等体积法求点到平面距离

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专题11立体几何中的点面距离问题解析版

专题11 立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解析 (1)连接B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME＝12B 1C ．又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D ．由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED ．又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE ．(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H ．由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，又BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面C 1CE ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH ．又C 1E ∩DE ＝E ，所以CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离．由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717．从而点C 到平面C 1DE ∥＝∥＝的距离为41717． [例2]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝17，E 为P A 的中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，FH ∥DM ，交PM 于点H ，且FH ＝1．(1)证明：EF ∥平面PBM ；(2)求点M 到平面ABP 的距离．解析 (1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，HG ，则EG ∥AB ，且EG ＝1，∵FH ∥DM ，且FH ＝1，又AB ∥DM ，∴EG ∥FH ，EG ＝FH ，即四边形EFHG 为平行四边形，∴EF ∥GH ．又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ，∴EF ∥平面PBM ．(2)∵EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴EF ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，EF 和AD 显然相交，EF ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ．取AD 的中点O ，连接PO ，∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴P A ⊥AB ，在等腰三角形P AD 中，PO ＝P A 2－AO 2＝17－1＝4．设点M 到平面ABP 的距离为h ，连接AM ，利用等体积可得V M －ABP ＝V P －ABM ，即13×12×2×17×h ＝13×12×2×2×4，∴h ＝817＝81717，∴点M 到平面P AB 的距离为81717． [例3]如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，P A ＝PB ＝2．(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；(2)求点D 到平面APC 的距离．解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，(图略)，由P A ＝PB ＝2，AB ＝2知△P AB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO ＝1，由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°知△ABC 为等边三角形，∴CO ＝3．又由PC ＝2得PO 2＋CO 2＝PC 2，∴PO ⊥CO ，又AB ∩CO ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABCD ．(2)由题知△ADC 是边长为2的等边三角形，△P AC 为等腰三角形，设点D 到平面APC 的距离为h ，由V D P AC ＝V P ADC 得13S △P AC ·h ＝13S △ADC ·PO ．∵S △ADC ＝34×22＝3，S △P AC ＝12P A ·PC 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝72， ∴h ＝S △ADC ·PO S △P AC ＝3×172＝2217，即点D 到平面APC 的距离为2217． [例4]如图，在单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，BC 1的中点．。

用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题

用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题体积立体几何问题是许多数学和工程领域经常遇到的问题之一。

解决这类问题的一种方法是使用等体积法，它可以帮助我们计算点到平面的距离和体积等相关参数。

1. 问题描述假设有一个点和一个平面，我们想要计算点到该平面的距离和体积。

下面是一个简单的解题步骤：- 第一步，我们首先需要确定平面的方程。

平面的方程通常可以通过已知的点或者法向量来确定。

- 第二步，通过点到平面的距离公式，我们可以计算出点到平面的距离。

距离公式为：$$d = \left| \frac{{ax + by + cz + d}}{{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}\right|$$其中，$(x, y, z)$ 是点的坐标，$ax + by + cz + d$ 是平面的方程，$(a, b, c)$ 是平面的法向量，$d$ 是平面的常数项。

- 第三步，如果我们需要计算点在平面上的投影点的坐标，我们可以使用点到平面的距离公式的推导过程。

对于平面的方程 $ax+ by + cz + d = 0$，我们可以将点到平面的距离公式推导为：$$P = \left( x-\frac{{a(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, y-\frac{{b(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, z-\frac{{c(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}} \right)$$- 第四步，如果我们需要计算体积，我们可以将问题转化为计算封闭图形的体积。

具体的方法会根据所涉及的几何形状而有所不同。

2. 示例问题以下是一个例子，展示了如何使用等体积法解决点到平面的距离和体积问题：问题：已知平面的方程为 $2x - 3y + 4z - 5 = 0$，点的坐标为$(1, 2, 3)$，求点到该平面的距离。

解答：- 根据距离公式，代入点的坐标和平面的方程，可以计算出点到平面的距离：$$d = \left| \frac{{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 -5}}{{\sqrt{{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}}} \right| = \left| \frac{1}{\sqrt{29}} \right|$$因此，点到平面的距离为 $d = \frac{1}{\sqrt{29}}$。

高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1

浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。

在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。

【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。

空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。

空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。

这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。

对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。

所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。

除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。

下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。

一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。

把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。

2、可以用空间两点间距离公式。

如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。

二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。

其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。

所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。

本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。

2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。

同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。

3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。

在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。

3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。

具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。

3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。

具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。

等体积法求点到平面距离.

，也即: A 'H = 3 3 S等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。

先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V = 1Sh 求出点到平面的距离 h 。

在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用3到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。

特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。

下面用等体积法求解例子.例：所示的正方体 ABCD - A 'B 'C 'D ' 棱长为 a ，求点 A ' 到平面 AB 'D ' 的距离解法(等体积法):如图所示，作 A 'H 垂直于平面 AB 'D ' 于点 H ，则 A 'H 长度为所求。

对于四面体 A 'AB 'D ' ，易见底面 AB 'D ' 的高为 A 'H ，底面 A 'B 'D ' 的高为 AA ' 。

对四面体 A 'AB 'D ' 的体积而言有：VA - A 'B 'D '= VA '- AB 'D '即有: 1 1 AA ' ⨯ SAA ' ⨯ S = A 'H ⨯ S ∆A 'B 'D '∆A 'B 'D ' ∆AB 'D ' ∆AB 'D '由 AB ' = B 'D ' = D 'A = 2a ，从而 ∆AB 'D ' 为正三角形， ∠AB 'D ' = 600，进而可求得S1 3AB ' ⨯ AD ' s in ∠AB 'D ' = ( 2a )2 sin 600 = a 2 2 2 22又易计算得到 Rt ∆A 'B 'D ' 的面积为 S ∆A 'B 'D ' = 1a 2所以 A 'H = AA ' ⨯ S∆A 'B 'D ' = S ∆AB 'D ' 1a ⨯ a 2 2 3 a 223 = a 3从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

点面距、线面距、面面距

A
•
E
G
C1
B1
C
F
B
例1如图所示,在正三棱柱 ABC A1B1C1 中,D是BC的中点, AB=2 , CC1 3 求点C到平面 AC1D 的距离
C1
A1
B1
C
•D
B
A
练习: 2、如图所示，在几何体S-ABC中，ABC
是边长为4的正三角形,平面SAC 平面
ABC, SA SC 2 3，M、N分别为AB、 SB的中点，求SA到平面CMN的距离
(设1)异求面n,直使线n l1，l1l，2间n的距l2离为d
（2）设A1 l1, A2 l2，求A1A2
（3）则d A1A2 n n
试卷例2. 正方体AC1中,M,N分别是A1A,B1B的中点 (1)求直线DM与D1N间的距离 (2)求直线D1N与AB间的距离
D1
A1
M
D A
C1
B1
NC B
S
N
•
COຫໍສະໝຸດ A•BM
小结：
1、点面距、线面距、面面距公式
PA n d
n
2、公式中 PA 的非唯一性
3、“线面距、面面距”最后都转化为 “点面距”
4、向量法求距离的一般步骤
作业:
1、如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB 90
AC AA1 2 D、E分别是 CC1 与 A1B
的中点，求点 A1 到平面AED的距离
C1
A1
B1
D
E
C
B
A
2、如图所示，在三棱锥 S ABC中，
ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC，SA=SC= 2 2

新高考数学复习考点知识培优专题讲解 28 体积法求点面距离(解析版)

新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题28 体积法求点面距离一、多选题1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（）A ．D 1D ⊥AFB ．A 1G ∥平面AEFC ．异面直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为10D ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍【答案】BCD 【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D 1D 、AF 是否垂直及求直线A 1G 与EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G 到平面AEF 的距离与点C 到平面AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A 1G 、平面AEF 是否平行. 【详解】A 选项，由11//DD CC ，即1CC 与AF 并不垂直，所以D 1D ⊥AF 错误.B 选项，如下图，延长FE 、GB 交于G’连接AG’、GF ，有GF//BE 又E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，所以11GG BB AA '==，而1//AA GG '，即1//A G AG '；又因为面11ABBA 面AEF =AG ，且1AG ⊄面AEF ，1AG ⊂面11ABB A ，所以A 1G ∥平面AEF ，故正确.C 选项，取11B C 中点H ，连接GH ，由题意知GH 与EF 平行且相等，所以异面直线A 1G 与EF 所成角的平面角为1AGH ∠，若正方体棱长为2，则有11GH AG A H ==1A GH中有1cos 10AGH ∠=，故正确.D 选项，如下图若设G 到平面AEF 的距离、C 到平面AEF 的距离分别为1h 、2h ，则由11133A GEF GEF G AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅且21133A CEF CEF C AEF AEF V AB S V h S --=⋅⋅==⋅⋅，知122GEFCEFS h h S ==，故正确.故选：BCD 【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,]2π. 2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行. 3、由A GEF G AEF V V --=、A CEF C AEF V V --=即可求G 、C 到平面AEF 的距离比.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的有（） A ．1A F AE ⊥B ．三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关系C ．平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D ．点1A 到平面1AED 【答案】AC 【分析】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1A G ，记1A G 与AE 交点为O ，根据线面垂直的判定定理，可得AE ⊥平面1A FG ，进而可得1A F AE ⊥； B 选项，证明1//BC 平面1AED ，即可判定B 错；C 选项，补全截面，得到平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；D 选项，根据等体积法，由1111E AA D A AED V V --=求出点到面积的距离，即可判定；【详解】A 选项，取AB 中点为G ，根连接FG ，1A G ，记1A G 与AE 交点为O ，在正方体1111ABCD A BCD -中，1AA AB =，12A AG ABE π∠=∠=，因为E 、F 分别为1BB 、CD 中点，所以AG BE =，//FG AD ，因此1Rt A AG Rt ABE ≅，所以1AAG BAE ∠=∠，1AGA AEB ∠=∠，因此12OAG OGA BAE AGA π∠+∠=∠+∠=，因此2AOG π∠=，即1AE A G ⊥；又在正方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11ABB A ，所以FG ⊥平面11ABB A ，因AE ⊂平面11ABB A ，所以FG AE ⊥，又1AG FG G ⋂=，1AG ⊂平面1A FG ，FG ⊂平面1A FG ，所以AE ⊥平面1A FG ，因为1A F ⊂平面1A FG ，所以1A F AE ⊥；故A 正确；B 选项，因为在正方体中11//ABCD ，且11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，又1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，所以1//BC 平面1AED ，因此棱1BC 上的所有点到平面1AED 的距离都相等，又P 是棱1BC 上的动点，所以三棱锥1P AED -的体积始终为定值；故B 错； C 选项，取11B C 的中点为M ，连接EM ，1MD ，则1//EM BC ，且112EM BC =，则1//EM AD ；又正方体中，2AB =，所以1MD AE ===11BC AD ==因此112EM BC == 所以平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EMD A ，因此该等腰梯形的高为2h ===，所以该截面的面积为()11922S AD EM h =⋅+⋅=；故C 正确； D 选项，设点1A 到平面1AED 的距离为d ，因为1//BB 平面11AA D D ，所以点E 到平面11AA D D 的距离为2AB =，即点E 到平面11AA D 的距离为2，所以1111211142223323E AA D AA D V S -=⋅⋅=⋅⋅⋅=，在1AED △中，1AD =AE =，13ED ==，所以1cos EAD ∠==，因此1sin EAD ∠=，所以11111sin 322AED SAD AE EAD =⋅⋅∠=⋅=. 又111111433E AA D A AED AED V V S d --==⋅⋅=，所以43d =，即点1A 到平面1AED 的距离为43，故D 错；故选：AC. 【点睛】方法点睛：求空间中点到面积的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则下列说法中正确的是（）A ．若O 为ABC 的外心，则2PC =B ．若ABC 为等边三角形，则⊥AP BCC ．当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成角的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．当4PC =时，M 为平面PBC 内动点，若//OM 平面PAC ，则M 在三角形PBC 内的轨迹长度为2【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A 正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B 错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C 到平面P AB 的距离的范围，可判断C 正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D 正确. 【详解】依题意，画图如下：若O 为ABC 的外心，则OA OB OC ===PO ⊥平面ABC ，可得PO OC ⊥，OP OA OB ===2PC ==，A 正确；ABC 若为等边三角形，⊥AP BC ，又AP PB ⊥，BC 与PB 相交于平面PBC 内，可得AP ⊥平面PBC ，即AP PC ⊥，由PO OC ⊥，OP OA OB ===，可得OC AC ==故PC AC ====，矛盾，B 错误;若90ACB ∠=︒，设PC 与平面PAB 所成角为θ，由A 正确，知2OC OA OB PC ====，设C 到平面PAB 的距离为d由C PAB P ABC V V --=可得1111223232d AC BC ⋅⋅⋅=⋅即有2242AC BC AC BC +⋅==，当且仅当2AC BC ==取等号.可得d ，2sin 22d θ=，即θ的范围为0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦，C 正确；取BC 中点N ，PB 的中点K ，连接,,OK ON KN由中位线定理可得，//ON AC ，//MN PC ，则平面//OKN 平面PAC ，由//OM 平面PAC ，可得M 在线段KN 上，即轨迹122KN PC ==，可得D 正确；故选：ACD 【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.二、单选题4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，E F 、分别为11C D 与AB 的中点，1B 到平面1A FCE 的距离为（）A B C ．5D ．5【答案】B 【分析】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ，利用1111B A CF C A B F V V --=建立方程可求解. 【详解】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h ． ∵正方体棱长为1，∴112A F FC AC EF ====， ∴1111261131122422A CFA B FSS =⨯⨯==⨯⨯=，又1111B A CF C A B F V V --=，∴1111332=⨯⨯，解得h =即点1B 到平面1A FCE 的距离为3．故选：B ．【点睛】方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1AC 上有两个动点E F 、，且EF =，给出下列四个结论错误的选项是（）A ．CE BD ⊥B ．点C 到平面BEF 的距离为2C ．BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形 D ．在平面ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线【答案】C【分析】利用BD ⊥平面1ACC ，即可证明CE BD ⊥，即可判断选项A ；利用等体积即可求点C 到平面BEF 的距离，即可判断选项B ；利用正投影特点即可判断选项C ；利用线面平行的性质定理即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由BD AC ⊥且1BD CC ⊥，1AC CC C =，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，可得CE BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：因为点C 到直线EF=，EF =，所以12CEFS==点B 到平面CEF 距离是12DB =，所以三棱B CEF -体积是1136218⨯⨯=，因为三棱锥118C BEF B CEFV V --==，BEF CEF S S =△△为，所以点C 到平面BEF的距离为2，故选项B 正确；对于选项C ：线段EF 在底面ABCD 内的正投影是GH ，所以BEF 在底面ABCD 内的正投影是BGH ，因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGH 的面积是定值，故选项C 不正确；多于选项D ：设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项D 正确，故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.6．正三棱柱111ABC A B C -的所有定点均在表面积为8π的球O的球面上，AB =1B 到平面1A BC 的距离为（）A ．1B ．65C．5D【答案】B 【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离. 【详解】设等边三角形ABC 的外接圆半径为R，由正弦定理得221sin sin3a R R A π===⇒=. 由于球O 的表面积为8π，故半径r =12AA ===.在三角形1ABC中，11A B AC ===，而BC =，所以三角形1A BC 的面积为1122BC ⨯=设1B 到平面1A BC 的距离为h ，由1111C A B A C B B B V V --=得11311232232h ⨯⨯=⨯，解得65h =. 故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.7．如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（）A ．5B C D【答案】A 【分析】结合正四棱锥的性质，利用A PBC P ABC V V --=，代入数据直接计算即可. 【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD ==PB ==PM ==，1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯=，11222PBC S BC PM =⋅=⨯=设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即1433h =，解得5h =．故选：A. 【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．8．已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1CC =，E 为1CC 的中点，则点1C 与平面BDE 的距离为（）A ．2B CD ．1【答案】D 【分析】先证直线1AC 与平面BED 平行，将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，由等积性求出点面距离即可. 【详解】如图所示，连接AC 交BD 于O 点，E 为1CC 的中点，1//OE AC ∴，又OE ⊂平面BED ，1AC ⊄平面BED1//AC ∴平面BED ，即直线1AC 与平面BED 的距离为点A 到平面BED 的距离，设为h .在三棱锥E ABD -中，11122332E ABD ABD V S EC -∆=⋅=⨯⨯⨯=，在三棱锥A EBD -中，12EBDBD BE DE S===∴=⨯=，所以1133A BDE EBD V S h h -∆=⋅=⨯=，解得1h = 故选：D.【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.9．直三棱柱111ABC A B C -的侧棱13CC =，底面ABC 中，90ACB ∠=，AC BC ==点1B 到平面1A BC 的距离为（）A B ．11C ．11D ．11【答案】D 【分析】利用1111B A BC A B BC V V --=即可求解. 【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱锥，所以1CC ⊥平面111A B C ，所以111CC AC ⊥，又因为90ACB ∠=，所以1111AC B C =，因为1111CC B C C =，所以11A C ⊥平面1B BC ，所以1111111131332A B BC B BC V S AC -=⨯⨯=⨯=，因为BC AC ⊥，1BC CC ⊥，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥，1AC ==1122A BCS==，设点1B 到平面1A BC 的距离为h ，则1111B A BC A B BC V V --=，即111111332B A BC A BCV S h h -=⨯⨯=⨯=，所以h =，所以点1B 到平面1A BC 的距离为11，故选：D 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是16；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是6π．其中正确的序号是（） A ．①② B ．②④ C ．①②③ D ．①②④【答案】D 【分析】对①，画出图象，设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，则AM ⊥平面1A BD ，用等体积的方法计算出AM ，从而证得1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分；对②，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对③，显然111112C A BD C B CD V V --=13=16≠；对④，正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分是球的18. 【详解】①如图所示，假设对角线AC 与平面1A BD 相交于点M ，可得AM ⊥平面1A BD ，所以22111113432AM ⨯=⨯⨯⨯，解得113AM AC ==，因此对角线AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分，正确；②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为12，2，2，因此表面积之比为2221444=1:2:3222πππ⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭：：，正确； ③111112C A BD C B CD V V --=13=16≠，不正确； ④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积3141836V ππ=⨯⨯=，正确，故选：D ．【点睛】本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.11．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点C 到平面1BDC 的距离为（）A ．3B ．23C D ．2【答案】B 【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法111133BDC BCDS d S CC ⋅⋅=⋅⋅，即可求出答案．【详解】解：设点C 到平面1BDC 的距离为d ， ∵122AA AB ==，由题意，BCD 的面积11111222BCDSBC CD =⋅⋅=⨯⨯=，在1BDC 中，易求得BD =，11BC DC ==∴由余弦定理得14cos 5BC D ∠==，∴13sin 5BC D ∠=，∴11111sin 2BDC SBC DC BC D =⋅⋅⋅∠133252==，又11C BDC C BCD V V --=，即111133BDC BCD S d S CC ⋅⋅=⋅⋅，∴111222332BCD BDC S CC d S ⨯⋅===，故选：B ．【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题12．已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若244PA AB AD ===，求点A 到平面PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，可得AD ⊥平面APB ，从而得PA AD ⊥，同理可得PA AB ⊥，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）得PA AD ⊥，PA AB ⊥，进而可求出2cos 5PBD ∠=，sin 5PBD ∠=，从而可得1sin 2PBDSPB BD PBD =⋅∠=A 到平面PBD 的距离【详解】（1）平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以AD ⊥平面APB ，故PA AD ⊥.同理，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，故PA AB ⊥. 故PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）可知，PA AD ⊥，PA AB ⊥，由244PA AB AD ===可求得，BD =PA =PB =PBD △，2222cos 25PB BD PD PBD PB BD +-∠==⋅，sin 5PBD ∠=，1sin 2PBDS PB BD PBD =⋅∠=. 三棱锥A PBD -的体积11143323A PBD D PAB PAB V V S AD PA AB AD --===⨯⋅⋅=△.设h 为点A 到平面PBD 的距离，则133A PBD PBD V S h -==△，所以得433h =，故21h =.所以点A 到平面PBD . 【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离的求法，解题的关键是利用等体积法进行转化，从而可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题13．在多面体ABCDE 中，1AD BE ==，2AB BC ==，//AD BC ，3DAB π∠=，2ABE π∠=，平面ABCD ⊥平面ABE ．（1）证明：BC DE ⊥；（2）求直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2．【分析】（1）连接DB ，通过AD DB ⊥和EB AD ⊥证明AD ⊥平面DBE ，即得AD DE ⊥，再由//AD BC 得BC DE ⊥；（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，根据等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，即可求出直线BC 与平面DCE 所成角的正弦值．【详解】解：（1）连接DB ，在ABD △中，2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，则BD =所以，222AD BD AB +=，即2ADB π∠=，AD DB ⊥，又因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD平面ABE AB =，且EB AB ⊥，所以EB ⊥平面ABCD ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以EB AD ⊥，由AD DB ⊥，EB AD ⊥，DBEB B =，且DB ，BE ⊂平面DBE ，所以有AD ⊥平面DBE ，因为DE ⊂平面DBE ，所以AD DE ⊥，又因为//AD BC ，所以BC DE ⊥．（2）过C 点作CG AB ⊥交AB 的延长线于G ，连接EG ，∵//AD BC ，π3DAB ∠=，∴π3CBG ∠=，由90CGB ∠=︒，可得：sin 602CG BC =⋅︒==1cos60212BG BC =⋅︒=⨯=，∵1BE =，90EBG ∠=︒，∴EG =， ∵平面ABCD ⊥平面ABE ，面ABCD面ABE AB =，CG AB ⊥， ∴CG ⊥面ABE ，又∵EG ⊂平面ABE ，∴CG EG ⊥，∴90CGE ∠=︒，∴2225CE CG GE =+=，∴CE =由（1）可知，AD DE ⊥，∴2224DE AE AD =-=，即2DE =，由（1）可知，AD ⊥平面DBE ，所以AD BD ⊥，∴BD =∵//AD BC ，∴BC BD ⊥，∴2227CD BD BC =+=，即CD =可知2222cos2DC CE DE DCE DC CE +-∠===⋅sinDCE ∠==11sin 22DCE S DC CE DCE =⨯⨯⨯∠==△，11213323E BCD BCD V S BE -=⋅⨯=⨯=△，由等体积：E BCD B CDE V V --=，13CDE S h =⋅⨯△13h =，解得h = 设直线BC 与平面DCE 所成角为θ，则sin h BC θ===．【点睛】关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点B 到平面DCE 的距离，再由sin h BCθ=求出. 14．如图，直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB =，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求二面角B AC E --的大小；（3）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）arcsin 3；（3【分析】要证明AE ⊥平面BCE ，需要在平面BCE 内找两条相交直线都垂直于AE ，而易证BF ⊥AE ，CB ⊥AE ； (2)求二面角B AC E --的余弦值，需要先作角，连接BD 交AC 交于G ，连接FG ，可证得BGF ∠是二面B AC E --的平面角，在BFG 中求解即可；(3)求点D 到平面ACE 的距离，可以转化为求三棱锥D−ACE 的高用等体积法求出即可．【详解】证明：∵BF ⊥平面ACE ，平面ACE 平面BCE CE =,∴BF AE ⊥，∵二面角D AB E --为直二面角，∴平面ABCD ⊥平面ABE ，又BC AB ⊥，∴BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又BF ⊂平面BCE ，BF BC B ⋂=，∴AE ⊥平面BCE ；(2)连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，∵ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥，∵BF ⊥平面ACE ，∴FG AC ，FGB ∠为二面角B AC E --的平面角，由(1)可知，AE ⊥平面BCE ，∴AE EB ⊥，又AE EB =，2AB =，AE BE ==在Rt BCE ∆中，CE =BC BE BF CE ⋅===在正方形中，BG =，在直角三角形BFG 中，sin 3BF FGB BG ∠===，∴二面角B AC E --为arcsin 3； (3)由(2)可知，在正方形ABCD 中，BG DG =，D 到平面ACB 的距离等于B 到平面ACE 的距离，BF ⊥平面ACE ，线段BF 的长度就是点B 到平面ACE 的距离，即为D 到平面ACE 的距离，∴D 到平面ACE3=.【点睛】思路点睛：：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角B AC E --的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解:作出二面角的平面角证明作出的角即为所求二面角的平面角.（2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解（3）得出答案.15．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且PC PD ==2CD =.（1）证明：PC ⊥平面PAD ；（2）求点D 到平面PAB 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）由面面垂直的性质可得AD ⊥平面PCD ，进而可得AD PC ⊥，结合平面几何的知识可得PC PD ⊥，由线面垂直的判定即可得证；（2）取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.【详解】（1）证明：∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面PCD ，又∵PC ⊂平面PCD ，∴AD PC ⊥，在PCD 中，PC PD ==2CD =，222PC PD CD +=，∴PC PD ⊥，∵PD AD D ⋂=，PD ,AD ⊂平面PAD ，∴PC ⊥平面PAD ；（2）设点D 到平面PAB 的距离为h ，取CD 的中点O ，连接PO ，OA ，BD ，作PH AB ⊥于H ，如图，则PO CD ⊥．∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD平面ABCD CD =， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∵112PO CD ==，OA =∴在POA 中，PA =PB =∴PAB △是等腰三角形，PH =由D PAB P ABD V V --=1133PAB ABD S h S PO =⋅⋅=⋅⋅，∴AB PH h AB AD PO ⋅⋅=⋅⋅，即4h =，解得h =∴点D 到平面PAB ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离. 16．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离.【答案】（1）详见解析；（2【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明AF ⊥平面DEB ；（2）首先确定点E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ， EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥， AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；（2）13D AEB AEB V S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEB S 最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，BE ∴=DE ==，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则11112213232C DBE E CBD V V h --==⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：h =【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB BC ⊥，2CD AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//AE 平面PBC ；（Ⅱ）若2PA CD ==，求点E 以平面PBC 的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ. 【分析】（Ⅰ）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ，根据面面平行的判定定理，先证平面//AEF 平面PBC ，进而可证线面平行；（Ⅱ）根据题中条件，先求出三棱锥的体积，再设点D 到平面PBC 的距离为d ，根据体积公式，即可求出点到面的距离.【详解】（Ⅰ）取CD 的中点F ，连接EF ，AF ．因为E 为PD 的中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．因为2CD AB =，所以AB CF =．又//AB CD ，所以四边形ABCF 是平行四边形，所以//BC AF ，因为AF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AF 平面PBC ；因为EF AF F =，且EF ⊂平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以平面//AEF 平面PBC ；因为AE ⊂平面AEF ，所以//AE 平面PBC ．（Ⅱ）因为E 是PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12．因为PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ．所以BC PB ⊥．所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥△．在Rt PAB 中，1AB =，PB =所以12PCB S BC BC =⨯=△．设点D 到平面PBC 的距离为d ，则1233d BC BC ⨯=，解得d =．所以点E 到平面PBC ．【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===（1）求二面角F BC A --的大小的正切值；（2）求点E 到平面AFC 的距离；（3）求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.【答案】（1；（2（3）【分析】（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，则AGF ∠为二面角F BC A --的平面角，求其正切值即可；（2）设点E 到平面AFC 的距离为h ，利用等体积法计算即得结果；（3）作CH AB ⊥于点H ，则CFH ∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，求其正弦值即可.【详解】解：（1）过A 作AG BC ⊥于点G ，连接FG ，四边形ABCD 是菱形，60,2ABC AB ∠=︒=，ABC ∴为等边三角形，1BG GC ==,AG =FA ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，FA BC ∴⊥，又AG BC ⊥，AG FA A =，BC ∴⊥平面AFG ，BC FG ∴⊥-AGF ∴∠为二面角F BC A --的平面角，tanAF AGF AG ∠===； ()2连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ，则E ACF C AEF V V --=，即11333ACF AEF s h S ⋅=⋅，也就是11113232AF AC h AF AD ⨯⋅⋅=⨯⋅解得：h = (3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，1,AH CH FH ===，FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，sin4CH CFH CF ∴∠===．【点睛】求空间中二面角的常见方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，1PD DC BC ===，2AB =，//AB DC ，90BCD ∠=，求点A 到平面PBC 的距离.【分析】先求出三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=，再根据A PBC P ABC V V --=求解. 【详解】连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵//AB DC ，90BCD ∠=，∴90ABC ∠=，从而2AB =，1BC =，得ABC 的面积1ABC S ∆=，由PD ⊥平面ABCD 及1PD =，得三棱锥P ABC -的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=， ∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD DC ⊥，又1PD DC ==，∴PC ==由PC BC ⊥，1BC =，得PBC ∆的面积2PBC S ∆=，由1133A PBC P ABC PBC V V S h --∆==⋅=得h =故点A 到平面PBC 【点睛】方法点睛：点到平面的距离常见求法：①几何法：作出点P 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；②等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点P 到平面ABC 的距离，如果已知点C 到平面PAB 的距离，则可以根据C P A ABC P B V V --=求出点C 到平面PAB 的距离；③向量法：已知AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，则A 到平面α的距离为||||AB n d n ⋅=. 20．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 、1BB 中点，求点1B 到平面1D EF 的距离.【分析】利用等体积法列方程，解方程求得点1B 到平面1D EF 的距离.【详解】依题意1D E == ∵11//A B EF ⇒11//A B 平面1D EF ，∴点1B 到平面1D EF 的距离即为点1A 到平面1D EF 的距离，根据正方体的性质可知1EF D E ⊥，设点1B 到平面1D EF 的距离为h ，1111A D EF F A D E V V --=，即111111113232EF D E h A D A E EF ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，即111111A D A E h D E ⨯⨯=== 即点1B 到平面1D EF.【点睛】要求点到平面的距离，可利用等体积法列方程，通过解方程来求得点面距.21．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离；（2）线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）点A 到面11BB D D 的距离；（4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a . 【分析】（1）利用正方体的性质，即可求得点A 到面11BB C C 的距离；（2）利用线面平行的性质，即可求得线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）利用线面垂直的性质，即可求得点A 到面11BB D D 的距离；（4）利用等体积法，即可求得C 到平面1BDC 的距离.【详解】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，则AB ⊥平面11BB C C ，所以点A 到面11BB C C 的距离为边长AB a ；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ，所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =；（3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ；（4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ===，则1BDC ∆的面积为22)42a =，利用等体积法可得：2111323V a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯，所以h = 22．如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//MA PB ，且2PB AB ==．（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）求点C 到平面 APD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2．【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理证明平面//AMD 平面BPC ，再利用面面平行的性质定理即可证明//DM 平面PBC ；（2）先证明AD ⊥平面ABPM ，设点C 到平面APD 的距离为d ，利用等体积法得13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△，通过计算即可得d . 【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，//AD 平面PBC ，因为//MA PB ，同理可证//MA 平面PBC ，,,AD MA A AD MA ⋂=⊂平面AMD ，所以平面//AMD 平面PBC ，又因为DM ⊂平面AMD ，所以//DM 平面PBC ；（2）因为AM ⊥平面ABCD ，∴AM ⊥AD ，PB ⊥平面ABCD ，又∵AD ⊥AB ，AM AB A =，∴AD ⊥平面ABPM ，∴AD ⊥AP又AP =设点C 到平面APD 的距离为d ∵11142223323P ACD ACD V PB S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△ 又∵13P ACD C APD APD V V d S --==⋅△ 122APD S =⨯⨯=△∴1433⨯=;∴d =即点C 到平面APD【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明. 23．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，设平面ABC 的法向量n a yb zc =++（1）用,,a b c 表示BM ；（2）求n 及n 的长度；（3）求点M 到平面ABC 的距离【答案】（1）1122BM a b c =-++；（2）3a b c n =+-；||n=；（3. 【分析】（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得BM ；（2）由n 是平面ABC 的法向量，得00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即可求出3a b c n =+-，再利用向量的模长公式可求n . （3）由1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离，即c nd n⋅=即可求出.【详解】（1）连接1AB ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b=，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴11AC AC a b==+又M 为线段11A C 中点，∴()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中，()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒由n 是平面ABC 的法向量，得00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩，即11102211022y z y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得1,3y z ==-3b n a c ∴=+-a b c a b a c b c n ⋅--∴⋅+⋅==222+9+2666（3）因为1//A M 平面ABC ，所以点M 到平面ABC 的距离等于点1A 到平面ABC 的距离所以()21323c a c b c c a b c c n d n+⋅+⋅-⋅⋅=====+-【点睛】关键点睛：本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 24．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足//AD BC 且12,AB AD AA BD DC =====.（1）求证：AB ⊥平面11ADD A ；（2）求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）求点1C 到平面11B CD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）3【分析】(1)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(2) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.(3)设点1C 到平面11B CD 的距离为h ，运用等体积法111111C B CD C B C D V V --=，可求得点1C 到平面11B CD 的距离. 【详解】(1) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，BD =222AB AD BD +=，故AB AD ⊥. 1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(2)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，。

求“点面距离”常用的几种基本方法

易得 A1 E = 2．所以由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3．解法二（等体积法）：欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离，只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3．解法三（直接法）：直接找出 C 点到平面 A1 ABB1 的距离．
如图 4 所示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC．所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角．因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ）如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB．所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与底面 ABC 所成二面角的平面角．由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3）如图 1 （ b）所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ．所以 A，B 两点到平面 α 的距离可以相互转化．
三、等体积法

第8章立体几何专题10 点到面的距离常考题型专题练习——【含答案】

1点到面的距离【方法总结】1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。

用等体积法解点到面的距离和体积立体几何题

用等体积法解点到面的距离和体积立体几何题在每年的高考中，立体几何是一个重要考查对象。

解决立体几何问题需要我们具备看图、读图、绘图能力、转化能力及空间想象能力。

然而，许多同学在研究时感到困难和麻烦，导致在高考中失分较多。

近年来的高考中，求点到面的距离和体积的问题经常被考查，有时借助常规方法并不能轻松地获得结果。

使用等体积法则可以解决这些问题，给你一种“柳暗花明又一村”的感觉。

一）用等体积法求点到平面的距离在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。

要证明D1E⊥AD1，并求出当E为AB 的中点时，点E到面ACD1的距离。

解：设点E到平面ACD1的距离为h，在ΔACD1中，AD1=2，AC=CD1=5，故SΔACD1=1/2×2×5=5.又由长方体ABCD－A1B1C1D1的性质可知，SΔADE=SΔBCE=SΔAEB=SΔCDE=1，故VABCD1=4VΔADE=4VΔBCE=4VΔAEB=4VΔCDE=4.因此，VABCD1=4/3πh³，即h=13/3.二）求二面角大小已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角为120.要求点P到平面ABCD的距离和面APB 与面CPB所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）取AD的中点E，连结PE，BE，由ΔPAD为等边三角形可知PE⊥AD。

又因为PB⊥AD，所以AD⊥平面PBE。

因此，AD⊥BE，且∠PEB为平面PAD与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠PEB=120°。

设点P到平面ABCD 的距离为h，则VABCD=VABE，即h=AE×BE×PE×sin120°/2=AE×BE/2=3/2.Ⅱ）略。

C1DE的体积。

Ⅰ）解：∠EAC=45°，∵EAC∥D1B，∴∠D1BE=45°D1BE是45°—45°—90°的等腰直角三角形DE=BE=a/√2SXXXSABD1/2•AB•BD=1/2•a•aⅡ）解：设F为A1B1与AC的交点，∠EAF=45°，∴△EAF是45°—45°—90°的等腰直角三角形，∴AF=EF=a/√2BF=AB-AF=a-a/√2=a(√2-1)异面直线A1B1与AC之间的距离为BF/√2=a(√2-1)/2Ⅲ）解：由（Ⅰ）知SXXX1/2•a•a三棱锥B1C1DE的体积为VB1C1DE=1/3•SXXXDE1/3•1/2•a•a•a/√21/6•a3/√2评：本题利用了45°—45°—90°等腰直角三角形的性质，巧妙地求出了截面面积和异面直线距离，并且通过构造三棱锥B1C1DE，避免了直接求解四棱柱ABCD—A1B1C1D的体积。

数学必修二点到面的距离

【模块标题】点到面的距离<模块综述>求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．下面介绍两种常见的求解空间“点到面的距离问题”的方法：直接法，等体积法.知识回顾：1．点面距离的概念垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如图，$AA'\bot \alpha $，$A'$为垂足，则$AA'$的长度为$A$到$\alpha $的距离．2．等体积法求点面距离如果点到平面的垂线段容易作出，我们可以直接求出点面距离．当垂线段不易作出，我们可以通过等体积法来求出点面距离．设四面体A BCD -中点A 到面BCD 的距离为d ，点B 到面ACD 的距离为1d ，则此时若BCD S ，ACD S ，1d 容易求出，则可根据上式求得点A 到面BCD 的距离为d ．【教材内容1】会用直接法求空间点到面的距离（3星)例1. 如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 互相垂直，且,=2AC BC AC BC ⊥=，则点A 与平面BCE 距离的大小为<承接>点到面的距离是过点做平面的垂线，点到垂足的距离就是点到平面的距离，所以可以根据定义找到垂线段，进而求得点到面的距离.也就是用“直接法”求点到面的距离.<板书演示>过点A 作OA EC ⊥，O 为垂足，因为平面ACDE ABC ⊥平面，AC BC ⊥，所以BC AO ⊥，所以AO EBC ⊥平面，则AO 就是点A 到面EBC 的距离．练1. 已知棱长为a 的空间四面体ABCD ，则点A 到底面BCD 的距离为_________．本题是正四面体，所以顶点在底面的投影为底面的几何中心，即正三角形的中心点．运用勾股定理即可求解．<承接>将点等效转移例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（）AB CDEA ．12 B． C． D．本题直接找点O 在平面11ABC D 的投影，不易找，可以把点O 等效的转移，再求解点面的距离．<板书演示>第一步：取11C B 的中点为M ，连接OM ，因为OM 平行于平面11ABC D ，所以O 到平面11ABC D 的距离等于M 到平面11ABC D 的距离;第二步：找M 点在面11ABC D 的投影，结合练习1的方法可知，即过M 点作1C B 的垂线，交于点N ，则N练2. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，G 为棱11A B 上一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为____．因为,E F 分别为棱11,AA BB 的中点，所以11EF A B ∥．所以11A B ∥平面1D EF ， 1D A所以点G 到平面1D EF 的距离等于点1A 到平面1D EF 的距离，过点1A 作11A M D E ⊥于点M ，则1A M ⊥平面1D EF ，所以1A M 即为所求，<承接> 上面我们用直接法可以求解点到平面的距离，此种方法可直接解决好找垂线段的题目，但对于不太好直接找出点到面的距离的题目用此种方法相对比较复杂和困难一些.所以，接下来我们介绍另一种方法.【教材内容2】会用等体积法求空间点到面的距离(3星)例3. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，则点B 到平面AMN 的距离为________．分析可知：B AMN N ABM V V --=，后者点面距很容易求，故考虑等体积法.<板书演示>练3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,2ABC AC AA AB ∠==== ，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为_____．答案：1练4.如图，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方体，AEB 是等腰直角三角形，且90AEB ∠= ，则点D 到平面ACE 的距离为______．<承接>将点等效转移，再用等体积法例4. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，设E 是棱1CC 的中点；（1）求证：BD AE ⊥；（2）求证：//AC平面1B DE ；（3）求A 到平面1BDE 的距离.<板书演示>（1）连接AC ，又1CC BD ⊥，所以BD ACE ⊥平面，所以BDAE ⊥.（2）连接1AC 交1B D 于点G ，连接EG ，可证明EG AC ∥，进而可得1AC B DE 平面∥.（3）在四面体中，进行顶点转移，观察何点为顶点时，其高易求；分析可知：1,,,A B D E 四个点，无论那个点作顶点时，高都不易求出，因此，在运用顶点转移求体积时，需要进行一定的处理，结合（2）可知，AC ∥平面1B DE ，点A 到平面1B DE 的距离等于点C 到平面1B DE 的距离，再用等体积法，即11C B DE D B EC V V --=；练 5.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，若2,4AB AP BC ===，求点P 到平面BQD 的距离．<板书演示>因为Q 为线段PA 的中点，所以P 点到平面QBD 的距离等于A 点到平面QBD 的距离．如图，在平面ABCD 内过A 作BD 的垂线AE ，交BD 于E ，连接QE ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又PA AE A ⋂=，所以BD ⊥平面QAE ．在平面QAE 内过A 作AH QE ⊥于H ．所以BD AH ⊥．又QE BD E ⋂=，所以AH ⊥平面BQD ．所以A 点到平面BQD 的距离为AH 的长．练6.如图，四棱锥P ABCD -中，90,2ABC BAD BC AD ∠=∠== ，PAB 与PAD 都是边长为2的等边三角形．1．证明：PB CD ⊥；2．求点A 到平面PCD 的距离．<板书演示>1.取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ABED 为正方形．过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ．连接,,,OA OB OD OE ．由PAB 和PAD 都是等边三角形，知PA PB PD ==，所以OA OB OD ==，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥．因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE CD ∥．因此PB CD ⊥．2.取PD 的中点F ，连接OF ，则OFPB ∥．由（1）知，PB CD ⊥，故OF CD ⊥．又故POD 为等腰三角形，因此OF PD ⊥．又PD CD D ⋂=，所以OF ⊥平面PCD ．因为,AE CD CD ⊂∥平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，而所以点A到平面PCD的距离为1．【模块小结】本节课学习了两种求空间点到平面距离的方法：定义法，等体积法，其中等体积法用的更多，需要同学们重点掌握.。

求体积,求点到平面距离(文科)

求体积，求点到平面距离（文科）求体积方法：（1）直接法（2）转化法（3）割补法求点到平面距离方法：（1）直接法（2）转化法（3）等体积法例题1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC ==，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积2、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ，G BD AC =⋂（1）求证：⊥AE 平面BCE ；（2）求三棱锥C —BGF 的体积。

3、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ===，=1，且F 是CD 的中点．3AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积．4、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积.BPAC D A B C D E F5.(2013卷2第18题)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点，。

（Ⅰ）证明：1//BC 平面11A CD ；（Ⅱ）设12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积。

6．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．7．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离 8． [2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C . (1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1的高． ED B 11A C BA 1。

求“点面距离”常用的几种基本方法

求“点面距离”常用的几种基本方法作者：潘继军
来源：《数学学习与研究》2019年第09期
【摘要】本文结合高考题研究了求解“点到平面的距离”的四种基本方法——直接法（也称定义法）、转移法、等体积法、空间向量法.
【关键词】点面距离;基本方法
计算“点到平面的距离”是历年高考的热点和重点，下面就以高考试题为例探求求解“点到平面的距离”的基本方法.
一、直接法（也称定义法）
即直接找出或作出“点面距离”，按“一找、二证、三计算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一垂线段.
二、转移法
转移法是指将此点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离.在直接法不易求解时，可考虑以下转移法：
（1）“点面距离、线面距离、面面距离”间的相互转化——利用与平面平行的直线上各点到该平面的距離都相等的性质进行转化;或利用相互平行的两个平面，其中一个面上的各点到另一个面的距离都相等的性质进行转化.
（2）如图1（a）所示，线段AB上的一点B∈α，Aα，M是线段AB的中点，那么A点到平面α的距离AO是M点到平面α的距离MO1的2倍，即AO=2MO1，这样就可以将A点到平面α的距离转化为求M点到平面α的距离（或者反之）.
【参考文献】
[1]杨天勇.巧用向量求空间距离[J].数学学习与研究，2009（11）：83.
[2]李云侠.点到平面距离求解策略[J].高中数理化（高二版），2008（12）：32.。

体积与点到平面的距离空间距离的求法

D1
A1 D=EB1 V D A1EB1 1
C1 3 SA1EB1 DA
A1
D
B1
C
1 1 a2 a 32
1 a3 6
A
EB
转换法
方法一、等体积法
接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换
一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求
三棱锥的体积．
例3在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P
A1分N=别2N是D棱1，A1AB11P、= AA1D13 A1、，如A1图A上，的试点求，三满棱足锥AA11M—=MA12N1PB1，
（2）B1D1到面ABCD的距离为 a ；
（3）点A到面BB1D1D的距离为
2a ．
2
例:
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1边长为4, 求:(1)点B11到平面AC的距离___.
(2)点B1到平面ABC1D1的距离.
解(2):
连结B1C交BC1于H，则B1C BC1。
AB
AB B1C
体积与点到平面的距离空间距离的求法
常用体积公式
长方体
c
a
b
V长方体 = a b c
引申：长方体的对角线长=？
长方体的表面积=？
常用体积公式
h s
s V棱柱 = 底 ·h
V ？引申：
柱体 =
常用体积公式
V s1 棱锥 = 3 底 ·h
V ？引申：
锥体=
V球体=？
V台体=？
P
过平面外一点P有唯一的一条直线PA垂直于，设A为垂足，
的体积．
4
解：VA1MNP VP A1MN

第8章立体几何专题10 点到面的距离-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)常考题型专题练习

点到面的距离【方法总结】1、直接作点到面的垂线，放到三角形中，利用解三角形进行求解。

2、利用等体积法进行求解【巩固练习】1、已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．【解析】过点P 作PO ⊥平面ABC 交平面ABC 于点O ，过点P 作PD ⊥AC 交AC 于点D ，作PE ⊥BC 交BC 于点E ，联结OD ，OC ，OE ，则,,AC POD BC POE ⊥⊥平面平面所以,,AC OD BC OE ⊥⊥又90ACB ∠=︒, 故四边形ODCE 为矩形. 有所做辅助线可知3PD PE ==，所以()22231CD CE ==-=，所以矩形ODCE 为边长是1的正方形，则2OC =.在Rt PCO △中，2,2PC OC ==，所以2PO =.2.如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．由题设知11=AB DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，3、如图，在三棱锥-P ABC 中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．O MPCBA由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．(2)作CH ⊥OM ，垂足为H．又由(1)可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离． 45． 4、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是梯形，AB CD AD AB ⊥，，且24 3.AD CD AB PA PD PC ======，(1)若O 为AC 的中点，证明:PO ⊥平面.ABCD (2)求点C 到平面PAB 的距离.【解析】(1)证明：因为AB CD AD AB ⊥，，又3PA PC ==，O 为AC 的中点连接OD ，在Rt ACD ∆中，O 为AC 的中点∵222OD OP PD +=，PO OD ∴⊥又OD AC O =∴PO ⊥平面ABCD(2)解：设点C 到平面PAB 的距离为h ，5、如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，22DF BE ==，BE DF ∥，FC AF ==（1）求证：平面ACE ⊥平面BDFE ；（2）求点F 到平面ACE 的距离.DF DC ⊥，同理DF DA ⊥，∴DF ⊥平面ABCD ，∴DF AC ⊥；又四边形ABCD为菱形，∴DB AC ⊥，∵BD DF D =，∴AC ⊥平面BDFE ，∵AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BDFE .（2）解1：设F 到平面ACE 的距离为h ，ACBD O =，连接OE ，OF ，由（1）可解2：由（1）平面AEC ⊥平面BDFE ，又平面AEC平面BDFE OE =，且F ∈平面BDFE ，过F 作FH OE ⊥，垂足为H 点，则FH⊥平面ACE ，所以FH 即为点F 到平面ACE 的距离，分别以DB ，DF 为x ，y 轴建立直角坐标系，则()1,0O ，()2,1E ，6、如图，等腰梯形MNCD 中，MD ∥NC ，MN ＝12MD ＝2，∠CDM ＝60°，E 为线段MD 上一点，且ME ＝3，以EC 为折痕将四边形MNCE 折起，使MN 到达AB 的位置，且AE ⊥DC(1)求证:DE ⊥平面ABCE ; (2)求点A 到平面DBE 的距离∴MD ＝4，CD ＝MN ＝2，△CED 中，∠CDE ＝60°，ED ＝MD -EM ＝1，则由余弦定理2222cos603CE DE DC DE CD ︒=+-⋅⋅=∴CE ⊥DE ，∴CE ⊥ME ，CE ⊥AE 又AE ⊥DC ，DC CE ＝C ，∴AE ⊥平面CED 而DE ⊂平面CED∴AE DE ⊥，又DE CE ⊥，AE CF ＝E ∴DE ⊥平面ABCE等腰梯形MCD中MD∥NC，MD＝4，CD=MN＝2，CE⊥DE，DE＝1则NC=MD-2DE=2，故BC＝2，设点A到平面DBE的距离为h，因DE⊥平面ABCE7、如图，圆锥PO中，AB是圆O的直径，C是底面圆O上一点，且6CABπ∠=，点D为半径OB的中点，连PD.（Ⅰ）求证：CD⊥平面APB；（Ⅱ）当APB∆是边长为4的正三角形时，求点A到平面PBC的距离.【解析】（Ⅰ）证明：在圆锥PO 中，则PO ⊥平面ABC ，又因为CD ⊂平面ABC ，所以PO CD ⊥，60，又OB OC =，所以OBC ∆为等边三角形，因为D 为OB 中点，所以CD OB ⊥，又OB PO O =，所以CD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）依题意，4PA AB PB PC ====，8、如图，已知在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD DC ⊥，//AB DC ，1222DC DD AD AB ====．（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ；（2）求点1A 到平面1C BD 的距离．【解析】（1）设E 是DC 的中点，连结BE ，则四边形DABE 为正方形，90，即BD 又1BD BB ⊥，1.B B BC B ⋂=BD ∴⊥平面11BCC B ，所以1111111111A C BD C BCD C A B B D A C D V V V V V ----=---=柱9、如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，求点A 到平面1A BD 的距离.且1A BD 是边长为3602=设点A 到平面10、已知直三棱柱111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，90BAC ∠=︒.（1）求直线1A B 与平面ABC 所成角的大小；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.【解析】（1）画出空间几何体如下图所示:因为三棱柱为直三棱柱,所以1A BA ∠即为直线1A B 与平面ABC 所成角因为1AB AA =,190A AB ∠=所以145A BA ∠=即直线1A B 与平面ABC 所成角为45（2）因为直三棱柱111ABC A B C -中,11AB AC AA ===,90BAC ∠=︒.设点1B 到平面1A BC 的距离为d 则1111A BC A B B C B V V --=11．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SA ⊥面ABCD ，3AB =，4SA =.（1）求异面直线SC 与AD 所成角；（2）求点B 到平面SCD 的距离.【解析】（1）//BC AD ∴SCB ∠是异面直线SC 与AD 所成角SA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ∴SA BC ⊥又BC AB ⊥，,AB SA ⊂平面SAB ，ABSA A = BC ∴⊥平面SABSB ⊂平面SAB BC SB ∴⊥）SA SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴SA CD ⊥又AD CD ⊥，,SA AD ⊂平面SAD ，SAAD A = ∴CD ⊥平面SADSD ⊂平面设点B 到平面SCD 的距离为hS BCD V -=12．在直三棱柱111ABC-A B C 中，1,90AB AC BAC ︒==∠=，且异面直线1A B 与11B C所成的角等于60，设1AA =a . （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【解析】（1）∵BC ∥B 1C 1，∴∠A 1BC 就是异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角，即∠A 1BC ＝60°，又连接A 1C ，AB ＝AC ，则A 1B ＝A 1C ，∴△A 1BC 为等边三角形，由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴，∴．（2）易知B 1C 1∥平面A 1BC ，此时有B 1C 1上的任意一点到平面A 1BC 的距离等于点B 1到平面A 1BC 的距离．设其为d ，连接B 1C ，由1111B A BC C A B B V V --=求d ，又∵CA ⊥A 1A ，CA ⊥AB ，∴CA ⊥平面A 1B 1C ，并且AC ＝1，．因为△A 1B 1B 的面积，并且△A 1BC 的面积233(2)42S '=⋅=，所以1133S AC S d '⋅⋅=⋅⋅，即3d 3= ，所以B 1C 1到平面A 1BC 的距离等于．13、如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，112AB BC AD ===，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥；（2）当BE =11A C =时，求D 到平面1A OC 的距离．【解析】（1）图1中，在四边形ABCE 中，//BC AE ，1BC AE ==，∴四边形ABCE 为平行四边形.又1AB BC ==，∴四边形ABCE 为菱形，AO BE ∴⊥，CO BE ⊥，∴在图2中，1A O BE ⊥，CO BE ⊥，又1AO CO O ⋂=，BE ∴⊥面1A OC ．1A C ⊂平面1A OC ，1BE A C ∴⊥.又在四边形BCDE 中，//BC DE ，1BC DE ==，∴四边形BCDE 为平行四边形，//BE CD ∴，1CD A C ∴⊥；（2）法一：由（1）可知BE ⊥面1A OC ，且//CD BE ，CD平面1A OC ，CD 的长度即为点D 到平面1A OC 的距离，，11A B =，又BE CO O ⋂=，1A O ∴⊥平面OCD ．设点D 与面1A OC 的距离为d ，11A OCD D A OC V V --=，OCD S A ⋅1A OC S d ⋅1A OCS=。

点到平面的距离的几种求法

点到平面的距离的几种求法大关一中胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。

下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。

一、直接法1、直接过点作平面的垂线。

例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。

解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。

2、直接过点作平面内某一直线的垂线。

例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点，且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。

二、等体积法例已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。

分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。

解决点到平面距离问题的几种间接方法

解决点到平面距离问题的几种间接方法发布时间：2022-06-27T09:16:11.710Z 来源：《中小学教育》2022年第463期作者：杨蕾[导读] 【模型】三棱锥。

【表述】三棱锥P-ABC的体积＝三棱锥A-PBC的体积。

杨蕾吉林省长春市实验中学130117一、等体积法【模型】三棱锥。

【表述】三棱锥P-ABC的体积＝三棱锥A-PBC的体积。

【例题1】如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=∠BAC=60°，AC=4，AP=3，AB=2.(1)求三棱锥P-ABC的体积；(2)求点C到平面PAB的距离。

【解析】(1)过P作PH⊥AC交AC于一点H，∵平面PAC⊥平面ABC，∴PH⊥平面ABC。

在△PAC中，∠PAC=60°，PA=3，则PH=3· = ，AH=。

△ABC面积S△=·AB·AC·sin60°= ·2·4·sin60°=2 。

∴四面体P-ABC体积V=·S△ABC·PH=·2 · =3。

(2)在△ABC中，连接BH。

则BH2=( )2+22-2·2··cos60°= ，PB2=PH2+HB2=( )2+ =10，∴PB= 。

在△PAB中，PA=3，AB=2，PB= ；∴cos∠PAB= = ，sin∠PAB= ；∴S△PAB= ·2·3· = 。

设C点到平面PAB距离为h，由等体积法可知， S△PAB·h= ·S△ABC·PH=3；∴ · ·h=3；从而h= ；∴C点到平面PAB距离为。

二、平行转移法【模型】线∥面、面∥面。

【表述】1.已知直线l∥平面α，点A∈l，点B∈l，则点A到平面α的距离＝点B到平面α的距离(图１)。

点到面的距离

点到面的距离一，例题精讲。

例1：如图，已知正三角形ABC的边长为6㎝，点D三角形ABC各顶点的距离都是4㎝，求点D这三角形所在平面的距离。

直接法，作出点到面的距离，利用直角三角形的勾股定理求出点到面的距离。

AC例2如图，已知正棱柱中，AB=1 AA’=2 点E为CC’中点，求D1到面BDE的距离等体积法：要求D1 到面BDE的距离，即为三棱锥D1--BDE的体积，我们可以利用B-DE D1 的体积＝D1--BDE的体积。

二，技能训练1．平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线，PO＝3，∠POM＝∠PON＝45°，那么点P到平面α的距离是()A.3B.334 C.32 D.332．在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为()A．a B.22a C.33aD.3a3．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) A. 3 B.22 C.2λ3 D.554．空间四点A 、B 、C 、D 每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离为( )A.a 2B.22aC.32aD.62a第3题图第5题图第6题图第7题图5．如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1.若二面角C —AB —C 1的大小为60°，则点C 到平面ABC 1的距离为________．6．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 为AC 边上的一个动点，则PM 的最小值为________．7．已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝120°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使二面角A —BD —C 为120°，则点A 到△BCD 所在平面的距离等于________．8、如图在四棱锥P-ABCD 中底面ＡＢＣＤ是边长为１的菱形，∠ＡＢＣ＝６００，ＰA ⊥平面ＡＢＣＤ，ＰA ＝１．AC ∩BD=O ，求Ｏ到面ＰAD 的距离9如图所示，棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连结A1D，DC，A1C.(1)求证：BC1∥面A1DC；(2)求BC1到面A1DC的距离10如图，已知ABCD是矩形，AB＝a，AD＝b，P A⊥平面ABCD，P A＝2c，Q是P A的中点，连结QB、QD，BD.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离．11．如图所示，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求二面角B－AP－C的大小；(3)求点C到平面APB的距离．。

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等体积法求点到平面距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。

先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式
1
3V Sh =求出点到平面的距离h 。

在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用
到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。

特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。

下面用等体积法求解例子.
例：所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离
解法(等体积法):如图所示，作A H '垂直于平面AB D ''于点H ，则A H '长度为所求。

对于四面体A AB D '''，易见底面AB D ''的高为A H '，底面A B D '''的高为AA '。

对四面体A AB D '''的体积而言有：
A A
B D A AB D V V ''''''--=
即有: 11
33
A B D AB D AA S A H S '''''∆∆''⨯=⨯，也即: A B D AB D AA S A H S '''∆''∆'⨯'=
由2AB B D D A a ''''===，从而AB D ''∆为正三角形，060AB D ''∠=，进而可求得 202
113sin (2)sin 60222
AB D S AB AD AB D a a ''∆''''=
⨯∠==
又易计算得到Rt A B D '''∆的面积为21
2
A B D S a '''∆=
所以22
132332
A B D AB D a a
AA S A H a S a '''∆''∆⨯'⨯'=== 从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

练习：1、如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结
A 1D ，DC ，A 1C . (1) 求BC 1到面A 1DC 的距离．
2、如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .求点C 到平面APB 的距离．
3、如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，E 为AB 的中点，求
点E 到面1ACD 的距离。

4、如图已知三棱锥O-ABC 的侧棱OA,OB,OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2, E 是OC 的中点，求C 到面ABE 的距离.
5、已知正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是11C B ，11D C 的中点
①求1A 到平面BMND 的距离 ②求1B 到平面 CNM 的距离。