2020年中考数学 一道竞赛题的多种解法
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一道竞赛题的多种解法
数学被公认为是“思维的体操”，原因之一是数学题目本身蕴含或隐藏着各种各样的联系，促使我们去分析，去发现；同时，在一个题目周围，又往往能衍生出一大批与之相关的，相似的内容丰富的问题，引发我们进一步探究和深思。数学解题不在多，而在深。认真研究某一问题，深入钻研进去，就会有异常的收获，因此解题要注意，扩大解题成果。
题：已知a、b、c是三角形ABC的三条边长，△是该三角形的面积.
求证: a2+b2+c2≥43△,指出在什么条件下等号成立？
解一：分析：
探索求解思路：求证的不等式可以改写为：
先考虑特殊情形：三角形ABC是等边三角形时，即a=b=c时，
∴ △ABC为等边三角形时成立.
又利用“三角形周长一定时，以等边三角形的面积为最大（不妨设为T）”的结论，只需证明“”即可.
证明：∵当三角形的周长a+b+c一定时，以等边三角形的面积为最大，则：
∴
当且仅当a=b=c时取等号.
证明二：由
得证.
证明三：由三角形面积的海伦公式
16△2=2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4
又 a4+b4+c4-(a2b2+b2c2+c2a2)
∴a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2
∴(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2
≥3(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a4-b4-c4)
=3×16△2=48△2
从而得证.
证明四：
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
其中当且仅当b+c-a=c+a-b=a+b-c, 即a=b=c时，等号成立.
此题的证法不只限于这几种，大家还可想出更多的新的解题思路。