高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳
高中数学必修4《三角函数》知识点与易错点归纳知识点（一）任意角和弧度制1．与θ终边相同的角的集合是 ；第一或第三象限角的集合是 ；x 轴上的角的集合是 ；2.若α是锐角，则πα-是第 象限角；πα+是第 象限角；2πα-是第 象限角；α-是第 象限角；32πα-是第 象限角；2πα+是第 象限角。
3.180°=π；1°= 弧度； 1弧度= ；圆心角α弧度数的绝对值||α= ；扇形面积公式S = 。
4.角ααcos 2=-，则2α角是 象限角。
知识点二．任意角的三角函数1.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，(,)P x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin α= ，cos α= ,tan α= 。
2.如图，三角函数线：正弦线是 、余弦线是 、正切线是 ；4.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin tan αα+的值为 ； 5．函数sin cos tan |sin ||cos ||tan |y αααααα=++的值域是 ； 6．sin cos θθ<⇔ ；sin cos θθ>⇔ 。
知识点三．同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.平方关系：22sin cos αα+= ；商数关系：tan α= ；2.已知tan 2α=，则ααααcos sin cos 3sin +-＝ ；sin cos αα⋅＝ ；4.1419costan()34ππ+-的值为 ； 5.化简23sin (180)cos(360)sin(270)cos (180)cos(90)tan(180)αααααα+⋅-⋅-=--⋅+⋅+ 。
yTA xα B SO M P知识点四．正弦、余弦、正切公式及倍角公式1.基本公式及变式()()22222sin sin cos cos sin sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos cos cos sin sin cos2cos sin 2cos 112sin t αβαβαβαβαβαααααααβαβαβααααα==±=±−−−→=⇒±=±±=−−−→=-=-=-↓↓令令 ()222tan tan 2tan 1+cos21cos2an tan 2cos sin 1tan tan 1tan 22αβααααβααααβα±-±=→=- ＝ ,＝变式：1tantan tan tan()(1tan tan),tan()1tan4απαβαβαβαα++=+⋅-⋅=+-；sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436πππθθθθθθθθθ±=±±=±±=±2.4411111212cos sin ππ-= ；sin163sin 223sin 253sin313+= ； 3.在ABC ∆中，53sin ,cos 135A B ==,则cos C = ； 4.在直角ABC ∆中，sin sin A B ⋅的最大值为 ；5.已知等腰三角形的一个底角的正弦值为13，则这个三角形的顶角的余弦值是 。
人教A版高中数学必修四任意角和弧度制任意角和弧度制知识梳理文字素材
《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈． 区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断． （１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置． （２）确定角的范围判断 已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法 求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。
高中数学《7、1角与弧度》知识点+教案课件+习题
知识点：1．弧度制(1)弧度制的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数；负角的弧度数是一个负数；零角的弧度数是零．(3)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是2．角度制与弧度制的换算(1)(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系视频教学：练习：1.将表的分针拨慢20分钟,则分针转过的角的弧度是( )A. B. C. D.2.集合，，则有( )A. B. C. D.3.与角的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A. B. C. D.4.若扇形的半径为2，面积为，则它的圆心角为( )A. B. C. D.5.已知扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为( )A. B. C. D.课件：教案：教材分析前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
高一必修四任意角知识点
高一必修四任意角知识点高一必修四任意角知识点一、定义任意角是指角的大小可以是大于0°小于360°的角。
任意角可以用弧度或度数表示。
二、角的转角1. 角的正向转角：角按照逆时针方向转动，转角为正。
2. 角的负向转角：角按照顺时针方向转动，转角为负。
三、角的初边和终边1. 初边：与x轴正半轴重合的射线。
2. 终边：从初边出发，按照逆时针方向旋转得到的射线。
四、角的度数和弧度的转换1. 角度到弧度的转换公式：弧度 = 角度× π / 1802. 弧度到角度的转换公式：角度 = 弧度× 180 / π五、角的相关概念1. 相互对立角：两条射线共享一个起点，但是方向相反的角。
它们的度数和为180°。
2. 余角：与给定角相加得到90°的角。
3. 补角：与给定角相加得到180°的角。
六、三角函数与任意角1. 正弦函数（sin）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正弦值等于该角对应终边上的y坐标值与终边长的比值。
2. 余弦函数（cos）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其余弦值等于该角对应终边上的x坐标值与终边长的比值。
3. 正切函数（tan）：在平面直角坐标系中，对于一个给定角，其正切值等于该角的正弦值与余弦值的比值。
七、任意角的三角函数值的四象限规定1. 第一象限：角的终边位于x轴的正半轴。
2. 第二象限：角的终边位于y轴的正半轴。
3. 第三象限：角的终边位于x轴的负半轴。
4. 第四象限：角的终边位于y轴的负半轴。
八、反三角函数与任意角的关系1. 反正弦函数（arcsin）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。
其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
2. 反余弦函数（arccos）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。
其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
3. 反正切函数（arctan）：给定一个比值，反三角函数可以求出对应的角度。
三角函数任意角和弧度制知识点
三角函数任意角和弧度制知识点第一章三角函数任意角和弧度制知识点任意角知识点一、任意角b终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、旋转方向、旋转量大小。
α知识点二、直角坐标系则中角的分类始边o1、象限角与轴线角aβ2、终边相同的角与角α终边相同的角β子集为__________________c终边轴线角的表示：终边落到x轴非负半轴角的子集为_____________；终边落到x轴非正半轴角的子集为_______；终边落到x轴角的子集为____________________。
终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。
终边落在坐标轴角的集合为__________________。
象限角的则表示第一象限的角的子集为_________________第二象限的角的子集为_____________。
第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。
例题1、推论以下各角分别就是第几象限角：670°，480°，-150°，45°，405°，120°，-240°，210°，570°，310°，-50°，-315°例题2、以下角中与330°角终边相同的角是（）a、30°b、-30°c、630°d-630°题型一、象限角的认定例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他们是第几象限角，并指出在0°~360°范围内与其终边相同的角。
（1）420°（2）-75°（3）855°（4）1785°（5）-1785°（6）2021°（7）-2021°（8）1450°（9）361°（10）-361°例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
高一数学必修4任意角和弧度制实用知识
o
角度和弧度的关系 弧度制意义下与 α 终边相同的角 （连同 α ）的集合 终边与 x 轴重合的所有角的集合
1° =
π
180°
{ β β = 2 kπ + α , k ∈ Z } { β β = kπ , k ∈ Z }
{β β = α + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = k • 360° {α α = 270° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 90° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 90°, k ∈ Z } {α k • 360° < α < k • 360° + 90°, k ∈ Z } {α k • 360° + 90° < α < k • 360° + 180°, k ∈ Z } {α k • 360° + 180° < α < k • 360° + 270°, k ∈ Z } {α k • 360° + 270° < α < k • 360° + 360°, k ∈ Z } {α α = 45° + k •180°, k ∈ Z } {α α = 135° + k •180°, k ∈ Z }
任意角和弧度制
与 α 终边相同的角（连同 α ）的集合 终边在 x 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 x 轴上的角的集合 终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 y 轴上的角的集合 终边落在第一象限角的集合 终边落在第二象限角的集合 终边落在第三象限角的集合 终边落在第四象限角的集合 终边落在 y = x 上角的集合 终边落在 y = − x 上角的集合
24任意角与弧度制知识点总结
y sin x 的图象。
③五点法：在函数 y sin x ， x 0，2 的图象上，起关键作用的点有以下五个：
0，0， 2 ，1，，0， 32 ，1，2，0
必修四第一章知识点总结
一、意角的概念
（1）、角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）、角的分类 ①按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。 ②按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。 ③如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终 边重合。 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
量角的单位制
无关
以省略
有关
五、任意角的三角函数
（1）、直角坐标系内用点的坐标表示锐角三角函数
设锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象
限。在 的终边上任取一点 P a，b ，它与原点的距离 r a2 b2 0 ，过 P 作 x 轴的
垂线，垂足为 M ，则线段 OM 的长度为 a ， MP 的长度为 b 。根据初中学过的三角函数定
（4）、正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数 y sin x （ x R ）是奇函数，余弦函数 y cos x （ x R ）是偶函数。
（5）、正弦函数、余弦函数的单调性 ①由正弦曲线和余弦曲线可得正弦函数和余弦函数的单调性如下：
函数
y
sin
x
在
2k
2
，2k
2
3 2
sin
，
高中数学5.1任意角和弧度制
高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。
而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。
本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。
在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。
这意味着任意角可以包括整个360°的范围。
2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。
三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。
一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。
2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。
角度和弧度之间可以通过π进行转换。
3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。
四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。
我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。
30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。
2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。
同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。
π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。
五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。
在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。
2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。
了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。
六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。
高中数学知识点总结(第四章-三角函数、解三角形-第一节-任意角和弧度制及任意角的三角函数)
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)． (3)象限角(4)轴线角[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.。
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
高中数学必修四主要内容
第一章 三角函数1.1 任意角和弧度制角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．角的分类：象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=rr②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. rl角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度：2360p =?；180p =?；1801()57.305718rad p¢=盎??；180( )nn p =?．弧长公式l l r ra a =??弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角1.2 任意角的三角函数三角函数的定义： 诱导公式)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
高中必修四数学知识点总结
两角和与差的正弦、余弦、正切的变形运用：
7．辅助角公式：y =asinx+bcosx = a2 +b2 ( a sinx+ b cosx)= a2 + b2 sin(x + ϕ) .
a2 +b2
a2 +b2
8．二倍角公式：
① sin 2α = 2sinα cosα ；
② cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α −1 = 1− 2sin2 α ；
横坐标变为 1 倍
ω→
y
= sinωx
左移ϕ 个单位
ω →
y
= sinω(x +
ϕ)
纵坐标变为A倍→
y = Asin(ωx+ϕ).
ω
④ 单调性：
y = Asin(ω x + ϕ ) ( A > 0,ω > 0) 的增区间，
把“ωx + ϕ ”代入到 y = sin x 增区间[− π + 2kπ , π + 2kπ ] (k ∈ Z ) ，
2 （－∞，＋∞）
无
当 x＝2kπ＋3π ymin=-1 2
当 x＝2kπ＋π,ymin＝－1
奇偶
奇函数
T
2π
单调性
[2kπ − π ,2kπ + π ] 递增
2
2
[2kπ + π ,2kπ + 3π ] 递减
2
2
（注：表中 k 均为整数）
偶函数 2π
[2kπ − π ,2kπ ] 递增 [2kπ ,2kπ + π ] 递减
2
2
即求解 − π + 2kπ ≤ ωx + ϕ ≤ π + 2kπ (k ∈ Z) .
数学必修4知识点
高中数学必修4知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= ．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ．①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()b b ≠ 共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭．23、平面向量的数量积： ⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅= ；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=- ；22a a a a ⋅== 或a ．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a bb a ⋅=⋅ ；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；③()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ ．b a CB A a bC C -=A -AB =B⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y = ，则222a x y =+，或a =设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y = ，θ是a 与b 的夹角，则22c o s a ba b θ⋅==24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．1已知两非零向量a 和b不共线（Ⅰ）如果)2,3(),2,1(-==b a，且)3()(b a b a k-⊥+，求k 的值.（Ⅱ）如果b a b a b a82),(3,+=-=+=，求证：D B A ,,三点共线.2已知532sin =α，]23,45[ππα∈. （Ⅰ）求α2cos 及αcos 的值；（Ⅱ）若),2,0(π∈x 且1010cos 2)sin()sin(-=++--αααx x ，求x 的植。
必修4第一章任意角的概念与弧度制,三角函数定义
角的概念的推广一、考点突破1. 掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；2. 掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；3. 体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。
二、重难点提示重点：掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
难点：终边相同的角、第几象限角的表示。
1. 角的概念的推广：一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O 点，可以向两个方向旋转：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转时，也看作一个角，叫零角。
这样就形成了任意大小的角。
2. 记法与运算： （1）记法：射线OA 绕O 点旋转到OB 所成的角记作∠AOB ； 射线OB 绕O 点旋转到OA 所成的角记作∠BOA ； （2）运算：各角和的旋转量等于各角旋转量的和：射线OA 绕点O 旋转到OB ，又从OB 旋转到OC ，得到∠AOC ，这个过程可表示成角的运算：∠AOC=∠AOB+∠BOC 。
3. 终边相同的角：与α终边相同的角的集合：},360|{Z k k ∈︒⨯+=αββ。
4. 象限角：角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正半轴重合，此时终边在第几象限，则称这个角是第几象限角。
例题1 射线OA 绕点A 顺时针旋转80°到OB ，再逆时针旋转300°到OC ，再顺时针旋转100°到OD 位置，求AOD ∠的大小。
思路分析：利用正负角的概念结合角的运算求解。
答案：解：AOD ∠=AOB ∠+BOC ∠+COD ∠=︒=︒-+︒+︒-120)100(300)80(。
例题2 在 0～360之间,找出下列终边相同的角,并判定它们是第几象限角: （1）︒-150；（2）︒650；（3）'︒-15950。
思路分析：把负角逆时针旋转一周或者几周，即可得到 0～ 360之间的角，把超过 360 的角顺时针旋转一周或者几周，即可得到 0～ 360之间的角。
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n ∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
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任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角 k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在 X 轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式 （1）π319（2） 315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| ,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
orC 2rad1rad rl=2r oAAB如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角?的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2、 把rad π53化成度 解： 1081805353=⨯=rad π 例2、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2） rad? （3） rad π53例3、用弧度制表示：1?终边在x 轴上的角的集合 2?终边在y 轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合解：1?终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2?终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3?终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ三、弧长公式和扇形面积公式r l α= ； 22121r lR S α==例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1，求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵165 解： cm r 10= ⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=∴)(655101211cm l ππ=⨯=例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度是多少度扇 形的面积是多少（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r+r θ. 依题意，得2r+r θ=πr,∴θ=π-2=(π-2)×︒⎪⎭⎫⎝⎛π180≈×°≈°≈65°26′, ∴扇形的面积为S=21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S=21lr ，将①代入，得 S=21(20-2r)r=-r 2+10r=-(r-5)2+25, 所以当且仅当r=5时，S 有最大值25.此时l=20-2×5=10,α=rl=2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大最大面积是多少解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l. （1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR+2R=40，S=21lR=21θR 2=41θR ·2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ. 当且仅当θR =2R,即R=10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100.（七）任意角的三角函数（定义）1． 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx r2．比值ry叫做?的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做?的余弦 记作： r x =αcos比值x y叫做?的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做?的余切 记作：yx=αcot 比值x r 叫做?的正割 记作： x r=αsec ；比值y r 叫做?的余割 记作：yr=αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。