第七节：二次型的正定性

f = X ′AX 正定 ⇒ X ≠ 0
Y ≠0 ， X ≠0 时
f = X ′AX = Y ′BY > 0
Y ′BY正定。 正定。
反之， 反之，如
正定 f = Y ′BY
，
⇒Y ≠ 0
时， f > 0故当 从而 即
f =
X ≠0 ， Y ≠0 时
= Y ′B Y > 0
X ′A X
X ′A X 正定即 f = X ′A X
(p )
T −1
p App
T
T
= (p
−1
) Ip
T
−1
= (p
−1
) p
T
−1
令B=p-1得：A=BTB 充分性： 充分性：因A=BTB，相应二次型为： ，相应二次型为：
f (X ) = X
T
AX = X
T
B T B X = ( B X )T ( B X )
可逆， 因B可逆，故对 ∀X ≠ 0 ⇒ BX ≠ 0, 可逆
例5.7.2
λ
取何值， 取何值，
2 2 f = x12 + 4 x2 + 4 x3 + 2λ x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 是正定的？ 是正定的？
1 λ −1 A=λ 4 2 −1 2 4
，
要使f正定即 正定则必须使 要使 正定即A正定则必须使 正定即
a11 = −5 < 0,
−5 2
2 −6
= 26 > 0, A = −80 < 0
故是负定的。 故是负定的。
2）f的矩阵为 ） 的矩阵为
2 −2 0 A = −2 1 −2 0 −2 0
a11 = 2 > 0,
2 −2
−2 1
，
= −2 < 0,
既非正定， 故f既非正定，非也负定。 既非正定 非也负定。
.
⇔
存在可逆矩阵p使得 存在可逆矩阵 使得 P AP = I
'
是 一个间接的方法， 一个间接的方法，一般还比较 麻 烦。下面我们介绍一个直接利 用 矩阵的顺序主子式判其正定性 的 方法。按自然顺序取A的前 的前k行 方法。按自然顺序取 的前 行k a11 a12 ⋯ a1k 列组成的k阶行列式 列组成的 阶行列式
f = k y + k2 y + ⋯ + kn y
2 1 1 2 2
2 n
正定
⇔ ki > 0
(i = 1, 2,⋯ , n)
。由此得： 由此得：
定理5.10 n个变量的实二次型 定理 个变量的实二次型 正定
⇔ f 的正惯性指数为 的正惯性指数为n
f = X ′AX
（即正项的个数）。又因为实对称矩阵A 即正项的个数）。又因为实对称矩阵 ）。又因为实对称矩阵 存在正交矩阵P,使得 使得： 存在正交矩阵 使得：
a11 a12 A1 = a11 > 0, A2 = > 0, a21 a22 ⋯ , An = A > 0
。
该定理称霍尔威茨定理。证略。 该定理称霍尔威茨定理。证略。
与此对应有：定理 与此对应有：定理5.12 n阶实对称矩阵 负定 ⇔ 阶实对称矩阵A负定 阶实对称矩阵 奇数阶顺序主子式小于0。 奇数阶顺序主子式小于 。 偶数阶顺序主子式大于0。 偶数阶顺序主子式大于 。
判断下列二次型的正定性。 例5.7.2 判断下列二次型的正定性。
2 2 1) f = − 5 x12 − 6 x2 − 4 x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3
2 2 ) f = 2 x 12 + x 2 − 4 x 1 x 2 − 4 x 2 x 3
解
1）的矩阵为 ）
−5 2 2 A = 2 −6 0 ， 2 0 −4
正定
⇔ f = Y ′B Y
正定。同理 正定。
f = X ′A X 负定（不定） 负定（不定）
⇔ f = Y ′BY 负定（不定）。 负定（不定）。
总之， 总之，二次型经可逆线性变换后 正定性是不变的。 正定性是不变的。又因标准形的 正定性一目了然， 正定性一目了然，故可利用标准 形的正定性来判断原二次型的正 定性。显然， 定性。显然，对于标准形
λ1 −1 ' P AP = P AP = ∧ = ⋱ λn 其中 λi 为A的特征值。故有 的特征值。 的特征值
推论1 正定 推论 A正定
⇔ A的特征值全正。又因为 的特征值全正。 的特征值全正
⇒ A >0
λ1λ2 ⋯ λn = A
，故又得推论2 A正定 故又得推论 正定
。
推论3 正定 推论 A正定
存在可逆矩阵p ⇔ 存在可逆矩阵
，使
P AP = I
'
2 f ( x1 , x2 ) = 3 x12 + 2 x1 x2 + 3 x2 例5.7.1 判断二次型
的正定性。 的正定性。 解方法一： 利用定理5.10的推论 ， 的推论1， 解方法一： 利用定理 的推论 求 A的特征值。 的特征值。 的特征值
i
f = eiT Aei = aii > 0 代入得： 代入得：
，
同理可证如A负定 同理可证如 负定 ⇒ aii < 0
实二次型A正定的充分必要条件为 例5.7.4实二次型 正定的充分必要条件为 实二次型 存在可逆矩阵B使得 使得： ：存在可逆矩阵 使得：A=BTB 证明：必要性： 正定， 证明：必要性：因A正定，故存在可逆 使 正定 故存在可逆p使 上式左乘（ 右乘p 得：pTAp=I上式左乘（pT）-1 ,右乘 -1得： 上式左乘 右乘
Ak = a21 a22 ⋯ a2 k , ⋯ ⋯ k = 1, 2,⋯ , n ak 1 ak 2 ⋯ akk
阶顺序主子式。 称A的k阶顺序主子式。 的 阶顺序主子式
定理5.11n阶实对称矩阵 正定 阶实对称矩阵A正定 定理 阶实对称矩阵
⇔
A的各级顺序主子式全大于 。即 的各级顺序主子式全大于0。 的各级顺序主子式全大于
BX = ( a1 , a2 ,⋯ , an )T ≠ 0 设n维向量 维向量
，
则：
f ( X ) = ( B X )T ( B X ) = a
2 1
+ a
2 2
+ ⋯
+ a
2 n
> 0
，故f正定，即A正定。同理可证：A负定 正定， 正定。 正定 正定 同理可证： 负定
⇒ A = − BT B 注：（1）请同学们将上述关于矩阵
1 λ
λ
4
= 4 − λ2 > 0
且
A = −4(λ + 2)(λ − 1) > 0
联立解上面两不等式得： 联立解上面两不等式得：− 2 < λ < 1
证明A正定 例5.7.3证明 正定 ⇒ aii > 0 证明 证：A正定 ⇒ ∀X ≠ 0, 二次型 正定
f = X
T
AX > 0
，令
X = ei = (0, 0,⋯ ,1, 0,⋯ , 0)T
二次型的正定性ຫໍສະໝຸດ §5.7 二次型的正定性 一、正负定的定义 二次型的另一个重要问题是分类问题。 二次型的另一个重要问题是分类问题。 对于标准形式的有心二次曲线椭圆
x2 y2 + 2 = 1及双曲线 2 a b
x2 y 2 − 2 =1 2 a b
，前者二次型 对于任意一组x,y不 对于任意一组 不 全为零或对任意的
定义5.8 设n元二次型 f = X ′AX 定义 元二次型 若对任意的x≠0，恒有 若对任意的 ，恒有f>0(或f≥0) 或 则称f为正定 半正定）二次型。 为正定（ 则称 为正定（半正定）二次型。这时 为正定矩阵（ 称A为正定矩阵（或半正定矩阵）记 为正定矩阵 或半正定矩阵） A>0(或A≥0) 或 若对任意的x≠0，恒有 若对任意的 ，恒有f<0(或f≤0) 或 则称f为负定 半负定）二次型。 为负定（ 则称 为负定（半负定）二次型。这时 为负定矩阵（ 称A为负定矩阵（或半负定矩阵）记 为负定矩阵 或半负定矩阵） A<0(或A≤0) 或
2 1 2 2 2 1
，其正惯性指数为p=2,故正定 其正惯性指数为 故正定
与被判别正定性类似， 与被判别正定性类似，关于负定性 判别有如下结论： 判别有如下结论： 1）n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ） 个变量的实二次型
⇔ f
的负惯性指数为n 的负惯性指数为
2）n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ） 个变量的实二次型 ⇔ f n个特征值皆小于 ； 个特征值皆小于0； 个特征值皆小于 3）n个变量的实二次型 f = X ′AX 负定 ） 个变量的实二次型
A
二。二次型正定性的判别
设二次型
f = X ′A X 经可逆线性变换
X = PY 变成实二次型
Y ′BY 即 ，
f = X ′A X X = PY Y ′( P ′A P )Y = Y ′B Y
由
故 X = PY ⇔ Y = P −1 X
X ≠ 0⇔Y ≠ 0
由此可得，如果 由此可得， 时， f > 0 故当 从而 ，即
x2 y 2 + 2 2 a b
x X = ≠0 y
，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型 其值恒大于 ， 或正定二次型。 或正定二次型。而后者对于不全为零的 ，其值既可取正值也可取负值，我们 其值既可取正值也可取负值， 称其为不定二次型。 称其为不定二次型。我们将上述概念 推广到一般情况。 推广到一般情况。