多元线性回归分析简介教学内容
多元线性回归分析
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归分析正式优秀课件
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
66.010367.360-583.952331.368677.6962
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
多元线性回归分析 正式
讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
SS残 SS总 SS回
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回
多元线性回归分析实例及教程
多元线性回归分析实例及教程多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
在这个方法中，我们可以利用多个自变量的信息来预测因变量的值。
本文将介绍多元线性回归分析的基本概念、步骤以及一个实际的应用实例。
1.收集数据：首先，我们需要收集包含因变量和多个自变量的数据集。
这些数据可以是实验数据、观察数据或者调查数据。
2.确定回归模型：根据实际问题，我们需要确定一个合适的回归模型。
回归模型是一个数学方程，用于描述自变量与因变量之间的关系。
3.估计回归参数：使用最小二乘法，我们可以估计回归方程的参数。
这些参数代表了自变量对因变量的影响程度。
4.检验回归模型：为了确定回归模型的有效性，我们需要进行各种统计检验，如F检验和t检验。
5.解释结果：最后，我们需要解释回归结果，包括参数的解释和回归方程的解释能力。
应用实例：假设我们想预测一个人的体重（因变量）与他们的年龄、身高、性别（自变量）之间的关系。
我们可以收集一组包含这些变量的数据，并进行多元线性回归分析。
首先，我们需要建立一个回归模型。
在这个例子中，回归模型可以表示为：体重=β0+β1×年龄+β2×身高+β3×性别然后，我们可以使用最小二乘法估计回归方程的参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到每个自变量的参数估计值。
接下来，我们需要进行各种统计检验来验证回归模型的有效性。
例如，我们可以计算F值来检验回归方程的整体拟合优度，t值来检验各个自变量的显著性。
最后，我们可以解释回归结果。
在这个例子中，例如，如果β1的估计值为正且显著，表示年龄与体重呈正相关；如果β2的估计值为正且显著，表示身高与体重呈正相关；如果β3的估计值为正且显著，表示男性的体重较女性重。
总结：多元线性回归分析是一种有用的统计方法，可以用于探索多个自变量与一个因变量之间的关系。
通过收集数据、确定回归模型、估计参数、检验模型和解释结果，我们可以得到有关自变量对因变量影响的重要信息。
医学统计学第十五章多元线性回归分析
预测和解释性分析
预测
利用多元线性回归模型对新的自变量值进行预测，得到因变量的预测值。
解释
通过系数估计值，解释自变量对因变量的影响大小和方向。
4 正态分布
观测值和误差项服从正态分布。
参数估计方法
1
最小二乘法
找到使得预测值和实际观测值之间残差平方和最小的回归系数。
2
变量选择
通过逐步回归或变量筛选方法选择最重要的自变量。
3
解释系数
计算变量对因变量的影响的幅度和方向。
显著性检验
回归系数 自变量1 自变量2
标准误差 0 .2 3 4 0 .3 2 1
医学统计学第十五章多元 线性回归分析
多元线性回归分析是一种强大的统计方法，用于探究多个自变量对因变量的 影响。通过在统计模型中引入多个自变量，我们可以更全面地解释现象和预 测结果。
概念和原理
概念
多元线性回归分析是一种统计方法，用于 建立多个自变量和一个因变量之间的关系 模型。
原理
通过最小二乘法估计回归系数，我们可以 量化自变量对因变量的影响，并进行统计 推断。
建立方法
数据收集
收集包括自变量和因变量的 数据，确保数据质量和有效 性。
模型建立
模型验证
选择适当的自变量和建模方 法来构建多元线性回归模型。
利用合适的统计检验和拟合 优度指标来评估模型的质量。
假设条件
1 线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系。
3 等方差性
模型的残差具有相同的方差。
2 独立性
自变量之间相互独立，没有明显的多重 共线性。
t值 2 .3 4 5 3 .4 5 6
根据p值和显著性水平，判断自变量的影响是否具有统计意义。
大学回归分析教案
课时：2课时教学目标：1. 理解回归分析的基本概念和原理。
2. 掌握线性回归模型的建立和求解方法。
3. 学会运用回归分析解决实际问题。
教学重点：1. 线性回归模型的建立。
2. 回归分析中的假设检验和模型诊断。
教学难点：1. 模型诊断和改进。
2. 多元线性回归分析。
教学过程：第一课时一、导入1. 引导学生回顾相关概念，如相关系数、最小二乘法等。
2. 提出问题：如何通过已知变量预测另一个变量？二、回归分析的基本概念1. 介绍回归分析的定义和目的。
2. 解释回归分析中的变量关系，如自变量和因变量。
3. 引入回归方程的概念，并解释其意义。
三、线性回归模型的建立1. 介绍最小二乘法原理。
2. 讲解线性回归模型的建立过程，包括计算回归系数和预测值。
3. 通过实例展示线性回归模型的建立过程。
四、假设检验1. 介绍假设检验的基本原理。
2. 讲解回归分析中的假设检验方法，如t检验和F检验。
3. 通过实例展示假设检验的应用。
五、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容。
2. 强调回归分析在实际问题中的应用价值。
第二课时一、模型诊断和改进1. 介绍模型诊断的概念和目的。
2. 讲解模型诊断的方法，如残差分析、方差分析等。
3. 通过实例展示模型诊断的过程。
二、多元线性回归分析1. 介绍多元线性回归分析的概念和原理。
2. 讲解多元线性回归模型的建立和求解方法。
3. 通过实例展示多元线性回归分析的应用。
三、案例分析1. 选择一个实际问题，引导学生运用回归分析解决。
2. 分析案例中的变量关系，建立回归模型。
3. 对模型进行诊断和改进，提高预测精度。
四、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容。
2. 强调回归分析在实际问题中的应用价值。
五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一个实际问题，运用回归分析解决。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生的参与度和理解程度。
2. 课后作业：检查学生对知识的掌握程度。
3. 案例分析：评估学生运用回归分析解决实际问题的能力。
统计学中的多元线性回归分析
统计学中的多元线性回归分析多元线性回归分析是统计学中常用的一种回归分析方法，用于研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
本文将介绍多元线性回归分析的基本原理、应用场景以及分析步骤。
1. 多元线性回归的基本原理多元线性回归分析是建立在线性回归的基础上的。
线性回归分析是研究一个自变量对一个因变量的影响关系，而多元线性回归分析则是研究多个自变量对一个或多个因变量的影响关系。
在多元线性回归中，我们假设因变量Y与自变量X1、X2、...、Xn之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中β0、β1、β2、...、βn为回归系数，ε为误差项。
我们的目标是通过样本数据来估计回归系数，以便预测因变量Y。
2. 多元线性回归的应用场景多元线性回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会学、医学等。
以下是一些常见的应用场景：2.1 经济学领域在经济学领域，多元线性回归可以用于分析各种经济变量之间的关系。
例如，研究GDP与劳动力、资本投入等因素之间的关系，或者研究物价与通货膨胀、货币供应量等因素之间的关系。
2.2 社会学领域在社会学领域，多元线性回归可以用于分析社会现象与各种因素之间的关系。
例如，研究教育水平与收入、社会地位等因素之间的关系，或者研究犯罪率与社会福利、失业率等因素之间的关系。
2.3 医学领域在医学领域，多元线性回归可以用于分析疾病或健康状况与各种因素之间的关系。
例如，研究心脏病发病率与吸烟、高血压等因素之间的关系，或者研究生存率与年龄、治疗方法等因素之间的关系。
3. 多元线性回归的分析步骤进行多元线性回归分析时，通常需要按照以下步骤进行：3.1 数据收集首先，需要收集相关的自变量和因变量的数据。
这些数据可以通过实地调查、问卷调查、实验等方式获得。
3.2 数据预处理在进行回归分析之前，需要对数据进行预处理。
这包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
多元线性回归模型分析
ˆ 样本矩（用样本矩估计总体矩）： 满足相应的矩条
件：
1
T
T
(Yt ˆ ) 0
t 1
▪ 同理，方差的估计量是样本的二阶中心矩。
▪ 现在，考虑一元线性回归模型中的假设条件：
E(t ) 0 E(xtt ) 0
▪ 其所对应的样本矩条件分别为：
1
T
T
ˆ t
1 T
T
(yt - b0 - b1xt ) 0
常数项的作用在于中心化误差。
§3.2 参数的OLS估计
•参数的OLS估计
附录：极大似然估计和矩估计
投影和投影矩阵 分块回归和偏回归 偏相关系数
一、参数的OLS估计
▪ 普通最小二乘估计原理：使样本残差平方和最小
我们的模型是：
Y= x11 + x22 +…+ xk k +
关键问题是选择的估计量b，使得残差平方和最小。
过度识别
▪ 则必须想办法调和出现在过度识别系统中相互冲突 的估计。那如何解决呢？
广义矩估计的思想是使得样本矩与总体矩的加权距 离（即马氏距离）最小。主要是考虑到不同的矩所 起的作用可能不同。
设样本矩 X (X(1),...,X(R))/ ，总体矩 M (M(1),...,M(R))/ ，其中 R k 则马氏距离为：
t 1
t 1
1
T
T
x t ˆ t
1 T
T
xt (yt b0 b1xt ) 0
t 1
t 1
▪ 可见，与OLS估计量的正规方程组是相同的。 ▪ 多元线性回归模型矩估计的矩条件通常是这样构造的：
对于多元线性回归模型 Y=Xβ+ε
多元线性回归分析简介
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
误差方差的估计：
1 多元线性回归分析
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果 是一致的。 当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型 中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强 的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应 大于或等于引入变量的标准 （0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了 回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异 的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟 合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )
多元线性回归分析PPT教案学习
l1( m 1)
l2(m1)
lm(m1) l(m1)(m1)
l11 ( x1 x1)2
l1m ( x1 x1)(xm xm )
对角线上的为离均差平方和，其他为离均差积和
(2)建立正规方程并求解
l11b1 l12b2
l21b1
l22b2
lm1b1 lm2b2
方差分析：H0：i 0;H1:i不全为0
ss回（Xi）_ ss回（除Xi）Leabharlann F= X 回归平方和 t i
2
SS剩
n m 1
T检验：t= bi S(bi )
第87页/共11页
四、标准回归系数
1、问题提出：研究自变量作用大小，偏回归系数
受到变量单位影响，不能作为反应自变量作用
大小的指标，因此需要对回归系数标准化，求
xm111221222122sasiml估计值转秩矩阵逆矩阵运用中的模块求解是无偏估计问题提出建立的方程是否有意义评价x能对y变量解释多少预测意义每个自变量是否对y都有作用ssnm1ssssms由于与与自变量数量有关就有了调整检验与前检验等价3检验检验哪个自变量对有影响方差分析
多元线性回归分析
会计学
… 参数估计 对b0 b1 b2 bm 做估计
1、原理：最小二乘法原理，(y yˆ)2达到最小
2、步骤： 对于一资料可列出如下表格形式
… No X1 X2 Xm Y
1 2
︰
n
第43页/共11页
l11
l21
（1）求离距差
lm1 l(m1)1
l12 l22
lm 2 l( m 1) 2
l1m l2 m
H1 : 不全等于0
《多元线性回归》课件
案例三：销售预测
总结词
利用多元线性回归模型预测未来销售情况，为企业制定 生产和销售计划提供依据。
详细描述
选取影响销售业绩的因素，如市场需求、竞争状况、产 品定价等，建立多元线性回归模型。通过分析历史销售 数据，预测未来销售趋势。在实际应用中，需要考虑市 场变化和不确定性因素，对模型进行动态调整和优化。
市场分析
在市场营销领域，多元线性回归可用于分析消费 者行为、市场趋势等，为企业制定营销策略提供 支持。
多元线性回归的基本假设
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系，即随着自变量的增加或 减少，因变量也按一定比例变
化。
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性 ，即自变量之间没有高度的相 多元线性回归的 案例分析
案例一：股票价格预测
总结词
通过分析历史股票数据，利用多元线性回归 模型预测未来股票价格走势。
详细描述
选取多个影响股票价格的因素，如公司财务 指标、宏观经济指标、市场情绪等，建立多 元线性回归模型。通过训练数据拟合模型， 并使用测试数据评估模型的预测精度。在实 际应用中，需要考虑市场变化、政策影响等
特点
多元线性回归具有简单易用、可解释性强等优点，适用于探 索多个变量之间的相互关系，并能够提供可靠的预测结果。
多元线性回归的应用场景
1 2 3
经济预测
通过对多个经济指标进行多元线性回归分析，可 以预测未来的经济走势，为政策制定提供依据。
医学研究
在医学领域，多元线性回归常用于研究疾病发生 与多个风险因素之间的关系，为疾病预防和治疗 提供参考。
用于检验自变量与因变量之间是否存在线性关系。常用的方法包括散点图、趋 势线等。如果数据点在散点图上呈现一条直线，或者趋势线与水平线接近平行 ，则可以认为自变量与因变量之间存在线性关系。
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
多元线性回归分析基础
03
伪逆矩阵
当自变量和因变量之间存在不完全的线性关系时，最小二乘法的解可能
不唯一。在这种情况下，可以使用伪逆矩阵来求解参数，它能够给出参
数的一个稳定解。
多元线性回归模型的假设检验
总结词
利用多元线性回归分析，可以预测一个地区或国家的人口数量变化趋势，为政策制定提 供依据。
详细描述
人口数量受到多种因素的影响，如出生率、死亡率、移民率等。通过收集这些因素的数 据，并利用多元线性回归分析建立模型，可以预测未来一段时间内的人口数量变化趋势。 这种预测结果可以为政府制定相关政策提供依据，例如资源分配、教育医疗等公共服务
多元线性回归模型的基本形式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
多元线性回归模型的参数估计
01 02
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实际值之 间的残差平方和来估计参数。这种方法基于一系列观测数据，通过数学 优化技术求解参数值。
梯度下降法
医学研究
在生物医学领域，多元线性回归分析可用于研究疾病的发生和发展与 多个基因和环境因素之间的关系。
02
多元线性回归模型
多元线性回归模型的概述
多元线性回归模型的定义
多元线性回归模型是一种用于探索和预测多个自变量与因变量之间关系的统计方法。通过将多个自变量纳入模型， 可以分析它们对因变量的联合影响。
的规划等。
05
多元线性回归分析的注意事项
数据质量与预处理
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
第二讲 多元线性回归分析
回归方程的方差分析表
MS
F
5
0.21581
7.32
14
0.02950
19
偏回归系数估计结果
3.标准化回归系数
有时需要比较各自变量的相对作用大小，由于回归系数受变量度量衡和各自变异程度 的影响，不能直接比较。为此，可以对回归系数进行标准化处理，消除度量衡和变异 度的影响，计算标准化回归系数(standardized regression coefficient)，反映各自变量对 因变量的影响程度。计算公式为
13 59 25.19 6.0 158 80 7.3
4 66 24.26 4.8 157 87 7.2
14 76 27.26 5.4 124 85 6.9
…
…
医学统计学（第7版）
变异来源 回归 残差 总变异
SS 1.07906 0.41294 1.49200
自变量 常数项
回归系数
3.87598
-0.00153 0.03192 0.10834 0.00850 0.01058
对回归方程的预测或解释能力作出综合评价（决定系数，校正决定系数）；
在此基础上进一步对各个自变量的重要性作出评价（偏回归平方和、t 检验、标准化
回归系数）。
（一）回归方程的假设检验及评价 1.方差分析法
SS总 =
(Y - Y )2
Y 2 ( Y )2 n
SS回归= (Yˆ Y )2 bjl jY SS残差= (Y Yˆ)2 SS总 SS回归
了解 多元线性回归的主要应用及其注意事项。
第一节
多元线性回归
医学统计学（第4版）
问题提出
多元线性回归（multiple linear regression analysis）：研究一个因变量与多个自变量之间 线性依存关系的统计方法。
多元线性回归分析
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
多元线性回归分析课件
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
《应用回归分析》---多元线性回归分析
《应用回归分析》---多元线性回归分析二、实验步骤：（只需关键步骤）1.计算出增广的样本相关矩阵；*打开数据“腰围和体重.sav”*依次选择分析→回归→线性→statistics，勾选描述性、部分相关和偏相关性→继续并确定，提交系统分析2-6可由题1步骤已得到相关图表三、实验结果分析：（提供关键结果截图和分析）1、计算出增广的样本相关矩阵2、给出回归方程；可以根据上述结果构建腰围（y）、体重(x1)和脂肪比重(x2)的回归方程，即y^ = 20.236+0.065x1+0.227x2也可构建标准化方程，即y=0.457x1+0.569x23、对所得回归方程做拟合优度检验；从表上的结果可以看出决定系数R2 =0.894，说明该回归模型自变量“全社会固定资产投资”可以解释因变量“国内生产总值”89.4%的变差，提示拟合效果很好4、对回归方程做显著性检验；从上表可以看出 F=71.545，其检验的概率水平p=0.000，小于0.05的显著性水平，说明回归方程在0.05的显著水平下是显著的，有统计意义，两变量间有显著的线性关系。
5、对回归系数做显著性检验；上表可以看出该例常数项的显著性检验统计量t=8.199，其p=0.000，小于0.05；体重的回归系数的显著性水平检验统计量t=4.144，其p=0.001，小于0.05，脂肪比重的回归系数的显著性水平检验统计量t=5.163，其p=0.000，也小于0.05，认为回归系数是显著的，说明因变量因y与自变量x之间有显著的线性关系。
6、结合回归方程对该问题做一些基本分析.腰围（y）、体重(x1)和脂肪比重(x2)的回归方程为y^ = 20.236+0.065x1+0.227x2由回归方程模型分析可知，体重和脂肪比重是密切影响腰围的主要因素;体重(x1）以及脂肪比重(x2）都与腰围(y)之间存在正的线性关系，故可预测，腰围会随着体重和脂肪比重的增加而增加，而实际的腰围最终由这两种甚至更多种因素综合决定。
第三章 多元线性回归分析
CONSP：人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。
表 2.5.1 中国居民人均消费支出与人均 GDP（元 /人） 年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 人均居民消费 CONSP 395.8 437.0 464.1 501.9 533.5 572.8 635.6 716.0 746.5 788.3 836.4 779.7 人均 GDP GDPP 675.1 716.9 763.7 792.4 851.1 931.4 1059.2 1185.2 1269.6 1393.6 1527.0 1565.9 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 人均居民消费 CONSP 797.1 861.4 966.6 1048.6 1108.7 1213.1 1322.8 1380.9 1460.6 1564.4 1690.8 人均 GDP GDPP 1602.3 1727.2 1949.8 2187.9 2436.1 2663.7 2889.1 3111.9 3323.1 3529.3 3789.7
解该k个方程组成的线性代数 方程组，即可以得到 k个 待估参数的估计值
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X
1i 2 1i
X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 1 0 ˆ X 11 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k 1
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引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
yn
1 xn1
0, 1, p
则多元线性回归模型可表示为：
x1p
x2
p
，
1 2
，
xnp
n
y X
G
M
条件
E( Var( )
)0
2
I
n
其中 I n 为 n 阶单位阵。
为了得到 ˆ0, ˆ1, , ˆp 更好的性质，我们对 给出进
多元线性回归分析简介
一般地，我们需要研究 p 个自变量 x1,K , xp 与 因变量Y 之间相关关系的数量表示。假定自变
量 x1,K , xp 与因变量Y 的均值 E Y A y 之间的
函数关系为 y 0 1x1 L p xp ，其中 0 , 1,L , p 待定，称 1,L , p 为这个 p 元线性 回归函数的回归系数。
n
l jy (xij x j )( yi y ), j 1,L , p i 1
n
lyy ( yi y )2 i 1
记矩阵
L
l11 L
L L
lp1 L
l1 p L
l11
L1
L
L L
lpp
l
p1
L
于是， 0 , 1,L , p 的最小二乘估计为
l1p
L
l
pp
ˆ0 y p ˆ j x j
回归分析的主要任务是通过 n 组样本观测值
xi1, , xip; yi , i 1,2, , n ，对 0, 1, p 进行估计。一般用
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
n
Q(ˆ0, ˆ1, , ˆp ) ei2 从整体上刻化了 n 组样本观测值 i 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2, , n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
一元回归分析中的结论全部可以推广到多 元的情形中来。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
一、多元线性回归模型的一般形式
Y0 1 x 1 L pxp
多元线性回归方程为：
E ( y) 0 1x1 p x p
当对Y与X进行n次独立观测后,可取得n 组观测值
(xi1,Lxip,yi),i 1 ,2 ,L,n 于是
有Yi 0 1xi1 L p xip i ，i 1,L n 。
普通最小二乘估计(OLSE) 定义离差平方和
n
Q (0 ,1 ,L , p ) ˆ (y i01 x i1 L p x ip)2
i 1
采用最小二乘法估计 0, 1, , p 的准则是：
寻找 ˆ0, ˆ1, , ˆp ，使
Q(ˆ0, ˆ1,
ˆ p
)
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
类似于一个自变量的情形，可以把自变量 x1,K , xp 与因变量Y 之间的相关关系表示成 Y 0 1x1 L p xp ，其中随机误差项
~ N 0, 2 。于是，Y ~ N 0 1x1 L pxp, 2
其中 0, 1,L , p, 2 均未知， 0, 1,L , p , 2 0。
一步的假设（强假设）
设 1, 2 , , n 相 互 独 立 ， 且 i ~ N (0, 2 ) ，
（ i 1, , n ），由此可得： y1, y2 , , yn 相互独立，且
yi ~ N (0 1xi1 p xip , 2 ) ，（i 1, , n ）
二 、 参 数 0 ,1 , L , p ,2 的 估 计
最小二乘估计量 ˆj j 0,1,L , p 都是样本Y1,K ,Yn
的线性函数，因此它们都是线性估计。高斯-马尔科夫 证明了最小二乘估计具有下列优良性质。
定理 4.6 在 p 元回归分析问题中，对任意的已知
p
p
常数 a0 , a1,K , ap ， a j ˆ j 总是待估函数 a j j
j0
j0
的最优线性无偏估计量。
由此可知：
定理 4.4＇ 在 p 元回归分析问题中，最小二乘
估计量 ˆ j 是 j 的最优线性无偏估计量，
j 0,1,L , p 。
一些有用的计算公式，类似于一元回归分析问题。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xj
1 n
n i 1
xij ,
j 1,L , p;
y
1 n
n i 1
yi
n
l jk (xij x j )(xik xk ), j, k 1,L , p i 1
j 1
ˆ1
M
ˆp
L1
l1y
M
lpy
，且 Q
ˆ0 , ˆ1,L , ˆp
p
lyy ˆ jl jy
j 1
三、回归方程的显著性检验---F 检验 在 p 元回归分析问题中，回归系数的显著性检验 问题是要检验 ： H0 : 1 L p 0
F-检验是根据平方和分解公式，直接从 回归效果来检验回归方程的显著性。和 一元情形类似
定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
误差方差的估计：
ˆ2
1Q n
ˆ0, ˆ1,L
, ˆp
ˆ 2 n 1 p 1 Qˆ0 ,ˆ1 ,L ,ˆp 当 n 较 小 时
称
yˆi ˆ0 ˆ1xi1
ˆp xip
为 yi 的回归拟合值， ei yi yˆi 为 yi 的残差（ i 1,2, , n ），
布，它的均值向量为 ，协方差矩阵为 2 X X 1 ，
（2）
1
2
Q
ˆ0 , ˆ1,L
, ˆp
nˆ 2 2
n
p 1ˆ 2
2
~
2 n
p 1
（3） ˆ 与 ˆ 2 （或ˆ 2 ）相互独立。
定理 4.3＇ 在 p 元回归分析问题中，最小二乘
估计量 ˆ j 是 j 的无偏估计， j 0,1,L , p ；ˆ2 是 2 的无偏估计。
定义：
总（离差）平方和：SS= ( yi y)2 ,反映了因变量 y 的波
动情况
回归平方和：SSR= ( yˆi y)2 ,是 SS 中由自变量的波动
引起的部分，即在 SS 中能用自变量解释的部分。
残差平方和：SSE= ( yi yˆi )2 ei2 ，由自变量之外