等体积法求点到平面距离

等体积法求点到平面距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式

1

3V Sh =求出点到平面的距离h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用

到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例子.

例：所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离

解法(等体积法):如图所示，作A H '垂直于平面AB D ''于点H ，则A H '长度为所求。对于四面体A AB D '''，易见底面AB D ''的高为A H '，底面A B D '''的高为AA '。对四面体A AB D '''的体积而言有：

A A

B D A AB D V V ''''''--=

即有: 11

33

A B D AB D AA S A H S '''''∆∆''⨯=⨯，也即: A B D AB D AA S A H S '''∆''∆'⨯'=

由2AB B D D A a ''''===，从而AB D ''∆为正三角形，060AB D ''∠=，进而可求得 202

113sin (2)sin 60222

AB D S AB AD AB D a a ''∆''''=

⨯∠==

又易计算得到Rt A B D '''∆的面积为21

2

A B D S a '''∆=

所以22

132332

A B D AB D a a

AA S A H a S a '''∆''∆⨯'⨯'=== 从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

练习：1、如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结

A 1D ，DC ，A 1C . (1) 求BC 1到面A 1DC 的距离．

2、如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .求点C 到平面APB 的距离．

3、如图，在长方体1111ABCD A B C D -，中，11,2AD AA AB ===，E 为AB 的中点，求

点E 到面1ACD 的距离。

4、如图已知三棱锥O-ABC 的侧棱OA,OB,OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2, E 是OC 的中点，求C 到面ABE 的距离.

5、已知正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是11C B ，11D C 的中点

①求1A 到平面BMND 的距离 ②求1B 到平面 CNM 的距离