人教A版高中数学必修五学业分层测评3

学业分层测评（三）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1­2­9，测得下面四组数据，较合理的是( )

图1­2­9

A．c与α

B．c与b

C．b，c与β

D．b，α与γ

【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.

【答案】 D

2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是

( )

A．50nmile B．70nmile

C．90nmile D．110nmile

【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得

两船之间的距离为

l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70(nmile)．

【答案】 B

3．如图1­2­10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B间距离是( )

图1­2­10

A．202米B．203米

C．206米D．402米

【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB＝206(米)．

【答案】 C

4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为( )

A．20m B．30m

C．40m D．60m

【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，

在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．

【答案】 C

5．如图1­2­11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为( )

图1­2­11

A．156m B．206m

C．256m D．306m

【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝2h，PC＝23

3

h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA＝602＋2h2－4h2

2×60×2h

，①

cos∠PBC＝602＋2h2－

4

3

h2

2×60×2h

. ②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③

由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m. 【答案】 D

二、填空题

6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30

°，则坡底要伸长千米．

【解析】如图，∠BAO＝

75°，C＝30°，AB＝1，

∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.

在△ABC中，

AB

sin C

＝

AC

sin ∠ABC

，

∴AC＝

AB·sin ∠ABC

sin C

＝

1×

2

2

1

2

＝2(千米)．

【答案】 2

7．如图1­2­12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是 m.

图1­2­12

【解析】tan30°＝

CD

AD

，tan75°＝

CD

DB

，

又AD＋DB＝120，

∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，

∴AD＝603，故CD＝60.

【答案】60

8．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1­2­13所示，已知AB＝42dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球.【导学号：05920061】

图1­2­13

【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，

点C在线段AD上，设BC＝x dm，由题意知CD＝2x dm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，

即x2＝(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝37 3

.

∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－23

3

(dm)(舍去)．

∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球．

【答案】7

三、解答题

9．A，B，C，D四个景点，如图1­2­14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC ＝15°.A，D相距2km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．

图1­2­14

【解】在△BCD中，

∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，

由正弦定理得

BD

sin ∠BCD

＝

CD

sin ∠CBD

，

即BD＝CD·sin 75°

sin 60°

＝2.

在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝2.