电磁场与电磁波课后习题及答案三章习题解答

三章习题解答

3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。

解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为

33[]4q R R π+-

+-

=

-=R R D 22322232()

(){}4[()][()]

r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量

d d z

z S

S

S Φ====⎰⎰D S D e

22322232

()[]2d 4()()a

q a a

r r r a r a ππ--=++⎰ 2212

1)0.293()a

qa

q q r a =-=-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314r

a Ze r r r π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 12

4r

Ze

r π=D e 原子内电子云的电荷体密度为 33

3434a a Ze Ze

r r ρππ=-

=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 3223

4344r r

a r Ze r

r r ρπππ==-D e

e 题3.1 图

题3. 3图()a

故原子内总的电通量密度为 122314r

a Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭

D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为3

0C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。求空间各部分的电场。

解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。

在b r >区域中，由高斯定律0

d S

q

ε=

⎰E S ，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生

的电场分别为 2200120022r b b r r πρρπεε==r E e 220012

0022r a a r r

πρρπεε'

-''==-''r E e 点P 处总的电场为 2211

220()2b a r r ρε''=+=-'

r r E E E 在b r <且a r >'区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

220022r r r πρρπεε==r E e 2222

0022r a a r r πρρπεε'

-''==-''r E e

点P 处总的电场为 2022

20()2a r ρε''=+=-'

r E E E r 在a r <'的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P 产生的电场分别为

20030022r r r πρρπεε==r E e 2003

00

22r r r πρρπεε''

-''==-'r E e 点P 处总的电场为 0033

00

()22ρρεε''=+=-=E E E r r c 3.4 半径为a 的球中充满密度()r ρ的体电荷，已知电位移分布为

3254

2

()()

r r Ar r a D a Aa r a r ⎧+≤⎪

=⎨+≥⎪

⎩ 其中A 为常数，试求电荷密度()r ρ。

题3. 3图()b

＝

＋

解：由ρ∇=D ，有 2

21d ()()d r r r D r r

ρ=∇=D 故在r a <区域 2322

02

1d ()[()](54)d r r r Ar r Ar r r

ρεε=+=+ 在r a >区域 54

2

022

1d ()()[]0d a Aa r r r r r

ρε+== 3.5 一个半径为a 薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q 为的体

电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为4

()r r a =E e ，设球内介质为真空。计

算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。

解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为

20021d [()]d r E r r ρεε=∇==E 43

2002441d [()]6d r r r r r a a

εε=

（2）球体内的总电量Q 为 322

0040

d 64d 4a

r Q r r a a τρτεππε===⎰⎰

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q -，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q ，所以

球壳外表面上的总电荷为2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 02

224Q

a

σεπ== 3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a =和r b =()b a >，圆柱表面分别带有密度为1σ和2σ的面电荷。（1）计算各处的电位移0D ；（2）欲使r b >区域内00=D ，则1σ和2σ应具

有什么关系？

解 （1）由高斯定理

d S

q =⎰D

S ，当r a <时，有 01

0=D

当a r b <<时，有 02122rD a ππσ= ，则 1

02r

a r

σ=D e 当b r <<∞时，有 0312222rD a b ππσπσ=+ ，则 12

03r a b r

σσ+=D e （2）令 12

030r

a b r

σσ+==D e ，则得到 12b a σσ=- 3.7 计算在电场强度x y y x =+E e e 的电场中把带电量为2C μ-的点电荷从点1(2,1,1)P -移到点2(8,2,1)P -时电场所做的功：（1）沿曲线2

2x y =；（2）沿连接该两点的直线。

解 （1）d d d d x y C

C

C W q q E x E y ===+=⎰⎰⎰

F l E l

2

2

2

1

d d d(2)2d C

q y x x y q y y y y +=+=⎰⎰2

261

6d 142810()q y y q J -==-⨯⎰

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P -直线方程为

28

12

x x y y --=-- 即 640x y -+=