计量经济学第八讲

第八讲 平稳时间序列与单位根过程

一、随机时间序列模型概述

在严格意义上，随机过程{}t X 的平稳性是指这个

过程的联合和条件概率分布随着时间t 的改变而保持不变。在实践中，我们更关注弱意义上的平稳或者所谓的协方差平稳：

2();();(,)t t t t j j E X Var X Cov X X μδδ+===

显然20δδ=。

在本讲义中，平稳皆指协方差平稳。当上述条件中的任意一个被违背时，则称{}t X 是非平稳的。

（一）平稳随机过程的例子

1、白噪声过程{}

t ε： 20()0;();(,)0,t t t t j j E Var Cov εεδεε+≠===

2、AR(1)过程：

011,11t t t y a a y a ε<-=++，{}t ε是白噪声过程

为了验证上述过程满足平稳性条件，我们首先通过迭代得到：1101

100

10t t i i t i i i t t y a a a y a ε---===++∑∑。接下来注意到，1

01

01)0(t i i t t E y a a a y -==+∑，进一步假设数据生成过程发生了很久，即t 趋于无穷大，则0

1

)1(t a E y a μ-==；其次也有

1

10()()t i

t i

i t Var y Var a ε--==∑，当t 趋于无穷大时，21221

()11()i t Var a a Var y εδ-=-=；最后，当t 趋于无穷大时，有：1211111111222 (124111121)

......(...)[()()]

[()()]

s s t t s t s t t s t s t s t t s s s s s a a a a a E y y E a a a a a μμδδεεεεεεε+-----------++--+++++++++++=== 关于AR(p)过程的平稳性，见附录。

3、MA(P)过程：

11...p t t t p t y a a εεε--=+++，{}t ε是白噪声过程 显然，任意有限阶MA 过程都是平稳的。

练习：对于00():,1,t i t i i MA y βεβ∞

-=∞==∑{}t ε是白噪声过程，

请指出平稳性条件。

关于ARMA(p,q)过程的平稳性，见附录。

（二）非平稳随机过程的例子

1、随机游走：

1t t t y y ε-=+，其中{}t ε是白噪声过程

注意到11210...t

i t t t t t t i y y y y εεεε=---=+=++==+∑ ，

故有：0()t E y y =、2()t t Var y δ=。显然，随着时期的延伸其方差趋于无穷大，因此随机游走属于非平稳过程。对于过程：1t t t y y με-=++，其中{}t ε是白噪声过程。该

过程被称为带漂移的随机游走。显然这也是一个不平稳的数据生成过程。

笔记：

1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中，{}t ε是白噪声过程，0(,)0,t t j j Cov εε+≠=，因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动（1t t t p p ε--=）是不可预测的。按照有效市场理论，股票价格能够及时吸纳消息，因此，如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异，那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的，否则，现在价格将马上变动从而使价格差异消失。

2、在财富（预期未来现金流的贴现）给定的情况下，最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等（饿一等饱一等显然不是最优）。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异，那么导致这个差异的原因（也许是飞来横财）在现在肯定是不知道的，否则现在的消费将作出调整，并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑，消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。

2、单位根过程：

1t t t y y ε-=+， {}t ε是平稳过程

显然随机游走是单位根过程的特例。另外，我们

还可以在上述模型基础上增加截距项或者时间趋势

项，如：

001

11t t t t t t y y y t y βεββε++--=+=++ 上述过程都属于单位根过程。

笔记：

按照附加预期的菲利普斯曲线理论：通胀率=预期的通胀率-a （失业率-自然失业率）+供给冲击。失业率与自然失业率的差异（即周期性失业率）与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期，即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率，则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量，故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。

3、趋势平稳过程：

01

t t y t ββε=++， {}t ε是平稳过程 由于01

)(t E y t ββ=+随时间的变化而变化，故该过程是不平稳的。然而，对变量剔除时间趋势之后我们将得到一个平稳的过程。因此，上述模型被称为趋势平稳过程。

趋势平稳过程在剔除时间趋势之后显示出平稳

性。而对过程：1t t t y y ε-=+，其中t ε平稳，故t t y ε∆=，即通过对变量取差分，我们可以得到一平稳序列，这样的过程被称为差分平稳过程。

只要我们在分析时注意纳入时间趋势变量，趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。而单位根过程才是对传统计量分析的真正威胁。事实上，在计量经济学文献中，非平稳过程常常被作为单位根过程的同义词。

二、为什么考察数据生成过程的平稳性十分重要？

对于两个不平稳的变量，即使从理论上看两者毫无联系，但实证中我们常常会发现两者具有“显著”的相关关系，此即“伪相关”问题，在回归分析中这被称为“伪回归”。另外，当变量含有单位根时，我们通常所利用的一系列统计检验，如t检验与F检验，经常会失效，因为t统计量或者F统计量此时很可能并不服从标准的t分布或者F分布。

三、如何基于样本数据判断过程的平稳性？

（一）通过折线图粗略判断

如果样本数据表现出均值回复的态势，那么可初步判断数据生成过程是平稳的（应该注意到，对于趋势平稳过程，其均值具有确定性的时间趋势）。如果样本数据表现出持久偏离均值的态势，则初步判断数据生成过程是非平稳的。