30初中数学九年级全册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(基础)

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人教版九上数学之《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(提高)(1)

.后《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在△R t ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2015乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在平面直角坐标系中，将点 A 1(6，1)向左平移 4 个单位到达点 A 2 的位置，再向上平移 3 个单位到达点 A 3 的位置， △A 1A 2A 3 绕点 A 2 逆时针方向旋转 900，则旋转后 A 3 的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2015 扬州）如图，已知 △Rt ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4△，将 ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90°△得到 DEC ．若点 F 是 DE 的中点，连接 AF ，则 AF=．10.如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm ，正方形 AEFG 的边长为 1cm ．如果正方形 AEFG 绕点 A 旋转，那么 C 、F 两点之间的最小距离为 _________ cm ．11．绕一定点旋转 180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于 180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在 △R t ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4cm ，以斜边 BC 上距离 B 点cm 的 H 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 △90°至 DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm 2．13．如图，直角梯形 A BCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED ，连接 AE 、△D E ， ADE 的面积为 3，则 BC 的长为_________．14. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与 △ACP ′重合，如果 AP=3，那么线段 PP ′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P 0 的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段 OP 0 按逆时针方向旋转 45°，再将其长度伸长为 OP 0 的 2 倍，得到线段 OP 1；又将线段 OP 1 按逆时针方向旋转 45°，长度伸长为 OP 1 的 2 倍，得到线段 OP 2，如此重复操作下去，得到线段 OP 3，OP 4，…，则：（1）点 P 5 的坐标为__________；（2）落在 x 轴正半轴上的点 P n 坐标是_________，其中 n 满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点 P 0 的坐标为(1，0)，将点 P 0 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 1，延长 OP 1 到点 P 2，使 OP 2=2OP 1，再将点 P 2 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 60°得点 P 3，则点 P 3 的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点 P 是正方 ABCD 内一点，且 AP ∶BP ∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB ＝135°．18.如图，已知点 D 是△ABC 的 BC 边的中点，E 、F 分别是 AB 、AC 上的点，且 DE ⊥DF ．求证： BE + CF ＞EF得19.（2015•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1△，在ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°△到A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰△Rt ABC．边AB=4，P△为ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.A 2 ，【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每 5 分钟转动 30.3．【答案】A.【解析】因为以 M 或 O 或 N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB 绕着 O 点顺时针旋转 120°得到的△COD，连接 OP ，OQ ，过 Q 作 QM⊥y轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在 Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM= ，则 P 的对应点 Q 的坐标为（1，﹣ ），故选 B7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】（2,1),A 3 (2,4), 即旋转 90°后 A 3坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作 FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90° ∵点 F 是 DE 的中点， ∴FG ∥CD∴GF= CD= AC=3EG= EC= BC=2∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．1212310.【答案】32；【解析】当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，CF=AC﹣AF，当点F不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F在正方形ABCD的对角线AC上时，C、F两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC和△FHG是等腰直角三角形，且腰长为13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD的延长线于点G,则AD=BF,，即得.可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为s△ADE3，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是，其中n满足的条件是n=8k（k=0，，，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得P,P的坐标，即可求得P坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB绕点B沿顺时针方向旋转90°至△CP′B位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在△R t BP′P中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°△得到A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵△Rt ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°△得到A'P'B．则A'B=AB=BC=4，P A=P′A′，PB=P′B，∴P A+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=P A+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在△Rt A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2故答案是：2+2（或不化简为（或不化简为）．）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.。

人教版九年级数学上册《旋转》知识点及复习题

第三单元旋转一、旋转１、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中Ｏ叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。

２、性质(１）对应点到旋转中心的距离相等。

（2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转１80°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。

2、性质(1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（２）关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

(３)关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

３、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。

４、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转18０°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。

考点五、坐标系中对称点的特征（3分)１、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(ｘ,y）关于原点的对称点为P’(-x,－y)2、关于ｘ轴对称的点的特征两个点关于ｘ轴对称时，它们的坐标中,x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y)3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等,x的符号相反,即点P（x,y)关于ｙ轴的对称点为P’(-x，ｙ)单元测试１.下列正确描述旋转特征的说法是（）A.旋转后得到的图形与原图形形状与大小都发生变化.B.旋转后得到的图形与原图形形状不变,大小发生变化.C.旋转后得到的图形与原图形形状发生变化,大小不变．D．旋转后得到的图形与原图形形状与大小都没有变化．２.下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（）A.成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段不一定经过对称中心B．成中心对称的两个图形中,对称中心不一定平分连接对称点的线段C.成中心对称的两个图形中，对称点的连线一定经过对称中心,但不一定被对称中心平分Ｄ.成中心对称的两个图形中,对称点的连线一定经过对称中心,且被对称中心平分3.4.下列图形中即是轴对称图形,又是旋转对称图形的是（ )A.（l）（２)Ｂ．（l）(2）（3)Ｃ．(2)（3)（４)D.(1)（2）(3（４)5．下列图形中,是中心对称的图形有( )①正方形 ;②长方形 ;③等边三角形; ④线段; ⑤角；⑥平行四边形。

第23章旋转复习(复习课件)-2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)

O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝ 45°；若AB∥OC时，则α
＝ 60° ；
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6.把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在
一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点
不变
_________．
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1.下列运动属于旋转的是（ D ）
A．足球在草地上滚动
B．火箭升空的运动
C．汽车在急刹车时向前滑行
D．钟表的钟摆动的过程
2.下列现象中属于旋转的有（
B ）个
①地下水位逐年下降
②传送带的移动
③方向盘的转动
④水龙头开关的转动
⑤钟摆的运动
⑥荡秋千运动
A．5
对称图形．
知识梳理
考点5
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关于原点对称的点的坐标
两点关于原点对称时，它们的对应坐标互为相反数，即点
P(x，y) 关于原点的对称点为 P′( -x ， -y )．
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1.直角坐标系中，点A(﹣3，4)与点B(3，﹣4)关于（ C ）
A．x轴轴对称B．y轴轴对称C．原点中心对称D．以上都不对
2.已知点P（2+m，n-3）与点Q（m，1+n）关于原点对称，则m-n
的值是（ D ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2
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3.若点P(m，－m＋3)关于原点的对称点Q在第三象限，则m的取

初三数学中考专项练习《旋转》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB经逆时针旋转后能与ΔADE重合.①请指出其旋转中心与旋转角度；②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？【答案与解析】①旋转中心：点A；旋转角度：45°（逆时针旋转）②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）旋转90°三次得到图2.【总结升华】此类题型要把握好旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、E、F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的.B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的.C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的.D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)．⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．【答案与解析】⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．△A3B3C3与△A1B1C1成中心对称，对称中心的坐标是(2，0)．【总结升华】注意观察中心对称和旋转对称的关系.举一反三：【变式】如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•北京校级模拟）如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，F为线段BD的中点．则线段EF与FC的数量关系是；∠EFD的度数为；（2）如图2，在图1的基础上，将△ADE绕A点顺时针旋转到如图2的位置，其中D、A、C在一条直线上，F为线段BD的中点．则线段EF与FC是否存在某种确定的数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）若△ADE绕A点任意旋转一个角度到如图③的位置，F为线段BD的中点，连接EF、FC，请你完成图3，并直接写出线段EF与FC的关系（无需证明）．【思路点拨】（1）易得△EFC是等腰直角三角形，那么EF=FC，∠EFD=90°．（2）延长线段CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，易证△BFC≌△DFM，进而可以证明△MDE≌△CAE，即可证明EF=FC，EF⊥FC；（3）基本方法同（2）．【答案与解析】解：（1）EF=FC，90°．（2）延长CF到M，使CF=FM，连接DM、ME、EC，如下图2∵FC=FM，∠BFC=∠DFM，DF=FB，∴△BFC≌△DFM，∴DM=BC，∠MDB=∠FBC，∴MD=AC，MD∥BC，∵ED=EA，∠MDE=∠EAC=135°，∴△MDE≌△CAE，∴ME=EC，∠DEM=∠CEA，∴∠MEC=90°，∴EF=FC，EF⊥FC（3）图形如下，结论为：EF=FC，EF⊥FC．【总结升华】延长过三角形的中线构造全等三角形是常用的辅助线方法，证明线段相等的问题可以转化为证明三角形全等的问题解决．举一反三：（1）求∠ABC的度数．（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．（3）求BD的长度．【答案】∴BC=4，∴∠ABC=30°（2）如图所示：（3）连接BE．由（2）知：△ACE≌△ADB，∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，∴∠EBC=90°，又BC=2AC=4，4.（2015•东西湖区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CE=CF，EF交AC于G，连接AF．（1）填空：线段BE、AF的数量关系为，位置关系为；（2）当=时，求证：=2；（3）若当=n时，=，请直接写出n的值．【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CF⊥CE，可推出∠ECB=∠ACF，且CE=CF，由此可得△ECB≌△FCA，即得BE=AF，∠CBE=∠CAF，且∠CBE+∠CAB=90°，故∠CAF+∠CAB=90°，即BE⊥AF；（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，从而有S△AEG=2S△AFG，即证=2；（3）根据（2）的推理过程，知S△AEG=nS△AFG，则，即可求得n的值．【答案与解析】（1）解：∵∠ACB=90°，CF⊥CE，∴∠ECB=∠ACF．又AC=BC，CE=CF，∴△ECB≌△FCA．∴BE=AF，∠CBE=∠CAF，又∠CBE+∠CAB=90°，∴∠CAF+∠CAB=90°，即BE=AF，BE⊥AF．（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，∴GM=GN．∴S△AEG=2S△AFG，∴EG=2GF，∴=2．（3）解：由（2），得当=n时，S△AEG=nS△AFG，则，∴当n=时，=．【总结升华】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．5.已知：点P是正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC，（1）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.(2)若2222PB PC PA =+，请说明点P 必在对角线AC 上.∴AE=PC∵BE=BP,∠PBE=90°，PB=4 ∴∠BPE=45°，PE=又∵∠APB=135° ∴∠APE=90° ∴222AE AP EP =+ 即AE=6, 所以PC=6.(2)由（1）证得：∵2222PB PC PA =+ ∴222PA AE PE += ∴∠PAE=90° 即∠PAB+∠BAE=90° 又∵由（1）证得∠BAE=∠BCP ∴∠PAB+∠BCP=90 又∵∠ABC=90° ∴点A,P,C 三点共线，即P 必在对角线AC 上.【总结升华】注意勾股定理及逆定理的灵活运用. 举一反三：【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，，K 为AB上一点，N为BC上一点.若的周长等于AB的2倍，求的度数.【答案】显然，绕点D顺时针方向旋转至6如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3～图6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.【答案与解析】⑴平移的距离为5cm（即）⑵⑶证明：在△AHE与△DHB1中∴△AHE≌△DHB1（AAS）∴AH=DH.【总结升华】注意平移和旋转综合运用时找出不变量是解题的关键.。

初中数学九年级上册(人教版)章节总结复习-第23章《旋转》基础练习(4套).doc

基础知识反馈卡·23.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J23-1-1，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是()A．AC＝CE B．∠A＝∠DEC C．AB＝CD D．BC＝EC2．如图J23-1-2，将三角尺ABC(其中∠ABC＝60°，∠C＝90°)绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么这个角度等于()A．120°B．90°C．60°D．30°图J23-1-1 图J23-1-2 图J23-1-3 图J23-1-4二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-1-3，△ABC绕点C旋转后得到△CDE，则∠A的对应角是__________，∠B＝________，AB＝________，AC＝________.4．如图J23-1-4，AC⊥BE，AC＝EC，CB＝CF，则△EFC可以看作是△ABC绕点________按________方向旋转了__________度而得到的．三、解答题(共11分)5．如图J23-1-5，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE＝BC，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)AC与EF的关系如何？图J23-1-5基础知识反馈卡·23.2.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列图形绕某点旋转180°后，不能与原来图形重合的是()2．如图J23-2-1，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是()A．OC＝OC′B．OA＝OA′C．BC＝B′C′D．∠ABC＝∠A′C′B′图J23-2-1 图J23-2-2 图J23-2-3二、填空题(每小题4分，共8分)3．如图J23-2-2，△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，如果连接线段AA′，BB′，CC′，它们都经过点_____，且AB ＝________，AC＝________，BC＝________.4．如图J23-2-3，将等边△ABD沿BD中点旋转180°得到△BDC.现给出下列命题：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD是中心对称图形；③四边形ABCD是轴对称图形；④AC＝BD.其中正确的是________(写上正确的序号)．三、解答题(共11分)5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图J23-2-4所示，将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°得到△A2B2C2.请依次画出△A1B1C1和△A2B2C2.图J23-2-4基础知识反馈卡·23.2.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．若点A(n,2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝() A．－1 B．－5C．1 D．52．点P关于原点的对称点为P1(3,4)，则点P的坐标为() A．(3，－4) B．(－3，－4)C．(－4，－3) D．(－3,4)3．若点A(2，－2)关于x轴的对称点为B，点B关于原点的对称点为C，则点C的坐标是()A．(2,2) B．(－2,2)C．(－1，－1) D．(－2，－2)二、填空题(每小题4分，共8分)4．点A(－2,1)关于y轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点的坐标为________．5．若点A(2，a)关于x轴的对称点是B(b，－3)，则ab的值是________．三、解答题(共8分)6．如图J23-2-5，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．图J23-2-5基础知识反馈卡·23.3时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共9分)1．下列选项中，能通过旋转把图a变换为图b的是()2．图J23-3-1的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的有()图J23-3-1A．1个B．2个C．3个D．4个3．在下图右侧的四个三角形中，不能由左侧的三角形经过旋转或平移得到的是()二、填空题(每小题4分，共8分)4．正六边形可以看成由基本图形________经过________次旋转而成．5．如图J23-3-2，一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第10个图案是__________；在前16个图案中“”有______个．图J23-3-2三、解答题(共8分)6．认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：图J23-3-3(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：____________________；特征2：____________________________.(2)请你在图J23-3-4中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图J23-3-4。

2022年人教版初中数学9年级上册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(基础)及答案

2022年人教版初中数学9年级上册《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）一、选择题1．（2020•德州）如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置，使CC ′∥AB ，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．65°2.如图，在等腰直角△ABC 中，B=90°，将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于（）.A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，如果一个四边形ABCD 旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中心的点有（）个．A、1B、2C、3D、4第2题第3题第4题4．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC 绕点O 旋转180°旋转后的图形为矩形OA 1B 1C 1，那么点B 1的坐标为（）.A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5.如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为().A.B.C.D.6．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.A．90°B．60°C．45°D．30°第5题第6题7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是().A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的8．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是().A.(-4，3)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(4，-3)二.填空题9.正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.10.如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于_________．11．（2020•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．12如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且DE＝BF，连结FE,此时△AEF是＿＿＿．如果FB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积是＿＿．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．第12题第13题第14题14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于__________．15.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1，0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标是_________．第15题第16题16．如图所示，将△ABC沿AB翻折后形成△ABE，再将△ABE绕点A顺时针旋转一定角度后，使点E与点C重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．三综合题17．（2020•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．18.如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．19.已知：如图在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．(1)试猜想AE与BF有何关系？说明理由．(2)若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积；(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．20.已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.①设AB的长为a，PB的长为b（b<a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上.【答案与解析】一.选择题1．【答案】C.【解析】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．2．【答案】 B.【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.2题图5题图3．【答案】C.【解析】旋转中心的点分别是点D,点C,和线段DC 的中点.4．【答案】C.5．【答案】C.【解析】，∴ADPB s'四边形=332=63⨯∴3=1-3s 阴影.6．【答案】 C.【解析】旋转的角度应该是45°的倍数.7．【答案】 B.8.【答案】 A.【解析】逆时针旋转90°，点A′在第二象限，利用三角形全等可得.二、填空题9.【答案】12O.10.【答案】21-；【解析】∵△ABC 绕点A 顺时针旋转45°得到△A ′B ′C ′，∠BAC=90°，AB=AC=，∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC ′=∠C ′=45°，∴AD ⊥BC ，B ′C ′⊥AB ，∴AD=BC=1，AF=FC ′=AC ′=1，∴图中阴影部分的面积等于：S △AFC ′﹣S △DEC ′=×1×1﹣×（﹣1）2=﹣1．故答案为：21-.11．【答案】31+.【解析】如图，连接AM ，由题意得：CA=CM ，∠ACM=60°，∴△ACM 为等边三角形，∴AM=CM ，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC ，CM=AM ，∴BM 垂直平分AC ，∴BO=AC=1，OM=CM •sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．12．【答案】等腰直角三角形；9.【解析】由△ABF≌△ADE，得到AF=AE,∠BAF=∠DAE,即△AEF 是等腰直角三角形.12题图13题图13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs=△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】25.【解析】∵AE=2231+=10=AE′，∴EE′=102=25⨯.15．【答案】(b+1,1-a).【解析】因为AC=b，BC=a-1,所以BD=b，A′D=a-1,又因为点B(1,0),所以OD=b+1,A′D=a-1,因为点A′在第四象限，所以点A′（b+1，a-1）.16．【答案】80°.三.解答题17.【解析】解：（1）A （3，2）、B （3，5）、C （1，2）关于x 轴的对称点分别为A 1（3，﹣2），B 1（3，﹣5），C 1（1，﹣2），如图所示，（2）①∵A （3，2）、B （3，5）、C （1，2），∴AB=3，AC=2，BC=，∵，∴AB 2+AC 2=BC 2，∴∠CAB=90°，∵AC 与AC 2的夹角为∠CAC 2，∴旋转角为90°；②∵AB=AB 2=3，∴CB 2=AC+AB 2=5，∴B 2的坐标为（6，2）．18.【解析】证明：将△ABP 沿逆时针旋转至△ACQ 的位置，则有△ABP≌△ACQ．∴AP=AQ，∠APB=∠AQC，BP=CQ．∵∠APB=∠APC，∴∠APC=∠AQC．连结PQ．则有∠1=∠2，∴∠APC-∠2=∠AQC-∠1，即：∠3=∠4，即在△CPQ 中，有CP=CQ．∴BP=CQ.∴BP=CP．19.【解析】，(1)AE 与BF 平行且相等，∵ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC，∴△ABC 与△FEC 关于C 点中心对称，∴AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE 为平行四边形，∴；(2)∵AC=CF，∴S △BCF =S △ABC =3，∵BC=CE，∴S △ABC =S △ACE =3，∴S △CEF =S △BCF =3，∴S □ABFE =3×4=12(cm 2)．(3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE 为矩形，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴AB=BC=CA,∴AF=BE,∴平行四边形ABFE 为矩形.20.【解析】（1）①S 阴影=②连结PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°.以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理O点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2020•裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形ABCD中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点D,C,E三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DBE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD.求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．∴BC=AE，BD=DE，∠DAE=∠DCB,∴△BDE为等边三角形．∴BE=BD．∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．∴∠BAE=90°．∵在Rt△BAE中，，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【答案与解析】(1)如图，DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图:∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠1+∠2=∠2+∠3∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE∴DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.举一反三：【变式】（2020•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，求AK的长？【答案与解析】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；故答案为：233 .6.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.求证：．【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵△ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴AB=AC，将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到∴∴，，，,∴,连结，则在中，,∴①,又∵,∵.又∵,∴在与中,.∴②,∴由①②得：.【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是().2.时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是().A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2B．60，2C．60，D．60，6.（2020•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy 中，两条直角边分别与坐标轴重合，P 为斜边的中点．现将此三角板绕点O 顺时针旋转120°后点P 的对应点的坐标是（）A ．（，1）B ．（1，﹣）C ．（2，﹣2）D ．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30°B．45°C．60°D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A 1(6，1)向左平移4个单位到达点A 2的位置，再向上平移3个单位到达点A 3的位置，△A 1A 2A 3绕点A 2逆时针方向旋转900，则旋转后A 3的坐标为().A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二.填空题9.（2020•扬州）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ．若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF=．10.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C、F 两点之间的最小距离为_________cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点Pn坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P 1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17.如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF19.（2020•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题1．【答案】C.2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M或O或N为旋转中心两个图形能够完全重合.4．【答案】D.【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形. 5．【答案】C.【解析】△BDC为正三角形，所以△FDC为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B.【解析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，﹣），故选B7．【答案】D.8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°，∵点F 是DE 的中点，∴FG ∥CD∴GF=CD=AC=3EG=EC=BC=2∵AC=6，EC=BC=4∴AE=2∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】32；【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC﹣AF，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC﹣AF＜CF＜AC+AF，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF⊥BC,EG⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5.14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP′是等腰直角三角形，所以PP′=32.15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，则有△APB≌△CP′B．∴BP′=BP，CP′＝AP，∠PBP′＝90°，∠APB=∠CP′B．设CP′=AP=k，则BP′=BP=2k，CP=3k，在Rt△BP′P 中，BP′=BP=2k，∴∠BP′P=45°．=(3k)2=CP2，∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE 绕点D 沿顺时针方向旋转180°至△CDG 位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG 中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP 逆时针旋转60°得到△A ′BC ，∴∠A ′BA=60°，A ′B=AB ，AP=A ′C ∴△A ′BA 是等边三角形，∴A ′A=AB=BA ′=2，在△AA ′C 中，A ′C ＜AA ′+AC ，即AP ＜6，则当点A ′A 、C 三点共线时，A ′C=AA ′+AC ，即AP=6，即AP 的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt △ABC 是等腰三角形，∴AB=BC ．以B 为中心，将△APB 逆时针旋转60°得到△A'P'B ．则A'B=AB=BC=4，PA=P ′A ′，PB=P ′B ，∴PA+PB+PC=P ′A ′+P'B+PC ．∵当A'、P'、P 、C 四点共线时，（P'A+P'B+PC ）最短，即线段A'C 最短，∴A'C=PA+PB+PC ，∴A'C 长度即为所求．过A'作A'D ⊥CB 延长线于D ．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt △A'DC 中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF.《旋转》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1．如图1，ΔACB 与ΔADE 都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，如果ΔACB 经逆时针旋转后能与ΔADE 重合.。

人教版数学九年级上学期课时练习- 《旋转》全章复习与巩固(基础篇)(人教版)

专题23.8 《旋转》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）一、单选题1．2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下面四个图案中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，△COD 是由△AOB 绕点O 按顺时针方向旋转而得，则旋转角为（）A ．△AODB ．△AOBC ．△BOCD ．△AOC4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()5,1-，将OA 绕原点按逆时针方向旋转90︒得OB ，则点B 的坐标为（）A ．()5,1-B ．()1,5--C ．()5,1--D ．()1,5-5．如图，在△ABC 中，△CAB ＝65°，将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB 'C '的位置，使CC ′△AB ，则旋转角的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．656．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（）A ．()4,2-B ．(-C ．()2-D ．(-7．平面直角坐标系内一点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（） A ．（3，2）B ．（－2，－3）C ．（2，－3）D ．（2，3）8．已知点()2,4P a a --关于原点对称的点在第三象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图所示，在33⨯的正方形网格中已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的办法有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O 称为极点；从点O 出发引一条射线Ox 称为极轴；线段OP 的长度称为极径．点P 的极坐标就可以用线段OP 的长度以及从Ox 转动到OP 的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P （3，60°）或P （3，-300°）或P （3，420°）等，则点P 关于点O 成中心对称的点Q 的极坐标表示不正确的是（）A ．()3,240Q ︒B ．()3,450Q -︒C ．()3,600Q ︒D ．()3,120-︒二、填空题11．若()23140a b -+-=，则点A （a ，b ）关于原点对称的点的坐标为_______． 12．如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若90C ∠=︒，30B ∠=︒，3AC =，则BB '的长为______．13．如图，△ABC 为等边三角形，D 是△ABC 内一点，若将△ABD 经过旋转后到△ACP 位置，则旋转角等于 _____度．14．如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，3PA =，4PB =，5PC =．则APB ∠的度数为_________．15．如图，将ABC绕点A逆时针旋转120°，得到ADE．若点D在线段BC的延长线上，则B∠=___________．16．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．17．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若12AC=，1AB=，90BAC∠=︒，则AE的长是____________．18．把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转α角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图△，当点E在射线CB上时，E点坐标为__________；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角α的度数是__________（α为锐角）．三、解答题19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC 的顶点都在格点上．(1)将ABC 向左平移6个单位长度得到111A B C △，请画出111A B C △； (2)画出111A B C △关于点O 的中心对称图形222A B C △；(3)若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心的坐标为___________，旋转角度为__________°．20．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，将Rt ABC △绕点A 旋转一定的角度得到Rt ADE △，且点E 恰好落在边BC 上．(1)求证：AE平分CED∠；(2)连接BD，求证：90∠=︒．DBC21．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．（1）依题意补全图形；（2）若BC=1，求线段BD的长．22．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；拓展运用(2)若B、C、E三点不在一条直线上，△ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．23．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，BFC△绕着点B按逆时针方向旋△重合．转90︒后与BEA(1)如图①，若正方形ABCD的边长为2，1BE=，FC=AE△BF．(2)如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点(点F不与点A、C重合)，试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．24．探究问题：（1）方法感悟：如图△，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足45EAF ∠=︒，连接EF ，求证DE BF EF +=．感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒， 9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．4523904545EAF BAD EAF ∠=︒∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒．12∠=∠，1345∴∠+∠=︒．即GAF ∠=∠ ．又AG AE =，AF AF =GAF ∴∆≅ ．∴ EF =，故DE BF EF +=．（2）方法迁移：如图△，将Rt ABC ∆沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD 中，AB AD =，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足12EAF DAB ∠=∠，试猜想当B 与D ∠满足什么关系时，可使得DE BF EF +=．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．参考答案1．C【分析】把一个图形绕某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．D【分析】根据轴对称图形和旋转图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；图形旋转的定义：把一个图形绕着某一个点旋转一个角度，这个点就是它的旋转中心，这个角就叫旋转角，行逐一判断即可．解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不包含图形的旋转，不符合题意；C 、只是轴对称图形，没有旋转，不符合题意；D 、既有轴对称，又有旋转，符合题意；故选D.【点拨】此题主要考查图形的旋转以及轴对称图形的概念，熟练掌握，即可解题． 3．D 【分析】根据旋转角的定义：图形在作旋转运动时，一个点与旋转中心的连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角即为旋转角，进行判断即可．解：由图可知，AOC ∠与BOD ∠均为旋转角故选D ．【点拨】本题考查了旋转角的定义．解题的关键在于熟练掌握旋转角的定义． 4．B 【分析】根据题意证得△AOC △△OBD ，可得结论．解：如图，根据题意得△△AOB =90°，△ACO =△BDO =90°，OA =OB ， △△AOC +△BOD =90°，△AOC +△OAC =90°， △△BOD =△OAC ， △△AOC △△OBD ， △BD =OC ，OD =AC ，△点A 的坐标为()5,1-，△BD =OC =1，OD =AC =5，△()1,5B --．故选：B ．【点拨】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．5．C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得ACC CAB '∠=∠,根据旋转的性质可得AC AC '=，然后利用等腰三角形两底角相等求得CAC '∠，再根据CAC '∠是旋转角即可求得结论．解：△CC AB '∥，△65ACC CAB '∠=∠=︒，△△ABC 绕点A 旋转得到AB C ''△，△AC AC '=，△180218026550CAC ACC ''∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒△50CAC BAB ''∠=∠=︒，即旋转角为50°，故选：C ．【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．D【分析】过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，根据矩形的性质得到点C 的坐标，求出△COE =45°，OC C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，求出△C 1OF =30°，利用勾股定理求出OF ，即可得到答案．解：过点B 作BG △x 轴于G ，过点C 作CH △y 轴于H ，△四边形ABCD 是矩形，△AD =BC ，AB =CD ，AD ∥BC ，△CDA =△DAB =90°，△△HCD =△ADO =△BAG ，△△CHD =△BGA =90°，△△CHD △△AGB （AAS ），△1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，△CH =AG =5-1=4，DH =BG =2，△OH =2+2=4，△C （4，4），△OE =CE =4，△△COE =45°，OC如图，过点C 作CE △x 轴于E ，过点C 1作C 1F △x 轴于F ，由旋转得△COC 1=75°，△△C 1OF =30°，△C 1F =12OC 1=12OC ，△OF =△点C 1的坐标为(-，故选：D ．【点拨】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．7．C【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）故选：C．【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．D【分析】根据点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，可得点P在第一象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围．解：△点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，△点P在第一象限，△20 40aa-⎧⎨-⎩＞＞，△24＜＜a，则a的取值范围在数轴上表示正确的是：故选：D．【点拨】本题主要考查不等式组的解法，根据不等式组的解集，在数轴上表示即可，关键在于点P的坐标所在的象限．9．C【分析】利用轴对称的性质，以及轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案即可．解：如图所示：5种不同的颜色即为使整个图案构成一个轴对称图形的办法．故选：C．【点拨】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称定义得出是解题关键．10．B【分析】根据中心对称的性质解答即可．解：△P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°），由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°），故选：B．【点拨】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答．11．（13，﹣4）【分析】根据绝对值和偶次幂都具有非负性可得3a﹣1＝0，b﹣4＝0，算出a、b的值，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．解：由题意得：3a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得：a 13=，b ＝4，则点A （13，4）关于原点对称的点的坐标为（13-，﹣4），故答案为：（13-，﹣4）．【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点，关键是正确计算出a 、b 的值．12．12【分析】根据含30度角的直角三角形的性质求得AC ，然后根据中心对称的性质即可求解．解：在Rt △ABC 中，△90C ∠=︒，△B =30°，AC =3，△AB =2AC =6，又△点B 和点B ′关于点A 对称，△BB ′=2AB =12．故答案为12．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．13．60【分析】根据题意由旋转的性质可得△BAD =△CAP ，即可求△BAC =△DAP =60°，即可求解．解：△△ABC 是等边三角形，△△BAC =60°，△将△ABD 经过一次逆时针旋转后到△ACP 的位置，△△BAD =△CAP ，△△BAC =△BAD +△DAC =60°，△△P AC +△CAD =60°，△△DAP =60°；故旋转角度60度.故答案为：60．【点拨】本题考查旋转的性质，注意掌握变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．14．150︒【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ，则△BCQ△△BAP，所以△PBQ=60°，BP=BQ，可知△BPQ是等边三角形，从而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，由勾股定理逆定理可知△PQC是直角三角形，△PQC=90°，则通过△APB=△PQB +△PQC即可求出．解：把△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△BCQ，连接PQ．由旋转性质可知，△BCQ△△BAP△CQ=P A=3，BP=BQ，△BQC=△APB△△PBQ=60°，BP=BQ，△△BPQ是等边三角形，△PQ=PB=4，△PQB=60°△PC=5△在△PQC中，222222435+=+==PQ CQ PC△△PQC是直角三角形△△PQC=90°△△BQC=△PQB +△PQC =60°+90°=150°，△△APB=150°．【点拨】本题综合考查等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解题的技巧是通过图形旋转将已知各边转化到同一个三角形中，并构成一个直角三角形．15．30°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、△BAD＝120°，再根据等腰三角形的性质可求出△B的度数，此题得解．解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，△BAD＝120°，△△B＝△ADB＝12×（180°−120°）＝30°．故填：30°.【点拨】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出△B的度数是解题的关键．16．【分析】如图，连接，AC，BD．过点O作OM△AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．△O是矩形的对称中心，△O也是对角线的交点，过点O作OM△AD于点M交BC于点N．△四边形ABCD是矩形，△OA=OD=OB，△OM△AD，△AM=DM=12AD=12BC=4，△OM=12AB=3，△AE=2，△EM=AM-AE=2，△OE同法可得OF△OE+OF故答案为：【点拨】本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17【分析】根据中心对称的性质AB=DE，DC=AC及△D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．解：△△DEC与△ABC关于点C成中心对称，△△ABC△△DEC，△AB＝DE＝1，AC＝DC＝1，△D＝△BAC＝90°，2△AD＝1，△△D＝90°，△AE【点拨】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，熟记中心对称图形的性质是解题关键．18．（4，60°【分析】（1）依题意得，点E在射线CB上，横坐标为4，根据勾股定理可得纵坐标，进而得出点E的坐标．（2）已知△BCD=60°，△BCF=30°，然后可得△α=60°．解：（1）△OC=4，△当点E在射线CB上时，点E横坐标为4，△FC=4，EF=6，△EC=△E（4，，故答案为：（4，；（2）当△CBD是等边三角形时，△BCD=60°，△旋转角a 的度数是60°，故答案为：60°．【点拨】本题考查了旋转的性质，坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握旋转的性质以及矩形的性质．19．(1)作图见分析(2)作图见分析(3)()3,0；180︒【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出1A ，1B ，1C 的对应点2A ，2B ，2C ；（3）两个三角形成中心对称，对应点连线的交点即为旋转中心.(1)解：如图，点A ，B ，C 的坐标分别是()2,5，()1,1，()4,2，将ABC 向左平移6个单位长度后，点A ，B ，C 的对应点分别为点1A ，1B ，1C ， △点1A ，1B ，1C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点1A ，1B ，1C 顺次连接得111A B C △，△111A B C △即为所作；(2)如图，点1A ，1B ，1C 关于点O 的对称点分别为点2A ，2B ，2C ，△点2A ，2B ，2C 的坐标分别是()4,5-，()5,1-，()2,2-，将点2A ，2B ，2C 顺次连接得222A B C △，△222A B C △即为所作；(3)如图，若将ABC 绕某一点旋转可得到222A B C △，那么旋转中心Q 的坐标为()3,0，旋转角度为180︒.故答案为：()3,0；180︒.【点拨】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质.20．(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论．（2）根据旋转性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．(1)证明：由旋转性质可知：,AE AC AED C =∠=∠AEC C ∴∠=∠AED AEC ∴∠=∠AE ∴平分CED ∠(2)证明：如图所示：由旋转性质可知：,90AD AB DAE BAC =∠=∠=︒,ADB ABD DAE BAE BAC BAE ∴∠=∠∠-∠=∠-∠即DAB EAC ∠=∠=180-2,180-2DAB ABD EAC C ∠︒∠∠=︒∠ABD C ∴∠=∠在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒90ABC C ∴∠+∠=︒90ABC ABD ∴∠+∠=︒即90DBC ∠=︒【点拨】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．21．（1）见分析；（2）BD =【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出60ACD ∠=︒，然后连接AD ，BD 即可得；（2）根据30︒角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC =ACD 是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．解：（1）根据线段旋转方法，60ACD ∠=︒，如图所示即为所求；（2）△ 90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，△ 22AB BC ==，△AC△ 线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD ，△ C A CD =且60ACD ∠=︒，△ ACD 是等边三角形，△ AD AC ==60DAC ∠=︒，△ 90DAB DAC CAB ∠=∠+∠=︒，△ 在Rt ABD 中，BD =【点拨】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30︒角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．22．(1)全等，证明见分析(2)BD =【分析】（1）依据等式的性质可证明△BCD =△ACE ，然后依据SAS 可证明△ACE △△BCD ；（2）由（1）知：BD =AE ，利用勾股定理计算AE 的长，可得BD 的长；（3）当B 、C 、E 三点在一条直线上时，△BCD 的面积最大，过A 作AF △BC 于F ，先根据平角的定义得△ACD =60°，利用特殊角的三角函数可得AF 的长，最后根据勾股定理可得AE 的长．(1)解：全等，理由是：△△ABC 和△DCE 都是等边三角形，△AC =BC ，DC =EC ，△ACB =△DCE =60°，△△ACB +△ACD =△DCE +△ACD ，即△BCD =△ACE ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE △△BCD （ SAS ）；(2)解：如图，由（1）得：△BCD △△ACE ，△BD=AE，△△DCE是等边三角形，△△CDE=60°，CD=DE=2，△△ADC=30°，△△ADE=△ADC+△CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，△AE=△BD(3)解：CD△BC时，△BCD的面积最大，由（1）得△ACE△△BCD，△AE=BD=【点拨】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．23．(1)见分析(2)222AE AF BF+=，见分析2【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，由勾股定理的逆定理可证△BFC=90°=△AEB，可得结论；（2）由正方形的性质和旋转的性质可得△EAF=90°，由勾股定理可求解．(1)证明：△△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，△△BFC△△BEA，△BE=BF=1，△EBF=△ABC=90°，△AEB=△BFC，△BF2+FC2=122=4，BC2=22=4，△BF 2+FC 2=BC 2，△△BFC =90°=△AEB ，△△AEB +△EBF =180°，△AE △BF ；(2)解：AE 2+AF 2=2BF 2，理由如下：△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△△BAE =△BCA ，△AC 是正方形ABCD 的角平分线，△△BCA =△BAC =45°，△△EAF =45°+45°=90°，△AE 2+AF 2=EF 2，△△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合，△BE =BF ，△EBF =90°，△2BF 2=EF 2，△AE 2+AF 2=2BF 2．【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．（1）FAE ；EAF ∆；GF ；（2）DE BF EF +=，证明见分析；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【分析】（1）根据已有过程得GAF EAF ∠=∠，又根据SAS 得GAF EAF ∆≅∆，则GF=EF ，故+DE BF EF =；（2）延长CF ，作41∠=∠，等量代换得GAF FAE ∠=∠，用ASA 证明AGB AED ∆≅∆，得AG =AE ，BG DE =，用SAS 证明AGF AEF ∆≅∆，得GF EF =，即可得+DE BF EF =；（3）延长CF ，作21∠=∠，因为180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，所以D ABG ∠=∠，根据ASA 证明AGB AED ≌，得BG DE =，AG AE =，根据12EAF DAB ∠=∠得EAF GAF ∠=∠，用SAS 证明AGF AEF △≌△，得GF EF =，DE BF EF +=，当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．证明：（1）将ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB AD =，BG DE =，12∠=∠，90ABG D ∠=∠=︒，9090180ABG ABF ∴∠+∠=︒+︒=︒，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．45EAF ∠=︒，23904545BAD EAF ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，12∠=∠，1345∴∠+∠=︒，即GAF EAF ∠=∠，又AG AE =，AF AF =，△GAF EAF ∆≅∆（SAS ），GF EF ∴=，故+DE BF EF =；故答案为：FAE ；EAF ∆；GF ；（2）证明：如图△，延长CF ，作41∠=∠，将Rt ABC 沿斜边翻折得到ADC ∆，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且12EAF DAB ∠=∠， 1235∴∠+∠=∠+∠，2315∠+∠=∠+∠，41∠=∠，2345∴∠+∠=∠+∠，GAF FAE ∠∠∴=，在AGB ∆和AED ∆中，41AB ADABG ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()AGB AED ASA ∴∆≅∆，AG AE ∴=，BG DE =，在AGF ∆和AEF ∆中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGF AEF SAS ∴∆≅∆，GF EF ∴=，DE BF EF ∴+=；（3）当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．如图△，延长CF ，作21∠=∠，△180ABC D ∠+∠=︒，180ABC ABG ∠+∠=︒，△D ABG ∠=∠，在AGB 和AED 中，21AB AD D ABG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△AGB AED ≌（ASA ），△BG DE =，AG AE =， △12EAF DAB ∠=∠， △EAF GAF ∠=∠，在AGF 和AEF 中，AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△AGF AEF △≌△（SAS ），△GF EF =，DE BF EF +=，故当B 与D ∠满足180B D ∠+∠=︒时，可使得DE BF EF +=．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形的翻折旋转，正方形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．。

人教版数学九年级上册《旋转》复习与巩固课件

►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
四边形．
7
解：(1)∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转 α 得到△DEC，点 E 恰好在 AC 上， ∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.∵CA＝CD，∴∠CAD ＝∠CDA＝12(180°－30°)＝75°，∴∠ADE＝∠DEC－∠DAE＝90°－75°＝15°.
11
• 11．观察下列四个图案，它们分别绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图形重合，其中旋转的角度最大的是( )
A
A
B
C
D
12
• 12．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和 △DEF的顶点都在格点上．根据图形解答下列问题：
• (1)将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2 个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
8
• ★考点2 中心对称图形
• 6．【广东中考】下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
• AD．圆 B．菱形
• C．平行四边形 D．等腰三角形
• 7．下列命题：①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直
的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点成中心对
称的两个三角形全等；④两个能重合的图形一定成中心对称．其中正
点A与点B关于原点O对称，则ab＝________.
12
10
• ★考点3 旋转作图 • 10．一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重

人教版初三数学：《旋转》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《旋转》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；''').(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A B C要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转平移、轴对称、旋转之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．对应线段平行（或共线）且相等．任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．【典型例题】类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为8部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2. 如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理O点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A． B．C． D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3. （2015•裕华区模拟）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC 绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【高清课堂: 旋转高清ID号388636 关联的位置名称：经典例题1】【变式】已知D是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形ABCD中,∠BDC=120º, ∠BAC=60°,∴∠D BA+∠DC A=180°,即∠ACE+∠DC A=180°,点D,C,E三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠D AE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明：∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD绕点D逆时针旋转60°，得到△EAD，∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD．∴BC=AE， BD=DE，∠DAE=∠DCB,∴△BDE为等边三角形．∴BE=BD．∵在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°．∴∠BAE=90°．∵在Rt△BAE中，，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.【高清课堂:旋转高清ID号： 388636 ，关联的位置名称：经典例题2-3】5 、正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上（1）如图连结DF、BF，试问：当正方形AEFG绕点A旋转时，DF、BF的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2）若将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连结DG，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG的长度相等，并画图加以说明.【答案与解析】(1)如图， DF、BF的长度不是始终相等，当点F旋转到AB边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图: ∵正方形ABCD和正方形AEFG∴AD=AB,AG=AE,∠1+∠2=∠2+∠3∴∠DAG=∠BAE∴△ADG≌△ABE∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形.举一反三：【变式】（2015•沈阳）如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，求AK的长？【答案与解析】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，∴AH=×=1，∴EH=1，∴FH=﹣1，在Rt△FKH中，∠FKH=30°，∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；.故答案为：2336. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=900，E、F是BC边上点且∠EAF=45°.求证：．【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵△ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC，将△CAF绕点A顺时针旋转90°，如图，得到∴∴，，，,∴,连结，则在中，,∴①,又∵,∵.又∵,∴在与中,.∴②,∴由①②得：.【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1）【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6，CBAO由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝，所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110 ∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A ．449-πB ．849-π C ．489-π D ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯ 故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π．图（2）故选B ．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比；（2）圆锥的全面积．A EB DC F P【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。

部编数学九年级上册23.10《旋转》全章复习与巩固(培优篇)(人教版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题23.10 《旋转》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是（）A ．M （1，﹣3），N （﹣1，﹣3）B ．M （﹣1，﹣3），N （﹣1，3）C ．M （﹣1，﹣3），N （1，﹣3）D ．M （﹣1，3），N （1，﹣3）2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ==△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE ，则12BE AB +的值为（）A B ．C D 3．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =．若将PAC △绕点A 逆时针旋转后，得到MAB △，则APB Ð等于（）．A ．120°B ．135°C ．150°D ．160°4．如图，在Rt ABC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN Ð绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF V 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，CE ＝2BE ，EF ＝2，连按AF ，将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，则线段PE 的最小值为( )A ．B 2C ．4D 16．如图，在平面直角坐标系中，Y OABC 的顶点A 在x 轴上，定点B 的坐标为（8，4），若直线经过点D （2，0），且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分，则直线DE 的表达式是（）A ．y=x-2B ．y=2x-4C ．y=x-1D ．y=3x-67．如图，已知等腰直角三角形ABC 中，AC=BC ，把AB 绕点B 逆时针旋转一定角度到点D ，连接AD 、DC ，使得∠DAC=∠BDC ，当时，线段AC 的长（）A ．3B ．C ．D 8．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P （2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A 的坐标为（2，0），点Q 是直线l 上的一点，点A 关于点Q 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C ，若点B 由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为（8，6），则△ABC 的面积是（）A ．12B ．14C ．16D ．189．在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---10．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()2,0，()0,2，()2,0-．一个电动玩具从原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点2P 与点1P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点2021P 的坐标是（）.A ．()4,-0B ．()4,0C ．()4,4D ．()0,4-二、填空题11．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC =△ABC 绕点A 逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B ，则C′B 的长为_____．12．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是___．13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，60ABC Ð=°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是______．14．如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA =PB =PC个等边三角形ABC 的边长为________．15．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，E 是边AB 上一点，2AE =，F 是直线BC 上一动点，将线EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG ，连接CG ，DG ，则+CG DG 的最小值是________．16．如图，C 为线段AB 的中点，D 为AB 垂直平分线上一点，连接BD ，将BD 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，连接AE ，若AB =6AE =，则CD 的长为 __________ ．17．如图所示，抛物线y ＝x 2+2x ﹣3顶点为Q ，交x 轴于点E 、F 两点（F 在E 的右侧），T 是x 轴正半轴上一点，以T 为中心作抛物线y ＝x 2+2x ﹣3的中心对称图形，交x 轴于点K 、L 两点（L 在K 的右侧），已知∠FQL ＝45°，则新抛物线的解析式为 __．18．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形AB 1C 1D 1 ；把正方形 A 1 B 1 C 1 D 1 边长按原法延长一倍得到正方形 A 2 B 2 C 2 D 2 (如图1（2）)；以此下去，则正方形 A n B n C n D n 的面积为________．三、解答题19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为(1，1)．(1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C；(2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点B2的坐标____________；(3)请在x 轴上找一点D 得到▱ACDB ，则点D 的坐标为________，若直线y =32-x +b 平分▱ACDB 的面积，则b =_______．20．如图，一伞状图形，已知120AOB Ð=°，点P 是AOB Ð角平分线上一点，且2OP =，60MPN Ð=°，PM 与OB 交于点F ，PN 与OA 交于点E ．(1)如图一，当PN 与PO 重合时，探索PE ，PF 的数量关系(2)如图二，将MPN Ð在(1)的情形下绕点P 逆时针旋转a 度()060a <<°，继续探索PE ，PF 的数量关系，并求四边形OEPF 的面积．21．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB V V ≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE V 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.22．[问题提出]（1）如图,ABC ADE V V ①、均为等边三角形，点D E 、分别在边AB AC 、上．将ADE V绕点A 沿顺时针方向旋转，连结BD CE 、．在图②中证明△≌△ADB AEC ．[学以致用]（2）在()1的条件下，当点D E C 、、在同一条直线上时，EDB Ð的大小为度．[拓展延伸]（3）在()1的条件下，连结CD ．若6,4,BC AD ==直接写出DBC △的面积S 的取值范围．23．（1）发现如图，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =，AB b =.填空：当点A 位于____________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为_________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，1AB =.如图所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE .①找出图中与BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值.（3）拓展如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM Ð=°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.24．（1）观察理解：如图 1，ABC D 中，90,ACB AC BC Ð=°=，直线l 过点C ，点,A B 在直线l 同侧， ,BD l AE l ^^，垂足分别为,D E ，由此可得：90AEC CDB Ð=Ð=°，所以90CAE ACE Ð+Ð=°，又因为90ACB Ð=°，所以90BCD ACE Ð+Ð=°，所以CAE BCD Ð=Ð，又因为AC BC =，所以AEC CDB D @D （）；（请填写全等判定的方法）（2）理解应用：如图2，AE AB ^，且,AE AB BC CD =^，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =_________；（3）类比探究：如图 3， Rt ABC D 中，90ACB Ð=°,4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转 90°至AB ¢，连接B C ¢，则AB C ¢D 的面积=_________ .（4）拓展提升：如图4，等边EBC D 中，3EC BC ==cm ，点O 在BC 上，且2OC =cm ，动点P 从点E 沿射线EC 以1cm/s 速度运动，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转 120°得到线段OF ，设点P 运动的时间为t 秒．①当t =________秒时，OF ∥ED ；②当t =________秒时，点F 恰好落在射线EB 上．参考答案1．C解：M 点与A 点关于原点对称，A 点与N 点关于x 轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M 点与A 点的横、纵坐标都互为相反数，N 点与A 点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M （－1，－3），N （1，－3）．2．C【分析】连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，先利用勾股定理、旋转的性质可得2,60AB CAE =Ð=°，再根据等边三角形的判定与性质可得AE CE ==，然后根据勾股定理分别求出EH BE 、，由此即可得出答案．解：连接EC ，过E 作EH ⊥BC 于H ，在Rt △ABC 中，AC BC ==∴2AB ===，∴112AB =，由旋转可知：60AC AE CAE ==Ð=°，∴ACE V 是等边三角形，∴60AC AE EC ACE ===Ð=°，∴30BCE Ð=°，∴12EH EC ==∴CH ==∴BH BC CH =-=，∴1BE =====，∴1112BE AB +=+=故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键．3．C【分析】利用旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，通过旋转的性质得出△APM为等边三角形以及△PMB是直角三角形，从而求得∠APB的度数．解：连接PM，如图，由旋转性质可知，△APC≌△AMB，∴AP=AM，MB=PC=10，∵∠MAP=60°，∴△APM是等边三角形，∴PM=AP=6，∵PB=8，∴MB2=PB2+MP2，∴△PMB是直角三角形，∴∠MPB=90°，∵∠MPA=60°，∴∠APB=150°．【点拨】本题主要考查了旋转变换的性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形判定与性质等知识点，难度较大．通过旋转的性质得出△APM 为等边三角形以及△PMB 是直角三角形是解答本题的第一个关键．4．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．解：∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ÐÐìïíïÐÐî＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S =V V ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形的三边关系、同角的余角相等，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．B【分析】连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，通过SAS 证明△AEF ≌△AGP ，得PG =EF =2，再利用勾股定理求出GE 的长，在△GPE 中，利用三边关系即可得出答案．解：连接AE ，过点A 作AG ⊥AE ，截取AG =AE ，连接PG ，GE ，∵将线段AF 绕着点A 顺时针旋转90°得到AP ，∴AF =AP ，∠PAF =90°，∴∠FAE +∠PAE =∠PAE +∠PAG =90°，∴∠FAE =∠PAG ，在△AEF 和△AGP 中，,AF AP FAE PAG AE AG =ìïÐ=Ðíï=î∴△AEF ≌△AGP （SAS ），∴PG =EF =2，∵BC =3，CE =2BE ，∴BE =1，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE ==，∵AG =AE ，∠GAE =90°，∴GE =，在△GPE 中，PE ＞GE -PG ，∴PE 的最小值为GE -PG 2，故选：B ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6．A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．解：∵点B 的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ，则4220k b k b +=ìí+=î，解得12k b =ìí=-î，∴直线DE 的解析式为y=x-2．故选：A ．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．7．D【分析】如图（见分析），先根据等腰直角三角形的性质可得45,BAC AC AB Ð=°=，再根据旋转的性质、等腰三角形的性质可得,45AB BD ADC BAC =Ð=Ð=°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得45,BEC ADC BE AD Ð=Ð=°=，从而可得,2,4BE AD AE DE BE AD ^====，最后利用勾股定理即可得．解：如图，过点C 作CE CD ^，交AD 于点E ，连接BE ，ABC Q V 是等腰直角三角形，AC BC =，45,BAC AB \Ð=°==，即AC AB =，由旋转的性质得：AB BD =，BAD BDA \Ð=Ð，DAC B B C C AC AD D \Ð+=ÐÐ+Ð，DAC BDC Ð=ÐQ ，45ADC BAC \Ð=Ð=°，CDE \V是等腰直角三角形，2,45CE CD DE CED \====Ð=°，又90DCE ACB Ð=Ð=°Q ，DCE ACE ACB ACE \Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，在BCE V 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE ACD SAS \@V V ，45,BEC ADC BE AD \Ð=Ð=°=，90BED BEC CED \Ð=Ð+Ð=°，即BE AD ^，又AB BD =Q ，2AE DE \==（等腰三角形的三线合一），24BE AD DE \===，在Rt ABE △中，AB ==AC AB \===故选：D ．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题关键．8．A【分析】连接CQ ，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定得到∠ACB ＝90，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．解：连接CQ ，如图：由中心对称可知，AQ ＝BQ ，由轴对称可知：BQ ＝CQ ，∴AQ ＝CQ ＝BQ ，∴∠QAC ＝∠ACQ ，∠QBC ＝∠QCB ，∵∠QAC +∠ACQ +∠QBC +∠QCB ＝180°，∴∠ACQ +∠QCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图，∵A （2，0），C （8，6），∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵18090ACE ACB Ð=°-Ð=°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为（14，0），设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，∵C ，E 点在直线上，可得：14086k b k b ì+=ïí+=ïî，解得：114k b ì=-ïí=ïî，∴y ＝﹣x +14，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B （n +2，2n ），由2n ＝﹣n ﹣2+14，解得：n ＝4，∴B （6，8），∴△ABC 的面积＝S △ABE ﹣S △ACE ＝12×12×8﹣12×12×6＝12，故选：A ．【点拨】本题考查轴对称的性质，中心对称的性质，等腰三角形的判定与性质，求解一次函数的解析式，得到B 的坐标是解本题的关键．9．A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．解：当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．10．A【分析】根据题意，先求出前几次跳跃后1P 、2P 、3P 、4P 、5P 、6P 、7P的坐标，可得出规律，继而可求点2021P 的坐标．解：由题意得：点()14,0P 、()24,4P -、()30,4P -、()44,4P 、()54,0P -、()60,0P 、()74,0P ，∴点P 的坐标的变化规律是6次一个循环，∵20216336...5¸=，∴点2021P 的坐标是()4,-0．故选：A ．【点拨】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律，解题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标并总结出一般规律．11．1【分析】连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，根据∠C ＝90°，AC ＝BC =AB=2，根据旋转，得到∠AC ′B ′＝∠ACB ＝90°，AC ′＝AC ＝B ′C ′＝BC ，AB ＝AB ′＝2，∠BAB ′＝60°，推出BC ′垂直平分AB ′，△ABB ′为等边三角形，得到C ′D 12=AB ′＝1，'60ABB Ð=°，推出1''302ABD B BD ABB Ð=Ð=Ð=°，得到BD =′C ′B ＝C ′D ＋BD ＝1．解：连接BB ′，设BC ′与AB ′交点为D ，如图，△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝BC=∴AB===2，∵△ABC绕点A逆时针反向旋转60°到△AB′C′的位置，∴∠AC′B′＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝B′C′＝BC，AB＝AB′＝2，∠BAB′＝60°，∴BC′垂直平分AB′，△ABB′为等边三角形，∴C′D12=AB′＝1，'60ABBÐ=°，∴1''302ABD B BD ABBÐ=Ð=Ð=°，∴BD=∴C′B＝C′D＋BD＝1故答案为1【点拨】本题考查了旋转图形全等的性质，线段垂直平分线判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形边的性质，作辅助线构造出等边三角形，求出'C D，BD的长是解题的关键．12．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD ＝2，∴112BD =．由题意可知，D 在以B 为圆心，BD 长为半径的圆上运动，∵E 为AD 的中点，∴E 在以BA 中点为圆心，12B D 长为半径的圆上运动，CE 的最大值即C 到BA 中点的距离加上12BD 长．∵90ACB Ð=o ，30BAC Ð=o ，BC ＝2，∴C 到BA 中点的距离即122AB =，又∵112BD =，∴CE 的最大值即1121322AB BD +=+=．故答案为3．【点拨】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E 点运动轨迹是解题的关键．13【分析】以AB 为边向右作等边△ABK ，连接EK ，证明△ABF ≌△KBE （SAS ），推出AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，EK 的值最小，求出EK 即可解决问题．解：如图，以AB 为边向右作等边△ABK ，由60ABC Ð=°可知点K 在BC 上，连接EK ，∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，EK的值最小，即AF的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAK＝∠AKB＝60°，∴∠AKE＝30°，∵AB＝AK＝2，AK＝1，∴AE＝12∴EK=，∴AF【点拨】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．14【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形即可得答案．解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH ⊥直线AP 于H ，如图所示，由旋转知，△BDP 为等边三角形，AD =PC =，∴BP =PD =BD ，∠BPD =60°，∵PA ，∴222PD PA AD +=，∴∠APD =90°，∴∠BPH =30°，∴BH =12BP =，由勾股定理得：AB．【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．15．13【分析】将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，由矩形的条件和旋转的性质可得3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，可说明四边形EBMH 是矩形，然后由正方形的性质可得到12CN =，GM CN ^，从而说明GM 是CN 的垂直平分线，进一步推导出CG DG NG DG ND +=+³，当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值，最后由勾股定理可求解．解：将FBE V 绕点E 逆时针旋转90°得到GHE △，延长GH 交BC 于点M ，延长CB 至点N ，使CM NM =，连接DN ，∵在矩形ABCD 中，5AB =，9BC =，2AE =，∴3EB AB AE =-=，90B BCD Ð=Ð=°，5CD =，∴3EH EB ==，90B BEH EHG Ð=Ð=Ð=°，∴90EHM Ð=°，∴四边形EBMH 是矩形，∴3BM EH ==，90BMH Ð=°，∴()229312CN CM ==´-=，GM CN ^，∴GM 是CN 的垂直平分线，∴CG NG =，∵F 是直线BC 上一动点，∴CG DG NG DG ND +=+³，∴当点N ，G ，D 三点共线时，+CG DG 取最小值ND ，在Rt NCD V 中，12CN =，5CD =，13ND ===，∴+CG DG 的最小值是13．故答案为：13．【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，垂直平分线，三角形三边的关系，勾股定理等知识，采用了转化的思想方法．确定点C 关于GM 的对称点N 是解题的关键．16．9【分析】连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，可证△BDE 是等边三角形，利用等边对等角结合三角形内角和为180°求出18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，从而得到3601502BDE BAE °-ÐÐ==°，进而可求出∠HAE =30°．再根据含30度角的直角三角形的性质可求出EH ，AH ，再利用勾股定理即可先后求出BE 和CD ．解：如图，连接AD 、BE ，过点E 作EH ⊥AB 于H ，由旋转知，DE =DB ，∠BDE =60°，∴△BDE 是等边三角形，∴BE =BD ．∵C 为AB 中点，点D 在AB 的垂直平分线上，∴AD =BD =DE ，12BC AB ==∴18018022ADB ADE BAD EAD °-Ð°-ÐÐ=Ð=，，∴()36036022ADB ADE BDE BAD EAD °-Ð+Ð°-ÐÐ+Ð==，即3602BDE BAE °-ÐÐ=．∵∠BDE =60°，∴∠BAE =150°，∴∠HAE =180°-150°=30°．∵AE =6，∴132EH AE ==，∴AH ==∴BH AH AB =+=∴BE ==，∴BD =，∴9CD ==．故答案为：9．【点拨】本题考查了图形的旋转，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理以及含30°的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17．y＝﹣x2+18x﹣77【分析】根据顶点式求得Q点的坐标，进而令0y=求得点,E F的坐标，作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，根据∠FQL＝45°，证明△PQF≌△NFM（AAS），进而求得点M的坐标，求得直线QL的解析式为y11133x=-，继而求得L（11，0），T点坐标为（4，0），根据中心对称的性质可得K（7，0），根据交点式即可写出新抛物线的解析式．解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴Q（﹣1，﹣4），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴E（﹣3，0），F（1，0），作QP⊥x轴于P，过F点作FM⊥FQ交QL于M．作MN⊥x轴于N，如图，∵∠FQL＝45°，∴△QFM为等腰直角三角形，∴FQ＝FM，∵∠PFQ+∠PQF＝90°，∠PFQ+∠MFN＝90°，∴∠PQF＝∠MFN，∴△PQF≌△NFM（AAS），∴PQ＝FN＝4，MN＝PF＝2，∴M（5，﹣2），设直线QL的解析式为y＝kx+b，把Q （﹣1，﹣4），M （5，﹣2）代入得452k b k b -+=-ìí+=-î，解得13113k b ì=ïïíï=-ïî，∴直线QL 的解析式为y 11133x =-，当y ＝0时，11133x -=0，解得x ＝11，∴L （11，0），∵点E （﹣3，0）和点L （11，0）关于T 对称，∴T 点坐标为（4，0），∵点F 与点K 关于T 点对称，∴K （7，0），∵新抛物线与抛物线y ＝x 2+2x ﹣3关于T 对称，∴新抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣7）（x ﹣11），即y ＝﹣x 2+18x ﹣77．故答案为y ＝﹣x 2+18x ﹣77．【点拨】本题考查了二次函数的性质，中心对称的性质，等腰直角三角形的性质与判定，求抛物线的解析式，求得对称中心是解题的关键．18．5n解：根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的5倍，从而解答．如图（1），已知小正方形ABCD 的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA 1B 1的面积是1，新正方形A 1B 1C 1D 1的面积是5，从而正方形A 2B 2C 2D 2的面积为5×5=25，正方形A n B n C n D n 的面积为5n ．考点：找规律-图形的变化【点拨】解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.19．(1)见分析(2)画图见分析，B 2(－5，－2)(3)(3，0)，6【分析】（1）分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1即可解答；（2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数；求得A2、B2、C2的坐标即可；（3）C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，即可得到点D（3，0）；求出平行四边形ACDB的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线y经过中心坐标，进而求得b；(1)解：如图，分别作出点A、B以C为中心，顺时针旋转90°后的对应点A1、B1，连接相应顶点得△A1B1C即为所求；(2)解：∵A（3，3），B（5，2），C（1，1），∴A、B、C关于原点的对称点坐标为：A2（-3，-3），B2（-5，-2），C2（-1，-1），如图，△A2B2C2即为所求，(3)解：如图，C点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点D（3，0），连接相应顶点，四边形ACDB为平行四边形；∵A 点先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点B ，∴BD 可由AB 平移得到，即BD ∥AB ，BD =AB ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∵C （1，1），B （5，2），平行四边形是中心对称图形，∴平行四边形ACDB 的中心坐标为（3，32），如图所示，当直线y 经过平行四边形中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等，∴（3，32）代入直线y =32-x +b ，可得b =6；【点拨】本题考查了图形旋转，中心对称图形的性质，坐标的平移和对称变换，平行四边形的判定和性质；掌握中心对称图形的性质是解题关键．20．（1）＝PE PF ，证明详见分析；（2）＝PE PF 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF 是等边三角形，得到PE=PF ；（2）过点P 作PQ ⊥OA ，PH ⊥OB ，根据角平分线的性质得到PQ=PH ，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF ，S 四边形OEPF =S 四边形OQPH ，求得OQ=1，解：（1）∵120AOB Ð°＝，OP 平分AOB Ð，∴60POF Ð°＝，∵60MPN Ð°＝，∴60MPN FOP ÐÐ°＝＝，∴PEF D 是等边三角形，∴＝PE PF ；（2）过点P 作PQ OA ^，PH OB ^，∵OP 平分AOB Ð，∴PQ PH ＝，90PQO PHO ÐÐ°＝＝，∵120AOB Ð°＝，∴∠QPH ＝60°，∴QPE FPH EPH Ð+Ð+Ð，∴QPE EPF ÐÐ＝，在QPE D 与HPF D 中EQP FHP QPE HPF PQ PH Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴QPE HPF AAS D D ≌（），∴＝PE PF ，OEPF OQPH S S 四边形四边形＝，∵PQ OA ^，PH OB ^，OP 平分AOB Ð，∴30QPO Ð°＝，∴1OQ ＝，QP＝∴112OPQ S D ´´＝∴四边形OEPF 的面积＝2OPQ S D【点拨】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（Ⅰ）点D 的坐标为(1,3).（Ⅱ）①证明见分析；②点H 的坐标为17(,3)5.（Ⅲ）S £分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x ，在直角三角形ACD 中运用勾股定理可CD 的值，从而可确定D 点坐标；（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；②由①知BAD BAO Ð=Ð，再根据矩形的性质得CBA OAB Ð=Ð.从而BAD CBA Ð=Ð，故BH=AH ，在Rt △ACH 中，运用勾股定理可求得AH 的值，进而求得答案；（ⅢS ££解：（Ⅰ）∵点()5,0A ，点()0,3B ，∴5OA =，3OB =.∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5BC OA ==，90OBC C Ð=Ð=°.∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴5AD AO ==.在Rt ADC V 中，有222AD AC DC =+，∴DC = 4==.∴1BD BC DC =-=.∴点D 的坐标为()1,3.（Ⅱ）①由四边形ADEF 是矩形，得90ADE Ð=°.又点D 在线段BE 上，得90ADB Ð=°.由（Ⅰ）知，AD AO =，又AB AB =，90AOB Ð=°，∴Rt ADB Rt AOB V V ≌.②由ADB AOB V V ≌，得BAD BAO Ð=Ð.又在矩形AOBC 中，//OA BC ，∴CBA OAB Ð=Ð.∴BAD CBA Ð=Ð.∴BH AH =.设BH t =，则AH t =，5HC BC BH t =-=-.在Rt AHC V 中，有222AH AC HC =+，∴()22235t t =+-.解得175t =.∴175BH =.∴点H 的坐标为17,35æöç÷èø.（ⅢS ££【点拨】本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.22．（1）见分析；（2）60或120；（3）1212S ££【分析】（1）运用SAS 证明△≌△ADB AEC 即可；（2）分“当点E 在线段CD 上”和“当点E 在线段CD 的延长线上”两种情况求出EDB Ð的大小即可；（3）分别求出DBC △的面积最大值和最小值即可得到结论解：（1）,ABC ADE Q V V 均为等边三角形，AD AE \=，AB AC =，DAE BAE BAC BAE \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAEÐ=Ð在ADB △和AEC △中AD AE BAD CAEAB AC =ìïÐ=Ðíï=î()ABD ACE SAS \@V V ；（2）当,,D E C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵ADE V 是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°，180120AEC AED \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC @V V ，120ADB AEC \Ð=Ð=°，1206060EDB ADB ADE \Ð=Ð-=-°=°Ð°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，ADE Q V是等边三角形，60ADE AED \Ð=Ð=°180120ADC ADE \Ð=-Ð=°°，由（1）可知，ADB AEC@V V 60ADB AEC \Ð=Ð=°，60EDB ADB ADE \Ð=Ð+Ð=° 60120+=°°综上所述，EDB Ð的大小为60°或120°（3）过点A 作AF BC ^于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==AF \==4DF \=此时1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，ABC Q V 是等边三角形，AF BC ^，6BC =6AB BC \==，132BF BC ==，AF \==4AD =Q4DF AF AD \=+=此时，1164)1222DBC S BC DF =×=´´=V ；综上所述，DBC △的面积S 取值是1212S -££【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．23．（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见分析；②BE 的最大值是4;（3）AM 的最大值是P 的坐标为（）【分析】（1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN。

人教版九年级数学上册第二十三章旋转复习课件

(3)可能是菱形，当AC绕点O旋转45°时， ∵AC= BC2 AB2=4， ∴OA=OC=2，∴OA=AB,又∠BAC=90°， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∠AOB=45°. 当AC绕点O顺时针旋转45°时， ∠AOE=45°，∴∠BOE=90°， ∴EF垂直平分BD，∴BE=ED. 又由（1）可知四边形BEDF为平行四边形，即此时四边形BEDF是菱形.
人教·九年级上册
第23章旋转章末复习
复习导入
本节课将回顾全章所学内容，梳理知识脉络，击破重难点的知识结构框图. （2）进一步明确旋转、中心对称、等概念的含义及它们的性质和作图等.
旋转、中心对称的概念和性质.
性质的应用及图案的设计.
本章知识结构图
图案设计利用平移、轴对称、旋转进行图案设计
旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角旋转不改变图形的形状和大小
中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分关于对称中心对称的两个图形是全等图形
关于原点对称的两点：横、纵坐标分别互为相反数
下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ B ）
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总是保持相等; （3）在旋转过程中四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由，并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
解：(2)连接AF, EC. ∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AD与CB关于点O中心对称. 又E、F分别在上. ∴AE与CF关于点O中心对称. ∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AFCE是平行四边形. ∴AF=CE.
解：A(-2,2)，B(-1,-2)，C(-3,-3). 描点如图.△A1B1C1是由△ABC先向右平移5个单位，再向上平移1 个单位得到的.

人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用第1课时旋转的概念和性质

与△ ABC 的面积之比为（ D
）
第9题图
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2
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9
10 11 12 13
10. （2023·张家界中考）如图， AO 为∠ BAC 的平
分线，且∠ BAC ＝50°，将四边形 ABOC 绕点 A 按逆
时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'
＝100°，则四边形 ABOC 旋转的角度是
C
A. AC ＝ PQ
B. ∠ AOB ＝∠ BOP
C. △ AOB ≌△ POQ
第3题图
D. ∠ CAB ＝∠ SQP
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4. 如图，将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转到
△AB'C'，点B'恰好落在 CA 的延长线上，∠ B ＝30°，
∠ C ＝90°，则∠BAC'的度数为（
＝30°，将△ ABC 按如图方式旋转.
（1）第①次旋转中心是点 B ，旋转角度为 120° ；
（2）第②次旋转中心是点C' ，旋转角度为 90° .
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知识点二
旋转的性质
3. 如图，△ ABC 绕点 O 旋转后得到了△ PQS ，下列
结论中正确的是（
）
长度是
2
cm.
⁠
第5题图
1
2
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5
6

九年级数学上册教学课件《旋转章末复习》

F
E
D
A
B
C
解：如图所示，连接BF，AE交于点O，连
接BD，EC交于点P，连接OP，则直线OP
即为所求.
F
E
理由：矩形和菱形都是中心对称图形，过对称中心的直 A
D O
P B
线能把它们分成全等的两部
C
分，这两部分面积相等.
4. 若点 P(m-1，5)与点 Q(3，2-n)关于原点对称，则 m+n 的值是( C )
4.旋转作图：找—连—转—截—作.
中心对称及其性质 1. 什么是中心对称？
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与
另一个图形_重__合___，那么就说这两个关于这个点对称
或中心对称.
2. 中心对称的两个图形具有哪些性质？
①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称
中心，而且被对称中心所_平__分___. ②中心对称的两个图形是_全__等___图形.
A. (10，3) B. (-3，10) C. (10，-3) D. (3，-10)
7. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2+2x-1 先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是_(_1_，__-_3_)_.
8. 如图，在△ABC 中，AB=2，BC=3.6， ∠B=60°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转一定角度得到△ADE.当点 B 的对应点 D 恰好落在边 BC 上时，CD 的长为( A ) A. 1.6
B. 1.8
C. 2
D. 2.6
解题策略
利用旋转的性质解决问题时，要注意以下三点：
(1)明确旋转中的“变”(图形的位置)与“不变” (图形的形状、大小)； (2)找准旋转前后的“对应关系”，正确判断旋转前后图形的对应点、对应角、对应线段以及旋转角；

《旋转》全章复习与巩固--巩固练习》配套 2022人教九年级上册专练

《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ).2. 时钟钟面上的分针从12时开始绕中心旋转120°，则下列说法正确的是( ).A.此时分针指向的数字为3B.此时分针指向的数字为6C.此时分针指向的数字为4D.分针转动3，但时针却未改变3．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）.A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C4．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=，∠C=120°，则点B′的坐标为（）.A．（3，）B．（3，）C．（，）D．（，）第3题第4题第5题5．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）.A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，6.（2020•乌鲁木齐）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）A．（，1）B．（1，﹣）C．（2，﹣2）D．（2，﹣2）7．下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（）.A．30° B．45° C．60° D．90°8．在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ).A.(-2，1)B.(1，1)C.(-1，1)D.(5，1)二. 填空题9. （2020•扬州）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC．若点F是DE的中点，连接AF，则AF=．10.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间的最小距离为_________ cm．11．绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.12.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4cm，以斜边BC上距离B点cm的H为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积是＿＿＿cm2．13．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长为_________．14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP=3，那么线段PP′的长等于________．15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2，如此重复操作下去，得到线段OP3，OP4，…，则：（1）点P5的坐标为__________；（2）落在x轴正半轴上的点P n坐标是_________，其中n满足的条件是________．16．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是__________.三综合题17. 如图，已知，点P是正方ABCD内一点，且AP∶BP∶CP=1∶2∶3．求证：∠APB＝135°．18.如图，已知点D是△ABC的BC边的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF．求证： BE + CF＞EF19.（2020•黄冈中学自主招生）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP 逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）20.如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两猜想.⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系.【答案与解析】一、选择题 1．【答案】C. 2．【答案】C.【解析】分针每5分钟转动30.3．【答案】A.【解析】因为以M 或O 或N 为旋转中心两个图形能够完全重合. 4．【答案】D. 【解析】因为是菱形，所以可得为等腰直角三角形.5．【答案】C.【解析】△BDC 为正三角形，所以△FDC 为直角三角形，∠DCF=30°，DF=1，FC=,即求得.6．【答案】B. 【解析】根据题意画出△AOB 绕着O 点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP ，OQ ，过Q 作QM⊥y 轴，∴∠POQ=120°， ∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°， ∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ 中，OQ=OP=2， ∴MQ=1，OM=，则P 的对应点Q 的坐标为（1，﹣），故选B7．【答案】D. 8.【答案】C.【解析】232,1),A (2,4),A （即旋转90°后3A 坐标为（-1,1）.二、填空题9.【答案】5.【解析】作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC=BC=4，DC=AC=6，∠ACD=∠ACB=90°， ∵点F 是DE 的中点， ∴FG ∥CD ∴GF=CD=AC=3 EG=EC=BC=2 ∵AC=6，EC=BC=4 ∴AE=2 ∴AG=4根据勾股定理，AF=5．10.【答案】32；【解析】当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，CF=AC ﹣AF ，当点F 不在正方形的对角线上时由三角形的三边关系可知AC ﹣AF ＜CF ＜AC+AF ，∴当点F 在正方形ABCD 的对角线AC 上时，C 、F 两点之间的距离最小，∴CF=AC﹣AF=4﹣=32cm ．故答案为：32.11．【答案】60°或120°.【解析】正六边形的中心角是60°.12．【答案】1.【解析】证明△FHC 和△FHG 是等腰直角三角形，且腰长为，即得.13．【答案】5.【解析】做DF ⊥BC,EG ⊥AD,交AD 的延长线于点G ,则AD=BF,可证得△DEG ≌△DCF,即EG=FC,又因为3ADEs△，所以EG=3，即BC=BF+FC=AD+EG=5. 14．【答案】32.【解析】由旋转可知△APP ′是等腰直角三角形，所以PP ′=32.15．【答案】(1),（2）落在x 轴正半轴上的点P n 坐标是，其中n 满足的条件是n=8k （k=0，1，2，…）16．【答案】(-1，).【解析】首先求得12,P P 的坐标，即可求得3P 坐标.三.解答题17.【解析】证明：将△APB 绕点B 沿顺时针方向旋转90°至△CP′B 位置(如图)，则有△APB ≌△CP′B．∴BP′= BP，CP′＝AP ， ∠PBP′＝ 90°，∠APB=∠CP′B．设CP′= AP= k，则BP′= BP=2k，CP= 3k ，在Rt △BP′P 中，BP′= BP= 2k ，∴∠BP′P=45°．=(3k)2= CP2， ∴∠CP′P=90°，∴∠CP′B=∠CP′P+∠BP′P=90°+45°=135°，即∠APB=135°.18.【解析】证明：将△BDE绕点D沿顺时针方向旋转180°至△CDG位置，则有△BDE≌△CDG．∴BE=CG，ED=DG．∵DE⊥DF，即 DF⊥EG．∴EF=FG，在△FCG中CG+CF＞FG，即BE+CF＞EF．19.【解析】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．20.【解析】⑴①DE=EF；②NE=BF.③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，∴DN=EB∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF∴△DNE≌△EBF∴ DE=EF，NE=BF⑵在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时， DE=EF.《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0) (轴)(0，) (，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____．【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+．【解析】正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)．因此所求抛物线的解析式有两种．设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0．由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限．同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ．【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2020•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上； ④若a=1，则OA •OB=OC 2．以上说法正确的有（）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证．【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax 2+bx+c ，a ＞0 ∴该二次函数图象开口向上∵点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2）， ∴直线MN 的解析式为y ﹣2=，即y=﹣2x ，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在y=﹣2x 的下方， ∴该二次函数图象与y 轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a ＜0，所以二次函数图象与y 轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M 、A 、C 三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣1当y=0时，0=x 2﹣2x+c ，利用根与系数的关系可得 x 1•x 2=c ，即OA •OB=|c|，当x=0时，y=c ，即OC=|c|=1=OC 2，∴若a=1，则OA •OB=OC 2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C ．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．已知抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．【答案与解析】（1）∵抛物线与x 轴没有交点，∴⊿＜0，即1－2c ＜0，解得c ＞12(2)∵c ＞12，∴直线y=12x ＋1随x 的增大而增大， ∵b=1，∴直线y=12x ＋1经过第一、二、三象限.【点评】抛物线c x x y ++=221与x 轴没有交点，⊿＜0，可求c 的取值范围.举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则．答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2．故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ．【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=，解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)．当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x元（x为正整数），每星期的利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由．（3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x，销售量=500+100x，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润；（3）设当y=5000时x有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000．【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x）•（500+100x）=﹣100x2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x2+500x+5000=﹣100（x﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x2+500x+5000=5000，解得x1=0，x2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。

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△AB′C′,则
等于（）.
A.60°
B.105° C.120° D.135°
3. 如图，如果一个四边形 ABCD 旋转后能与另一个正方形重合，那以该图形所在的平面可以作旋转中
心的点有（）个．
A、1
B、2
C、3
D、4
第2题
第3题
第4题
4．如图，矩形 OABC 的顶点 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为（2，1）．如果将矩形 0ABC
2/8
第 12 题
第 13 题
第 14 题
14. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为 CD 边上一点，DE=1．以点 A 为中心，把△ADE 顺时针
旋转 90°，得△ABE'，连接 EE'，则 EE'的长等于__________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是（1，0），若点 A 的坐标为（a，b），将线段 BA 绕点
初中数学九年级全册
《旋转》全章复习与巩固--巩固练习（基础）
一、选择题 1．（2015•德州）如图，在△ ABC 中，∠CAB=65°，将△ ABC 在平面内绕点 A 旋转到△ AB′C′的位置，使 CC′∥AB，则旋转角的度数为（）
A．35°
B． 40°
C． 50°
D．65°
2.如图，在等腰直角△ABC 中， B=90°，将△ABC 绕顶点 A 逆时针方向旋转 60°后得到
绕点 O 旋转 180°旋转后的图形为矩形 OA1B1C1，那么点 B1 的坐标为（）.
A．（2，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，﹣l）
5. 如图，边长为 1 的正方形
绕点逆时针旋转到正方形
，
图中阴影部分的面积为( ).
A.
B.
C.
D.
6．右图可以看作是一个等腰直角三角
形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（）.
三综合题
17．（2015•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2）、B（3，5）、 C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1；（2）把△ ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的△ AB2C2，点 C2 在 AB 上． ①旋转角为多少度？ ②写出点 B2 的坐标．
D．经过几次翻折(对称轴有偶数条且平行)后的图形可以看作是经过—次平移得到的
8．在平面直角坐标系中，A 点坐标为(3，4)，将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到 OA′，则点 A′的
坐标是( ).
A.(-4，3)
B.(-3，4)
C.(3，-4)
D.(4，-3)
二. 填空题
9. 正三角形绕中心旋转＿＿度的整倍数之后能和自己重合.
10. 如图，△ ABC 绕点 A 顺时针旋转 45°得到△ A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC= ，则图中阴影部分
的面积等于 _________ ．
11．（2015•福州）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC= ，将△ ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，
得到△ MNC，连接 BM，则 BM 的长是
．
12 如图所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 CD 上一点，点 F 是 CB 延长线上一点，且 DE＝BF，连结 FE,此时△AEF 是＿＿＿．如果 FB＝1，EC＝2，则正方形 ABCD 的面积是＿＿． 13．如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰 CD 以 D 为中心逆时针旋转 90°至 ED，连接 AE、DE，△ADE 的面积为 3，则 BC 的长为_________．
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
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第5题
第6题
7．轴对称与平移、旋转的关系不正确的是( ).
A．经过两次翻折(对称轴平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的
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B．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过—次平移得到的
C．经过两次翻折(对称轴不平行)后的图形可以看作是原图形经过旋转得到的
18. 如图，在△ABC 中，AB=AC，点 P 是△ABC 内一点，且∠APB=∠APC．求证：BP=CP．
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19.已知：如图在△ABC 中，AB=AC，若将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 180°得到△FEC． (1)试猜想 AE 与 BF 有何关系？说明理由． (2)若△ABC 的面积为 3cm2，求四边形 ABFE 的面积； (3)当∠ACB 为多少度时，四边形 ABFE 为矩形？说明理由．
【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.
2 题图
5 题图
3．【答案】C. 【解析】旋转中心的点分别是点 D,点 C,和线段 DC 的中点.
4．【答案】C.
5．【答案】C.
【解析】
s ，∴
四边形ADPB = 2
3= 6
3 3
s ∴
阴影=1-
3. 3
6．【答案】 C. 【解析】旋转的角度应该是 45°的倍数.
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【答案与解析】
一.选择题 1．【答案】C.
【解析】∵CC′∥AB， ∴∠ACC′=∠CAB=65°， ∵△ABC 绕点 A 旋转得到△ AB′C′， ∴AC=AC′， ∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°， ∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选 C．
2．【答案】 B.
B 顺时针旋转 90°得到线段 BA′，则点 A′的坐标是_________．
第 15 题
第 16 题
16．如图所示，将△ABC 沿 AB 翻折后形成△ABE，再将△ABE 绕点 A 顺时针旋转一定角度后，使
点 E 与点 C 重合，若∠1:∠2:∠3＝28:5:3．则此次旋转过程中的旋转角是________．
20. 已知，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连 PA、PB、PC. （1）将△PAB 绕点 B 顺时针旋转 90°到△P′CB 的位置（如图 1）. ①设 AB 的长为 a，PB 的长为 b（b<a），求△PAB 旋转到△P′CB 的过程中边 PA 所扫过区域（图 1 中阴影部分）的面积； ②若 PA=2，PB=4，∠APB=135°，求 PC 的长. （2）如图 2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必在对角线 AC 上.

30初中数学九年级全册 《旋转》全章复习与巩固--巩固练习(基础)