最新考研数学矩阵8大秩及其证明

考研数学矩阵的8大秩及其证明2009

()1

证明：根据矩阵秩的定义直接得出。

()2

证明：对矩阵A 任意添加列后变成矩阵(), A B ，则秩显然不小于()R A ，即： ()(), R A B R A ≥ 同理： ()(), R A B R B ≥

因而：()(){}(), , Max R A R B R A B ≤成立。

又设 ()(), R A r R B t ==，把, A B 分别做列变换化成列阶梯形~

~

, A B

1110

3

810

1100

1000⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

如：就是列阶梯形

用~

~~

~

1

1

, r r a a b b 分别表示非全零列，则有：

()~

~~

()1~~

~

~~

()1

, 00, , , 0

0表示列变换表示列变换c r c c r A A a a A B A B B B b b ⎧⎛⎫−−−−−→= ⎪⎪⎪⎝⎭

⎛⎫

⇒−−→⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫

⎪−−−−−→= ⎪⎪⎝⎭

⎩

由于初等变换后互为等价矩阵，故()~~, , R A B R A B ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

而矩阵~~, A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭只含有r t +个非全零列，所以：()()~~~~, , R A B r t R A B R A R B ⎛⎫⎛⎫

≤+⇒≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

。

综合上述得：()(){}()()(), , Max R A R B R A B R A R B ≤≤+

●特别地：如B b =为列向量，则()1R b ≡()()() , 1R A R A B R A ⇒≤≤+。 ●如B E =，设()(), , m n m R A B R A E ⨯=， 则

()()() , , m n m m m n m m R A E R E m R A E m ⨯⨯≥≥=⇒=

()3

证明：

()()()()()()()()()()()()

2 , , , , , , A B B A B R A B B R A B R A R B R A B R A B B R A B R A B R A R B +→⇒+=−−−−→+≥=+≥+⇒+≤+由公式知

()4

证明：()1 设()()() ,AB C B AX C R A R A C R C =⇒=⇒=≥是的解

()()()()

()

()()()()()(){},min , T R B R B T

T

T

T

T

T

T

B A

C R B

R B

C

R C R B R C R C R AB R A R B n

==⇒=≥−−−−

−→≥⇒=≤≤又，

()2 设()(), m n n s R A r R B t ⨯⨯==

则A 的标准型为000r

m n E ⨯⎛⎫

⎪⎝⎭，B 的标准型为000t n s

E ⨯⎛⎫

⎪⎝⎭ 存在可逆矩阵, , , m s n n P Q P Q 使：

()()()()()111111

1

1

00 0

000000000000000n r n t r

t m n n s m n n s

r t r

t

m n n s m n n s m n n s m n n s

r t

r n t n n n n

n r t m E

E P AQ P BQ E E E E AB P Q P Q P M Q m m M Q P m m R AB R P -⨯-⨯⨯------⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯---⨯-⨯⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫

⎪

=−−−→= ⎪

⎝

⎭

⇒=分块()()()()11

00000000 000000 0000 n r n t r t n n s m n n s r t n n m n n s r t r n t r

t n r t m n n s E E M Q E E R M m m E E R m m -⨯---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎡⎤

⎛⎫⎛⎫=⎢⎥

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

=()()000r r t t r r t t r t E m E R R E m E R m ⨯⨯⨯⎛⎫

== ⎪⎝⎭

()()()()()()()()()()()()() --r t n n n n n n n n r t r t r t r t m M R M n M n r n t M m R m R m n n r n t r t n R A R B n R AB R m R A R B n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡--≥--=+-=+-⇒=≥+-注意到矩阵是满秩矩阵的子阵，。

考虑到极端情况：即中有行没有一个零元素，有列没有一个零元素，这时，中的零元素全部在矩阵中，从而使取得最小值，所以：

()5

证明：设()12, ,

, l B b b b =，则

()()()12, ,

, 0, 0,

, 00 1,2,

,l i A b b b Ab i l =⇒==

()()()()()()

()()12 0 0 ,., , , i l B l AX AX S R S n R A b S R B R b b b R S n R A R A R B n

===-∈⇒=≤=-⎡⎤⎣⎦⇒+≤ 上式说明的个列向量都是齐次方程的解。如果的解空间为 其维数就是 显然，

()6

证明：分三种情况