计量经济学第八讲

第八讲 平稳时间序列与单位根过程
一、随机时间序列模型概述
在严格意义上，随机过程{}t X 的平稳性是指这个
过程的联合和条件概率分布随着时间t 的改变而保持不变。

在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：
2();();(,)t t t t j j E X Var X Cov X X μδδ+===
显然20δδ=。

在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。

当上述条件中的任意一个被违背时，则称{}t X 是非平稳的。

（一）平稳随机过程的例子
1、白噪声过程{}
t ε： 20()0;();(,)0,t t t t j j E Var Cov εεδεε+≠===
2、AR(1)过程：
011,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程
为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：1101
100
10t t i i t i i i t t y a a a y a ε---===++∑∑。

接下来注意到，1
01
01)0(t i i t t E y a a a y -==+∑，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t 趋于无穷大，则0
1
)1(t a E y a μ-==；其次也有
1
10()()t i
t i
i t Var y Var a ε--==∑，当t 趋于无穷大时，21221
()11()i t Var a a Var y εδ-=-=；最后，当t 趋于无穷大时，有：1211111111222 (124111121)
......(...)[()()]
[()()]
s s t t s t s t t s t s t s t t s s s s s a a a a a E y y E a a a a a μμδδεεεεεεε+-----------++--+++++++++++=== 关于AR(p)过程的平稳性，见附录。

3、MA(P)过程：
11...p t t t p t y a a εεε--=+++，{}t ε是白噪声过程 显然，任意有限阶MA 过程都是平稳的。

练习：对于00():,1,t i t i i MA y βεβ∞
-=∞==∑{}t ε是白噪声过程，
请指出平稳性条件。

关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。

（二）非平稳随机过程的例子
1、随机游走：
1t t t y y ε-=+，其中{}t ε是白噪声过程
注意到11210...t
i t t t t t t i y y y y εεεε=---=+=++==+∑ ，
故有：0()t E y y =、2()t t Var y δ=。

显然，随着时期的延伸其方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。

对于过程：1t t t y y με-=++，其中{}t ε是白噪声过程。

该
过程被称为带漂移的随机游走。

显然这也是一个不平稳的数据生成过程。

笔记：
1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。

在随机游走模型中，{}t ε是白噪声过程，0(,)0,t t j j Cov εε+≠=，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（1t t t p p ε--=）是不可预测的。

按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。

2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。

如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。

按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。

以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。

2、单位根过程：
1t t t y y ε-=+， {}t ε是平稳过程
显然随机游走是单位根过程的特例。

另外，我们
还可以在上述模型基础上增加截距项或者时间趋势
项，如：
001
11t t t t t t y y y t y βεββε++--=+=++ 上述过程都属于单位根过程。

笔记：
按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a （失业率-自然失业率）+供给冲击。

失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。

假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。

3、趋势平稳过程：
01
t t y t ββε=++， {}t ε是平稳过程 由于01
)(t E y t ββ=+随时间的变化而变化，故该过程是不平稳的。

然而，对变量剔除时间趋势之后我们将得到一个平稳的过程。

因此，上述模型被称为趋势平稳过程。

趋势平稳过程在剔除时间趋势之后显示出平稳
性。

而对过程：1t t t y y ε-=+，其中t ε平稳，故t t y ε∆=，即通过对变量取差分，我们可以得到一平稳序列，这样的过程被称为差分平稳过程。

只要我们在分析时注意纳入时间趋势变量，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。

而单位根过程才是对传统计量分析的真正威胁。

事实上，在计量经济学文献中，非平稳过程常常被作为单位根过程的同义词。

二、为什么考察数据生成过程的平稳性十分重要？
对于两个不平稳的变量，即使从理论上看两者毫无联系，但实证中我们常常会发现两者具有“显著”的相关关系，此即“伪相关”问题，在回归分析中这被称为“伪回归”。

另外，当变量含有单位根时，我们通常所利用的一系列统计检验，如t检验与F检验，经常会失效，因为t统计量或者F统计量此时很可能并不服从标准的t分布或者F分布。

三、如何基于样本数据判断过程的平稳性？
（一）通过折线图粗略判断
如果样本数据表现出均值回复的态势，那么可初步判断数据生成过程是平稳的（应该注意到，对于趋势平稳过程，其均值具有确定性的时间趋势）。

如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是非平稳的。

（二）利用相关图
如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数表现出截尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的AR 过程；如果样本自相关函数表现出截尾性，而偏自相关函数表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是MA 过程；如果样本自相关函数表现出拖尾性，而偏自相关函数也表现出拖尾性，我们可以初步判断数据生成过程是平稳的ARMA 过程。

（三）单位根检验
考虑模型：
1t t t y y ρε-=+ 其中t ε是白噪声。

模型可以被改写为：
1t t t y y λε-∆=+
其中1λρ=-。

单位根检验等价于检验λ是否为零。

该检验是一个单尾检验，我们不考虑ρ>1的情况。

因为该情况意味着时间序列是爆炸性。

该检验的假设体系是：
1
::0(1)0(1)H H λρλρ=⇔=<⇔< 与往常一样，我们利用t 统计量来进行检验。

然而，在原假设下，此时的t 统计量并不服从t 分布，而是服从DF 分布，为了强调这一点，一般把这里的t 统计量
改称为τ统计量。

如果计算出的τ值小于临界值（临界值是一个负数），则在某个显著水平下拒绝原假设，反之则不拒绝原假设。

上述检验被称为DF 检验。

在DF 检验中，初始模型的误差项是白噪声，然而实际情况可能并不如此。

此时，应该重新建立模型，以保证误差项是白噪声。

新的检验模型是：
11p
i
i t t t i t y y y v λθ=+--∆=+∆∑ t i y -∆的引入就是为了使新的误差项是白噪声。

上述检验单位根的方法被称为扩展的DF 检验（ADF 检验）。

显然，DF 检验模型是ADF 检验模型的特例。

笔记：
1、为什么引入众多t i y -∆项就可以达到使新的误差项是白噪声这个目的？考虑模型1t t t y y λε-∆=+，其中t ε序列相关。

假定t ε服从一个AR （1）过程：1t v t t ρεε=+-，其中t v 是白噪声。

当原假
设为真（0λ=）时，有：11t t v v t t t y y ρρε+=+--∆=∆。

可以发现，
新模型的误差项是白噪声；同时，新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量（t y ∆）的一阶滞后（1t y -∆）。

推广：当t ε服从一个AR （p ）过程时，通过引入t i y -∆（i=1,2…,p ），新模型的误差项将是白噪声。

但一个问题是，为什么要用AR （p ）过程来表示误差项？这是因为，即使误差项服从ARMA 或者MA 过程，但
它们都可以被表示成无限阶的AR 过程。

对于平稳过程而言，这个无限阶AR 过程中的（滞后变量前面）系数是收敛于零的。

因此，只要p 够大，那么AR （p ）就是对无限阶AR 过程的良好近似。

2、如何确定p 值呢？此时，我们可以先选择一个较大的p 值，然后利用通常的t 检验来判断t p y -∆所对应估计系数的显著性，如果不显著，则确定最大的滞后数为p-1。

总而言之，最终所确定的p 值应该使t p y -∆所对应估计系数是显著的。

在实践中我们通常是利用一些信息准则来确定p 值。

例如，
（1）SIC(Schwarz information criterion)准则：
估计任意模型，记RSS 为残差平方和，K 为待估计参数个数，T 为样本容量，则
log log(/)SIC T
RSS T T K =∙+
按照SIC 准则，p 值的确定应该使SIC 最小。

（2）AIC(Akaike information criterion)准则：
2
log(/)AIC RSS T T K =∙+
按照AIC 准则，p 值的确定应该使AIC 最小。

（3）HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则：
2log(log )log(/)HQIC T RSS T T
K =∙+ 按照HQIC 准则，p 值的确定应该使HQIC 最小。

利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致，Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC 准则确定p 值。

3、理解信息准则。

如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准，那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。

然而，实这将付出代价——自由度降低。

因此，在设定模型时存在一个权衡，而SIC 与AIC 准则不过就是权衡的规则（事实上我们已经涉及到一个规则，即以调整的R 2
最大为权衡的规则，回忆一下，该规则是否考虑了残差平方和与自由度这两个因素？）。

应该注意到，在SIC 中，K 与log /T T 相乘，而在AIC 中，K 与2/T 相乘。

一般来说，log /2/T T T >，因此，SIC 准则比AIC 准则更加重视自由度不足问题，于是根据SIC 准则一般会得到更加简约的模型。

HQIC 准则对自由度不足问题的重视程度介于SIC 与AIC 之间。

上述几个信息准则不仅应用于单位根检验模型的设定，也广泛应用于AR(p)、MA(p)、ARMA(p,q)等模型设定。

实际上ADF 检验一般具有三种检验模型设定。

模型的选择是一个十分重要的问题，不当的选择将导致检验结论不可靠。

111:p
i
i t t t i t Model y y y v λθ=+--∆=+∆∑112:p
i
i t t t i t Model y a y y v λθ=+--∆=++∆∑ 113:p
i
i t t t i t Model y a t y y v βλθ=+--∆=+++∆∑ 问题是，在实践中我们到底应该选择哪一个检验模型
呢？
规则一：当数据表现出较明显的确定性时间趋势时，
选择模型3。

模型3可以涵盖两种情况：第一情况是，当0λ≠时，这是一个趋势平稳过程模型，其样本数据展现出确定性的趋势；第二种情况是，当0λ=时，这是单位根过程模型。

由于漂移项a 的存在，样本数据也将展现出确定性的时间趋势（通过反复迭代，你会发现，漂移项将成为变量t 的系数）。

笔记：
当0λ=时，由于t β的存在，变量y 将出现二次趋势，除非
0β=。

一般认为，经济变量具有二次趋势是不可能的，因此，0λ=隐含着0β=的假设。

故我们可以利用F 统计量来检验原假设：0λβ==，不过此时的F 统计量并不服从标准的F 分布，参见更高级的教科书。

规则二：当数据没有表现出明显的确定性时间趋势
时，选择模型2。

模型2可以涵盖两种情况：第一情况是：当0λ≠时，这是一个平稳过程模型。

第二种情况是：当0λ=时，这是一个单位根过程模型。

笔记：
当0λ=时，由于a 的存在，变量y 将出现确定性趋势，除非0a =。

故我们可以利用F 统计量来检验原假设：0a λ==，同样此时的F 统计量并不服从标准的F 分布。

规则三：模型1基本上不用来作为检验模型。

这是因为当0λ≠时，模型表示一个期望值为零的平稳过程，而经济变量的期望值很少会为零！
笔记：
当我们对样本数据是否具有明显的确定性时间趋势拿不准时，还有一种关于单位根的序贯检验法，可以参见较高级的教科书，如Walter Enders(2004)。

ADF 检验是最流行的单位根检验方法，然而，该方法具有较低的检验势，即很容易不拒绝错误的原假设。

很多其他的单位根检验方法，例如DF-GLS 法等方法（Stock & Watson(Second Edition,p.650-653)，被认为与ADF 检验相比具有更高的检验势.
当λ为零的原假设不被拒绝时，我们应该意识到，这或许是因为变量y 只含有一个单位根的结果，这也可能是变量含有两个或者两个以上单位根的结果。

因此，为了检验变量是否只含有一个单位根，我们应该继续对差分变量进行单位根检验。

如果差分变量是平稳的，那么我们认为变量只含有一个单位根。

附录：AR(p)过程的平稳性
AR(1)过程：
1
1
,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程
通过反复迭代有：1
1
01
10
10
t t i i t i i i t t y a a a y a ε---===++∑∑。

AR(1)过程是一个
一阶随机差分方程，而1
1
01
10
10
t t i i t i i i t t y a a a y a ε---===++∑∑就是该方程的
解。

考察这个解的结构：
1
1
1
10
10
t t i i
t i
i i t t y a a a y a ε
---==↓↓↓
=++∑∑特解中的 通解 特解中的确定性部分 随机性部分
应该注意到，a 1是齐次差分方程11t t y a y -=的特征方程：
1
1
11,01t t or x a x a x --==-
的解。

在t 趋于无穷的情况下，平稳性要求这个特征方程的解其绝对值小于1。

AR(p)过程：
1
p
i i t t t i y a a y ε=-=++∑，{}t ε是白噪声过程
是一个p 阶随机差分方程。

其解也包括两部分：通解与特解，而特解又包括确定性与随机部分。

齐次差分方程1p
i i t t i y a y =-=∑的特
征方程为：
1
1
,01p
p
i i i i t
t i i or
x a x
a x ==--==-∑∑
其解是x 1，x 2，...，x p 。

则原随机差分方程的通解为：1
p
i i t i
Ax =∑，其中A i 是待定的常数，它们依赖于初始条件。

在t 趋于无穷的情况下，平稳性要求上述特征方程的解其绝对值小于1。

上述特征方程的解可以是复数，那么平稳性要求就是：特征方程的解在单位圆之内。

笔记：
任意有限阶MA 过程都是平稳的。

而对于ARMA(p,q)过程：
1
2
1
...121...p
q
t t p t t q t t t y a y a y a y εβεβε++++-----=+++，{}t ε是白噪声
过程，其平稳性条件是：特征方程
1
p
i
i t
t i x a x =-=∑1
231
23 0
)1(p p or x
x x x a a a a ----++++=-
的根都在单位圆之内。

问题一：如何判断特征方程的解在单位圆之内？
当然你可以把解求出来，然而一些简单的规则有助于判断特征方程的解是否在单位圆之内。

1、平稳性的必要条件：11p
i i a =<∑
2、平稳性的充分条件：1
1p i
i a =<∑
笔记：
考虑最简单模型：1t t t y ay ε-=+。

当1a <-时，过程不平稳，由此可以理解为什么对于一般模型11p
i i a =<∑仅仅是必要条件。

3、当1
1p
i i a ==∑时，至少有一个解为1。

如果1是一个AR(p)过程
其特征方程的解，那么该AR(p)过程被称为单位根过程。

问题二：在满足平稳性的条件下如何求特解？
在这里我们介绍求特解的滞后算子方法。

定义：i t t i L y y -=，L 为滞后算子。

滞后算子具有如下性质： （1）c c L =，常数的滞后为本身； （2）)(j j i i t t t L L y L y L y ++=； （3）j j i i t t t i j L L y L L y y =--=； （4）i t t i L y y -+=；
（5）对于1a <，2233(1 (1)
t y aL a L a L y aL
++++=- 练习：验证性质（5）
（6）对于1a >，1
2
3
[1()()() (1)
t aLy aL aL aL y aL
---++++=--
练习：验证性质（6）
具备了上述知识后，现在我们来利用滞后算子求特解。

例一：求011,11t t t y a a y a ε<-=++的特解。

1
L t t t y a a y ε=++
01
1
11L L
t t a y a a ε
+--=
11a <
0100
1
123231*********(1...)(1...)
i i t t t i L L L a L L L a y a a a a a a a a
εε∞
=+--∴+++++++++==∑
观察这个特解，它由两部分组成，确定性部分是
01
1a a
-，而随机部分是10
i i t i a ε∞
=-∑。

事实上，特解中的确定性部分可以用一种更
简单的办法求得，对011t t t y a a y ε-=++，令10;*t
t t
y y y ε-===，
则0
1
*1a y a =-。

显然，特解中的确定性部分本质上就是y 的长期
均衡值。

上述求特解中的确定性部分的方法可以推广到AR(p)情况。

例二：求平稳过程AR(p):01p
i i t t t i y a a y ε=-=++∑，其中{}
t ε是白噪
声过程的特解。

2
3
1
2
3
02
3
2
3
1
2
3
1
2
3
...1...1...)))
(((p
p
p
p
p
p
L L L L L L L L L L L L t t t
t t y a a a a a y a y a a a a a a a a εε+++++
-++++-++++=++= 我们注意到特征方程是：
1
p
i
i t
t i x a x =-=∑1
231
23 0
)1(p p or x
x x x a a a a ----++++=-
平稳性要求该方程的根都在单位圆之内。

我们把
2
3
1
2
3
...0
)1(p p z z z
z a a a a ++++=-称为逆特征方程，则平稳性条件
等价于逆特征方程的根都在单位圆之外。

假设逆特征方程的根是：12111,,...,p
b b b ，其中1i b <（显然12,,...,p b b b 是特征方程的根），则
有：
23123121...)(1)(1)...(1)(p p P L L L L L L L b b b a a a a -++++=---
因此，
2
3
121231
1
1...(1)(1) (1)
)(p
P p L L L L L L L
b b b a a a a =
-++++---
1
2
12...(1)(1)
(1)
P
P B B B L L L b b b =
+
++
---
222222
1112222
012(1...)(1...)...(1...)
...
p p p B L L B L L B L L C C L C L b b b b b b =++++++++++++=+++
其中B i ，C i 是待定的常数（这些常数所具有的关系是：
2
0121
1
1
1
;;;...;p
p
p
p
n i i i i i
n i i i i i i C B C B b C B b C B b ========∑∑∑∑。

显然，由于1i b <，序列
{}i C 是收敛于0的）。

因此有：220012012(...)(...)C C L C L C C L C L t t y a ε+++++++=
2
012
(...)C
C L C L a +++是特解中的确定性部分，按照前述的求特解中的确定性部分的简单方法，它必定是方程01
**p
i i y a a y ==+∑的解：
1231
*1...1)(p
p
i
i a
a y a a a a a ==
=
-++++-∑。

因此，特解是：
001
1i p
i i i C t t i a y a
ε∞
==+--=∑∑
上述结果也表明，任何一个平稳的AR(P)模型都可以表示成MA(∞)。

笔记：
假定MA(P)过程是：11...p t t t p t y a a εεε--=+++，{}t ε是白噪声过程。

我们知道，MA(p)是平稳的，如果它可以被表示成一个无限阶AR 过程，那么这个无限阶AR 过程应该是平稳的，否则，
这个重新表示是无意义的。

这反过来暗示，当MA(p)可以表示成一个无限阶AR 过程，一定存在某种条件，我们把这个条件称为可逆条件。

利用滞后算子对MA(P)重新表示：
1
1
(1)
1......P
p P
p
L L L L
t t t
t y a a y a a εε==++++++ 假定110...P p L L a a =+++这个方程的根是12111,,...,
p
b b b ，则
1121(1)(1)...(1)...P p P L L L L L b b b a a =---+++
因此，
1121
2
121
1
1...(1)(1) (1)
(1)(1)(1)
...P p P P
P L L L L L B B B L L L b b b b b b a a =
=
+
++
------+++
其中B i ，是待定的常数。

只有当1i b <时，
1222222
11122220121
1(1...)(1...)...(1...)...
...P
p p p p L L B L L B L L B L L C C L C L b b b b b b a a =++++++++++++=++++++
其中C i 是待定的常数：2
0121
1
1
1
;;;...;p p p
p
n i i i i i
n i i i i i i C B C B b C B b
C B b ========∑∑∑∑
因此
20
121212000
(...)...t
t t t t C
C L C L y C C C
y y y y C C C t t εε∞---∞+++=-
----= 这是一个无限阶AR 过程。

由于1i b <，0C ∞→。

总结：所谓可逆
条件是指，110...P
p L L a a =+++的根在单位圆外（1
1p
i i a =<∑是必要条
件；1
1p
i
i a =<∑是充分条件）。

当满足可逆条件后，MA(p)可以表示成一个无限阶AR 过程，并且其偏相关系数趋于0，因此，此时MA(p)的偏相关系数是拖尾的。