大学文科数学复习

一、选择题（每小题3分，共15分）

1.下列函数为初等函数的是( B )

(B). y = (C).⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=101112x x x x y (D).⎩⎨⎧≥<+=001x x x x y

2.当x →0时，与sin x 等价的无穷小是( A )

(A) 2x x + (B) x x sin

x 2

3.设)0(f '存在，则0(0)()lim x f f x x

→--＝( D ) (A) )0(f '- (B) )0(2f '- (C) )0(2f ' (D) )0(f '

4. 物体在某时刻的瞬时速度，等于物体运动在该时刻的（ D ）

(A)函数值 (B)极限 (C) 积分 (D)导数

5.若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ C ）

(A) x cos 1+ (B) sin x x + (C) sin x x - (D)x cos 1-

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设函数cos , 0() ,0

x x f x x a x <⎧=⎨-≥⎩在0x =点连续，则=a ____1-_____. 2. 设2)(x x f =, 则[()]f f x '= ____22x _ ____ .

3．sin lim x x x

→+∞

= 0 4. 曲线1y x =在点（1,1)处的法线方程为 y x = 5. (1cos )x dx -⎰= sin x x c -+ .

三、计算题（每小题5分，共40分）

1.

求函数()ln(21)f x x =-+的定义域.

解：290x ->且210x ->,

所以函数()ln(21)f x x =-+

的定义域：132

x << 2. 设ln(2)y x =-，求其反函数 解：由2y e x =-得 2y x e =+所以函数ln(2)y x =-的反函数是：x e y +=2，(,)x ∈-∞+∞

3.求极限20(1)lim sin x x x e x

→- 解：20(1)lim sin x x x e x →-=001lim lim sin x x x x e x x

→→-=01lim 11x

x e →⋅= 4.求极限3

0tan lim x x x x →- 解： 3

0tan lim x x x x →-=220sec 1lim 3x x x →-=22222001cos sin 1lim lim 3cos 33x x x x x x x →→-== 5. 已知2ln(1)ln y x x =+-，求dy

解：因为y '=2211x x x

-+所以dy =221d (1)x x x x -+ 6.求2cos x y e x =的微分y '

解：y '=222cos sin x x e x e x -=2(2cos sin )x e x x -

7. 求不定积分21x dx x -⎰

解：21x dx x -⎰=211dx x

x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰211d d x x x x -⎰⎰=1ln x C x --+ 8. 求定积分21ln e x xdx ⎰

解：21ln e x xdx ⎰=3311ln 39e

x x x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ =31(21)9e + 四、综合应用题（每小题10分，共30分）

1. 证明方程012=-⋅x x 至少有一个小于1的正实数根.

解：令()21x f x x =⋅-， ()010f =-< ,()110f =>, ()f x 闭区间[]0,1上连续，

由根的存在性定理，有()0,1ξ∈，使得()0f ξ= ,即012=-⋅x x 至少有一个小于1的正实数根

2. 欲做一个体积为72立方厘米的带盖箱子，其底面长方形的两边成一比二的关系，怎样做法所用的材料最省？

解：设底面长方形的两边的边长为x 厘米，x 2厘米，则高为

2362.72x x x =厘米 表面积x x x x x x x x S 21642).36.2(2).36.

(2).2.(222+=++= 求导 021682,=-=x

x S 所以在区间),0(+∞上只有唯一的驻点3=x

又因为在实际问题中存在最值，所以驻点3=x 就是所求的最值点。即当底面边长为3厘米，6厘米，高为4厘米时所用的材料最省。

3. 求由曲线x y 1=与直线24==x x y 及所围成的平面图形的面积. 解：由曲线x y 1=与直线x y 4=得到交点)2,2

1

( 所以所围成的平面图形的面积.S=dx x x )14(22

1⎰- 即.S=dx x x )14(221⎰-=2221

)ln 2(x x -=4ln 215-