2004图论复习题答案

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2004图论复习题答案

图论复习题答案一、判断题，对打，错打1．无向完全图是正则图。

()2．零图是平凡图。

()3．连通图的补图是连通图.()4．非连通图的补图是非连通图。

()5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。

()6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。

()7．任何树都至少有2片树叶。

()8．任何无向图G都至少有一个生成树。

()9．非平凡树是二分图。

()10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。

()11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。

()12．K是欧拉图也是哈密顿图。

()3,313．二分图的对偶图是欧拉图。

()14．平面图的对偶图是连通图。

()页脚内容115．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。

()二、填空题1．无向完全图K6有15条边。

2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。

3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。

4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。

5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。

6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。

三、解答题1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算求解下列问题：（1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。

（2）求D的可达性矩阵。

（3）求D的强分图。

解：（1）abc de图1页脚内容2页脚内容3M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000101000000001010*******M 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000101000001000M 3=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000010000001010000M 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001000100000100000010由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。

图论课后习题答案

图论课后习题答案图论是数学中的一个分支，主要研究图的结构和性质。

图论的课后习题通常包括证明题、计算题和应用题。

下面给出一些典型的图论课后习题答案：1. 证明题：证明一个图是连通的当且仅当它的任意两个顶点都存在一条路径相连。

答案：首先定义连通图的概念：一个图是连通的，如果对于任意两个顶点，都存在一条路径将它们连接起来。

接下来，我们证明两个方向：- 如果一个图是连通的，那么对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，根据定义，必然存在一条路径\( P \)将它们连接起来。

- 反之，如果对于任意两个顶点\( u \)和\( v \)，都存在一条路径将它们连接起来，那么我们可以构造一个从任意顶点\( u \)出发，访问图中所有顶点的路径，这表明图是连通的。

2. 计算题：给定一个有\( n \)个顶点的完全图，计算它的边数。

答案：在完全图中，每个顶点都与其他所有顶点相连。

因此，对于一个顶点，它将与\( n-1 \)个其他顶点相连。

但是，每条边被计算了两次（因为它连接了两个顶点），所以边数应该是\( \frac{n(n-1)}{2} \)。

3. 应用题：在一个社交网络中，每个用户可以与其他人建立联系。

如果一个用户与至少一半的用户建立了联系，那么这个社交网络是连通的吗？答案：是的，这个社交网络是连通的。

假设社交网络中有\( n \)个用户，如果一个用户与至少\( \lceil \frac{n}{2} \rceil \)个用户建立了联系，那么我们可以构造一条从任意用户\( u \)到这个中心用户的路径。

由于中心用户与至少一半的用户建立了联系，我们可以继续通过这些联系到达其他用户，从而证明社交网络是连通的。

4. 证明题：证明在任何图中，边数至少是顶点数减一。

答案：考虑一个图的生成树，它是一个最小的连通子图，包含图中的所有顶点，并且没有环。

在生成树中，边数等于顶点数减一。

由于任何图都至少包含一个生成树，因此原图的边数至少与生成树的边数相同，即至少是顶点数减一。

图论习题

图论习题考研习题与经典习题2004-5⏹一、握手定理的应用⏹二、平面图、欧拉公式的应用⏹三、图的基本概念与应用⏹四、欧拉图和哈密顿图⏹五、图的着色一、握手定理的应用⏹1. 已知具有n个度数都为3的结点的简单图G有e条边，⏹（1）若e=3n-6，证明G在同构意义下唯一，并求e，n。

⏹（2）若n=6，证明G在同构意义下不唯一。

⏹提示：握手定理（北师大2000考研）⏹解：⏹（1）由握手定理，3n=2e; 因为e=3n-6，所以n=4，e=6。

这样的图是完全图K4，所以在同构的意义下唯一。

⏹（2）由握手定理，3*6=2e；e=9。

在同构的意义下不唯一。

⏹2. 无向图G有21条边，12个结点度数为3，其余结点度数为2，求G的顶点数。

⏹提示：握手定理（北大2001考研）⏹解：⏹3. 已知n个结点的简单图G有e条边，各结点度数为3，2n=e+3。

试画出满足条件的所有不同构的G。

⏹提示：握手定理（西南交大2000考研/北京大学1990考研）⏹参考1(2)⏹解：由握手定理，e=(3n/2)；由已知，e=2n-2；所以n=6，e=9。

⏹在同构意义下G不是唯一的。

⏹4. 设树T有17条边，12片树叶，4个4度内结点，1个3度内结点，求T的树根的度数。

⏹（提示：握手定理。

北大1997考研）⏹解：结点数为17+1=18由握手定理，12*1+4*4+1*3+1*l=34, l=3.⏹5. 设无向树T有3个3度，2个2度结点，其余结点都是树叶，问T有几片树叶？⏹握手定理⏹6. 证明：在任何两个或两个以上人的组内，存在两个人在组内有相同个数的朋友。

⏹/*等价于：至少有两个顶点的简单图有两个相同度数的顶点⏹/*中国科学院自动化所1998考研二、平面图、欧拉公式的应用⏹1，关于平面图的不等式的证明欧拉公式及其推论的运用⏹2，非平面图的判定应用库拉托斯基定理⏹1. 设G是n个结点的连通简单平面图，若n≥3，则G中必有一个结点度数不超过5。

图论习题答案

图论习题答案
《图论习题答案》
图论作为数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在学习
图论的过程中，我们常常会遇到各种各样的习题，通过解答这些习题可以帮助
我们更好地理解图论的知识。

下面就让我们来看一些图论习题的答案吧。

1. 问：一个图中有多少条边？
答：一个图中的边数可以通过计算每个顶点的度数之和再除以2来得到。

2. 问：一个图中有多少个连通分量？
答：一个图中的连通分量可以通过使用深度优先搜索或广度优先搜索来求得。

3. 问：一个图中是否存在欧拉回路？
答：一个图中存在欧拉回路的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

4. 问：一个图中是否存在哈密顿回路？
答：一个图中存在哈密顿回路的判定是一个NP难题，目前还没有有效的多项式时间算法。

5. 问：一个图中的最小生成树有多少条边？
答：一个图中的最小生成树的边数恰好等于顶点数减一。

通过解答这些图论习题，我们可以更好地掌握图论的基本概念和算法。

图论不
仅在数学领域有着重要的应用，而且在计算机科学、电信网络等领域也有着广
泛的应用。

因此，熟练掌握图论知识对我们的学习和工作都有着重要的意义。

希望通过本文的分享，能够帮助大家更好地理解图论知识，提高解决问题的能力。

同时也希望大家在学习图论的过程中能够多多练习，勇于挑战各种各样的
图论习题，不断提升自己的图论水平。

祝大家在图论的学习道路上取得更大的
进步！。

图论第四章答案

n ,n中不同完美匹配的个数 .
推论 4.1
解： (1.)对于K 2 n , 用归纳法 : n 1时完美匹配数为 1, n 2时不同完美匹配数为 3, 满足(2n 1)!! 设当n k时, 不同的完美匹配数为 (2k 1)!!, 则当n k 1时, 即向K 2 n中加入两点u , v, 则多出4k 1条边( K 2 n中有u1 , u 2 , , u 2 k 个点， u , v间有边uv, 而u , v和u1 , u 2 , , u 2 k 都存在边). a. 取K 2 n的一个完美匹配 M 1 , 则只加入边uv有M 1' 为K 2 k 2的一个完美匹配，无妨设u1u 2 , u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k 为M 1中的边; b. 则去掉u1u 2 边添加u1u , u 2 v有另一个K 2 k 2 完美匹配M 1'' 或添加u1v, u 2 u有完美匹配M 1''' ; c. 对u 3 u 4 , , u 2 k 1u 2 k同样的操作...(去掉u 3 u 4 , 添加u 3 u和 u 4 v; 去掉u 3 u 4 , 添加u 3 v和u 4 u )则共有2k种设法, 算上M 1' (将原来M中的匹配组合顺次与 uv进行变换重组)共有2k 1种; d . K 2 n的不同完美匹配有 (2k 1)!!每一种(指u1u 2 , u 3 u 4 , 做上述变换)均可增加为2k 1，所以K的不同的完美匹配共有 (2k 1)(2k 1)!! (2k 1)!! 种，得证. (2.)对于K n ,n , 记G ( X , Y , E )中x1 , x 2 , , x n X , y1 , y 2 , , y n Y 对x1 , 选取Y中点共有n种选法使x1与y1的边为完美匹配的一边，选定之后，去掉选中的点和x1 ; 对x 2 有n 1种选法...,一直到x n只有一种，故而不同的完美匹配有n!种.

图论习题二答案

图论习题二答案图论习题二答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在图论中，有很多经典的习题可以帮助我们更好地理解和应用图的概念。

本文将探讨一些图论习题二的答案，帮助读者更好地理解和掌握图论的知识。

1. 习题：给定一个无向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5,6}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,5),(4,6)}，求图G的邻接矩阵和关联矩阵。

答案：邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的顶点数。

对于无向图G，邻接矩阵的元素a[i][j]表示顶点i和顶点j之间是否存在边。

如果存在边，则a[i][j]=1，否则a[i][j]=0。

对于给定的图G，邻接矩阵为：0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 00 1 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的顶点数，m是图的边数。

对于无向图G，关联矩阵的元素b[i][j]表示顶点i和边j之间的关系。

如果顶点i是边j 的起点，则b[i][j]=-1；如果顶点i是边j的终点，则b[i][j]=1；否则b[i][j]=0。

对于给定的图G，关联矩阵为：-1 -1 0 0 0 01 0 -1 -1 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 -1 -10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 12. 习题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4),(4,1),(5,4)}，求图G的邻接表和深度优先搜索遍历结果。

答案：邻接表是一种图的表示方法，用于存储图中每个顶点的邻接顶点。

对于有向图G，邻接表中的每个元素表示该顶点的出边。

对于给定的图G，邻接表为：1: 2, 32: 3, 43: 44: 15: 4深度优先搜索（DFS）是一种图的遍历算法，用于遍历图中的所有顶点。

图论测试题及答案

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

图论试题及答案解析图片

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。

图论期末复习题

17．任何简单平面图，均有． G 3
二、解答题
1.同构的判定及理由
3.左图称作什么图？两图是否同构？为什么？
x
y
z
x
c
a
a
b
c
z
y b
2、给定图：
(1)给出图的一个生成树。 (2)给出图的顶点的最大度数。
(3)给出图的最长链。 (4)给出图的一个边数最多的割集。
d
f
a
e1 b
在或不存在〕完美匹配．
35.在计算平面图面的次数之和时，每条边边计算了______ 次．
36．一个图是平面图当且仅当它既没有收缩到K5的子图，也没有收缩到的子图．
37．如果一个平面图有一个面的次数为4，那么该图______ 〔填是或不是〕极大平面图．
三、判断题
1．假设途径中的所有点互不相同，那么称此途径为一条链．
31．设M1和M2是图G的两个不同匹配, 由M1 M2导出的G的边导出子图记作H, 那么H的任意连通分支是以下情况之一： (1)边在M1和M2中交错出现的偶圈;(2)边在M1和M2中交错出现的．
32．二部图G中假设满足V1= V2，那么G必有完美匹配． 33． (G)=2 G是． 34.假设最大匹配的边数为p(G)/2，那么说明该图___〔填存
点连通度、边连通度与最小顶点的度数。
四、应用题
1. (蚂蚁比赛问题)甲、乙两只蚂蚁分别位于如以下图中的顶点A，B处，并设图中的边长度是相等的。甲、乙进行比赛：从它们所在的顶点出发，走过图中的所有边最后到达顶点C处。如果它们的速度相同，问谁先到达目的地？
甲A
乙
C
B
2．某地要兴建5个工厂，拟修筑道路连接这5 处。经勘测其道路可依如以下图无向边铺设。为使这5处都有道路相通，问至少要铺几条路？

习题参考解答(图论部分)

习题十1. 设G 是一个(n ，m)简单图。

证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。

证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。

根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。

（2） =〉G 是完全图因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。

所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。

G 是完全图 =〉因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数。

■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。

与题设m = n+1，矛盾。

因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。

■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）；（2）（6，3，3，2，2）（3）（4，4，2，2，4）；（4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。

因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。

可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。

最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。

下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。

(图论)离散数学习题参考答案2

2 6 2 4 1 1 3 3 2 5 8 7 5 1 3 6 8 6 6 3
解此不等式可得 n ≥ 7 ，即 G 中至少有 7 个顶点，当为 7 个顶点时，其度数列为 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 ， Δ = 4, δ = 2 8. 设有 n 个顶点，由握手定理可得： ∑ d (vi ) = 2m ，即
i =1 n
1 × (3 + 5) + (n − 2) × 2 = 2 × 6
d − (v1 ) = 3, d + (v1 ) = 0; d − (v2 ) = 1, d + (v2 ) = 2; d − (v3 ) = 1, d + (v3 ) = 3; d − (v4 ) = 2, d + (v4 ) = 2
第十一次：（欧拉图与哈密顿图）P305 1.2.11.21 （无向树及其性质）P318 2.24(a), 25(b) 1. (a),(c) 是欧拉图，因为它们均连通且都无奇度顶点； (b),(d)都不是欧拉图；因为(b) 不连通，(d) 既不连通又有奇度顶点；要使(b),(d)变为欧拉图均至少加两条边，使其连通并且无奇度顶点。如下图所示。
(1) v2 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0, 2, 0,0 条； (2) v5 到 v5 长度为 1,2,3,4 的通路数分别为 0,0,4,0 条； (3) D 中长度为 4 的通路（含回路）为 32 条； (4) D 中长度为小于或等于 4 的回路数为 12 条； (5) 因为 D 是强连通图，所以可达矩阵为 4 阶全 1 方阵，如上图所示。 46. 各点的出度和入度分别如下：
(v2,12)** (v5, 7)*
根据上表的最后一行，从 v1 到其余各点的最短路径和距离如下： v1v2, d(v1,v2)=6 v1v2v6, d(v1,v6)=12 v1v3, d(v1,v3)=3 v1v3v4v5v7, d(v1,v7)=7 v1v3v4, d(v1,v4)=5 v1v3v4v5v7v8, d(v1,v8)=10 v1v3v4v5, d(v1,v5)=6

图论及应用习题答案

图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。

本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。

1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。

图的基本概念包括顶点、边和路径。

线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。

2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。

图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。

二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。

3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。

图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。

迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。

4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。

最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。

克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。

5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。

图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。

数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。

总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。

通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。

图论（张先迪-李正良）课后习题答案（第一章）

图论（张先迪-李正良）课后习题答案（第⼀章）习题⼀作者---寒江独钓1.证明：在n 阶连通图中(1) ⾄少有n-1条边；(2) 如果边数⼤于n-1，则⾄少有⼀条闭迹；(3) 如果恰有n-1条边，则⾄少有⼀个奇度点。

证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握⼿定理：()2()21v V G m d v n m n m n ∈=≥?≥?>-∑若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。

当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成⽴。

当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k.(2) 考虑G 中途径：121:n n W v v v v -→→→→L若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数⼤于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。

于是：1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中⼀闭途径，于是也就存在闭迹。

(3) 若不然，G 中顶点度数⾄少为2，于是由握⼿定理：()2()21v V G m d v n m n m n ∈=≥?≥?>-∑这与G 中恰有n-1条边⽭盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1(3) 2n?2。

证明:u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。

所以，两图不同构。

4.证明下⾯两图同构。

u 1 v 1证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10)容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 )由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。

5.指出4个顶点的⾮同构的所有简单图。

分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进⾏枚举。

(a)v 2 v 3u 4u(b)6.证明:1)充分性:当G 是完全图时，每个顶点的度数都是n ?1,共有n 个顶点，总的度数为n(n ?1)，因此总的边数是n(n?1)2=(n 2). 2)必要性:因为G 是简单图,所以当G 是完全图的时候每个顶点的度数才达到最⼤:n ?1.若G 不是完全图，则⾄少有⼀个顶点的度数⼩于n ?1,这样的话，总的度数就要⼩于n (n ?1)，因此总的边数⼩于(n 2)，⽭盾。

图论期末考试题库及答案

图论期末考试题库及答案一、单项选择题1. 图论的创始人是（）。

A. 欧拉B. 莱布尼茨C. 牛顿D. 高斯答案：A2. 在图论中，一个图的顶点集合为空，但边集合不为空的图称为（）。

A. 空图B. 完全图C. 树D. 多重图答案：A3. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

A. 连通图B. 强连通图C. 弱连通图D. 无环图答案：A4. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树答案：C5. 图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的回路，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条回路，这样的图称为（）。

A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树D. 环答案：A二、多项选择题1. 下列哪些是图论中的基本术语（）。

A. 顶点B. 边D. 权重答案：ABCD2. 在图论中，以下哪些图是无向图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 有向图答案：ABC3. 图论中，以下哪些图是连通图（）。

A. 完全图B. 树C. 多重图D. 空图答案：ABC三、填空题1. 图论中，一个图的顶点集合为V，边集合为E，那么图可以表示为G=（）。

答案：(V, E)2. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。

答案：连通图3. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。

答案：树四、简答题1. 请解释什么是图论中的“完全图”？答案：完全图是指图中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连的图。

在完全图Kn中，n个顶点两两相连，共有n(n-1)/2条边。

2. 请解释什么是图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”？答案：欧拉路径是指图中存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次。

欧拉回路是指图中存在一条回路，该回路恰好经过每条边一次。

五、计算题1. 给定一个图G=(V, E)，其中V={A, B, C, D, E}，E={(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (A, C)}，请判断该图是否为连通图，并说明理由。

图论试题及答案解析图片

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 在图论中，一个图的顶点数为n，那么这个图最多有多少条边？A. nB. n(n-1)/2C. n^2D. 2n答案：B解析：在一个无向图中，每个顶点最多与其他n-1个顶点相连，因此最多有n(n-1)/2条边。

2. 什么是连通图？A. 至少有一个环的图B. 任意两个顶点都可以通过路径相连的图C. 没有孤立顶点的图D. 所有顶点度数都大于0的图答案：B解析：连通图是指图中任意两个顶点都可以通过路径相连的图。

3. 在图论中，什么是哈密顿路径？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有边的路径C. 经过图中所有顶点的回路D. 经过图中所有边的回路答案：A解析：哈密顿路径是指经过图中所有顶点的路径。

4. 什么是二分图？A. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻B. 图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点相邻C. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边不相邻D. 图的边可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的边相邻答案：A解析：二分图是指图的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一集合内的顶点不相邻。

5. 在图论中，什么是最小生成树？A. 包含图中所有顶点的最小边数的生成树B. 包含图中所有顶点的最小权重的生成树C. 包含图中所有边的最小权重的生成树D. 包含图中所有边的最小边数的生成树答案：B解析：最小生成树是指包含图中所有顶点的最小权重的生成树。

二、填空题1. 在无向图中，如果一个顶点的度数为n，则该顶点至少有______条边。

答案：n解析：一个顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。

2. 如果一个图是连通的，那么该图至少有______个连通分量。

答案：1解析：连通图的定义是图中任意两个顶点都可以通过路径相连，因此至少有一个连通分量。

3. 在图论中，一个图的色数是指给图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同，所需的最小颜色数。

图论第一章课后习题解答

vV
d (v) =2m
推论 3 在任何图中，奇点个数为偶数。推论 4 正则图的阶数和度数不同时为奇数。定义 5 一个图 G 的各个点的度 d1, d2,…, dn 构成的非负整数组 (d1, d2,…, dn)称为 G 的度序列。若对一个非负整数组(d1, d2,…, dn)，则称这个数组是可图的。定理 5 且设有非负整数组 Π = (d1, d2,…, dn)，
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有列。定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的定义 1 如果 V H V G ，E H E G ，重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是指满足 V(H) = V(G)的子图 H。假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ；它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。