高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线

定义 已知圆锥曲线С: A x

+B y

+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A

+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2

+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.

即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x

，以x 0+x 2

替换x ，以y 0y 替换y

,以

y 0+y

2

替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.

特别地：

(1)对于圆(x-a)

+(y-b)

=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为

(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；

(2)对于椭圆

x a +y b

=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0y

b

=1 ；

(3)对于双曲线x

a

-

y

b

=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为

x0x

a

-

y0y

b

=1；

(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部

．．．．．．．．．．．]:

①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；

②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；

③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x

a +

y0y

b

=

x0

a

+

y0

b

；若是

双曲线,则此时中点弦的方程为x0x

a

-

y0y

b

=

x0

a

-

y0

b

；若是抛物线,则此时中点弦的

方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

④当P(x0,y0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线

．．；

⑤极点极线的对偶性:

Ⅰ.已知点P和直线L是关于曲线С的一对极点和极线,则L上任一点Pn对应的极线Ln必过点P,反之亦然,任意过点P的直线Ln对应的极点Pn必在直线L上[图．

中点

．．Ln．．是一对极点极线

．．．．．．．]；

．．P．n．与．直线

Ⅱ.过点P作曲线C的两条割线L1、L2，L1交曲线C于AB，L2交曲线C于MN，则直线AM、BN的交点T，直线AN、BM的交点S必都落在点P关于曲线C的极线L

上 [图中点

．．．．．．．] ；

．．．SP．．是一对极点极线．．．P．与．直线

．．ST．．是一对极点极线；点

．．．．．．．．．T．与直线

Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图

双曲线如图

2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图

中学数学中极点与极线知识的现状与应用

虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破

而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆x

a

+

y

b

=1的焦点的极

线方程为: x=a

c

.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线

的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.

圆锥曲线基础必备

极点极线例题