−==+−．（2）解：原式222x y xy x y x y +=−−− 222x y y x y x −+=−()2x y x y −=−x y =−．【点睛】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关键．【答案】(1)1x +(2)12x y +【分析】（1（2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可；【详解】（1）原式2221311x x x x x +−=+−−22131x x x x ++−=−22121x x x +−=−()()()2111x x x +=−−11x x −=+； （2）原式()()2222422x y x y x y x y x −++−−+=2224y xy x −−=12x y =+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减的运算，熟练掌握运算法则并你能将异分母分式互为同分母分式是解题的关键．【答案】(1)21m m −(2)224x x −【分析】（1）根据分式与整式的加法进行计算即可求解；（2）根据异分母的加法进行计算即可求解．【详解】（1）解：111m m ++−()()11111m m m m +−=+−−2111m m +−=−21m m =−； （2）解：2242x x x x −−− ()()()2222x x x x x −+=+−22224x x x x −−=−224x x =−．【点睛】本题考查了分式的加减计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】(1)3a +(2)221212a a a a −−++【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可；（2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可．【详解】（1）解：22193a a a −−−()()21333a a a a =−+−− ()()()()233333a a a a a a +=−+−+− ()()2333a a a a −−=+− ()()333a a a −=+− 13a =+；（2）解：221121a a a a a a −−++++()()21111a a a a a −−=+++ ()()()()()2211111a a a a a a −−+=+++()()()21211a a a −+=+221212a a a a =−−++．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则．【答案】（1）221x −−；（2）2x x −+【分析】（1）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，分母都变为()()11x x +−，变为同分母分式，再加减计算即可；（2）根据异分母分式相加减法则，异分母分式相加减，先通分，使前两项分数的分母都变为()()22x x +−，变为同分母分式，再加减计算，约分化简，再把1−这项写成同分母的形式22x x +−+，再加减计算即可．【详解】（1）原式()()()()111111x x x x x x −+=−+−+−()()()1111x x x x −−+=+−221x −=−；（2）原式()()()()()22412222x x x x x x +=−−+−−+()()()22122x x x −=−+−2222x x x +=−++2x x =−+． 【点睛】本题考查了异分母分式相加减，熟练掌握异分母分式相加减法则是解题的关键．【答案】(1)a b +(2)21m m +【分析】（1）先通分计算括号内，再根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先算除法，再通分进行加法运算即可．【详解】（1）解：原式()2222a ab b ab a b a b ab −+=⋅−+()()2a b ab ab b a a b −=⋅+−a ba b −=+；（2）原式()()()()23313321m m m m m m −+=−+⋅+−+111m m =−++ 2111m m −+=+21m m =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，正确的计算．【答案】(1)26m +(2)11x −【分析】（1）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解； （2）通分计算加减法，再约分计算乘除法即可求解．【详解】（1）解：原式()22224523m m m m m ⎛⎫−=−⋅ ⎪−−−−⎝⎭ ()222923m m m m −−=⋅−−()()()332223m m m m m +−−=⋅−−26m =+；（2）解：原式22121x x x x x x ⎛⎫++=÷− ⎪⎝⎭211x x x x +−=÷()()111x x x x x +=⋅+−11x =− 【点睛】本题考查分式的混合运算．异分母分式的加减运算关键是通分，分式的乘除运算关键是将分子分母因式分解后进行约分．【答案】3x − 【分析】先将括号内的两个式子通分并化简，然后将除法改为乘法，分子分母调换位置，最后再约分，可得最终化简结果．【详解】解：2569122x x x x −+⎛⎫−÷ ⎪++⎝⎭ 22569222x x x x x x +−+⎛⎫=−÷ ⎪+++⎝⎭()23322x x x x −−=÷++()23223x x x x −+=+−g13x =−．【点睛】本题考查了用公式法因式分解、约分、通分、分式的化简等知识点．熟知分式的化简步骤是解题的关键，同时要将结果化为最简分式或整式．【答案】232a a −++【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，即可求解．【详解】解：22231211a a a a a a −⎛⎫÷−+ ⎪+++⎝⎭ ()()22231111a a a a a a −⎛⎫−=÷− ⎪+++⎝⎭()()()()221221a a a a a a −+=⋅+−+()()12a a a =−++ 232aa a =−++．【点睛】本题主要考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【答案】1 【分析】通分，计算括号内，再将除法变成乘法，约分即可．【详解】解：原式()()2a ab a b a a b −−=⋅−1=．【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．【答案】2241x xx ++【分析】再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：231111x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎭−⎝−−++⎪ ()()()()()()31111111x x x x x x x x x +−−−+=⋅−++22331x x x x x +−+=+2241x x x +=+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．【答案】1aa −【分析】先计算括号里边的式子，通分化成同分母的分式相加，再计算除法运算即可． 【详解】解：+⎛⎫+÷ ⎪−−−+⎝⎭2a 11a a 1a 1a 2a 1=（a +1a −1+1(a −1)2）÷a a −1=a 2(a−1)2÷a a−1 =a 2(a−1)2×a−1a 1aa =−．【点睛】此题考查学生分式运算，以及完全平方公式、平方差公式的运用，解答此题的关键是把分式化到最简．【答案】26x + 【分析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．【详解】解：532224x x x x −⎛⎫+−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()()2252223x x x x x +−−−=⋅−− ()222923x x x x −−=⋅−− ()()()332223x x x x x +−−=⋅−− ()23x =+ 26x =+．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【答案】2x +，1．【分析】首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：原式()22121x x x x +−=⨯+− 2x =+，当=1x −时，原式121=−+=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．【答案】1x −，4 【分析】先计算括号内加法，再计算除法即可得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．【详解】解：22121124x x x x −+⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ 222121224x x x x x x −−+⎛⎫=+÷ ⎪−−−⎝⎭()()()211222x x x x x −−=÷−+− ()()()222121x x x x x +−−=⋅−− 21x x +=− 当3x =−时， 原式32113144−+−===−−− 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【答案】1x −，2−(答案不唯一) 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从1−，0，1和2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．【详解】解： 原式211(2)(2)1(2)x x x x x −−+−=⋅−−2212x x x x −+=⋅−−21x x +=−，∵1x ≠，2x ≠±∴当0x =时，原式02201+==−−(答案不唯一)．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算法则．【答案】2，当2m =时，值为12−【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的m 的值代入进行计算即可．【详解】解：22221369m m m m −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭()()2323321m m m m −+−=⋅−−()()231321m m m m −−=⋅−−32m −=， 3010m m −≠−≠，，31m m ∴≠≠，，∴当2m =时，原式23122−==−【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】3a b −+，11− 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a 、b 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式()()()()2232251=222a b a b a b b a a b a b a b a ⎡⎤−+−÷−−⎢⎥−−−⎣⎦ ()()()2222531=224a b a b a a b a b a b −−−÷−−−()()222321=29a b a b a a b a b a −−−−⋅−()()()()23321=32a b a b a a b a b a b a −−+−−−⋅()31=3a b a a b a −−+ ()()()=3333b a b a a b a b a a +−++− 23a b =−+， 解方程组51a b a b +=⎧⎨−=−⎩得23a b =⎧⎨=⎩，当2,3a b ==时，原式有意义，∴原式2223311=−=−+⨯．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键．【答案】4【分析】根据2222244x y x y A x xy y x y −+=⋅+++，即可化简求值． 【详解】解：∵2222244x y x y A x xy y x y −+÷=+++ ∴()()()22222224422x y x y x y x y x y x y A x xy y x y x y x y x y +−−++−=⋅=⋅=++++++ 当2,1x y ==时，2112214A −==+⨯ 【点睛】本题考查分式的化简求值．将分子分母正确的进行因式分解是解题关键．【答案】2a +，5【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从2−，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可． 【详解】解：22224a a a a a ⎛⎫−÷ ⎪−−⎝⎭ ()()22222222a a a a a a a a +−⎛⎫−=−⨯ ⎪−−⎝⎭()()22222a a a a a +−=⋅−2a =+，∵要使分式有意义，a 不能取0和2±，∴当3a =时，原式325=+=．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式除法和减法的运算法则．【答案】26x −−；6− 【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案．【详解】解：233139x x x +⎛⎫+÷ ⎪−−⎝⎭ ()()333333x x x x x ++−=÷−+− ()()33363x x x +−=−⋅− ()23x =−+26x =−−，当()()330x x +−=，即3x =或3x =−时，分式没有意义，当0x =时，原式266x =−−=−．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算是解题关键．【答案】()122x −；14042【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：2142422x x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+−+⎝⎭ ()2142222x x x x x ⎡⎤++÷⎢⎥+−+⎣⎦=()()()()()()224222222222x x x x x x x x x ⎡⎤−++÷⎢⎥+−+−⎣⎦++= ()()22422224x x x x x ++=⋅+−+()122x =−，当2023x =时，原式()112202324042==⨯−．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【答案】3a +【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()23333233231339323323a a a a a a a a a a a a a a a a −+−+−+−−⎛⎫+÷=⋅=⋅=+ ⎪−−−−−−⎝⎭，当3=a 时，原式33=+=【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．【答案】(1)无解(2)无解【分析】（1）去分母，化为整式方程求解，注意检验；（2）去分母，化为整式方程求解，注意检验；【详解】（1）解：2216124x x x ++=−−−，两边同时乘以2(4)−x ，得22(2)16(4)x x −++=−−， 44164x −−+=，2x =，2x =时，240x −=∴原方程无解．（2）解：两边同时乘以2(9)x −，得32(3)12x x −++=，39x =，3x =，3x =时，290x -=∴原方程无解．【点睛】本题考查分式方程的求解；掌握分式方程的求解步骤，注意检验是解题的关键．【答案】(1) 1.5x =(2)无解【分析】（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】（1）解：2111x x x +=−−， 去分母得：12x x +−=，移项合并同类项得：23x =，系数化为1得： 1.5x =，检验：把 1.5x =代入1x −得：1.510.50−=≠，∴ 1.5x =是原方程的解．（2）解：2216124x x x −−=+−，去分母得：()222164x x −−=−，去括号得：2244164x x x −+−=−，移项合并同类项得：48x −=，系数化为1得：2x =−，检验：把2x =−代入得：()2240−−=，∴2x =−是原方程的增根，∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意最后要对方程的解进行检验．【答案】(1)4x =；(2)原分式方程无解．【分析】（1）方程两边乘以最简公分母()22x x −，把分式方程转化成整式方程求解即可； （2）方程两边乘以最简公分母()()22x x +−，把分式方程转化成整式方程求解即可．【详解】（1）解：()21522x x x x +=−， 方程两边同乘()22x x −，得482510x x −+=−，解得：4x =，检验：当4x =时，()22160x x −=≠，4x ∴=是原方程的解，∴原方程的解为4x =；（2）解：2224162424x x x x x −++=+−−，()()()()2221622222x x x x x x +−−=+−+−，()()22162222x x x x x x −+−=+−+−，方程两边都乘()()22x x +−，得：()()222216x x −−+=，解得：2x =−，检验：当2x =−时，()()220x x +−=，∴2x =−是增根，即原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． ） ）．【答案】见解析【详解】解：（1），去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣1），得：x2﹣2（x ﹣1）=x （x ﹣1），x2﹣2x+2=x2﹣x ，﹣x=﹣2，x=2，经检验：x=2是原分式方程的解；（2）去分母，方程两边同时乘以x2﹣1，得：（x+1）2﹣4=x2﹣1，x2+2x+1﹣4=x2﹣1，2x=2，x=1，经检验：x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解．【点评】本题是解分式方程，明确解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；注意去分母时，要同时乘以所有分母的最简公分母，解分式方程时，一定要检验．【答案】(1)1x =(2)2x =【分析】（1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）去分母，得32x x +−−，解，得1x =，经检验知1x =是分式方程的解；（2）原方程变形得()()23111111x x x x +=+−+− 去分母，得()()213111x x −++=， 解，得2x =，经检验知2x =是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
分式方程重点题型
分式易考题型※【典例剖析】例1（分式概念）（1） 当x 时，分式x -13无意义； （2）当x 时，分式392--x x 的值为零. 随堂练习11要使式子33-+x x ÷42-+x x 有意义，x 的取值应为 。
2、当x 时，分式33+-x x 的值为0。
3、使分式1122+-a a 有意义的a 的取值是（ ） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数4、当x = －3时，下列分式中有意义的是（ ）A 、33-+x xB 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、)2)(3()2)(3(-++-x x x x 5、判断下列各分式中x 取什么值时，分式的值为0？x 取什么值时，分式无意义⑴)1)(3(2x x x --+； ⑵2522+-x x ； ⑶2231--+x x ．例2（分式的约分） 已知311=-y x ，求yxy x y xy x ---+55的值.随堂练习21、下列变形不正确的是( ) A.2222+-=---a a a a B.11112--=+x x x (x ≠1) C.1212+++x x x =21 D.2126336-+=-+y x y x 2、若2x =－y ，则分式22y x xy -的值为________. 3、化简求值：（1）222222484y x y xy x -+- 其中x =2，y =3. （2）已知yx =2，求222263y xy x y xy x +++-的值.例3（分式的乘除法）使分式22222)(y x ay ax y a x a y x ++⋅--的值等于5的a 的值是( ) A.5 B.－5 C.51 D.－51 随堂练习3计算：(1)(xy －x 2)÷xy y x - (2)24244422223-+-÷+-+-x x x x x x x x例4（分式加减法）例4-1化简求值：当x =21时，求1121122-+-++-x x x x x 的值.例4-262)1(33)1)(1()1(3)1)(1(313)1)(1(313132--=+--=-++--+-=---+-=----x x x x x x x x x x x x x x x x （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：（2）从B 到C 是否正确； 。
分式方程应用题题型
分式方程应用题的常见类型题型1 工程问题1、政府计划对运动公园进行改造，这项工程先由甲工程队施工10天，完成了公园工程的1/4，为了加快工程进度，乙工程队也加入了施工，甲乙两工程队合作完成了剩下的工程，求乙工程队单独完成这项工程需要几天？解：设乙工程队单独完成需要x 天1114110420x x +=-= 经检验20x =是原方程的根所以乙工程队单独完成这项工程需要20天。
2、某工程队修建一条1 200 m 的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，结果提前4天完成任务．(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？(2)在这项工程中，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x 米，得1 200x ＝ 1 200（1＋50%）x ＋4，解得x ＝100.经检验，x ＝100是原方程的解．答：这个工程队原计划每天修建100 m .(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，可得1 200100＝ 1 200100＋100y%，解得y ＝20.经检验，y＝20是原方程的解．答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．3、一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得1 x＋11.5x＝112，解得x＝20，经检验，x＝20是方程的解且符合题意．1．5x＝30.答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司需30天．(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1 500)元，根据题意，得12(y＋y－1 500)＝102 000，解得y＝5 000.甲公司单独完成此项工程所需的施工费为20×5 000＝100 000(元)；乙公司单独完成此项工程所需的施工费为30×(5 000－1 500)＝105 000(元)．∴甲公司的施工费较少．类型2 行程问题1、甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．(1)求乙骑自行车的速度．(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？解：(1)设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意，得60012x＋3 000－6002x＝3 000x －2， 解得x ＝300.经检验，x ＝300是方程的解．答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．(2)300×2＝600(米)．答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．2、从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km ，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km ，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h ．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．解：设特快列车的平均速度为x km/h，根据题意可列出方程为1 800 x＝8602.5x＋16，解得x＝91.检验：当x＝91时，2.5x≠0.所以x＝91是方程的解．答：特快列车的平均速度为91 km/h.类型3销售问题1、某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用的文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？解：设九年级学生有x人，根据题意，得1 936x×0.8＝1 936x＋88，整理得0.8(x＋88)＝x，解得x＝352.经检验，x＝352是方程的解．答：这个学校九年级学生有352人．2、华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2 500元，购买B品牌足球花费了2 000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A 品牌足球多花30元．(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A 、B 两种品牌足球共50个．恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果这所中学此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？解：(1)设购买一个A 品牌足球需x 元，则购买一个B 品牌足球需(x ＋30)元，根据题意，得2 500x ＝2 000x ＋30×2，解得x ＝50.经检验，x ＝50是原方程的解．则x ＋30＝80.答：购买一个A 品牌足球需50元，购买一个B 品牌足球需80元．(2)设本次购买a 个B 品牌足球，则购进A 品牌足球(50－a)个，根据题意，得50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a ≤3 260，解得a ≤3119.∵a 取正整数，∴a 最大值为31.答：此次华昌中学最多可购买31个B 品牌足球．3、(常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 985元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？解：(1)设第二次购进衬衫x 件，则第一次购进衬衫2x 件，根据题意，得4 5002x －2 100x ＝10，解得x ＝15.经检验，x ＝15是此方程的解，则2x ＝30.答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．(2)设第二批衬衫每件售价为y 元，根据题意，得30×(200－4 50030)＋15(y －2 10015)≥1 985，解得y ≥17213.答：第二批衬衫每件至少要售17213元．。
分式经典题型分类练习题
分式经典题型分类练习题分式的运算一、分式的定义及有关题型题型一：考查分式的定义分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。
例如，下列代数式中，x-y和2x+y-a+b是分式。
题型二：考查分式有意义的条件当分母不等于0时，分式才有意义。
例如，当x不等于-4时，分式(x-4)/(x+4)有意义。
题型三：考查分式的值为的条件当分式的值为0时，分子等于0.例如，当x=1或x=-3时，分式(x-1)/(x+3)的值为0.题型四：考查分式的值为正、负的条件当分式的分子和分母都大于0或者都小于0时，分式的值为正；当分子和分母符号不同，分式的值为负；当分子等于0时，分式的值为0.练：1.当分母不等于0时，下列分式有意义：1) (x-3)/(6|x|-3)2) (3-x)/[(x+1)+12]3) 1/(x^2-1)2.当分子等于0时，下列分式的值为0：1) (x+4)/(x-5)2) (25-x^2)/(x^2-6x+5)3.解不等式：1) |x|-2<=x+12) (x+5)/(x^2+2x+3)>2/(x+3)二、分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：分式可以化简、加减乘除。
2.分式的变号法则：分式的分子和分母同乘或同除一个非零数时，分式的值不变；分子和分母同变号时，分式的值也不变。
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数为了方便计算，可以把分数系数、小数系数化为整数系数，但不改变分式的值。
题型二：分数的系数变号为了方便计算，可以把分式的分子和分母的首项的符号变为正号，但不改变分式的值。
题型三：化简求值题通过化简分式，可以求出分式的值。
例如，已知(12x-3xy+2y)/(yx+2xy+y)的值为5，求1/(x*y)的值。
练：1.把下列分式的分子、分母的系数化为整数，但不改变分式的值：1) 0.03x-0.2y/0.08x+0.5y2) 3/0.4a+b/5修改后的文章：分式的运算一、分式的定义及有关题型题型一：考查分式的定义分式的定义是指分子和分母都是代数式的算式。
初二下册分式专题(全部题型)
分式专题题型一：分式的概念：【例题1】下列各式：5.043,23,33,,22,22-++-+x x y x x xy x x x π，其中分式有______个. （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【练一练】1. 下列式子中，属于分式的是 （ ）A 、π1 B 、3x C 、11-x D 、52 2. 下列式子中，2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23-．哪些是整式？哪些是分式？整式有：________________________________；分式有：________________________________；题型二：分式有意义，分式值为0：【例题2】下列各式中，（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239mm --．m 取何值时，分式有意义？【练一练】1. x 为任意实数，分式一定有意义的是 （ ）A 、21x x - B 、112-+x x C 、112+-x x D 、11+-x x 2. 若代数式4-x x有意义，则实数x 的取值范围是________________. 3. (1)若分式11+x 有意义，则x 的取值范围是________________； (2)已知分式ax x x +--532，当2=x 时，分式无意义，则=a _______________________.4. 若不论x 取何实数，分式mx x x ++-6322总有意义，则m 的取值范围是______________________. 【例题3】当x 为何值时，（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）224x x +-．各式的值为0．【练一练】 1. 已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是 （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、1±2. 若分式112--x x 的值是零，则x 的值为 （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、1±3.(1)如果分式212-+-x x x 的值为零，那么x 的值为_____________________；(2)当=x ______________时，分式123++x x 的值是零；(3)当=x ______________时，分式112--x x 的值为零.【例题4】当x 满足什么条件时，分式2122-++x x x 的值是负数？正数？【练一练】1.(1)若分式1232-a a 的值为负数，则a 的取值范围为__________________；(2)当整数=x _____________时，分式16-x 的值是负整数； (3)已知点)82017,22018(2-++n n n 在第四象限，则n 的取值范围是______________________. 2. 当x 为何值时，分式232-+x x 的值为正数？负数？题型三：分式的基本性质I (分子、分母同乘或除以一个不等于0的数或整式)：【例题5】如果把分式中的都扩大3倍，那么分式的值 （ ）A 、扩大3倍B 、不变C 、缩小3倍D 、扩大2倍 【例题6】不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．（1）0.20.020.5x yx y+-（2）11341123x y x y +- 【练一练】1. 如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大为原来的2倍，那么分式的值 （ ） A 、扩大为原来的4倍 B 、扩大为原来的2倍 C 、不变 D 、缩小为原来的21 2. 如果把分式y x y x ++2中的x 和y 都缩小为原来的31，那么分式的值 （ ） A 、扩大为原来的3倍 B 、缩小为原来的31 C 、缩小为原来的91D 、不变 yx x232-y x ,3. 分式x--11可变形为 （ ） A 、11--x B 、x +-11 C 、x +11 D 、11-x 4. 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．并将较大的系数化成正数.(1) xx xx 24.03.12.001.032+- (2) yx y x +-5.12.041题型四：分式的基本性质II (约分和通分)：【例题7】约分：（1）； （2）；（3）1616822-+-a a a ，其中5=a （4）y x y x ---2422，其中1,3==y x【练一练】 1. 约分：(1) 2323510c b a bc a - (2))(3)(2b a b b a a ++- (3)32)()(a x x a -- (4)393--x x (5)2222222y xy x xy y x +-- (6)2222)1()1()1(-+-x x x2. 先化简，再求值：(1) 22)2(1)(4-+--x x x x ，其中7-=x (2)已知212=-=+y x y x ，，求2222222y xy x y x ++-的值.【例题8】 通分：(1)分式abc b a ab 3,1,22的最简公分母是________；(2)分式222,7n m mnn m ---的最简公分母是____________； (3)分式122,1441,1232-+-+a a a a 的最简公分母是______________________； (4)分式2222222,2,b ab a cb ab a b b a a +-++-的最简公分母是_____________________________； (5)分式22941,461,461y y y x y x -+-的最简公分母是_____________________________________；(6)分式acbb ac c b a 107,23,5422的最简公分母是__________，通分时，这三个分式的分子分母依次乘以_______________，____________，_______________.【练一练】通分：（1）xz xz y x 45,34,2123 （2）32)1(,)1(,1a z a y a x --- （3）42,882,4422-+-+-a c a a b a a a【例题8】已知xy y x 4=-，求yxy x yxy x ---+2232的值【练一练】1. 若2=+abb a ，则=++++22224b ab a b ab a ___________；若311=-y x ，则代数式=----y xy x y xy x 22142____________； 2. 已知311=-y x ，求yxy x yxy x ----2232的值.题型五：分式的加减：【例题9】 计算：（1） （2）（3）（4） （5） （6）． 22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222422x x x x x +-+--222222222a ab b a b b a a b ++---21132a ab +2312224x x x x +-+--211a a a ---【练一练】1. (1)111+-+x x x =_________；(2)x y x y x y -+-=_________；(3)2222235b a a b a b a ---+=__________. 2. (1)已知1,3==+ab b a ，则=+a b b a ___________；(2)已知0322=++b ab a ，则=+ab b a __________. 3.（1） （2） （3）222442242x x x x x x-+-++-+【例题10】已知，求整式A ，B ．22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-2222()()a b a b b a ---34(1)(2)12x A Bx x x x -=+----【练一练】1. 若11)1)(1(3-++=-+-x Bx A x x x ，求整式A ，B.题型六：分式的乘除：【例题11】 计算：(1)(2) (3)(4)．【练一练】 1．计算：422449158a b xx a b 222441214a a a a a a -+--+-222324a b a bc cd -÷2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++（1）32232)()2(y x x y -- （2）x x x x x x +-÷-+-22211122．先化简，再求值：（1）其中（2）其中＝－1．3．已知求的值．题型七：分式方程：【例题12】解分式方程：,144421422x x x x x ++÷--14x =-⋅,a b .b b a a b a b a a 222224)()(+÷--,21=a b .0)255(|13|2=-+-+b a b a 323232236().()()a ab ba b b a-÷--（1）（2） （3）【练一练】 （1）0122=-+x x （2）22231--=-x x x（3）x x x -=+--23123 （4）1132-=+-x xx x题型七：分式方程增根问题：10522112x x +=--225103x x x x -=+-21233x x x -=---【例题13】（1）若分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【练一练】 1、若关于x 的方程0111=----x xx m 有增根，则m 的值是 （ ） A 、3B 、2C 、1D 、－12、若关于x 的分式方程1322m x x x++=--有增根，则m 的值是 （ ） A 、1m =- B 、2m =C 、3m =D 、0m =或3m =3、若关于x 的方程0552=-+--x mx x 有增根，则m 的值是 （ ） A 、-2 B 、-3 C 、5 D 、3223242mx x x x +=--+m 2221151k k x x x x x---=---1x =-k4、如果方程有增根，那么增根是_____．若方程114112=---+x x x 有增根，则增根是______． 5、已知分式方程5133x mx x+=--有增根，则m 的值为 ．6、(1)若关于x 的分式方程xx x m 2132=--+有增根，则该方程的增根为________________； (2)若关于x 的方程2222=-++-xm x x 有增根，则m 的值是__________________. 7、若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 有增根，则2-m 的值为________________.题型八：分式方程无解问题：【例题14】 若关于x 的分式方程6523212+-=---x x x a x 总无解，求a 的值。
分式精讲精练55道
2022-2023学年八年级数学下学期复习备考高分秘籍（苏科版）专题1.5分式精讲精练（11大核心考点深度分类导练，例题11道+变式44道）【知识梳理】1.分式的有关概念：分式有意义的条件是 不为零；分式无意义的条件是分母 ；分式值为零的条件是 为零且 不为零．注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．2.分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值 ．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C CB C A B A注意：（1） 是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；（2）将分式化简，即 ，要先找出分子、分母的 ，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别 ，然后再 ，约分应彻底；（3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值．3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母 ， 相加减②异分母的分式相加减：先，变为同分母的分式，然后再加减．注意：（1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．（2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．4.分式的乘除运算（1）乘法法则：分式乘分式，用作为积的分子，作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式．注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．5.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算，再将除法化为，进行化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是分式或整式．【典例剖析】【例1】要使分式x1(x1)(x2)有意义，x的取值应满足（ ）A．x≠﹣2B．x≠1C．x≠﹣2或x≠1D．x≠﹣2且x≠1【变式训练】1．（2023春•洛江区校级月考）下列各式中，分式的个数为（ ）a2x1，xπ1，―3ab，12x+y，12x y，12x+y．A．5B．4C．3D．22．（2023•余姚市校级模拟）若代数式x1x1有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＞1D．x＞﹣1 3．（2023春•原阳县月考）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）A ．x a|x|2B ．x 2x 1C ．3x 1x2D ．x 22x 214．（2023•河北模拟）式子2a ﹣a ÷b 可以化为（ ）A ．abB ．―abC ．2a ―abD ．2a ―b a【例2】若分式|x|2x 2的值为零，则x 的值为 ﹣2 ．【变式训练】5．（2023•瑞安市模拟）若分式2x 4x 3的值为0，则x 的值为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝﹣2D ．x ＝06．（2022秋•大连期末）分式x 249x 7的值为零，则x 的值为（ ）A ．±7B ．7C ．﹣7D ．07．（2023春•鼓楼区校级月考）下列关于分式的判断，正确的是（ ）A ．当x ＝2时，x 1x 2的值为零B ．当x 为任意实数时，3x 21的值总为正数C ．无论x 为何值，3x 1不可能得整数值D ．当x ≠3时，x 3x有意义8．（2023春•原阳县月考）有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是m ≠1；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ．【例3】将分式x yx 2y 中x 、y 的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）A ．变为原来的2倍B ．变为原来的4倍C ．不变D ．变为原来的一半【变式训练】9．（2023春•西乡塘区校级月考）如果把分式3xyx y 中的x 、y 同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）A ．缩小为原来的12B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．不变10．（2023春•宜宾月考）下列各分式正确的是（ ）A ．b a =b 2a2B ．x 6x3=x 2C ．x 25xx 210x 25=xx 5 D ．―x 1x y =x 1x y11．（2023春•原阳县月考）不改变分式3x 1x 27x 2的值，使分式的分子、分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（ ）A ．3x 1x 27x 2B ．3x 1x 27x 2C ．3x 1x 27x 2D ．3x 1x 27x 212．（2023•佛山一模）已知b ＞a ＞0，下列选项正确的是（ ）A ．ab ＜a 1b 1B ．a b ＞a 1b 1C ．1a 21＜1(a 1)2D ．ab ＜a mb m【例4】分式a3b 2和59a 2b的最简公分母是 ．【变式训练】13．（2023春•宜宾月考）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A ．xyx 2B ．y 2yxyC ．x 2y 2x yD ．x 2y 2x y14．（2022秋•思明区期末）若9x9△是一个最简分式，则△可以是（ ）A ．xB ．13C ．3D ．3x15．（2023春•宜宾月考）23x 2(x y)，23x 3y ，12xy 的最简公分母是 ．16．（2022秋•新华区校级期末）有分别写有x ，x +1，x ﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式()x 21的分子，使得分式为最简分式，则应选择写有 的卡片．【例5】化简x 2y 2(y x)2的结果是 ．【变式训练】17．约分①36xy 2z 36yz 2②m 242m m 2③82mm216．18．约分：（1）36xy2z36yz2（2）82mm216（3）m244m 2m m2．19．通分：（1）x6ab2，y9a2bc；（2）1x216，12x8．20．通分：（1）4a5b2c，3c10a2b，5b2ac2（2）x(2x4)2，16x3x2，2xx24．【例6】已知1a―1b=13，则abb a的值等于 3 ．【变式训练】21．（2023•海曙区校级一模）若ab=2，则2a bb= ．22．（2023•荔湾区校级开学）已知3m6的值为正整数，则整数m的值为 ．23．（2022秋•福清市期末）已知分式2x ax b（a，b为常数）满足表格中的信息：x的取值20.5c 分式的值无意义03则c的值是 ．24．（2022秋•九龙坡区校级期末）已知x2=y3=z5≠0，则分式3x2y z5x2y3z的值为 ．【例7】计算（xy﹣x2）÷x yxy的结果（ ）A．1yB．x2y C．﹣x2y D．﹣xy【变式训练】25．（2022秋•阳谷县期末）计算(x2x)2÷x24x22x的结果是 ．26．（2023•襄州区开学）计算（ab）2÷（2a25b）⋅a5b= ．27．计算：（1）ab⋅ba2；（2）(a2―a)÷aa1；（3）x21y÷x1y2．28．计算：（1）8m2n4⋅(―3m4n3)÷(―m2n2)；（2）xx21÷x2yx2x；（3）―(mn)5⋅(―n2m)4÷(―mn)4；（4）(xy+x2)÷x22xy y2xy⋅x yx3．【例8】计算：x2x1―x+1＝ ．【变式训练】29．（2023•阳城县一模）化简x2x24―x22xx24x4的结果是（ ）A．1xx2B．x1x2C．xx2D．1x230．（2023•东港区校级一模）观察下列各式：a1＝1，a2=25，a3=14，…，它们按一定规律排列，第n个数记为a n，且满足则1a n+1a n+2=2a n+1，则a2023＝ ．31．计算：（1）21a+a22a3(a1)2（2）11x+2x1x2．32．计算：（1）x2x1―x―1（2）x2x22x―x1x24x4（3）(xy―x2)(1x+1y x)（4）（x﹣1―8x1）÷x3x1．【例9】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升（x≠y），妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ）A．爸爸B．妈妈C．一样D．不确定【变式训练】33．（2022秋•南岗区期末）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，可求得提速前列车的平均速度为 km/h．34．（2022秋•裕华区校级期末）某生产车间要制造a个零件，原计划每天制造x个，后为了供货需要，每天多制造6个，可提前 天完成任务．35．（2022•思明区校级模拟）生活中有这么一个现象：“有一杯a克的糖水里含有b克糖，如果在这杯糖水里再加入m克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，其中a＞b＞0，m＞0．（1）加入m克糖之前糖水的含糖率A＝ ；加入m克糖之后糖水的含糖率B＝ ；（2）请你解释一下这个生活中的现象．36．有A，B两箱水果，A箱水果重量为（a﹣1）2kg，B箱水果重量为（a2﹣1）kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元．（1）哪箱水果的单价要高些？（2）两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？【例10】化简（1）2a4a24+1 （2）x2y2x22xy y2÷（x2―xyx y）【变式训练】37．（2023春•沙坪坝区校级月考）计算：（1）x22xx1―11x；（2）x4x3÷(x―3―7x3)．38．（2023春•兴化市月考）计算：（1）2x2―xx2；（2）2aa24⋅a2a+aa2．39．（2023•南京一模）计算（1a1―a21a22a1）÷a2aa1．40．（2023•榆次区一模）下面是小敏同学化简分式(5x2―1)⋅x3x29的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：原式=(5x2―1)⋅x3(x3)(x3)……第一步=51x2⋅1x3……第二步=4x2⋅1x3⋯⋯第三步=4x2x6……第四步任务一：填空：①第一步中分母的变形用到的公式是 ；②第 步开始出现错误，错误的原因是 ；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果．【例11】已知ab=54，求aa b+ba b―b2a2b2的值．【变式训练】41．（2023•镇海区校级模拟）先化简，再求值：x1x22x1÷（x2x1x1―x﹣1）―1x2，然后从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．42．（2023•雁塔区校级四模）先化简，再求值：x2x2x÷(1x1+1―x)，其中x＝﹣3．43．（2023•天长市一模）已知A=xy y2y2x2÷(1x y―1x y)．（1）化简A；（2）当x2+y2＝13，xy＝﹣6时，求A的值．44．（2018秋•闵行区期末）阅读材料：已知xx21=13，求x2x41的值解：由xx21=13得，x21x=3，则有x+1x=3，由此可得，x41x2=x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝32﹣2＝7；所以，x2x41=17．xx2x1=a，用a的代数式表示x2x4x21的值．请理解上述材料后求：已知。
史上最全分式练习题(各题型-含答案)
第十六章 分式16．1分式16.1.1从分数到分式一、 教学目标1． 了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，a s ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v +20100=v-2060.3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --221七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b, ba s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, ba s + 2． X = 3. x=-1课后反思：16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形.x 802332xx x --212312-+x x二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--， y x3-， n m --2， n m 67--， yx 43---。
分式重难点专练(解析版)
专题01分式重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列分式中不是最简分式的是（ ）A ．293a a ++B ．222x y xy y x-+-C ．2242x x x -+-D ．3333ab a ab b ++【答案】C 【分析】根据最简分式的定义逐一判断即可.【详解】解：A. 293a a ++分子分母没有公因式，不能约分，所以它是最简分式，故A 选项不符合题意；B. 222x y xy y x-+-是最简分式，故B 选项不符合题意；C. 2242x x x -+-=()()()2x)x 221x x -++-（=21x x --,故C 选项符合题意;D. 3333ab a ab b++是最简分式, 故D 选项不符合题意.故应选C.【点睛】本题考查了最简分式的概念及分式的化简,掌握相关知识是解题的关键.2．若分式21aa -的值总是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．12a >C ．102a <<D ．0a <或12a >【答案】D 【分析】分两种情况分析:当0a >时210a ->;或当0a p 时,210a -p ,再分别解不等式可得．【详解】若分式21aa -的值总是正数：当0a >时，210a ->，解得12a >;当0a p 时，210a -p ，解得12a <，此时a 的取值范围是0a p ;所以a 的取值范围是0a <或12a >.故选：D ．【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数．3．下列代数式222222615,,,,321xy y x x y x xx x y x y x x p--+--+++中，最简分式的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【分析】根据最简分式的定义对每项进行判断即可．【详解】623xyy x-=-，不是最简分式；22y x x y x y-=---，不是最简分式；22x y x y++，是最简分式；2211211x x x x x --=+++，不是最简分式；5xp，不是分式；∴最简分式的个数有1个故答案为：A ．【点睛】本题考查了最简分式的问题，掌握最简分式的定义是解题的关键．4．下列各式中是最简分式的是（ ）A ．55x x--B ．2211x x -+C ．22222a ab b a b -+-D ．128x y【答案】B 【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】A 、该分式的分子分母中含有公因式（x ﹣5），不是最简分式，故本选项不符合题意；B 、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；C 、该分式的分子分母中含有公因式（a ﹣b ），不是最简分式，故本选项不符合题意；D 、该分式的分子分母中含有公因数4，不是最简分式，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．5．下列变形从左到右一定正确的是()．A ．22a ab b -=-B ．a ac b bc =C ．ax a bx b=D ．22a ab b =【答案】C 【分析】根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．【详解】选项A ，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A 错误；选项B ，当c≠0时，等式才成立，即()0a ac c b bc=¹，选项B 错误；选项C ，axbx 隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x ，根据分式的基本性质得出ax abx b=，选项C 正确；选项D ，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．6．下列分式是最简分式的是（）A．22x xyx-；B．222a ab ba b-+-；C．2211xx+-；D．211xx+-【答案】C【分析】直接利用最简分式的定义进而判断得出答案．【详解】A、22x xyx-=()22x x y x yx--=，不是最简分式，不合题意；B、222a ab ba b-+-=2()a ba ba b-=--，不是最简分式，不合题意；C、2211xx+-无法化简，是最简分式，符合题意；D、21 1x x +-=11(1)(1)1xx x x+=+--，不是最简分式，不合题意.故选：C【点睛】此题主要考查了最简分式，正确把握最简分式的定义是解题关键．7．下列式子正确的是（）A．22b ba a=B．0a ba b+=+C．1a ba b-+=--D．0.10.330.22a b a ba b a b--=++【答案】C【分析】根据分式的基本性质，即可解答．【详解】A．分子乘以b，分母乘以a，所以22b ba a¹，故A错误；B．a ba b+=+1，故B错误；C．()a ba ba b a b---+==---1，故C正确；D．0.10.330.2210a b a ba b a b--=++，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟记分式的基本性质．8．若分式293xx--的值为0，则x的值是（ ）A．﹣3B．3C．±3D．0【答案】A【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．【详解】解：根据题意，得x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得，x＝﹣3；故选：A．【点睛】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．9．分式26 9x-有意义的条件是（ ）A．x≠3B．x≠9C．x≠±3D．x≠﹣3【答案】C【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出关于x的不等式，解之可得．【详解】解：当x2﹣9≠0时，分式有意义，由x2﹣9≠0得：x2≠9，则x≠±3，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．10．在代数式2p，15x+，221xx--，33x-中，分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据分式的定义逐个判断即可得．【详解】常数2p是单项式，15x+是多项式，221x x --和33x -都是分式，综上，分式有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的定义，掌握理解分式的定义是解题关键．11．下列变形不正确的是（ ）A ．1122x x x x +-=---B ．b a a bc c--+=-C ．a b a bm m-+-=-D ．22112323x x x x--=---【答案】A 【分析】答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．【详解】解：A 、1122x xx x +--=---，故A 不正确；B 、b a a bc c --+=-，故B 正确；C 、a b a bm m-+-=-，故C 正确；D 、22112323x x x x--=---，故D 正确．故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．12．下列各式中，正确的是（）A ．22a ab b =B ．11a ab b+=+C ．2233a b a ab b=D ．232131a ab b ++=--【答案】C 【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案．【详解】A ．22a ab b=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；B ．11a ab b+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误；C ．2233a b a ab b=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确；D ．232131a ab b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．13．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子1(0)x x x+>的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是12x x æö+ç÷èø；当矩形成为正方形时，就有1(0)x x x =>，解得1x =，这时矩形的周长124x x æö+=ç÷èø最小，因此1(0)x x x +>的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子24(0)x x x+>的最小值是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】在面积是4的矩形中，设矩形的一边长为x ，则另一边是4x，矩形的周长是2（x +4x ），当矩形成为正方形时，就有x =4x ，解得x =2，这时矩形的周长2（x +4x）=8最小，因此x +4x 的最小值是4，而24x x += x +4x ，所以24(0)x x x+>的最小值是4.故选B.点睛：本题关键在于理解已知结论的推导过程.14．如果m 为整数，那么使分式31m m ++的值为整数的m 的值有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】分式32111m m m +=+++，讨论21m +就可以了，即1m +是2的约数即可完成.【详解】∵32111m m m +=+++若原分式的值为整数，那么12,1,12m +=--，由12m +=-得，3m =-；由11+=-m 得，2m =-；由11m +=得，0m =；由12m +=得，1m =；∴3,2,0,1m =--，共4个故选C 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键.15．已知：2222233+=´，2333388+=´，244441515+=´，255552424+=´，……，若21010b b a a+=´（a 、b 为正整数）符合前面式子的规律，则a+b 的值是（ ）．A ．109B ．218C ．326D ．436【答案】A 【分析】通过观察已知式子可得分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，即可求解．【详解】解：由2222233+=´，2333388+=´，244441515+=´，255552424+=´，……，可知分子与第一个加数相同，分母等于分子的平方减1，∴在21010b ba a+=´中，b ＝10，a ＝102－1＝99，∴a ＋b ＝109，故选：A ．【点睛】本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．16．若x 是整数，则使分式8221x x +-的值为整数的x 值有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】先将假分式8221x x +-分离可得出6421x +-，根据题意只需21x -是6的整数约数即可．【详解】解：824(21)664212121x x x x x +-+==+---由题意可知，21x -是6的整数约数，∴211,2,3,6,1,2,3,6x -=----解得： 37151,,2,,0,,1,2222x =---，其中x 的值为整数有：0,1,1,2x =-共4个．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分离假分式得到6421x +-，从而使问题简单．二、填空题17．如果24422x a bx x x =--+-，那么+a b 的值是______．【答案】0【分析】先将分式方程每一部分的分母通分，然后观察方程的左边和右边，使方程两边的分子部分相同即可解决.【详解】解：224422444x ax a bx bx x x -+=----224()2()44x a b x a b x x --+=--所以4a b -=，0a b +=故答案是：0【点睛】本题考查了分式通分，将方程两边变为同分母，然后比较分子得出结论是解决本题的关键.18．若分式2228x x x ---的值为零，则x 的值为______________.【答案】2【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】解：由分式的值为零的条件得2-x =0，x 2-2x-8≠0，∴x=±2且x≠4且x≠-2，∴x=2时，分式的值为0，故答案为2．【点睛】本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．19．若113x y +=，则分式323x xy yx xy y-+++的值为_________．【答案】74【分析】根据分式基本性质，分子和分母同时除以xy 可得．【详解】()()333322323323111111x xy y xy x xy y y x y x x xy y x xy y xy y x y x-++--+¸-+===++++¸++++若113x y +=则32392744x xy y x xy y -+-==++故答案为：74【点睛】考核知识点：分式基本性质运用．熟练运用分式基本性质是关键．20．当x =_________时，分式242x x--的值为0．【答案】2-【分析】分式有意义的条件是分母不为0；分式的值是0的条件是分母≠0且分子=0．【详解】若分式的值为0，则2-x≠0且24x -=0，即x=-2．故答案为:-2．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义，并考查了分式值是0的条件．21．如果分式32x x x x--值为零，那么x =_________．【答案】1-【分析】根据分式的值为零，可得30-=x x 且20x x -¹，求解即可．【详解】∵320x x x x-=-∴30-=x x 且20x x -¹∴()()()321110x x x x x x x -=-=+-=且()210x x x x -=-¹∴123011x x x ==-=，，且01x x ¹¹，∴1x =-故答案为：1-．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．22．分式1753xy x y+中的,x y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值扩大为原来的_____________倍．【答案】3【分析】将,x y 同时扩大为原来的3倍得到17353xy x y æö´ç÷+èø，与1753xy x y +进行比较即可．【详解】分式1753xy x y+中的,x y 同时扩大为原来的3倍，可得17335333x yx y´´´+´17353xyx y´=+17353xy x y æö=´ç÷+èø故答案为：3．【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．23．已知213x x =+，则1x x-=__________．【答案】3【分析】将213x x =+两边同时除以x ，即可得出答案．【详解】解：∵213x x=+∴两边同时除以x ．,得：13=+x x ∴1-=3x x故答案为：3【点睛】本题考查了代数式求值，利用分式的性质，两边同时除以x ，将式子进行变形是解题的关键．24．下列各式中，最简分式有_____个．①11x -；②422y x +；③3x p ；④10+452a a +；⑤9+73+5p p ；⑥241025y y y ++．【答案】1．【分析】根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可．【详解】①11x-符合最简分式的定义，符合题意．②422y x+ 的分子、分母中含有公因数2，不是最简分式，不符合题意；③3x p ⑤9+73+5p p不是分式，不符合题意；④10+452a a + 的分子、分母中含有公因式（5+2a ），不是最简分式，不符合题意；⑥241025y y y ++的分子、分母中含有公因式（2y+5），不是最简分式，不符合题意；故答案为：1．【点睛】此题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．25．当x_____________时，分式21x x x+-的值为0；【答案】=－1【解析】由题意得：x+1=0，且x 2-x≠0，解得：x=-1，故答案为=-1.26．当x=__________时，分式22121x x x --+的值为零.【答案】-1【分析】根据分式的解为0的条件，即可得到答案.【详解】解：∵分式22121x x x --+的值为零，∴2210210x x x ì-=í-+¹î，解得：11x x =±ìí¹î，∴1x =-；故答案为：1-.【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．27．当x =______时，分式293x x--的值为0.【答案】-3【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】由分式的值为零的条件得290x -=，30x -¹，由290x -=，得29x =，∴3x =或3x =-，由30x -¹，得3x ¹．综上，得3x =-．故答案是：3-．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．28．如果分式126xx--的值为零，那么x＝________ ．【答案】1【分析】根据分式的值为零可得10x-=，解方程即可得．【详解】由题意得：10x-=，解得1x=，Q分式的分母不能为零，260x\-¹，解得3x¹，1x\=符合题意，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的值为零，正确求出分式的值和掌握分式有意义的条件是解题关键．29．要使分式2xx1+有意义，那么x应满足的条件是________ ．【答案】1x¹-【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．【详解】由题意得：10x+¹，解得：1x¹-，故答案为：1x¹-．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．30．已知215aa+=，那么2421aa a=++________．【答案】1 24【分析】将215aa+=变形为21a+=5a，根据完全平方公式将原式的分母变形后代入21a+=5a，即可得到答案．【详解】∵215a a+=，∴21a +=5a ，∴2421a a a =++()()2222222221242451a a a a a a a a ===-+-故答案为：124．【点睛】此题考查分式的化简求值，完全平方公式，根据已知等式变形为21a +=5a ，将所求代数式的分母变形为22(1)aa +-形式，再代入计算是解题的关键．31．化简：22x x x-＝_____．【答案】12x -【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．【详解】解：22xx x -＝(2)x x x -＝12x -．故答案为：12x -．【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．32．已知:x 满足方程11200620061x x =--,则代数式2004200620052007x x -+的值是_____.【答案】20052007-【解析】因为11200620061xx =--，则200420062005200520062006001120072007x x x x x x x --=Þ=Þ=Þ=---+ .故答案：20052007-.33．下列结论：①不论a 为何值时21a a +都有意义；②1a =-时，分式211a a +-的值为0；③若211x x +-的值为负，则x 的取值范围是1x ＜；④若112x x x x ++¸+有意义，则x 的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是________【答案】①③【解析】【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．【详解】①正确．∵a 不论为何值不论a 2+2＞0，∴不论a 为何值21a a +都有意义；②错误．∵当a =﹣1时，a 2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误；③正确．∵若211x x +-的值为负，即x ﹣1＜0，即x ＜1，∴此结论正确；④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若112x x x x++¸+有意义，则x 的取值范围是即20010x x x x ìï+¹ï¹íï+ï¹î，x ≠﹣2，x ≠0且x ≠﹣1，故此结论错误．故答案为：①③．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．34．已知210ab a -+-=，则111(1)(1)(2016)(2016)ab a b a b +++=++++L _______.【答案】20172018【解析】【分析】先根据绝对值的非负性求出a 和b 的值，代入代数式中根据分数的性质对原式进行变形即可求出答案.【详解】∵210ab a -+-=，所以20-=ab ，10a -=∴a =1，b =2，∴原式=111.....122320172018+++´´´ =111111.....22320172018-+-++- =112018- =20172018【点睛】本题考查非负数的性质，绝对值.本题解题关键有两个，①任意数的绝对值都大于或等于0，而两个非负数（或式）的和要等于0，那么这两个数（或式）都要为0；②注意分数的等量变形111(1)1=-++a a a a .35．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟．“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本．其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷．端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的32倍，当天的总利润率是50% ．第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为___________．【答案】38%【分析】设1g 艾叶成本价为a 元，利润率为x ，1g 薄荷成本价为b 元，利润率为y ，端午节当天“求真”香囊的销量为m 件，则“乐群”香囊的销量为2m 件，“创造”香囊的销量为n 件，先根据利润倍数关系可求出43n m =，再根据端午节当天的总利润率可得2a b ax by ++=，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得．【详解】设1g 艾叶成本价为a 元，利润率为x ，1g 薄荷成本价为b 元，利润率为y ，端午节当天“求真”香囊的销量为m 件，则“乐群”香囊的销量为2m 件，“创造”香囊的销量为n 件，Q “求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的32倍，3202(1020)(2020)2axm m ax by n ax by \++=+，整理得：43n m =，Q 端午节当天的总利润率是50%，3)(2020)250%202(1020)(2(1020)n ax by am m a b n a b +++\+=++，即54(2020)2350%4202(1020)(2020)3m ax by am m a b m a b ´+=++++，整理得：2a b ax by ++=，Q 第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，\第二天总利润率为[][]420(1)210(1)20(1)20(1)20(1)80%314202(1020)(2020)3ma x m a x b y m a x b y ma m a b m a b +++++++++×-++++，[]4620(1)20(1)15110(2020)3m a x b y m a b +++=-+，23()125()a b ax by a b +++=-+，23()2125()a b a b a b +++=-+，69()150()a b a b +=-+，1950=，38%=，故答案为：38%．【点睛】本题考查了分式求值，依据题意，正确设立未知数得出已知等式和所求分式是解题关键．36．若240x y z -+=，4320x y z +-=．则222xy yz zx x y z++++的值为______【答案】16-【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x 的式子分别表示y ，z ，然后带入要求的式中，化简便可求出.【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．①+③得: 10x+ 5y= 0，∴y= -2x ，将y= - 2x 代入①中得:2x- (-2x)+4z=0∴z=-x将y= -2x ，z=-x ，代入上式222xy yz zxx y z ++++=()()()()()()222·22··2x x x x x xx x x -+--+-+-+-=222222224x x x x x x -+-++=226x x -=16-故答案为：16-【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x 的式子表示y ，z.本题较难，要学会灵活化简.三、解答题37．计算：32222((y y x x-×-．（结果用正整数指数幂的形式表示）【答案】24y 【分析】根据幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，负指数次可以把底数变为原来的倒数.负指数变为正的，最后将式子化成最简.【详解】解：原式6222(2y x x y -=×62244y x x y =×24y =．【点睛】本题考查了幂的乘方和负指数幂的预算，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方运算和负指数幂的运算法则.38．（1）3455318x yx y（2）()()2328x y x y --（3）2918933x x x -+- （4）22b a a b --（5）22222222a b c bca b c ab--++-+（6）()()2235221215x y x y x y x y --【答案】（1）216x y ；（2）144x y -；（3）33x -；（4）1a b -+；（5）a b ca b c-+++；（6）2454455x yx y xy -+【分析】（1）根据分式的除法运算法则计算即可；（2）将分式的分子、分母约去相同的因式即可；（3）将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可；（4）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可；（5）将分式的分子、分母分别应用分组分解法因式分解后约去相同的因式即可；（6）将分式的分母因式分解后约去相同的因式即可．【详解】（1）3455318x y x y 21=6x y；（2）()()2328x y x y --1=4)x y -（144x y=-；（3）2918933x x x -+-29(21)=3(1)x x x -+-23(1)(1)x x -=-3(1)x =-33x =-；（4）22b a a b --()=()()a b a b a b ---+1a b=-+（5）22222222a b c bc a b c ab--++-+222222(2)=2a b bc c a ab b c --+++-2222()()a b c a b c --=+-()()()()a b c a b c a b c a b c -++-=+-++a b ca b c-+=++；（6）()()2235221215x y x y x y x y --()()244=5()x y xy x y x y --+44()5()x y xy x y -=+2454455x yx y xy -=+．【点睛】本题主要考查了分式加减乘除混合运算，解题的关键是对分式的分子与分母分别因式分解，然后约去公因式，分式的约分是分式运算的基础，应重点掌握．39．对于正数x ，规定：()1xf x x =+．例如：11(1)112f ==+，22(2)213f ==+，111212312f æö==ç÷èø+．（1）填空：()3f =________；13f æö=ç÷èø_______；1(4)4æö+=ç÷èøf f _________；（2）猜想：1()æö+=ç÷èøf x f x _________，并证明你的结论；（3）求值：111(1)(2)(2019)(2020)202020192æöæöæö+++×××++++×××++ç÷ç÷ç÷èøèøèøf f f f f f f ．【答案】（1）34，14，1；（2）1()1f x f x æö+=ç÷èø，证明见解析；（3）120192．【分析】（1）根据给出的规定计算即可；（2）根据给出的规定证明；（3）运用加法的交换律结合律，再根据规定的运算可求得结果．【详解】解：（1）()3f =33+1 =34，13f æö=ç÷èø131+13=14，,1(4)4æö+=ç÷èøf f 34+14=1，（2）1()1f x f x æö+=ç÷èø，理由为：11111111æö==×=ç÷++èø+x xf x x x x x()1xf x x =+，则111()1111+æö+=+==ç÷+++èøx x f x f x x x x ．（3）原式111(2020)(2019)(2)(1)202020192éùéùéùæöæöæö=++++×××+++ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøëûëûëûf f f f f f f 1201912=´+120192=．【点睛】本题考查的是分式的加减，根据题意找出规律是解答此题的关键．40．先化简：221111x x x æö+¸ç÷--èø，再选一个你喜欢的数代入并求值．【答案】11x +,13.【解析】【分析】根据分式的混合运算，先算括号里面的，再算除法，然后取一个分式有意义的数值代入求解即可.【详解】解：原式()()22222111111111x x x x x x x x x x -+--=´=´=-+++，0x Q ¹，1，1-，2x \=时，原式11213==+．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，把分式通分、约分进行化简是关键，代入求值时，代入的数值必须让分式有意义，容易出错.41． 已知22ab a b ab ++＝32，求2a －3b 的值．【答案】0【详解】试题分析：根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式，得到a 、b 的关系，然后代入求值即可.试题解析：原式＝a b ＝32，∴2a ＝3b ，∴2a －3b ＝0.42． 若2a ＝3b ＝4c ≠0，求a b c+的值．【答案】54【详解】试题分析：根据比例的基本性质，设出参数，直接代入可求解.试题解析：设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k ≠0，∴a b c+＝234k k k +＝54.43．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b 元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n 所民办学校．奖金分配方案如下：首先将n 所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n 排序，第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n 所民办学校．（1）请用n 、b 分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；（2）设第k 所民办学校所得到的奖金为k a 元（1k n ££），试用k 、n 和b 表示k a （不必证明）；（3）比较k a 和1k a +的大小（k=1，2 ，……，1n -），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．【答案】（1）211()(1)bb a b n n n n =-´=- ,23111()(1(1)b b a b n n n n n=-´-=-；（2）11(1k k b a nn-=- ；（3）1k k a a +> ．奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少．【解析】【试题分析】（1）根据第1所民办学校得奖金bn元，然后再将余额除以n 发给第2所民办学校，得：22311111((1),()(1)(1).b b b ba b a b n n n n n n n n n=-´=-=-´-=-（2）根据（1）中的两个式子，11(1k k ba n n-=- ；（3）11(1k k b a n n -=-，+11(1)k k ba n n=-，则1111+121111111(1(1)(11(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b ba a n n n n n n n n n n n n----éù-=---=---=-××=-×>êúëû，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【试题解析】（1）根据题意得：22311111((1),()(1)(1.bb b ba b a b nn n n n n n n n=-´=-=-´-=- （2）根据（1）中的两个式子，11(1k k ba n n-=- （3）11(1k k b a n n -=-，+11(1)k k ba n n=-，则1111+121111111(1(1)(11(1)(1)(1)0k k k k k k k b b b b ba a n n n n n n n n n n n n----éù-=---=---=-××=-×>êúëû，则+1k k a a >.奖金分配的实际意义：名次越靠后，奖金越少.【方法点睛】本题目是一道分式的实际应用问题，第一个问题有难度，依据奖金的分配规则，写出23a a 、 的表达式；第二问在第一问的基础上，找出规律，直接写出k a 的表达式即可；第三问用作差法比较两个分式的大小，若差为正数，则被减数大于减数；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.44．已知分式2 218 x3 x-+（1）当x取什么值时，分式有意义？（2）当x取什么值时，分式为零？（3）当x取什么值时，分式的值为负数？【答案】（1）x≠－3；（2）x＝3；（3）x＜3且x≠－3【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案．（2）根据分式值为零的条件是：分子等于零且分母不等于零。
分式方程20道例题
分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。
2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。
3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。
- 解得x = 3。
4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。
- 所以x = 3是原分式方程的解。
例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。
2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。
3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。
- x^2+2x - x^2+4 = 4。
4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。
5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。
- 所以x = 0是原分式方程的解。
例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。
2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。
3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。
- 8x=8，解得x = 1。
4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。
- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。
二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。
认识分式(13类热点题型讲练)(解析版) 八年级数学下册
第01讲认识分式(15类热点题型讲练)1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、无意义、分式值为零、分式值为正（负）、分式值为整数的条件；2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分、最简分式的概念知识点01分式的意义1.分式的意义ABA BBA BBAABB⎧⎪⎪⎧⎪⇔≠⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎨⎪⎪⎪⎪⎧⎪⇔⎨⎪⎪≠⎩⎩⎩有意义无意义概念：两个整式A、B相除，则叫做分式；分式；分式的意义：分式＝；＝值为零分式的知识点02分式的值为正或为负（1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0（2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0知识点03分式的基本性质3.分式的基本性质(0,0,0)A A M A NB M NB B M B N÷⎧≠≠≠⎪÷⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩分子分母都是单项式：约去它们系数的最大公因数，相同因式最低次幂.基本性质：＝＝：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程.：分式的分子与分母没有相同的因式（1除外）.化简分约分最简分式最简分式整式式：分子分母是多项式：先分解因式，再约分.化简分式时要将分式化成或.题型01分式的识别【例题】（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）在1x，3a b+，32πx，22a ba b-+，15π+，2aa中分式的个数有（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：在1x，3a b+，32πx，22a ba b-+，15π+，2aa中，1x，22a ba b-+，2aa中分母是字母，属于分式，共3个，故选：A．1．（2023上·湖南永州·八年级统考阶段练习）下列各式中，是分式的是（）A．6πB．223x-C．4aD．23y+【答案】B【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键．【详解】解：根据题意，得223x-是分式，其余都不是，故B正确．故选：B．2．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）在代数式()2111331,,,,,2x x xyax x x y mπ+++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个题型02分式有意义的条件故答案为：2x≠-．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．题型03分式无意义的条件题型04分式值为零的条件题型05分式的值题型06求使分式为正(负)数时未知数的取值范围题型07求使分式值为整数时未知数的整数值题型08判断分式变形是否正确【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．【变式训练】题型09利用分式的基本性质判断分式值的变化题型10将分式的分子分母的最高次项化为正数题型11将分式的分子分母各项系数化为整数【例题】（2023秋·八年级单元测试）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．题型12最简分式题型13约分。
分式【十二大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题5.1分式【十二大题型】【北师大版】【题型1分式的判断】 (1)【题型2分式有意义的条件】 (4)【题型3分式值为零的条件】 (6)【题型4分式的求值】 (7)【题型5分式的规律性问题】 (9)【题型6由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 (11)【题型7求使分式的值为整数时字母的的整数值】 (13)【题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化】 (15)【题型9最简公分母】 (17)【题型10最简分式】 (18)【题型11约分、通分】 (20)【题型12运用分式的基本性质求值】 (22)【知识点1分式的定义】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。
【题型1分式的判断】【例1】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（）个3，1，1r5，r15，2，A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．【详解】∵3中的分母是3，不含字母，∴3不是分式；∵1中的分母是n，是整式，且是字母，∴1是分式；∵1r5中的分母是a+5，是多项式，含字母a，∴1r5是分式；∵r15中的分母是15，不含字母，∴r15不是分式；∵2中的分母是2，是整式，含字母x，y，∴2是分式；(+p2，是整式，含字母a，b，共有4个，故选A．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．【变式1-1】（2023下·全国·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是()A．3x2＋2x－13B．2+K22−1C．2K3K1D．2K1313−【答案】C【详解】试题解析：2K3K1这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选C．【变式1-2】（2023下·八年级课时练习）把下列各式填入相应的括号内:－2a，1K，r3，2，1，，K29整式集合：{…}；分式集合：{…}【答案】整式集合：{－2a，r 3，2，K29，…}；分式集合：{1K，1，…}【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】－2a，r3，2，K29的分母没有字母是整式，1K，1故答案为：整式集合：{－2a，r3，2，K29，…}；分式集合：{1K，1…}【点睛】本题考查了整式和分式的定义，熟练掌握相关概念是解题关键，注意：π不是字母，是常数．【变式1-3】（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．K1r1,2K1，这样的分式就是假分式；再如：3r1,22这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：K1r1==1−2r1；解决下列问题：(1)分式132是________________（填“真分式”或“假分式”）；(2)将假分式4r12K1化为整式与真分式的和的形式：4r12K1=____________；(3)若假分式4r12K1的值为正整数，则整数的值为________________；(4)将假分式2−2K1K1化为带分式（写出完整过程）．【答案】(1)真分式(2)2+32K1(3)1，2，−1(4)−1−2K1【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据定义进行化简即可得到答案；（3）根据题意列出方程即可求出的值；（4）先化为2−2K1K1=【详解】（1）解：由题意得：分式132是真分式，故答案为：真分式；（2）解：根据题意可得：4r12K1=4K2+32K1==2+32K1，故答案为：2+32K1；（3）解：由（2）可得：4r12K1=2+32K1，当2+32K1为正整数时，2−1=1或±3，∴=1，2，−1，故答案为：1，2，−1；（4）解：根据题意可得：2−2K1K1==−1−2K1．【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．【题型2分式有意义的条件】【例2】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（）A．13−1B．K2C．2−1K1D．22+1【答案】D【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可．【详解】解：A．当=1时，分式13−1没有意义．故本选项不合题意；B．当=0时，分式K2没有意义．故本选项不合题意；C．当=1时，分式2−1K1没有意义．故本选项不合题意；D．因为2≥0，所以22+1≠0，所以分式22+1总有意义，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．【变式2-1】（2023下·浙江温州·八年级统考期末）当=3时，分式K r2没有意义，则b的值为（）A．−3B．−32C．32D．3【答案】B【分析】先将=3代入分式Kr2，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当=3，K r2=3−3+2，∵分式3−3+2没有意义，∴3+2=0，∴=−32，故选：B ．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）要使分式K11+11+有意义，则x 的取值范围为．【答案】≠−1且≠−2【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案．【详解】解：1+x ≠0，1+11+≠0，x ≠﹣1，x ≠﹣2故答案为：x ≠﹣1且x ≠﹣2．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．【变式2-3】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（）A ．K12r1B ．2r1r1C ．2K1K1D ．r12r1【答案】B【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．【详解】A 、当x ＝−1时，分母2x ＋1＝−1≠0，所以分式K12r1有意义；故本选项不符合题意；B 、当x ＝−1时，分母x ＋1＝0，所以分式2r1r1无意义；故本选项符合题意；C 、当x ＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2K1K1有意义；故本选项不符合题意；D 、当x ＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式r12r1有意义；故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【题型3分式值为零的条件】0，则x的取值是（）【例3】（2023上·河南周口·【答案】A【分析】根据题意可得−1=0且−2≠0，即可确定出x的值．=0，则−1=0且−2≠0，解得：=1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）若分式K12r2的值为零，则的值等于（）A．﹣1B．0C．2D．1【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出−1=0，且值需保证2+2≠0，即可得到答案．【详解】解：要使分式K12r2的值为零，必须−1=0，2+2≠0，解得，=1，故选：D．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．【变式3-2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）若分式2−12−2r1的值为0，则的值（）A．2B．1C．−1D．±1【答案】C【分析】根据题意，可得：2−1=0 ①2−2+1≠0 ②，据此求出的值即可．【详解】解：∵分式2−12−2r1的值为0，∴2−1=0 ①2−2+1≠0 ②，由①，可得：=−1或=1，由②，可得：≠1，∴=−1．故选：C．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）若分式|K2|−12−6r9的值为0，则x的值为．【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．【详解】解：∵分式|K2|−12−6r9的值为0，∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，则x﹣2＝﹣1．则x＝1故答案为：1．【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．【题型4分式的求值】【例4】（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知2−3−2=0，则22−3+42值为（）A．10B．11C．15D．16【答案】C【分析】根据已知变形得到2−3=2，进而可得−2=3，求出2+42=13，再将所求代数式变形得到即可答案．【详解】解：∵2−3−2=0，且根据题意有：≠0，∴2−3=2，即−3=2，即−23，∴−=32=9，即2+42=13，则22−3+42=2−3+2+42=2+13=15．故选：C．【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由−=32=9，得到2+42=13，是解题的关键．【变式4-1】（2023·全国·八年级假期作业）若x y=32，则x+y y的值为（）A．13B．−13C．12D．52【答案】D【分析】根据等式的性质求出=32，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】∵x y=32，∴=32，∴r=32r=52=52，故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式4-2】（2023上·云南昆明·八年级统考期末）若3+32+=0，则202324−20302+1=．【答案】0或−1【分析】当=0时，原式为0，当≠0时，根据已知条件是得到+1=−3，再根据完全平方公式的变形得到2+12=7，所求式子分子分母同时除以2变形为20232+12−2030，由此代值计算即可．【详解】解：①若=0，则202324−20302+1=0．②若≠0，则每项都除以得2+3+1=0，每项都除以得+1=−3，∴2+12=+−2=7，则202324−20302+1=20232+12−2030=20237−2030=−1∴202324−20302+1的值为0或−1，故答案为：0或−1．【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式4-3】（2023·浙江杭州·八年级期末）设非零实数、、满足+2+3=02+3+4=0则B+B+B2+2+2的值为（）A．−12B．0C．12D．1【答案】A【分析】把已知方程组的两个方程相减，求出a+b+c的值，再把所得的等式两边同平方，进行化简变形，即可求出所求式子的值．【详解】{+2+3=0①2+3+4=0②，②−①得：a+b+c=0，即：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ca+bc)=0，∴ab+bc+ca=−12(a2+b2+c2)，∴B+B+B2+2+2=−12．故选A．【点睛】本题主要考查三元一次方程组以及分式的求值，熟练掌握加减消元法以及等式的基本性质，是解题的关键．【题型5分式的规律性问题】【例5】（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，2，−53，106，−1710,2615,−3721…，观察其规律，则第n个分式是．【答案】(−1)r12+112or1)【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n个分式的式子．【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n项的符号为：(−1)r1分母规律为：y的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：1+2+3+⋯+=12or1)分子规律为：x的次数为对应项的平方加1，故第n项为：2+1故答案为：(−1)r12+112or1)．【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．【变式5-1】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，1r3，3r5，4r7，7r9，11r11，，29r15，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．【答案】18r13【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．【详解】解：由给出的式子的特点，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，由此可得第6个式子是7+11r2×6+1=18r13．故答案为18r13．【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理．【变式5-2】（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y1＝1K1，y2＝11−1，y3＝11−2，y4＝11−3，…，yn＝11−K1，请计算y2020＝（请用含x的代数式表示）．【答案】1K1【分析】通过计算发现运算结果1K1，K1K2，2−循环出现，则y2020＝y1＝1K1．【详解】解：∵y1＝1K1，∴y2＝11−1＝11−1K1＝K1K2，y3＝11−2＝11−K1K2＝2−，y4＝11−3＝11−2+＝1K1，……，∴运算结果1K1，K1K2，2−循环出现，∵2020÷3=673⋯⋯1，∴y2020＝y1＝1K1，故答案为：1K1．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．【变式5-3】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x+2＝3；②x+6＝5；③x+12＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是．【答案】x+or1)＝n+（n+1）【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）．【详解】∵第1个方程为x+1×2＝1+2，第2个方程为x+2×3＝2+3，第3个方程为x+3×4＝3+4，…∴第n个方程为x+or1)＝n+（n+1）．故答案是：x+or1)＝n+（n+1）．【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么.【题型6由分式的值为正（负）求字母的取值范围】【例6】（2023下·江苏·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：当取何值时，分式1−2K1的值为正？解：依题意，得1−2K1>0则有(1)2−1>01−<01−>0或(2)2−1<0解不等式组(1)得：12<<1；解不等式组(2)得：不等式组无解∴不等式的解集是：12<<1∴当12<<1时，分式的值为正问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式3r2K2的值为负？【答案】当−23<<2时，分式3r2K2的值为负【分析】由题意分式3r2K2的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．【详解】解：依题意，得3r2K2<0，则有3+2<0−2>0(1)或3+2>0−2<0(2)解不等式组(1)得：无解；解不等式组(2)得：−23<<2，∴不等式的解集是：−23<<2，∴当−23<<2时，分式3r2K2的值为负．【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．【变式6-1】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式r42的值是正数，那么x的取值范围是（）A．x＞0B．x＞-4C．x≠0D．x＞-4且x≠0【答案】D【分析】若r42的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．【详解】解：∵r42＞0，∴x＋4＞0，x≠0，∴x＞−4且x≠0．故选：D．【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．【变式6-2】（2023上·江苏南通·八年级校考期中）若分式|2K1|3K2的值为负数，则的取值范围是．【答案】<23且≠12【分析】由题意首先根据绝对值的非负性，可知分式的分母为负、分子为正，然后根据一元一次不等式的解法，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵分式|2K1|3K2的值为负数，∴2−1≠03−2<0，解得<23且≠12，∴的取值范围是：<23且≠12.故答案为：<23且≠12.【点睛】本题考查分式的值，熟练掌握分式的值的正负性的判断和绝对值的非负性的应用以及一元一次不等式的求解方法是解题的关键.【变式6-3】（2023上·四川凉山·八年级统考期末）若分式r22−2r1的值为正数，则x的取值范围是．【答案】>−2且≠1【分析】由分式r22−2r1的值为正数，得到2−2+1=−12>0，+2>0，即可得到x的取值范围．【详解】解：∵分式r22−2r1的值为正数，∴2−2+1=−12>0，+2>0，解得>−2且≠1，即x的取值范围是>−2且≠1．故答案为：>−2且≠1【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．【题型7求使分式的值为整数时字母的的整数值】【例7】（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）当整数x＝时，分式2r22−1的值为正整数．【答案】2或3．【分析】先把分式2r22−1进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出x-1的取值，从而得出x 的值．【详解】2r22−1＝2(r1)(r1)(K1)=2K1，要使2K1的值是正整数，则分母x﹣1必须是2的约数，即x﹣1＝1或2，则x＝2或3，故答案为：2或3【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式式2r22−1的值是正整数，讨论出分母x-1的得数．【变式7-1】（2023上·上海浦东新·八年级校考期中）当满足时，分式【答案】<0【分析】分当>0和<0时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解．【详解】解：当>0=3K4=24=12，当<0=−3K4=−44=−1，是整数，故答案为：<0．【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键．【变式7-2】（2023下·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）使分式7K1的值为整数的所有整数x的和为（）A．8B．4C．0D．−2【答案】B【分析】由整除的性质可知，−1是7的因数，即可分别得出符合题意的值，再求和即可．【详解】解：∵7K1的值为整数，∴−1为7的因数，∴−1=±1，或−1=±7．又∵为整数，∴=2，或=0，或=8，或=−6，∴2+0+8−6=4，故选：B．【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．【变式7-3】（2023上·安徽宣城·八年级校考期中）当为何整数时，(1)分式42r1的值为正整数；(2)分式r2K1的值是整数．【答案】(1)0(2)2或0或4或−2【分析】（1）若使该式的值为正整数，则2+1能够被4整除，所以2+1可以为1，2，4；即=0，0.5，1.5；由为整数得，=0即可；（2）分式r2K1进行变形，化为1+3K1，若要使r2K1值为整数，则3K1的值一定是整数，则−1一定是3的约数，从而求得的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则2+1能够被4整除，∴2+1可以为1，2，4，∴=0，0.5，1.5，∵为整数，∴=0；（2）解：r2K1=K1+3K1=1+3K1，∵r2K1的值为整数，且为整数；∴−1为3的约数，∴−1的值为1或−1或3或−3；∴的值为2或0或4或−2．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．【知识点2分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式经典题型分类练习题
zx4
题型三：求待定字母的值
【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 .
x3
x3
【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 .
x2
提示： x 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 .
3
题型四：解含有字母系数的方程
【例 6】解关于 x 的方程
题型二：化简求值题 【例 2】已知 x x 1 5 ，求（ 1） x2 x 2 的值；（ 2）求 x4 x 4 的值 .
题型三：科学记数法的计算 【例 3】计算：（ 1） (3 10 3 ) (8.2 10 2 )2 ；（2） (4 10 3 ) 2 (2 10 2 )3 .
练习 ：
1．计算：（ 1）
（ 5） 5x 4 2 x 5 1
2x 4 3x 2 2
（ 7） x x 9 x 1
x2 x 7 x1
（6） 1
x1 x8 x6
1 x5
1 x2
1 x4
2．解关于 x 的方程：
（ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（2） 1 a 1 b (a b) .
axb
a xbx
3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 .
x 2 x9 x 3 x8
七、分组通分法
例 7．解方程： 1
1
1
1
x 2 x5 x3 x4
（三）分式方程求待定字母值的方法
例 1．若分式方程 x 1 m 无解，求 m 的值。
x2 2x
例 2．若关于 x 的方程 x
x1
k2 x2 1
x 不会产生增根，求 k 的值。
王老师整理分式必会题型(含答案)
分式必会十类型题一、分式定义，注意：判别分式的依据是分母中还有字母，分母不等于零。
1、在式子yx y x x c ab y a 109,87,65,43,20,13+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 52.下列式子:x y a y x ab x 73),(51,89,97222++-，yx 2915-中，是分式的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、分式基本性质 1、填空：()yx xy ba -=---..............；2．在括号内填入适当的代数式，使下列等式成立：2xy =22()2ax y ； 322()x xy x y --=()x x y -． 3、把分式xyyx -中的x 、y 的值都扩大2倍，则分式的值（ ） A 不变 B 扩大2倍 C 扩大4倍 D 缩小一半 4、已知31=b a ，分式b a b a 52-+的值为 ；5、若32,234a b c a b ca b c-+==++则=_______． 6、不改变分式52223x y x y -+的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ ） A ．2154x y x y -+ B ．4523x y x y -+ C ．61542x y x y-+ D ．121546x yx y -+三、分式无意义与有意义， 1、当x 时，分式3213+-x x 无意义；2．在分式2242x x x ---中，当x _____________时有意义．3．当x______时，分式||2xx -有意义．4.2(3)x -+-中的取值范围是___________． 5. 当x_____________时，式子23+x x ÷322--x x 有意义四、分式值为零，1、当x 时，分式392--x x 的值为0；2．使分式234x ax +-的值等于零的条件是_x________．3．在分式2242x x x ---中，当x _________时分式值为零．.__01||87.42=---x x x x ，则的值为若分式五、分式约分1．约分：34522748a bx a b x , 532164abc bc a - 22923a a a ---,xx x 52522--2．分式：①223a a ++，②22a b a b --，③412()aa b -，④12x -中，最简分式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个六、通分 1、分式222439x x x x --与的最简公分母是___ ___________.2、分式yx 21，323x y ，232xy x+的最简公分母是（ ） A .xy 3 B .236y x C .666y x D .33y x3、把下列各组分式通分 （1）243,2bac bd c （2）七、分式运算 1、化简xy x x 1⋅÷的结果是（ ） A 1 B xy Cx y D yx 2、22332p mn p n n m ÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅； 3、aa a -+-21422；4、112---x x x ；5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--÷-x y xy x x y x 2222, 6．339322++--m m m m7 、先化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-．8、先化简：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-aa a aa 121 并任选一个你喜欢的数a 代入求值．,412-a 21-a9、先化简，再求值：1312-÷+x x x x ，其中31+=x ．10、已知220x -=，求代数式222(1)11x x x x -+-+的值．11、 先化简，再求值： 3x ＋3 x ·⎝⎛⎭⎫1 x －1 ＋1 x ＋1 ÷6x，其中x ＝3＋1．12、先化简，再求值：232224xx x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中3x =．八、分式方程，易错点：分式方程检验 1、解方程： （1）256x x x x -=--． （2）21411x x x +---=1． （3）12212+=++-x x xx x ，（4）6122x x x +=-+． （5）14143=-+--x x x ，（6）22333x x x -+=--，2、已知23(1)(2)12x A Bx x x x -=+-+-+，求A ，B 的值．3、已知分式方程21x ax +-=1的解为非负数，求a 的范围．4、已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围。
分式重点知识及经典例题
分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。
（1）2132x x ++； （2）2323x x +-。
例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。
例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。
例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。
例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。
C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。
例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
史上最全分式练习题(各题型,含答案)
第十六章 分式16．1分式16.1.1从分数到分式一、 教学目标1． 了解分式、有理式的概念.2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.二、重点、难点1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.三、课堂引入1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：710，a s ，33200，sv .2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v-2060小时，所以v +20100=v-2060.3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，sv ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解.[答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1六、随堂练习1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？（1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 1-m m 32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --221七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x 与y 的差于4的商是 .2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ 八、答案：六、1.整式：9x+4, 209y +, 54-m 分式： x 7 , 238y y -，91-x 2．(1）x ≠-2 （2）x ≠ （3）x ≠±2 3．（1）x=-7 （2）x=0 (3)x=-1七、1．18x, ,a+b, ba s +,4y x -; 整式：8x, a+b, 4y x -; 分式：x 80, ba s + 2． X = 3. x=-1课后反思：16.1.2分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形.x 802332xx x --212312-+x x二、重点、难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.三、例、习题的意图分析1．P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.四、课堂引入1．请同学们考虑： 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？2．说出 与 之间变形的过程， 与 之间变形的过程，并说出变形依据？ 3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.五、例题讲解P7例2.填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.P11例3．约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.P11例4．通分：[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--， y x3-， n m --2， n m 67--， yx 43---。
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分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的 有: ﻩ.题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时,下列分式有意义（1）44+-x x (２)232+x x （3）122-x (4)3||6--x x(5)xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0.(1)31+-x x ﻩ （2）42||2--x x ﻩ（3)653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例４】(1）当x 为何值时，分式x -84为正; （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x为负；(3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习:1.当x 取何值时，下列分式有意义：(１）3||61-xﻩ（２）1)1(32++-x x (3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零:（1）4|1|5+--x xﻩ(2）562522+--x x x3.解下列不等式 (1)012||≤+-x x （2）03252>+++x x x(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则:bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.（1)y x yx 41313221+-ﻩ （２）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（１）yx yx --+-ﻩ (2）b a a ---ﻩﻩ（３）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例4】已知:21=-xx ,求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(1）yx y x 5.008.02.003.0+-ﻩﻩ (2)b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ,求1242++x x x 的值.3.已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值．４.若0106222=+-++b b a a ,求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---．(三）分式的运算1．确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例１】将下列各式分别通分．(1）cb ac a b ab c 225,3,2--; (2)a b b b a a 22,--; (3）22,21,1222--+--x x xx xx x ; （4）aa -+21,2题型二：约分【例２】约分:（１）322016xy y x -； (２)n m m n --22； (３）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例３】计算:（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；2(ﻩ）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+；(3)mn mn m n m n n m ---+-+22;ﻩ ﻩ(4)112---a a a ；(5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；(６))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7))12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值(1）已知：1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；(２）已知：432z y x ==,求22232zy x xz yz xy ++-+的值;（3)已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五:求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ,试求N M ,的值.练习：1.计算（１）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ; (2)ab ab b b a a ----222;(3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；ﻩ （４）ba b b a ++-22;（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-;ﻩ ﻩ（６）2121111x x x ++++-；（７）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x ．2.先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.３.已知:121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时,代数式2805399++a a 的值是整数,并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：(1）3132)()(---⋅bc a ﻩ ﻩ(2)2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3)24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二:化简求值题【例２】已知51=+-x x ,求(1）22-+x x 的值；(２)求44-+x x 的值．题型三：科学记数法的计算【例3】计算:(１）223)102.8()103(--⨯⨯⨯;(２)3223)102()104(--⨯÷⨯.练习：1.计算:（１)20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅--（2）322231)()3(-----⋅n m n m （3） （４)21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x２.已知0152=+-x x ,求（1)1-+x x ，(２）22-+x x 的值.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析(提示易出错的几个问题:①分子不添括号；②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.） 题型一：用常规方法解分式方程【例１】解下列分式方程（1）xx 311=-; (２)0132=--xx ； （3)114112=---+x x x ； （4)x x x x -+=++4535题型二:特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（１）4441=+++xx x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三:求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根,求m 的值.【例５】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数,求a 的取值范围.题型四:解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题练习：1.解下列方程:(1)021211=-++-xxx x ；ﻩ (２）3423-=--x x x ； (３）22322=--+x x x ；ﻩ (4)171372222--+=--+x x xx xx（5)2123524245--+=--x x x x ﻩ（6)41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2.解关于x 的方程: (1)bx a 211+=)2(a b ≠； (2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3.如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4.当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数．5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值．(二)分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程，可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:一、交叉相乘法例1．解方程:231+=x x二、化归法例2.解方程:012112=---x x三、左边通分法例3：解方程:87178=----x x x四、分子对等法例4.解方程:)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6.解方程:87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例１.若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。
例2．若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根,求k 的值。
例3.若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根,求k 的值。
例4.若关于x 的方程1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。