数学 二次函数的专项 培优易错试卷练习题附答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a≠0）与直线y ＝kx+c （k≠0）相交于A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求出C 、D 两点的坐标

（3）在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．

【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3;（2）C （0，﹣3）,D （0，﹣1）;（3）P （2，﹣2）.

【解析】

【分析】

（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入y ＝ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式． （2）当x ＝0时可求C 点坐标，求出直线AB 解析式，当x ＝0可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标．

【详解】

解：（1）把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入

y ＝ax 2

+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩

∴y ＝x 2﹣2x ﹣3

（2）把x ＝0代入y ＝x 2﹣2x ﹣3中可得y ＝﹣3∴C （0，﹣3）

设y ＝kx+b ，把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点坐标代入

023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩

解得11k b =-⎧⎨=-⎩

∴y ＝﹣x ﹣1

∴D （0，﹣1）

（3）由C （0，﹣3），D （0，﹣1）可知CD 的垂直平分线经过（0，﹣2）

∴P 点纵坐标为﹣2，

∴x 2﹣2x ﹣3＝﹣2

解得：x ＝2∵x ＞0∴x ＝2．

∴P （

，﹣2）

【点睛】

本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x ＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标．

2．已知，抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0）．

（1）判断该抛物线与x 轴的交点个数，并说明理由．

（2）若点A （-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M 为抛物线的顶点，求△ABM 的面积．

（3）若点（2，p)，（3，g ），（4，r)均在该抛物线上，且p

【答案】（1）抛物线与x 轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM 的面积为8；（3）m 的取值范围m>-2.5

【解析】

【分析】

（1）首先算出根的判别式b 2-4ac 的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；

（2）根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m 的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M 三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；

（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m 的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m 的取值范围，综上所述，求出m 的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m 的式子表示出p,g,r ，再代入 p

【详解】

（1）解：抛物线与x 轴有2个交点。理由如下：

∵m≠0，∴b 2-4ac =（2m ）2-4×1×0=4m 2>0．

∴抛物线与x 轴有2个交点

（2）解：∵点A （-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上

∴抛物线的对称轴x=

5122n n -++-= ∴ 221

m ⨯=2,即m=-2． ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x ．

∴点A （0，0），点B （4，0）或点A （4，0），点B （0，0），点M （2，-4） ∴△ABM 的面积为12

×4×4=8

（3）解：方法一（图象法）：

∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ，开口向上。

∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．

当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．

此时，-m<2，即m>-2．

当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．

即m>-2.5．

综上所述，m 的取值范围m>-2.5

方法二（代数法）：

由已知得，p=4+4m ，g=9+6m ，r=16+8m ．

∵p

【点睛】

二次函数的综合应用题。与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x 轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x 轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x 轴没有

交点。熟练运用顶点坐标（-2b a ，2

44ac b a

）

3．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元

时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000

（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．

【解析】

【分析】

（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y•（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.

【详解】

解：

（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000

获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣

10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000

（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46

w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250

∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65

∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大

∴当x＝46时，w最大值＝8640元

即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.

4．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°，对角线AC，BD相交于点O，动点P 从点A出发，以4cm/s的速度，沿A→B的路线向点B运动；过点P作PQ∥BD，与AC相交于点Q，设运动时间为t秒，0＜t＜5．

（1）设四边形PQCB的面积为S，求S与t的关系式；